AP1 CIII 2018 1

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AP1 - Ca´lculo III - Gabarito - 2018-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
(1) Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de Res-
postas personalizadas para o registro das suas respostas.
(2) Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se nas
Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio,
verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
(3) Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
(4) Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local indicado
para este fim.
(5) E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
(6) Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente assinadas
e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
(1) Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
(2) Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Respostas.
(3) As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,
quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
(4) As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
(5) E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
(6) NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
(1) E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como de
qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Ca´lculo III – Gabarito – 2018-1
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(1,1)
x4y4 − 1
x2y2 − 1 ;
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2 ;
(c) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
y3√
x2 + y2
.
Soluc¸a˜o:
(a) Como
x4y4 − 1 = (x2y2 + 1)(x2y2 − 1),
temos
lim
(x,y)→(1,1)
x4y4 − 1
x2y2 − 1 = lim(x,y)→(1,1)
(x2y2 + 1)(x2y2 − 1)
x2y2 − 1 = lim(x,y)→(1,1)(x
2y2 + 1) = 2
(b) Ponhamos
h(x, y) = x
2
x2 + y2 ,
para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Como
lim
t→0 h(t, 0) = limt→0
t2
t2 + 02 = limt→0 1 = 1
e
lim
t→0 h(0, t) = limt→0
02
02 + t2 = limt→0 0 = 0,
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2 na˜o existe.
Ca´lculo III AP1 3
(c) Uma vez que
|y| =
√
y2 ≤
√
x2 + y2,
para todo (x, y) ∈ R2, conclu´ımos que a func¸a˜o
γ : (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7→ y√
x2 + y2
∈ R
e´ limitada. Como lim
(x,y)→(0,0)
y2 = 0, obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
y3√
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
y2γ(x, y) = 0.
Questa˜o 2 (3,0 pontos)
Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2 − 2x+ 3.
(a) (1,0 ponto) Parametrize a curva de n´ıvel C = 3 da func¸a˜o f ;
(b) (1,0 ponto) Sendo E a curva mencionada no item (a), determine a equac¸a˜o vetorial da
reta tangente a` E , no ponto Q =
(
1 +
√
3
2 ,
1
2
)
;
(c) (1,0 ponto) Calcule o comprimento da curva E .
Soluc¸a˜o:
(a) Completando quadrados, obtemos
f(x, y) = (x− 1)2 + y2 + 2
para cada (x, y) ∈ R2. Portanto, a curva de n´ıvel C = 2 da func¸a˜o f e´ dada por
E = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = 3} =
{
(x, y) ∈ R2; (x− 1)2 + y2 = 1
}
,
isto e´, E e´ o c´ırculo de raio r = 1, centrado no ponto P0 = (1, 0). Da´ı, a func¸a˜o vetorial
α : t ∈ [0, 2pi] 7−→ (1 + cos t, sen t) ∈ R2
e´ uma parametrizac¸a˜o de E .
(b) Seja α a parametrizac¸a˜o de E considerada no item (a), e tomemos t0 ∈ [0, 2pi] tal que
(1 + cos t0, sen t0) = α(t0) = Q =
(
1 +
√
3
2 ,
1
2
)
.
Nesse caso, cos t0 =
√
3
2 e sen t0 =
1
2 , donde t0 =
pi
6 . Uma vez que
α′(t) = (−sent, cos t),
para todo t ∈ [0, 2pi], segue que α′
(
pi
6
)
=
(
−12 ,
√
3
2
)
e´ o vetor diretor da reta tangente a`
curva E , no ponto Q. Consequentemente, a equac¸a˜o vetorial de tal reta e´
r(λ) = α(t0) + λα′(t0) =
(
1 +
√
3
2 ,
1
2
)
+ λ
(
−12 ,
√
3
2
)
=
(
1 +
√
3
2 −
λ
2 ,
1
2 +
λ
√
3
2
)
,
com λ ∈ R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III AP1 4
(c) Como
‖α′(t)‖ =
√
(−sen t)2 + cos2 t = 1
para todo t ∈ R, obtemos ∫ 2pi
0
‖α′(t)‖dt =
∫ 2pi
0
1dt = 2pi
unidades de comprimento.
Questa˜o 3 (4,0 pontos)
Considere a func¸a˜o g : R2 −→ R, definida por
g(x, y) = x2y,
para cada (x, y) ∈ R2.
(a) (1,0 ponto) Calcule as derivadas parciais de g, em cada (x, y) ∈ R2;
(b) (2,0 ponto) Utilizando a Definic¸a˜o de Diferenciabilidade, prove que g e´ diferencia´vel em
(1, 0);
(c) (1,0 ponto) Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de g, no ponto P =
(1, 0, g(1, 0)).
Soluc¸a˜o:
(a) Claramente, para cada (x, y) ∈ R2, temos
gx(x, y) = 2xy e gy(x, y) = x2.
(b) Para cada (h, k) ∈ R2, definamos
r(h, k) := g(1 + h, 0 + k)− g(1, 0)− gx(1, 0)h− gy(1, 0)k,
isto e´,
r(h, k) = g(1 + h, k)− k = (1 + h)2k − k = (2h+ h2)k.
Como lim
(h,k)→(0,0)
(2h+ h2) = 0 e a func¸a˜o γ da Questa˜o 1(c) e´ limitada, obtemos
lim
(h,k)→(0,0)
r(h, k)√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
(2h+ h2)γ(h, k) = 0.
Portanto, g e´ diferencia´vel em (1, 0).
(c) Sendo g uma func¸a˜o diferencia´vel em (1, 0), a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de
g, no ponto P = (1, 0, g(1, 0)), e´ dada por
z − g(1, 0) = gx(1, 0)(x− 1) + gy(1, 0)y,
ou seja, z = y e´ a equac¸a˜o do plano procurado.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.