179 ICF1 gaba AD2 2005 2

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GABARITO DA AD2 DE ICF1-2005-2
Questa˜o-1(2 pontos)
ESTA QUEST ˜AO N ˜AO T ˆEM GABARITO PORQUE ´E INDIVIDUAL.S ´O FORAM INDICADOS
OS VALORES DOS ´ITENS.
Na Pra´tica 1 do Mo´dulo 3, fizemos um experimento para verificar se o modelo que afirma que as
forc¸as sa˜o vetores e´ compatı´vel com os resultados experimentais. Inicialmente aplicamos as forc¸as
�
�
�
e ��
�
ao ponto O de uma cordinha. Estas forc¸as foram aplicadas por dois dinamoˆmetros. Um
terceiro dinamoˆmetro equilibrou as forc¸as.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Figura 1
Mediu-se enta˜o, diretamente com o terceiro dinamoˆmetro e com o
transferidor, a forc¸a ��
�
que equilibra as duas forc¸as ��
�
e ��
�
.Sabendo as
seguintes fo´rmulas para ca´lculo de incertezas, complete a Tabela- 1. A
incerteza de uma soma de uma func¸a˜o � � � � � e´ dada por:
� �
�
��
�
� �
�
�
.
A incerteza da func¸a˜o � � �
�
������ e´ dada por:
� �
�
������� �
�
�
�
� ��
�
��	��� ��
�
.
A incerteza da func¸a˜o � � �
�
��	��� e´ dada por:
� �
�
���	��� �
�
�
�
� ��
�
������ ��
�
.
Tabela- 1
�
�
[rd] �
�
[rd] �
�
[N] �
�
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N]
Total de 0,16 pontos. Cada ´item da tabela vale 0,02 pontos. Se o aluno escrever os valores com o
nu´mero de algarismos significativos errados ele perde todo o valor do ´item.
1. A forc¸a resultante �� e´ a forc¸a que produz o mesmo efeito das forc¸as ��
�
e ��
�
quando elas sa˜o
aplicadas ao mesmo tempo no ponto O da cordinha. Complete a Tabela- 1 e utilize os seu
valores para encontrar as componentes da forc¸a resultante com suas incertezas experimen-
tais.Complete a Tabela-2.
Tabela-2
�
�
[N] �
�
[N] �
�
[N] �
�
[N]
Total de 0,32 pontos. Cada ´item da tabela vale 0,08 pontos. Se o aluno escrever os valores
com o nu´mero de algarismos significativos errado ele perde todo o valor do ´item.Por exem-
plo, se ele escrever �
��
errado ele perde todo o valor deste ´item
2. A seguir, medimos diretamente com os dinamoˆmetros e o transferidor as forc¸as ��
�
e ��
�
.
Coloque os resultados das suas medidas nas Tabelas 3 e 4.Complete as tabelas 3 e 4.
1
Tabela- 3
�
�
[rd] �
�
[rd] �
�
[N] �
�
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N]
Total de 0,32 pontos. Cada ´item da tabela vale 0,04 pontos. Se o aluno escrever os valores
com o nu´mero de algarismos significativos errados ele perde todo o valor do ´item.
Tabela- 4
�
�
[rd] �
�
[rd] �
�
[N] �
�
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N] �
��
[N]
Total de 0,32 pontos. Cada ´item da tabela vale 0,04 pontos. Se o aluno escrever os valores
com o nu´mero de algarismos significativos errado ele perde todo o valor do ´item.
3. Com os resultados das tabelas 3 e 4,e´ possı´vel relacionar as forc¸as ��
�
e ��
�
com a forc¸a resul-
tante �� atrave´s das relac¸o˜es matema´ticas associadas a` soma de vetores, isto e´, �
�
� �
��
��
��
e �
�
� �
��
� �
��
. Complete a Tabela-5.
Tabela- 5
�
�
� �
��
� �
��
[N] �
�
[N] �
�
� �
��
� �
��
[N] �
�
[N]
Total de 0,32 pontos. Cada ´item da tabela vale 0,08 pontos. Se o aluno escrever os valores
com o nu´mero de algarismos significativos errado ele perde todo o valor do ´item.
4. Represente na forma de um intervalo �
�
dos nu´meros reais a faixa de valores associada a`
componente �
�
da forc¸a resultante calculada como na Tabela-2. Represente na forma de
um intervalo �
�
dos nu´meros reais a faixa de valores associada a` componente �
�
da forc¸a
resultante calculada como na Tabela-5. Represente na semi-reta a seguir os intervalos �
�
e �
�
.
N
Total de pontos 0,06. Cada intervalo representado 0,01, cada intervalo representado na reta
0,02. Desconte 0,02 se a escala estiver ruim.
5. Represente na forma de um intervalo �
�
dos nu´meros reais a faixa de valores associada a`
componente �
�
da forc¸a resultante calculada como na Tabela-2. Represente na forma de
um intervalo �
�
dos nu´meros reais a faixa de valores associada a` componente �
�
da forc¸a
resultante calculada como na Tabela-5. Represente na semi-reta a seguir os intervalos �
�
e �
�
.
Total de pontos 0,06. Cada intervalo representado 0,01, cada intervalo representado na reta
0,02. Desconte 0,02 se a escala estiver ruim.
2
N
6. Os resultados experimentais confirmam o modelo que trata as forc¸as como vetores? Justi-
fique a sua resposta.
Total de pontos 0,24. So´ ganha os pontos se comparar os intervalos obtidos com o modelo e os
intervalos obtidos pela medida de �
�
.Ou a resposat esta´ certa ou a respostra esta´ errada.
Questa˜o-2(2 pontos)
APESAR DESTA QUEST ˜AO SER INDIVIDUAL FOI APRESENTADO UM EXEMPLO.
As propriedades da forc¸a que o ar exerce sobre um corpo dependem fortemente da velocidade do
corpo em relac¸a˜o ao ar . Quando o corpo esta´ em repouso em relac¸a˜o ao ar a forc¸a e´ denominada
empuxo e quando o corpo teˆm velocidade em relac¸a˜o ao ar ela e´ denominada resisteˆncia do ar
(assista aos v´ideos Resisteˆncia do ar e A Flutuac¸a˜o dos corpos, disponı´veis nos po´los na forma de
cd-room e na web no enderec¸o eletroˆnico tv.ufrj.br/ladif).
Figura 2-a Figura 2-b
1. Estime o seu volume supondo que a cabec¸a e´
um cilindro, o corpo e´ um paralelep´ipedo e
que o pescoc¸o ,os brac¸os e as pernas sa˜o cilin-
dros(ver Figura-2). Despreze os volumes dos
pe´s e das ma˜os. O volume do cilindro e´
	 �
�
( onde � e´ o raio da tampa do cilindro e 
 a al-
tura do cilindro).O volume do paralelepı´pedo
e´
� � � 
 �
(onde �,
 e � sa˜o as dimenso˜es do paralelepı´pedo).
Para obter os raios dos cilindros e as dimenso˜es do paralelepı´pedo fac¸a a me´dia aritme´tica entre
a maior e a menor dimensa˜o da parte do corpo em considerac¸a˜o (por exemplo o raio � da cabec¸a
seria � � ��
�����
� �
��	��
��
� onde �
�����
e �
��	��
seriam a maior e a menor dimensa˜o da sua
cabec¸a.)
Faremos a seguir uma estimativa do volume do meu corpo. Denomimanos �
a maior dimensa˜o
do membro que pode ser considerado como um cilindro e �
�
a menor dimensa˜o e de 
 a altura
do cilindro. No caso do tronco denominamos 
 a altura do tronco,�� a largura e � a profundidade .
Estimando as dimenso˜es da cabec¸a , pescoc¸o ,brac¸os e pernas .
�
��
� 
��� ,�
���
� ���� ,�
��
� �
� � ����
 � �
� ��� , 
��
� 
��� ,
�
��
� ���� ,�
��
�
� ���� , �
��
� ��� � ����
 � ��� ��� , 
��
� ��� ,
�
���
� ���� ,�
����
� ��� , �
���
� ��� , 
���
� ����,
�
���
� ���� ,�
����
� ��� , �
���
� ��� � ���
 � ��� ��� , 
���
� ����.
Estimando as dimneso˜es do tronco.
�� � ���� , 
 � ���� e � � 
��� .
3
Estimando os volumes, e abreviando o volume da cabec¸a por �
�
, o volume do pescoc¸o por �
��
,
volume do tronco por �
�
do brac¸o por �
���
e das pernas por �
���
, temos:
�
��
� 	������
�
���
�� � �� �� ��
��
�
�
�
��
� 	������
�
������ � �� 
� ��
��
�
�
�
�
� ���������������
�� � �
� ��
��
�
�
�
���
� 	��� ��������� � 
� �� ��
��
�
�
�
���
� 	��� ��������� � �� 
� ��
��
�
�
Total de 0,5 pontos.Cada ´item 0,1.
O volume do corpo e´ �
��
� �
��
� �
�
� 
� �
���
� 
� �
���
e vale: ��� ������.
Total de 0,2.
Sabendo que a forc¸a empuxo e´ o peso do lı´quido deslocado estime o empuxo que o ar ex-
erce sobre voceˆ(A expressa˜o do empuxo para o ar e´ igual a expressa˜o do empuxo para um
lı´quido,porqueˆ?).A densidade do ar e´ de � � ������. Compare este valor com o seu peso.
A forc¸a de empuxo do ar e´ dada por:
�
��
� ��� ��
��
� � � �� � �����
Total de 0,2 .
O peso de uma pessoa com as dimenso˜es acima e´ da ordem de 620N. Fazendo a diferenc¸a
relativa entre eles, vemos que:
�
�� �� ��
�
�
� ��
� (1)
ou seja, o peso e´ muito maior do que o empuxo do ar.Por isso, e´ razoa´vel despreza´-lo em
relac¸a˜o ao peso.
2. Estime o empuxo que a a´gua exerce sobre voceˆ quando voceˆ esta´ parado e totalmente imerso
na a´gua. A densidade da a´gua e´ de � � ��� �����. Compare este valor com o seu peso.
O empuxo que a a´gua faz nessa pessoa e´:
�
����
� ��� ��
��
� ��
�
� �� � ����
.
Fazendo a diferenc¸a relativa entre o peso e o empuxo da a´gua , vemos que:
� �
�� ��� �
�
�
� ����� (2)
Esse empuxo e´ da ordem da forc¸a peso. Por isso, uma pessoa submersa na a´gua se sente
empurrada para cima.
Total de 0,2 .
4
3. A forc¸a de resiteˆncia do ar nos casos mais simples e´ dada por
� � ���
�
��
�
��
�
onde �
�
e´ o coeficiente de arrasto, � e´ a densidade do ar, A e´ a a´rea de impacto e � e´ o
mo´dulo da velocidade do corpo em relac¸a˜o ar. O coeficiente de arrasto para um homem
ereto pode variar entre 1.0 e 1.3 de acordo com a roupa e a velocidade do homem. Considere
o coeficiente de arrasto igual a 1.
(a) Estime a sua a´rea de impacto supondo que a cabec¸a, o pescoc¸o,os brac¸os e as pernas sa˜o
retaˆngulos (ver figura2-b). Despreze as a´reas de impacto dos pe´s e das ma˜os .
Encontrando as a´reas, utilizando a mesma abreviac¸a˜o do ı´tem 1:
�
��
� �����
�
�
��
� �����
�
�
�
� ��
��
�
�
���
� �����
�
�
���
� �����
�
O a´rea do corpo e´ �
��
� �
��
� �
�
� 
� �
���
� 
� �
���
e vale: ���
��.
Total de 0,5. Cada ´item 0,1
(b) Estime a forc¸a de resisteˆncia do ar no caso em que voceˆ esta´ andando e quando voceˆ
esta´ correndo. Para obter as dimenso˜es dos retaˆngulos fac¸a a me´dia aritme´tica entre a
maior e a menor dimensa˜o da parte do corpo em considerac¸a˜o.
Supondo que a pessoa em questa˜o ande com uma velocidade de ����
 � �� ���� , a
forc¸a de arrasto que sentira´ sera´ de:
� �
� � � � ���� � �����
�
�
� ���
�
.
Total de 0,2 .
Supondo que correndo sua velocidade e´ de �
���
 � �� ����, a nova forc¸a que ela
sentira´ sera´ de:
� �
���� � ��� ��
�
� 
� ��
Total de 0,2 .
Para aprender mais sobre a forc¸a de resisteˆncia do ar pequise na web a palavra o coeficiente de
arrasto ou visite o site http://www.aerodyn.org/Drag/tables.html ou .
Questa˜o-3(2 pontos)
5
R
m
î
Y
X
Vista de topo ampliada
A
j^
Figura-3
k^
j
j^
î
A
Uma esfera esta´ ligada a um fio inextensı´vel .O fio esta´
preso a um pino fixo em uma mesa (figura-3). A esfera
esta´ em movimento circular sobre a mesa como mostra
a figura-3. Na˜o existe atrito entre a esfera e a mesa. A
velocidade angular de rotac¸a˜o da esfera e´ � e o raio
do cı´rculo e´ �. Despreze a forc¸a que o ar exerce sobre
a esfera e o atrito ente o fio e o pino..Suponha que o
referencial esta´ na Terra.
1. Quem ou o queˆ esta´ em contato com a
bolinha?Desenhe a bolinha separada e coloque
todas as forc¸as que atuam sobre ela. Onde esta˜o aplicadas as reac¸o˜es a estas forc¸as?
Esta˜o em contato com a esfera o fio, a mesa, e o ar. As reac¸o˜es a`s forc¸as �� , � , e �! sa˜o respecti-
vamente iguais a� �� ,�� , e��! , e encontram-se aplicadas a` mesa, ao fio, e a Terra. O diagrama
de forc¸as encontra-se na figura3-b.
N
P
T A
Figura 3-b
-N
Terra
-P
-TFio
A
a
Total de 0,6 . Para cada forc¸a e cada reac¸a˜o
0,1.
2. Escreva a representac¸a˜o simbo´lica da forc¸a resultante. Escreva a Segunda Lei de Newton na
representac¸a˜o simbo´lica.
A Segunda Lei de Newton e´ igual a �� � �! � �� � � � ���, onde �� e´ a a forc¸a resultante na
representac¸a˜o simbo´lica, � e´ a massa da esfera, e �� e´ a sua acelerac¸a˜o.
Total de 0,5 . Ou o aluno acerta tudo e tira 0,5 ou erra alguma coisa e tira zero.
3. Calcule o mo´dulo da acelerac¸a˜o da bolinha.
Como nenhuma das forc¸as que atuam na bolinha teˆm componente tangente ao cı´rculo, o
movimento da esfera e´ circular uniforme. Neste caso, o mo´dulo da acelerac¸a˜o da esfera e´
dado por ���� � � � ��
�
� �
�
�.
4. Desenhe todas as forc¸as e a acelerac¸a˜o da bolinha no ponto A da figura-3. Escreva todas as
forc¸as e a acelerac¸a˜o da bolinha no ponto A em termos dos vetores unita´rios�� , �� e ��.
Em termos dos vetores unita´rios, as forc¸as que atuam sobre a esfera quando ela passa pelo
ponto A sa˜o iguais a � � ������", �� � �� ��, �! � ��� ��. A acelerac¸a˜o da bolinha e´
�� � ��
�
�
�
" . O diagrama de forc¸as encontra-se na figura-3b.
6
Total de 0,5. A representac¸a˜o simbo´lica da acelerac¸a˜o vale 0,1 e a sua representac¸a˜o no de-
senho vale 0,1. A respresentac¸a˜o da acelerarac¸a˜o em termos dos unita´rios vale 0,1. Cada
forc¸a vale 0,1 (0,05 o mo´dulo e 0,05 o unita´rio com o sinal)
Questa˜o-4(2 pontos)
Um bloco com massa � � �� ���� esta´ em repouso em relac¸a˜o a um plano inclinado cuja massa
e´ # � 
���. O plano inclinado esta´ com uma acelerac¸a˜o �� cujo mo´dulo e´ igual a 
� ������. Ex-
iste atrito entre o plano e o bloco. Suponha que o referencial esta´ na Terra. Considere o mo´dulo da
acelerac¸a˜o da gravidade igual a ������.Despreze a forc¸a que o ar exerce sobre o bloco.
30
o
A
M
m
�
î
j^
Figura-4
1. Quem ou o queˆ esta´ em contato com o bloco?Desenhe o bloco separado e coloque todas as forc¸as
que atuam sobre ele. Na˜o esquec¸a que existe atrito. Onde esta˜o aplicadas as reac¸o˜es a estas
forc¸as?
Figura4-a
-fa
-P
Terra
Nfa
-N
O referencial escolhido e´ a Terra, que sera´ considerada inercial. Portanto valem as leis de New-
ton, inclusive a 2� Lei (cf. Aula 5, Mo´dulo 3).
A forc¸a peso �! que a Terra exerce sobre o bloco e´ a u´nica forc¸a gravitacional que na˜o e´ de-
sprez´ivel.
Esta˜o em contato com o bloco, o ar e o plano inclinado.Por isso, somente o ar e o plano cinclinado
podem exercer forc¸as de contato sobre o bloco. Entretanto, a resisteˆncia do ar e´ desprez´ivel.
O peso do bloco puxa o bloco para baixo de tal forma que a superf´ı´ıcie do bloco empurra a
superf´ı´cie do plano para baixo deformando-a de forma imperceptı´vel. A superfı´cie do plano de-
formada tal qual uma cama ela´stica empurra o bloco para cima com a forc¸a normal �� .
A forc¸a de atrito ��
�
se origina de pequenas irregularidades (� �����) entre as superf´icies do
bloco e plano, dificultanto o movimento relativo entre a superf´icie do bloco e a superf´icie do
plano.Esta forc¸a tem a direc¸a˜o das retas tangentes a`s superf´icies, e sentido oposto ao movimento
relativo entre elas. Se a acelerac¸a˜o do plano inclinado for pequena, o bloco tende a descer o
plano inclinado. Logo aparece uma forc¸a de atrito que aponta para cima, de tal forma a evitar o
movimento relativo das superf´icies. Se a acelerac¸a˜o do plano inclinado for grande , o bloco tende
7
a subir o plano inclinado. Logo aparece uma forc¸a de atrito que aponta para baixo, de tal forma
a evitar o movimento relativo entre as superf´icies. Como na˜o podemos decidir a priori qual do
casos vai ocorrer, colocaremos arbitrariamente a forc¸a de atrito para cima,Se apo´s os ca´lculos o
mo´dulo da forc¸a de atrito der positivo a nossa escolha estava correta e se der negativo a nossa
escolha estava errada.
A reac¸a˜o a` forc¸a normal �� e´ � �� e esta´ aplicada no plano, a reac¸a˜o a` forc¸a e de atrito ��
�
e´ ���
�
e esta´ aplicada no plano inclinado. A reac¸a˜o a` forc¸a peso �! e´ ��! e esta´ aplicada na Terra.
Na figura4-a, desenhamos o bloco separadodo seu exterior com as forc¸as que agem sobre ele. As
reac¸o˜es a` estas forc¸as tambe´m esta˜o representadas na figura4-a.
Total de 0,3 . Para cada forc¸a e cada reac¸a˜o 0,05.
2. Escreva a forc¸a resultante no bloco na representac¸a˜o simbo´lica. Escreva a Segunda Lei de
Newton para o bloco na representac¸a˜o simbo´lica.Qual e´ o vı´nculo do problema?
A forc¸a resultante na forma simbo´lica se escreve como:
�
� �
�
! �
�
� �
�
�
�
(3)
Total de 0,3 .Ou escreve certo e ganha todos os pontos ou comete algum erro e ganha zero.
E sabemos da segunda lei de Newton (cf. Mo´dulo 3, Aula 5, pag. 102) que a acelerac¸a˜o
de um corpo e´ diretamente proporcional a forc¸a resultante que atua sobre ele, ou seja:
�
� � ��� (4)
Onde a constante de proporcionalidade e´ a massa m do corpo (do bloco no caso).
Total de 0,1 .Ou escreve certo e ganha todos os pontos ou comete algum erro e ganha zero.
O v´inculo do problema, e´ que o bloco na˜o se desloca em relac¸a˜o ao plano inclinado. Por isso
, a acelerac¸a˜o �� do bloco e´ igual a acelerac¸a˜o do plano inclinado ��. Por isso, nos sistema de
eixos escolhidos no problema, temos que �
�
� � , consequ¨entemente temos que:
�� �
�
� � �
ˆi�
fornecendo:
�
� �
�
! �
�
� �
�
�
�
� �
�
� (5)
3. Calcule o mo´dulo de todas as forc¸as que atuam no bloco .
8
Figura4-b
P
N
fax
î
j^
30
o
60
ofay
fa
Nx
Ny
Decompondo a forc¸a resultante em componentes cartesianas (veja figura 4b) temos:
�
�
�
� !
�
��
�
� �
��
� ��
�
�
�
� !
�
��
�
� �
��
� �
(6)
Onde:
!
�
� �� !
�
� �! (7)
�
�
� ��$%�� �
�
� ��&��
�
��
� ��
�
�&��� �
��
� �
�
�$%�
Sendo que o mo´dulo da forc¸a peso e´ P = mg = 10 N (onde g = 10 m/s�). Usando as componentes
acima na eq. 6 temos:
�
��
�
�&�� ���$%� � ��
�
�
�$%� ���&�� � ! � ��
(8)
Total de 0,4. Cada esquac¸a˜o vale 0,2.
A partir da primeira eq. das 8 obtem-se:
�
�
�
��$%� ���
�&��
(9)
E substituindo a eq. 9 na 8, obtemos o mo´dulo da normal:
� � !�&�� ����$%� (10)
Substituindo os dados do problema (m = 1 Kg, A = 2 m/s�, � = 30�) na equac¸a˜o anterior,
obtem-se:
� � 
�����
Total de 0,1.So´ ganha se chegar ao valor correto.
Finalmente substitu´indo eq. 10 em 9 obtemos para o mo´dulo da forc¸a de atrito:
�
�
� !�$%� ����&�� (11)
E substitu´indo os valores, obtem-se:
�
�
� �� 
���
9
Total de 0,1.So´ ganha se chegar ao valor correto.
Como o valor obtido e´ positivo, o sentido escolhido para a �
�
esta´ correto, indicando que
o bloco tende a “deslizar para baixo”. Pore´m, caso !
�
' �
�
, a �
��
obtida teria o sinal tro-
cado, indicando que o bloco tenderia a “escorregar para cima” da rampa.
Vale a pena notar, que na decomposic¸a˜o das forc¸as escolhemos um dos eixos coincidente a
acelerac¸a˜o do bloco (o eixo x). Esta escolha facilita a resoluc¸a˜o do problema.
item Escreva estas forc¸as em termos dos vetores unita´rios�� e �� representados na figura 4.
Em termos dos vetores unita´rios (veja a figura 4b) podemos escrever as forc¸as como sendo:
�
� � ��� ��
�
"� �� ��
�
(��
�
�
�
� ��
� ��
�
"� �� ��
�
(��
�
! � ����
�
(��
Total 0,5. As forc¸as com duas componentes valem 0,2 e as forc¸as com uma componente 0,1.
4. Para que valor do coeficiente de atrito esta´tico ) entre o bloco e o plano inclinado o bloco fica
na imineˆncia de deslizar?
Na imineˆncia de movimento, sabemos (cf. Mo´dulo 3, Aula 6, pag 117) que o atrito esta´tico e´
ma´ximo, dado pela expressa˜o:
�
�
� )� (12)
Onde ) e´ o coeficiente de atrito esta´tico. Usando as equac¸o˜es 10, 3 em 13, podemos determi-
nar o coeficiente ):
) �
!�$%� ����&��
!�&�� ����$%�
� (13)
Substitu´indo valores temos ) = 0.34.
Total de 0,1.
Questa˜o-5(2 pontos)
CADA VETOR DESENHADO VALE 0,1
Um proje´til e´ arremessado de uma altura 
 � �� ��� com uma velocidade ��
�
como mostra a
figura 5. O mo´dulo da velocidade inicial ��
�
do proje´til e´ 
� ����� e o aˆngulo que ela forma com a
horizontal e´ de ��� . Despreze a forc¸a que o ar exerce sobre o proje´til. Suponha que o referencial
esta´ na Terra.Considere o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade igual a ������.
10
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,2 0,4 0,6
y/m
x/m
vo
��
�
î
j^
O
Figura 5
r(0,2)
r(0,6)
d
Obs.:No gra´fico a componente y e´ dada em metros (m) e na˜o em segundos (s) como estava assinal-
ado na figura 5 da ad2 colocada na plataforma.
1. Escreva as coordenadas ��*� e ��*� do proje´til como func¸o˜es do tempo t.Escreva o vetor
posic¸a˜o �+�*�.
A velocidade inicial do proje´til e´ ��
�
, de mo´dulo 2 m/s. A decomposic¸a˜o dessa velocidade nas
coordenadas x e y nos da´
�
��
� �
�
�����
�
� �
��
� 
�
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��
� ����
0,1 pontos
�
�	
� �
�
��	��
�
� �
�	
� 
�
�
�
� �
�	
� �� �����
0,1 pontos
Como a posic¸a˜o inicial e´
�
�
� �� �
�
� ��
Podemos escrever as coordenadas x(t) e y(t):
���� � �
�
� �
��
�� ���� � �
0,1 pontos
���� � �
�
� �
�	
�
�
�
	
�
�
� ���� � � � �� ���� ��
�
0,1 pontos
����� � �����,� �����-� ����� � ��,� �� � �� ���� ��
�
��-
11
0,1 pontos
2. Escreva as componentes do vetor velocidade instantaˆnea �
�
�*� e �
�
�*� como func¸o˜es do tempo.
Escreva o vetor velocidade instantaˆnea ���*� como func¸a˜o do tempo em termos dos vetores
unita´rios�� e ��.
Usando os mesmos valores de velocidade inicial e acelerac¸a˜o do ı´tem anterior temos
�
�
��� � �
��
� �
�
��� � ����
0,1 pontos
�
	
��� � �
�	
� �
	
� �
	
��� � �� ��� ���
0,1 pontos
O vetor velocidade e´, portanto
����� � �
�
����,� �
	
����-� ����� � ��,� ��� ��� �����-
0,1 pontos
3. Desenhe na figura 5 os vetores posic¸a˜o do proje´til nos instantes de tempo * � �� ��� e * �
�� ��� . Escreva os vetores posic¸a˜o do proje´til nos instantes de tempo * � �� ��� e * � �� ���
em termos dos vetores unita´rios�� e �� .
Usando a equac¸a˜o para ����� obtida no ı´tem 1 obte´m-se as posic¸o˜es nos instantes t=0,40s e
t=0,60s:
����� ���� � �� ���,� �� � �� ����� ��� ���� ��
�
��-� ����� ���� � �� ���,� �� �
�-
0,1 pontos
����� ���� � �� ���,� �� � �� ����� ��� ���� ��
�
��-� ����� ���� � �� ���,� �� 
�-
0,1 pontos
4. Desenhe na figura 5 o vetor deslocamento entre os instantes * � �� ��� e * � �� ��� .Escreva o
vetor deslocamento entre os instantes * � �� ��� e * � �� ��� em termos dos vetores unita´rios
�� e ��.Calcule o vetor velocidade me´dia entre os instantes * � �� ��� e * � �� ��� em termos
dos vetores unita´rios�� e ��.Calcule o mo´dulo do vetor velocidade me´dia e o aˆngulo que ela faz
com o eixo ./ . Que relac¸a˜o existe entre as direc¸o˜es e os sentidos do vetor deslocamento e do
vetor velocidade me´dia? Justifique.
O vetor deslocamento de t=0,40s ate´ t=0,60s sera´:
��� �
�
 � ����� ���������� ����� ��� � ��� ���,� �� 
�-�� ��� ���,� �� �
�-�
0,1 pontos
��� � �� 
��,� �� ���-
0,1 pontos
12
O vetor velocidade me´dia entre os instantes t=0,40s e t=0,60s e´:
��
�
���
��
� ��
�
�� 
��,� �� ���-
�� 
�
� ��
����� � ��,� �� ���-
0,1 pontos
O mo´dulo do vetor velocidade me´dia e´:
���
� �
�
�
�
�
� �
�
	
� ���
� �
�
� � �� ��
�
� ���
� � �� ����
0,1 pontos
O aˆngulo � que o vetor faz com o eixo OX pode ser obtido pela relac¸a˜o entre as suas compo-
nentesx e y.
*�%� �
��
��
�
��
��
�
� *�%� � �� ��� � � ��
�
0,1 pontos
O vetor velocidade me´dia e´ o vetor deslocamento dividido por um nu´mero real (�*), esse
nu´mero real so´ alterara´ o mo´dulo do vetor deslocamento. Dessa forma os dois vetores pos-
suem mesma direc¸a˜o e sentido.
5. Calcule o vetor acelerac¸a˜o me´dia entre os instantes * � �� ��� e * � �� ��� em termos dos
vetores unita´rios�� e ��.
Usando a equac¸a˜o para ����� obtida no ı´tem 1 obte´m-se as velocidades nos instantes t=0,40s e
t=0,60s:
����� ���� � �� ���,� ��� ��� ���-� ����� ���� � �� ���,� 
� 
��-
����� ���� � �� ���,� ��� ��� ���-� ����� ���� � �� ���,� �� 
��-
��
����
�
� �
����� ����� ����� ����
�� 
� ����- ���
�
0,1 pontos
6. Em que instante do tempo o proje´til toca o cha˜o? Qual e´ o vetor velocidade do proje´til(em
termos dos vetores unita´rios �� e ��) imediatamente antes dele tocar o cha˜o? A que distaˆncia
horizontal do ponto de lanc¸amento o proje´til toca o cha˜o?
Quando o proje´til (no tempo *
�
) toca o cha˜o a componente y do vetor posic¸a˜o vale 0. Dessa
forma:
���
�
� � �� � � �� ���
�
� ��
�
� �� �
�
�
�� �� �
�
� � 
�
��
�
�
� �� ���
0,1 pontos
Imediatamente antes de tocar o cha˜o, o vetor velocidade sera´
����
�
� � ����� ���� � ��,� ��� ��� ����� ����-� ����� ���� � ��,� �� ��-
0,1 pontos
Ja´ a distaˆncia horizontal com qu ele toca o cha˜o e´ dada pala componente x do vetor posic¸a˜o
em �
�
:
���
�
� � �
�
� ���
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� � �� ���
0,1 pontos
13