Curvas clássicas em coordenadas polares

Prévia do material em texto

Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
1
CURVAS CURVAS 
CLCLÁÁSSICAS EM SSICAS EM 
COORDENADAS COORDENADAS 
POLARESPOLARES
LIMALIMAÇÇONON
• Curva de equação do tipo: r = a + bcosθ
ou r = a + bsenθ, onde a e b são números
reais diferentes de zero.
• A curva com equação do tipo r = a+bcosθ
é simétrica em relação ao eixo polar.
• A curva com equação do tipo r = a+bsenθ
é simétrica em relação ao eixo a 90°.
Exemplos:
Tipo1: |a| < |b|
(LIMAÇON 
COM LAÇO)
A) r = 1 + 2cosθ
−1 1 2 3
−2
−1
1
2
B) r = 1 − 2cosθ
−3 −2 −1 1 2
−2
−1
1
2
C) r = 2 − 3senθ
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
2
D) r = − 2 + 3senθ
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
Exemplos:
Tipo2: |a| = |b|
(CARDIÓIDE)
E) r = 2 + 2cosθ
−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
F) r = 2 − 2senθ
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
Exemplos:
Tipo3: |a| > |b|
(LIMAÇON 
SEM LAÇO)
G) r = 3 − 2cosθ
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
3
H) r = − 3 + 2senθ
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5 ROSROSÁÁCEACEA
• Curva de equação do tipo: r = acos(nθ) 
ou r = asen(nθ), com a ≠ 0 e n ∈ Z*, 
|n|≠1.
• Se n é par, então a rosácea tem 2n
pétalas e se n é ímpar, então a rosácea 
tem n pétalas.
• O espaçamento entre os eixos das 
pétalas é dado por 360°/p, onde p é o 
número de pétalas.
Exemplos:
A) r = 2cos(2θ)
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
B) r = 2sen(2θ)
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
C) r = 4sen(3θ)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
D) r = −4cos(5θ)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
4
D) r = 4cos(5θ)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
LEMNISCATALEMNISCATA
• Curva de equação do tipo: r2 = acos(2θ) 
ou r2 = asen(2θ), com a ≠ 0.
• Se a é positivo, então cos(2θ) e sen(2θ) 
devem ser positivos.
• Se a é negativo, então cos(2θ) e sen(2θ) 
devem ser negativos.
Exemplos:
A) r2 = 9cos(2θ)
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
B) r2 = 9sen(2θ)
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
C) r2 = − 4cos(2θ)
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
D) r2 = −4sen(2θ)
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
Geometria Analítica - Profa. Rosely Pestana
5
ESPIRAL DE ESPIRAL DE 
ARQUIMEDESARQUIMEDES
• Curva de equação do tipo r = aθ, com 
a ≠ 0.
• Considere um ponto em movimento 
retilíneo e uniforme (i.e., com velocidade 
constante). Agora, imagine que, ao 
mesmo tempo em que o ponto se desloca 
em linha reta, ele sofre uma rotação no 
sentido anti-horário (em relação à posição 
de partida) de um ângulo proporcional à
distância percorrida. Nesse caso, a 
trajetória do ponto — que antes era uma 
reta — passará a ser uma curva em 
espiral, chamada espiral de Arquimedes.
Exemplos:
A) r = θ
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
B) r = 2θ
−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
TRATRAÇÇADO RADO RÁÁPIDOPIDO
• O traçado rápido de curvas deve ser 
utilizado quando já sabemos qual é a curva
definida pela equação.
• Para o traçado rápido da limaçon é
suficiente determinar as interseções com os
eixos.
• Para o traçado rápido da rosácea é preciso
determinar o número de pétalas, o 
espaçamento entre os eixos das pétalas, as 
“pontas” das pétalas e a extensão (intervalo
de variação de θ e de r).
• Para o traçado rápido da lemniscata é
preciso determinar as “pontas” do laço e a 
extensão (intervalo de variação de θ e de r).
• Para o traçado rápido da espiral de 
Arquimedes atribua alguns valores para θ e 
ache os valores de r correspondentes.