AP2 2019.1 MDII Gabarito

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Me´todos Determin´ısticos II AP2 1a/2019
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1 [1,5 pontos]: Considere a func¸a˜o f(x) = x(x−1)2 . Calcule: (a) o dom´ınio de f(x); (b)
f ′(x) e (c) As assintotas.
Soluc¸a˜o: (a) O dom´ınio de f(x) sa˜o todos os x ∈ R− {1}.
(b) derivando
f ′(x) = 1(x− 1)
2 − x(2(x− 1))
(x− 1)4
=
(
x− 1
x− 1
)(
x− 1− 2x
(x− 1)3
)
= − x+ 1(x− 1)3 .
(c) Para encontrar as ass´ıntotas considere os seguintes limites:
lim
x→±∞
x
(x− 1)2 = limx→±∞
x
x2
(
1
1− 2/x+ 1/x2
)
= 0,
lim
x→1+
x
(x− 1)2 = +∞,
lim
x→1−
x
(x− 1)2 = +∞.
Questa˜o 2 [1,5 pontos]: Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a a ana´lise do sinal
de f ′(x) e calcule f ′′(x) depois fac¸a a analise do seu sinal.
Soluc¸a˜o: Veja que o sinal de f ′ depende tanto do sinal do numerador como do denominador.
Vamos colocar o sinal de menos no numerador, isto e´, −(x+ 1) = −x− 1 e temos
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Derivando mais uma vez temos
f ′′(x) = −(x− 1)
3 + (x+ 1)3(x− 1)2
(x− 1)6
= 2(x+ 2)(x− 1)4 .
Com respeito ao sinal da f ′′, basta ver que depende apenas do numerador.
Se x < −2⇒ f ′′(x) < 0 e se x > −2⇒ f ′′(x) > 0.
Questa˜o 3 [1,0 pontos]: Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento
de f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Como x = 1 e´ ass´ıntota vertical e y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal. Ale´m disso, a
func¸a˜o e´ decrescente entre (−∞,−1) ∪ (1,+∞) e crescente no restante dos pontos do dom´ınio. A
boca tem concavidade voltada para baixo se x ∈ (−2,+∞) e concavidade voltada para cima em
(−∞,−2).
Se calcularmos f(−2) = −29 , f(−1) = −14 , f(0) = 0 e f(2) = 2. Usando todos estes fatos podemos
concluir que o gra´fico e´ pro´ximo ao seguinte
Figura 1: Gra´fico de f(x) = x(x−1)2
Questa˜o 4 [2,4 pontos]: A receita na venda de um tipo de toalha de uma indu´stria teˆxtil e´
expressa por R(q) = −0, 001q2 + 10q, onde 0 ≤ q ≤ 10000. O custo de produc¸a˜o destas toalhas
e´ dado por C(q) = 2q + 12000. Determine: a) A func¸a˜o lucro L(q); b) Calcule os pontos cr´ıticos
de L(q) justificando se sa˜o de ma´ximo ou m´ınimo (local e ou global). Qual o valor que maximiza o
lucro? E qual seria o lucro neste caso?
Soluc¸a˜o: a) L(q) = R(q)− C(q) = −0, 001q2 + 10q − (2q + 12000) = −0, 001q2 + 8q − 12000,
com 0 ≤ q ≤ 10000.
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b) Derivando obtemos: L′(q) = −0, 0002q + 8. Fazendo L′(q) = 0 temos −0, 002q + 8 = 0,
q = 80,002 = 4000 que esta´ no intervalo de definic¸a˜o da func¸a˜o Lucro. Podemos analisar o sinal da
f ′, levando em conta que e´ uma func¸a˜o linear temos que e´ positiva para 0 ≤ q < 4000 e negativa
para 4000 < q ≤ 10000. Assim, temos que: quando 0 ≤ q < 4000, L sera´ crescente e quando
4000 < q ≤ 10000, L sera´ decrescente. Assim, (4000, L(4000)) e´ um ponto de ma´ximo local. Como
L(0) = −12000, L(4000) = −0, 001 · (4000)2 − 8 · 4000− 12000 = 4000 e L(10000) < 0. Enta˜o,
q = 4000 e´ onde o lucro e´ ma´ximo com lucro tambe´m igual a 4000.
Questa˜o 5 [1,8 pontos]: Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas curvas y = 2x, y =
x2 + x− 2, calcule a a´rea compreendida entre as curvas.
Soluc¸a˜o: Para encontrar os pontos onde as curvas se interceptam basta fazer 2x = x2 + x − 2,
da´ı, resolver x2 − x − 2 = 0 e obtemos x = −1 e x = 2. Para fazer o esboc¸o do gra´fico, basta
lembrar que y = 2x e´ uma reta que passa por (0, 0) e (1, 2), e y = x2 + x− 2 e´ uma para´bola com
boca voltada para cima e ra´ızes x = −2 e x = 1.
A partir do esboc¸o fica claro que a a´rea A que queremos determinar deve ser calculada por
A =
∫ 2
−1
2x− (x2 + x− 2) dx =
∫ 2
−1
−x2 + x+ 2 dx
=
[
−x
3
3 +
x2
2 + 2x
]2
−1
= −83 +
4
2 + 4−
(1
3 +
1
2 − 2
)
= −3 + 32 + 6 =
9
2 .
Questa˜o 6 [1,8 pontos]: Calcule as seguintes integrais: a)
∫
3x2 + 4x+ 1
x
dx, b)
∫
3
√
x(x− 1) dx.
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Soluc¸a˜o: a) Integrando ∫
3x2 + 4x+ 1
x
dx = x3 + 2x2 + ln(x) +K.
b) Integrando ∫
x1/3(x− 1) dx =
∫
(x4/3 − x1/3) dx = 37x
7/3 − 34x
4/3 + k.
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