Juros simples e composto

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JUROS
DEFINIÇÃO 
Definimos juros como a remuneração do capital, ou seja, é a remuneração da cessão da moeda a um terceiro; assim, juros seria a compensação em dinheiro, pelo uso de um capital financeiro, por um determinado tempo, a uma taxa combinada previamente.
Entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.
Taxa de juros é a percentagem que se recebe a mais por se ter aplicado determinada quantia a determinado prazo. Melhor explicando, taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre relacionada com a unidade de tempo.
Exemplos:
a) Determine a taxa de juros cobrada num empréstimo de R$ 100,00 a ser resgatado por R$140,00 no final de um ano.
Resolução:
Capital inicial = R$100,00
	 juros = R$ 140,00 - 100,00 = 40,00
taxa de juros = 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples é o tipo de juros (taxa de juros) que incide somente sobre o capital inicial, não incidindo, portanto sobre os juros acumulados, isto é, a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por trinta (30), se desejarmos uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicarmos esta por doze (12), e assim por diante.
Por exemplo, se você aplica R$ 100,00 a 5% no semestre, isso significa que daqui a seis meses você terá o direito de receber R$ 105,00.
É comum ouvirmos empresas interessadas em nos emprestar dinheiro alegando juros baixos. Juros são os valores que os emprestadores utilizam para remunerar o capital que nos emprestam. Desta feita, se em uma loja um produto custa R$ 120,00 e a empresa permite que você pague só após 30 dias com juros simples de 2%, você irá pagar os R$ 120,00 e mais R$ 2,40 que correspondem a 2% de R$ 120,00.
O juro simples é calculado pela fórmula: 
J = C.i.n
J = Juros		C = Capital		i = Taxa		n = Tempo
Devemos destacar que a taxa deve ser apresentada percentualmente e estar sempre relacionada com o tempo ou se o tempo é mensal a taxa deve ser ao mês, se anual, a taxa deve ser ao ano.
Exemplos:
Quanto rende de juros simples um capital de R$ 500,00 aplicados durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês?
Dados
E se a taxa for 9% ao ano?
 
9%		12 meses
x		1 mês
Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 4 meses a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados:
C=R$ 5.000,00
n= 4 meses
i=?
J=R$1.000,00
Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 400,00 para que renda R$ 50,00 de juros, sendo a taxa 2% a.m.?
Dados:
C=R$ 400,00
n= ?
i= 2% a.m = 0,02
J=R$ 50,00
Calcular o capital que, aplicado a taxa de 6% a.m., produz em 1 ano e 3 mês, juros de R$ 900,00.
Dados:
C=?
n= 1 ano e 3 meses = 15 meses
i= 6% a.m = 0,06
J=R$ 900,00
Considerações importantes
Existem duas formas de expressarmos a taxa de juros: - Taxa Percentual (%) e a Taxa Unitária. Esta última consiste em dividirmos a taxa percentual por 100. Assim, 3% (forma percentual é dada na forma unitária por 0.03). Os juros simples podem ser exatos (usa o calendário civil - ano com 365 ou 366 dias) e ordinários (usa o calendário comercial - ano com 360 dias e mês com 30 dias). Este último é usado nas instituições financeiras.
Montante
Depois de calculados os juros, o somamos ao capital invertido e obtemos o Montante.
M = C + JM = C(1 + i.n)
M = C + C . i . n
onde: M – Montante
	C – Capital
	 i – Taxa 
	 t – Tempo	
Exemplo:
Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 3000,00 à taxa de 1,2% a.m. durante 2 meses?
Dados:
C= R$ 3000,00
n= 2 meses
i= 1,2% a.m = 0,012
A qual taxa mensal um capital duplica em 4 anos?
Dados:
C= x
n= 4 anos
i= ?
M = 2x
Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano?
 Dados:
 M = 53.375,00
 C = 35.000,00
 i = 30% ao ano
 n = ?
 
Taxas Proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção direta com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Para determinar a taxa proporcional utilizamos a seguinte fórmula:
	
Exemplo: 
Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano
Solução: Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:
 isto é 2,5% a . m.
Taxas Equivalentes
Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
Exemplo: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00
à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses
à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres
Solução:
No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00
No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00
Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t., são taxas equivalentes.
Exercícios
Calcule:
a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.
A taxa diária proporcional a 18 % ao ano.
A taxa diária proporcional a 3% ao mês.
A taxa anual proporcional a 4,5 % ao mês.
A taxa anual proporcional a 0,03 % ao dia, considerando o ano civil.
Qual é o juro de uma aplicação de R$ 2500,00 a 10% a.m. após três meses?
Calcule o juro e o montante produzido por uma aplicação de R$ 1250,00 à taxa de 5% a.a. durante um ano.
Um capital de R$ 4000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: 
Juros 
	Montante
Qual será o Juro e o Montante de R$ 1800,00 a uma taxa de 20% ao ano, durante 2 anos e seis meses?
Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro?
Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28000,00, durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?
Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre.
Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juros?
Em quanto tempo R$ 120,00 aplicados a 15% a.a. produziriam juros simples de R$ 80,00?
A qual taxa mensal um capital quintuplica em 10 anos?
O capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses?
Um capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?
A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00 no sistema de juros simples, para que, depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00?
Uma aplicação financeira de R$ 2.500,00 a juros simples gerou, 6 meses depois um montante de R$ 2.920,00. Qual a taxa anual de aplicação?
Gabarito
2,4% a . m – b. 0,05 % a.d. – c. 0,1 % a.d. – d. 54 % a.a. – e. 10,95 % a.a.
J = 750,00
 J = R$62,50	M = 1312,50
 a. 180 b, 4180
J = R$900,00	M = R$2700,00
C = 9800,00
M = 40600,00
R$ 420.000,00
n = 1,375 anos
n ≈ 4,44 anos
40% a.a
 R$ 609,50 
 4 anos
 3%a.m.
33,6%a.a.
JUROS COMPOSTOS 
No regime de juros compostos os juros são capitalizados, ou seja, apropriados ao capital inicial a cada período, de forma que o capital muda na passagem de cada período de capitalização.
Pode-se entender também que a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.
Neste sistema de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.
Vamos considerar um capital C aplicado a juros compostos, a uma taxa i por período e durante n períodos de tempo. Vamos calcular o montante dessa aplicação.
Temos:
Montante após 1 período:
M1 = C + C . i = C(1 + i)
Montante após 2 período
M2 = M1 + M1.C = M1(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)2
Montante após 3 período
M3 = M2 + M2. i = M2(1 + i) = C(1 + i)2(1 + i) = C(1 + i)3
...
Montante após n período
	Mn = Mn - 1 + Mn – 1 . i = Mn – 1(1 + i) = C(1 + i)n -1 . (1 + i)
Em resumo:
M = C(1 + i)n
Exemplos
Uma capital de R$ 5000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 2% a.m. Qual o montante se os prazos de aplicação forem:
5 meses 			b. 2 anos
 	Resolução:
Seja:
C = R$ 5000,00
i = 2%a.m.
n = 5 meses
temos:
M = C.(1 + i)n
M = 5000.(1 + 0,02)5 = 5000.1,025 = R$5520,40
Seja:
C = R$ 5000,00
 i = 2%a.m.
 n = 24 meses (pois n deve ser expresso em meses) 
temos:
M = C.(1 + i)n
M = 5000.(1 + 0,02)24 = 5000 1,0224 = R$8042,19
Qual o capital que deve aplicado a juros compostos durante 5 meses e a taxa de 1,5%a.m. para resultar em um montante de R$ 12000,00?
Seja C o capital aplicado. Devemos ter:
M = C.(1 + i)n 
12000 = C.(1 + 0,015)5
Portanto:
Um capital de R$ 2000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 2200,00. Qual a taxa mensal de juros da aplicação
Designando por i a taxa mensal procurada, devemos ter:
Durante quanto tempo um capital de R$ 2000,00 deve ser aplicado a juros compostos e à taxa de 1,5%a.m. para gerar um montante de R$ 2236,28?
Seja n o prazo procurado. Então:
 
Colocando o logaritmo decimal de ambos os membros, teremos:
Da fórmula geral do montante , obtemos:
; ; 
Exercícios
Qual o montante de uma aplicação de R$3.000,00 a juros compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.?
Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$80000,00 pelo prazo de 1 ano. Calcule o montante pago sabendo que o banco cobrou juros compostos à taxa de 5%a.t.
Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.
João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:
Um investidor aplicou R$ 12000,00 a juros compostos, durante 2 anos, à taxa de 1,5% a.m.. Qual o valor dos juros recebidos?
Uma empresa obtém um empréstimo de 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado?
Jose Luis aplicou R$12000,00 por 10 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 1,4% a.m. Qual o montante recebido?
Qual o capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., durante 8 meses, para dar um montante de R$ 6000,00?
Cristina tem uma dívida de R$ 10000,00 que vence no prazo de 5 meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de 1,2% a.m., para poder pagar a dívida?
Uma carteira de investimento rende 2% ao mês. Depois de três meses, R$ 1500, aplicados cumulativamente nessa carteira valem aproximadamente x reais. Determine o valor de x.
O Sr. Fontana pretende abrir mais uma farmácia dentro de 2 anos, em sua rede de farmácias. Para isso, ele precisará ter R$120.000,00 daqui a 2 anos. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de 1,6% a.m., para atingir seu objetivo?
Um capital de R$ 2000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 8 meses, gerando um montante de R$ 2400,00. Qual a taxa mensal de juros compostos?
A que taxa trimestral de juros compostos um capital deve ser aplicado durante 1 ano e 4 meses para que duplique seu valor? (Sugestão: considere o Capital = x e o Montante = 2x)
Cesar aplicou R$ 600,00 a juros compostos, durante 2 anos e 8 meses, recebeu um montante de R$ 1500,00. Qual a taxa mensal de juros?
Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses, obtendo-se o montante de R$ 5.890,00. Calcule a taxa mensal de aplicação.
Durante quanto tempo um capital de R$ 5000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,9% a.m., para se obter um montante de R$ 7000,00? (Dados log 1,4 = 0,14612, log 1,019 = 0,00817).
Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre? (Dados log 1,15 = 0,06069, log 2,0113 = 0,30348)
Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00. (Dados log 1,03 = 0,01283, log 2 = 0,30102
Gabarito:
Obs: (lembre que o resultado pode ser ligeiramente diferente dependendo do número de casas decimais utilizadas para arredondamento)
R$ 3447,47
R$ 97240,50
M =2343,31
J = 1664,00
R$ 5154,03
1.708.984,37
R$ 13789,88 
R$ 5201,98 
R$ 9421,01
R$ 1591,81
R$ 81984,59
2,3% a.m.
4,42 % a.m.
2,9 %a.m.
31 % a.m.
17,88 meses (aproximadamente 536 dias)
5 semestres
23,5 meses
DESCONTOS
Quando um comprador efetua uma compra de muitas unidades de um produto, é comum que ele peça um abatimento no preço por unidade. Esse abatimento é chamado desconto. O pedido de desconto ocorre também quando o comprador, tendo um prazo para o pagamento de um produto, propõe o pagamento à vista, desde que haja abatimento no preço. O pedido de desconto também pode ocorrer quando o comprador tenta pagar menos por algum produto ou serviço.
Existe ainda o conceito de desconto de título, muito empregado por empresas. Suponhamos que uma empresa faça uma venda de R$15000,00 para outra empresa, concedendo um prazo de 2 meses para o pagamento. Nesse caso, o vendedor emite um documento chamado duplicata, que lhe dará o direito de cobrar o valor de R$15000,00 do comprador dentro de 2 meses.
Caso o vendedor necessite do dinheiro antes do vencimento da duplicata, ele pode ir a um banco e efetuar o desconto da duplicata. O procedimento consiste em a empresa ceder o direito do recebimento da duplicata para o banco, em troca recebendo do banco um valor menor que o valor da duplicata. Digamos, por exemplo, que a duplicata de R$15000,00 seja descontada 1 mês antes do vencimento e que a empresa receba do banco R$14800,00 nessa data. Assim em troca de um adiantamento de R$14800,00, o banco fica com o direito de receber a duplicata de R$15000,00 e o valor de R$14800,00 adiantado pelo banco é chamado de desconto da duplicata.
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.
A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma
aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional (desconto por dentro), e o desconto comercial simples (desconto por fora).
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU DESCONTO “POR FORA”
	
Podemos definir como sendo o valor que se obtém pelo cálculo do juros simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento. 
Fórmula
	onde:
Dc = Desconto Comercial
N = Valor Nominal
i = Taxa
n = Período de Tempo
Valor Atual Comercial
Exemplos:
Uma pessoa pretende saldar um título de R$5500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter?
Solução:
Temos: 
	N = R$5500,00
	n = 3 meses
Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
Determinação do desconto comercial
Determinação do valor descontado comercial ( Valor Atual)
Uma duplicata de R$ 8000,00, foi resgatada 160 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 400,00 de descontopor fora . Qual taxa anual usada na operação?
N = R$ 5400,00
n = 160 dias
DC = R$ 400,00
i = ?
Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata?
 Dados: 
 N = 6.800,00
 VA = 6.000,00
 i = 3,2% ao mês
 n = ?
 Solução: 
 DC = N - VA 
 DC = 6.800,00 - 6.000,00 
 DC = 800,00
Calcular o valor atual de um título de crédito no valor de R$ 1200,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 4% a.m. 120 dias antes do vencimento.
Exercícios
Calcular o desconto comercial das hipóteses seguintes:
	
	Valor Nominal 
	Taxa
	Prazo até Vencimento
	a.
	R$ 12500,00
	37%a.a.
	250 dias
	b.
	R$ 18000,00
	35%a.a.
	3 meses
	c.
	R$ 20000,00
	28%a.a.
	8 meses
	d.
	R$ 22000,00
	27%a.a.
	4 meses e 12 dias
Determine o valor descontado (valor atual comercial) das hipóteses apresentadas no exercício anterior.
Calcule o valor nominal de certa nota promissória que, descontada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00.
Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial?
Se o desconto comercial for de R$ 1125,00, qual será o valor nominal, se a taxa considerada for de 27% a.a. e o prazo de antecedência 100 dias?
Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 18266,67, qual seria seu valor nominal?
O valor atual de um título é de R$ 23600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a. e o prazo de antecipação de 72 dias. Pergunta-se: Qual é o desconto comercial?
Se a taxa de juros corrente for de 30% a.a., qual será o valor atual comercial se o desconto de um título no valor de R$18000,00 ocorrer 90 dias antes de seu vencimento?