Espaço_de_Estados

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Unidade 5
Sistemas de Controle no Espac¸o de Estados
Prof.: Marcelo A Oliveira
2018
Considerac¸o˜es iniciais
Sistemas complexos modernos: podem ter muitas entradas e sa´ıdas,
que podem estar inter-relacionadas.
Teoria de Controle Convencional: baseia-se na relac¸a˜o entrada/sa´ıda
do sistema, ou seja, na func¸a˜o de transfereˆncia (FT).
Teoria de Controle Moderna:
• E´ fundamentada em representac¸a˜o matricial de um sistema, obtida
a partir da equac¸a˜o diferencial de ordem n que o descreve, com n
equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem;
• Esta representac¸a˜o baseia-se no teorema pelo qual uma equac¸a˜o dife-
rencial de ordem n pode ser descrita por n equac¸o˜es diferenciais de
primeira ordem, a partir de uma escolha conveniente de varia´veis de-
nominadas estados do sistema;
• n representa a ordem do sistema (em geral, igual ao grau da equac¸a˜o
caracter´ıstica da respectiva FT que descreve o sistema).
Equac¸o˜es no Espac¸o de Estados
A ana´lise no espac¸o de estados envolve treˆs tipos de varia´veis na modelagem
de sistemas dinaˆmicos: varia´veis de entrada, de sa´ıda e de estado.
Varia´veis de Estado: sa˜o as grandezas cujo conjunto de valores deter-
mina o estado do sistema.
Estado de um sistema dinaˆmico: e´ o menor conjunto de valores de
varia´veis (chamadas varia´veis de estado) de forma que o conhecimento dos
valores dessas varia´veis em t = t0 junto com o conhecimento dos valores do
sinal de entrada para t ≥ t0 determina completamente o comportamento do
sistema em qualquer instante t ≥ t0 .
De uma forma geral, o equacionamento matricial de um dado sistema e´
representado por:
Representac¸a˜o em Espac¸o de Estados:
{
x˙ = Ax+Bu
y = Cx+Du
(1)
onde:
• x e´ o vetor de estados do sistema, de dimensa˜o (n X 1);
1
• u e´ o vetor de entrada do sistema de dimensa˜o (1 X 1) no caso SISO
e (r X 1) no caso MIMO;
• y e´ o vetor de sa´ıda do sistema (1 X 1) ou (m X 1);
• A e´ a matriz dinaˆmica ou de transic¸a˜o de estados (n X n);
• B e´ a matriz de entrada do sistema (n X 1);
• C e´ a matriz de sa´ıda (1 X n);
• D e´ a matriz de transmissa˜o direta (escalar).
Obs.: o aumento no nu´mero de varia´veis de estado, do nu´mero de entradas
ou do nu´mero de sa´ıdas na˜o aumenta a complexidade das equac¸o˜es.
Exemplo 1: Representac¸a˜o em espac¸o de estado de um circuito.
2
.
3
Exemplo 2: Representac¸a˜o em espac¸o de estado de um sistema mecaˆnico.
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Obtenc¸a˜o da FT de um sistema a partir de sua representac¸a˜o
em Espac¸o de Estados
Aplicando Transformada de Laplace em (1):{
sX(s)−X(0) = AX(s) +BU(s)
Y (s) = CX(s) +DU(s)
Supondo X(0) = 0 :
[sI − A]X(s) = BU(s)
X(s) = [sI − A]−1BU(s)
Substituindo X(s) em Y (s) :
Y (s) = C[sI − A]−1BU(s) +DU(s)
Logo a FT do sistema e´ dada por:
Y (s)
U(s)
= C[sI − A]−1B +D
Exemplo 3:
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Obtenc¸a˜o de uma representac¸a˜o em Espac¸o de Estados a partir
de uma FT: representac¸a˜o no Espac¸o de Estados sob formas canoˆnicas.
Considere um sistema cuja FT correspondente e´ dada por:
G(s) =
b0s
n + b1s
n−1 + ...+ bn−1s+ bn
sn + a1sn−1 + ...+ an−1s+ an
(2)
Esta FT pode ser descrita por n equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem
mediante escolha conveniente dos estados (esta escolha na˜o e´ u´nica).
Pergunta: O que todas estas representac¸o˜es possuem em comum?
Existem algumas representac¸o˜es especiais da FT apresentada em (2) de-
nominadas formas canoˆnicas:
1) Forma Canoˆnica Controla´vel.
Esta forma canoˆnica e´ importante quando se trata do projeto de controle
moderno por meio de alocac¸a˜o de polos (fo´rmula de Ackerman).
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2) Forma Canoˆnica Observa´vel.
Observe que esta forma e´ dual da anterior.
3) Forma Canoˆnica Diagonal.
A matriz A e´ escrita em func¸a˜o de seus autovalores (ra´ızes da equac¸a˜o
caracter´ıstica).
No caso de a FT definida em (2) possuir apenas polos distintos, a mesma
pode ser escrita como:
G(s) =
b0s
n + b1s
n−1 + · · ·+ bn−1s+ bn
(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pn) (3)
A FT em (3) pode ser decomposta em frac¸o˜es parciais:
G(s) = b0 +
c1
s+ p1
+
c2
s+ p2
+ · · ·+ cn
s+ pn
(4)
em que os valores ci sa˜o denominados res´ıduos.
A representac¸a˜o diagonal e´ dada por:
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Observe que as treˆs representac¸o˜es citadas representam o mesmo sistema
e possuem a mesma FT.
4) Forma Canoˆnica de Jordan.
E´ utilizada quando a equac¸a˜o caracter´ıstica possui ra´ızes mu´ltiplas.
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Exemplo 4: Seja o seguinte sistema:
G(s) =
s+ 3
s2 + 3s+ 2
Represente-o sob as formas canoˆnicas controla´vel, observa´vel e diagonal.
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.
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Autovalores de uma Matriz AnXn
Seja λ um autovalor e v um autovetor associado de A. Enta˜o:
Av = λv
(λI − A)v = 0
Como v e´ na˜o-nulo, enta˜o | λI − A |= 0.
Os autovalores de A sa˜o tambe´m chamados de ra´ızes caracter´ısticas, pois
sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica (polos) da respectiva FT.
Exemplo 5:
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Transformac¸a˜o de Modelos de um Sistemas com
Matlab
Seja a FT dada por:
O comando tf2ss do matlab fornece:
[A,B,C,D] = tf2ss(num, den)
Ou seja, passou-se do domı´nio da frequeˆncia para o temporal.
Analogamente, o comando ss2tf fornece:
[num, den] = ss2tf(a,B,C,D)
Resumo:
Controlabilidade de um Sistema
Um sistema e´ dito controla´vel no instante t = t0 se for poss´ıvel, por meio de
um vetor de controle na˜o limitado qualquer, transferir o sistema de qualquer
estado inicial x(t0) para outro estado, em um intervalo de tempo finito.
A condic¸a˜o para que o sistema x˙ = Ax + Bu seja controla´vel e´ dada a
seguir:
O sistema e´ controla´vel se e somente se os vetores B,AB, · · · , An−1B
forem linearmente independentes, ou seja, se a matriz de controlabilidade
C = [B | AB | · · · | An−1B]
for de posto n.
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Exemplo 6:
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Exemplo 7:
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Observabilidade de um Sistema
Um sistema e´ dito (completamente) observa´vel se qualquer estado x(t) pode
ser determinado a partir da observac¸a˜o de y(t) durante um intervalo de
tempo finito.
A condic¸a˜o para que um sistema seja observa´vel e´ dada a seguir:
O sistema e´ observa´vel se e somente se os vetores C,CA, · · · , CAn−1
forem linearmente independentes, ou seja, se a matriz de observabilidade
O =

C
CA
...
CAn−1

for de posto n.
Exemplo 8:
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Projeto de Sistemas de Controle no Espac¸o de
Estados
Te´cnica de Alocac¸a˜o de Polos
• Projeto Convencional: especificac¸a˜o de polos a MF dominantes.
• Projeto de Alocac¸a˜o de Polos: especificac¸a˜o de todos os polos de
MF.
Condic¸a˜o: o sistema deve ser completamente controla´vel.
Seja o sistema de controle: x˙ = Ax+Bu
Define-se o sinal de controle u a ser realimentado como sendo u = −kx ,
ou seja, u e´ determinado pelo estado instantaˆneo. Esta te´cnica e´ chamada
de ”Retroac¸a˜o de Estado”.
SISTEMA EM MA
SISTEMA EM MF
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OBS
FO´RMULA DE ACKERMANN
Exemplo 9:
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Refereˆncias
Ogata,Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5 aEd. Pearson, 2010.
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