Resumo Cônicas

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Resumo Geometria Analítica 
 Cônicas 
Material desenvolvido por Manuela Andrade. 
 
As seções cônicas são chamadas assim, pois resultam da interseção de um plano 
com um cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Elipse 
 
 
 
 
A equação geral da elipse é: 
 𝑥 − 𝑥0 
2
𝑎2
+
 𝑦 − 𝑦0 
2
𝑏2
= 1 
Em que (𝑥0, 𝑦0) é o centro da elipse. 
Se a = b, a cônica passa a ser uma círculo. 
A equação geral do círculo é 
 𝑥 − 𝑥0 
2 + 𝑦 − 𝑦0 
2 = 𝑟² 
Em que r = a =b. 
 
 
 
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 Cônicas 
Material desenvolvido por Manuela Andrade. 
II. Hipérbole 
 
 
A equação geral da hipérbole é: 
 𝑥 − 𝑥0 
2
𝑎2
−
 𝑦 − 𝑦0 
2
𝑏2
= 1 
Em que (𝑥0, 𝑦0) é o centro da hipérbole. 
As retas assíntotas auxiliam no esboço da hipérbole e são muito úteis, devido ao seu 
posicionamento especial em relação a ela. São dadas por: 
𝑟1 = −
𝑏
𝑎
𝑥 ; 𝑟2 = 
𝑏
𝑎
𝑥 
III. Parábola 
 
 
A equação geral da parábola é: 
 𝑦 − 𝑦0 
2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑥0) 
Em que (𝑥0, 𝑦0) é o vértice da parábola. 
 
aa)) FF11 ee FF22 ssããoo ooss ffooccooss ddaa hhiippéérrbboollee,, sseennddoo 
FF11FF22 == 22cc aa ddiissttâânncciiaa ffooccaall.. 
bb)) AA11 ee AA22 ssããoo ooss vvéérrttiicceess ddaa hhiippéérrbboollee,, sseennddoo 
AA11 AA22 == 22aa .. 
cc)) BB11 BB22 == 22bb.. 
dd)) OO éé oo cceennttrroo ddaa hhiippéérrbboollee.. 
ee)) OO nnúúmmeerroo ee == cc//aa aa eexxcceennttrriicciiddaaddee ddaa 
hhiippéérrbboollee.. 
ff)) aa²²++bb²²==cc²² oouu bb²²== cc²² -- aa²² 
 
F é o foco 
r é a diretriz 
V é o vértice 
A distância entre o foco e a diretriz é 
2p. 
 é o eixo das simetrias 
p 
p 
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Translação, Rotação e Eliminação do Termo Misto 
 
Embora cada cônica tenha sua equação, existe uma equação geral para as cônicas e 
é dada por: 
𝐴𝑥² + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦² + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
 
A partir dessa equação é possível deduzir a partir do discriminante qual a cônica em 
questão. 
Considere que ∆ = 𝐵² − 4𝐴𝐶, se 
 
Δ ≠0 
vazio, ponto, circunferência, elipse, hipérbole ou reunião de duas retas 
concorrentes. 
Δ =0 vazio,parábola, reta ou reunião de duas retas paralelas 
 
Se B=0, a cônica pode estar no máximo transladada, ou seja, está centralizada fora da 
origem. Isso pode ser resolvido através do método de completar quadrados para 
deixar a equação em sua forma canônica. 
 Entretanto, se B ≠ 0, a cônica pode estar transladada e rotacionada.Nesse caso, na 
equação geral da cônica haverá um termo misto e pode ser solucionado da seguinte 
maneira. 
 CASO 1 
DICA: Calcule sempre o Δ para deduzir qual cônica será. 
 
1º Passo: Determinar o ângulo da rotação através das seguintes relações: 
𝑐𝑜𝑡𝑔 2𝜃 =
𝐴 − 𝐶
𝐵
 
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 =
1
 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔² 2𝜃
 
2° Passo: Resolver o seguinte sistema linear: 
 
𝐴′ + 𝐶′ = 𝐴 + 𝐶
𝐴′ − 𝐶′ =
𝐵
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
 
3° Passo: Obter os novos coeficientes 
 
 
𝐷′ = 𝐷𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝐸𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝐸′ = −𝐷𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝐸𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
𝐹′ = 𝐹 
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Com isso, teremos B’=0 e substituímos os termos para obter uma nova equação mais 
fácil de identificar uma cônica. Talvez seja preciso transladar. 
4º Passo (se necessário) : Escrever a relação no sistema xOy, resolvendo o seguinte 
sistema: 
 
 
𝑢 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑣 = −𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃
 
𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = 𝑢𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
 
 
Relações trigonométricas importantes 
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 
𝑐𝑜𝑠²𝜃 − 𝑠𝑒𝑛²𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝑐𝑜𝑠²𝜃 + 𝑠𝑒𝑛²2𝜃 = 1 
 
 
 
Questões de prova 
 
2017.1 – QUESTÃO 1 
2015.1 – QUESTÃO 1 
2015.1 – QUESTÃO 2 
2016.1 – QUESTÃO 1 
2016.2 - QUESTÃO 1 
2017.2 – QUESTÃO 1 
2018.1 – QUESTÃO 1