Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidade

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Variáveis aleatórias (v.a)
1 – Definição:
Uma função cujo valor é um número real determinado por cada elemento do espaço amostral é chamado de variável aleatória (v.a). Em outras palavras, variável aleatória é uma função que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
Observação:
Letras maiúsculoas (X, Y, Z, etc) são usadas para representar a variável aleatória;
Letras minúsculas (x, y, z, etc) representam um dos valores da variável aleatória.
Exemplo: Duas peças são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém quatro peças boas (B) e 3 defeituosas (D).
Espaço amostral: S={BB, BD, DB, DD}
Seja a variável aleatória Y= nº de peças boas retiradas => S* = {0,1,2}
Fazendo uma correspondência entre S e S*
	Evento Simples
	Y=y
	BB
	2
	BD
	1
	DB
	1
	DD
	0
Fonte: Peternelli, 2007
Podemos ter variáveis aleatórias:
Discreta: É aquela que pode assumir valores finitos ou infinitos numerável.
Exemplos: 
X = número de clientes que entram em um supermercado entre 10h e 12h com valores: 0, 1, 2,3 ....
Y = número de carros que chegam durante um período de um dia; Y={0,1,2, ...}
Contínua: È a variável que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo. Resultados experimentais que se baseiam em escalas de medidas como tempo, peso, distância e temperatura podem ser descritos por meio de variáveis aleatórias contínuas.
Exemplo :
X = altura dos alunos ; X={1,60; 1,68; 1,85;1,56; ....}
Y = tempo em minutos entre chamadas consecutivas ; Y = {0; 1,26; 2,25; 4,33, ....}
 2 – Função de probabilidade
 
	Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1, x2, x3, x4, ... seus possíveis valores. A cada resultado xi associaremos um número p(xi)= P(X=xi), denominado probabilidade de xi, tal que:
Essa função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares [xi, p(xi)], i = 1, 2, ..., e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula.
Exemplo: Seja E = lançamento de um dado viciado de tal forma que a probabilidade é proporcional ao valor obtido no lançamento.
3 – Esperança matemática ou valor esperado de uma variável aleatória discreta
	Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x1, x2, ..., xk com probabilidades p(x1), p(x2), ..., p(xk), respectivamente, sendo , a esperança matemática de X , representada por E(X) é dada por:,
 ou seja
	X = xi
	x1
	x2
	...
	xk
	
	P(X = xi)
	p(x1)
	p(x2)
	...
	p(xk)
	1
4 – Propriedades da Esperança matemática
Obs: A idéia de independência entre eventos pode ser aplicada às variáveis aleatórias, no sentido que os resultados obtidos em uma variável não sofrem influência dos resultados obtidos na outra.
5 – Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta
ou ainda,
onde:
O desvio padrão é igual a raiz quadrada positiva da variância.
6 – Propriedades da variância
Exemplo:
1. A empresa equilibrada S.A. vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão anotados a seguir
	Produto
	A
	B
	C
	Lucro Unitário (R$)
	15
	20
	10
	Probabilidade de Venda
	0,20
	0,30
	0,50
Pede-se:
a) O Lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão. (Resp: E(X)=14; Var(X)=19 e desvio padrão=4,36)
b) O lucro total esperado num mês em que foram vendidas 5000 unidades. Resp:70000
2. Os valores esperados dos retornos dos ativos A e B da Norman Company são apresentados nas tabelas abaixo:
	Ativo A
	Resultados possíveis
	Probabilidade
	Retornos (%)
	Pessimista
	0,25
	13
	Mais provável
	0,50
	15
	Otimista
	0,25
	17
	Total
	1
	
	Ativo B
	Resultados possíveis
	Probabilidade
	Retornos (%)
	Pessimista
	0,25
	7
	Mais provável
	0,50
	15
	Otimista
	0,25
	23
	Total
	1
	
a) Calcule o retorno médio para cada ativo;
b) Calcule o desvio padrão para cada ativo;
c) O que podemos concluir analisando os retornos médios e os desvios-padrão.
(Fonte: GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 10ed. Pearson)
7 – Variável aleatória contínua – Função densidade de probabilidade
	Considere o experimento que consiste em selecionar, ao acaso, uma peça da produção de uma máquina e determinar o valor do comprimento da peça em milímetros.
	X – v.a X= comprimento da peça e pode assumir um valor qualquer em um determinado intervalo da reta real, sendo, portanto, uma variável contínua.
	No caso de variável aleatória contínua (v. a.c) somente terão interesse as probabilidades que a variável aleatória assuma valores em dados intervalos. Tais probabilidades poderão ser determinadas com o conhecimento da função densidade de probabilidade da variável aleatória.
	Chama-se função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória contínua X, a função f(x) que atende às seguintes condições:
Modelos de distribuições discretas de probabilidade
Distribuição de “Bernoulli”
	Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (se acontecer o evento de interesse) ou um fracasso (o evento que não se realiza).
	Seja X a variável aleatória: sucesso ou fracasso.
	
	 
	Diz –se que esta variável, assim definida, tem uma distribuição de “Bernoulli”.
	Suas principais características são;
	Média: 
	Variância: 
Distribuição Binomial
	Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados (sucesso ou fracasso). Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:
n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas (ou seja, são realizadas n provas de Bernoulli);
cada prova admite dois resultados: sucesso ou fracasso;
a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1- p=q
	Define-se a variável X como o número de sucesso das n provas. Logo, X pode assumir os valores 0,1,2, ..., n.
	A obtenção da probabilidade associada ao fato de encontrar x eventos com sucesso em uma amostra formada por n eventos possíveis pode ser apresentada por meio da seguinte equação:
Onde:
p - probabilidade de sucesso;
q= 1-p - probabilidade de fracasso;
n – número de eventos estudados (tamanho da amostra)
Valor esperado (média) de uma variável aleatória X Binomial
E(X)= np
Var(X)= npq
Exemplo: 
1) Imagine que a probabilidade de uma duplicata ser paga em dia seja igual a 70%. Considere n= 6 duplicatas. Pede-se:
a) A probabilidade de todas serem pagas com atraso.
b) A probabilidade de apenas uma ser paga em dia.
c) A probabilidade de todas serem pagas em dia.
2) Uma empresa comercial calcula que 5% de suas vendas não são recebidas em função do recebimento de cheques sem fundos. Ao analisar uma amostra formada por oito vendas, qual a probabilidade de:
a) Todas serem pagas.
b) Uma ou duas serem pagas.
c) Pelo menos três vendas serem pagas?
d) Todas as vendas não serem pagas?
3) A professora de Estatística resolve dar uma prova de múltipla escolha com 10 questões, sendo 4 alternativas em cada questão. Os alunos que farão a prova, não assistem aula ou não estudaram. A professora diz que para o aluno ser aprovado deverá acertar 6 questões ou mais. Se 100 alunos farão a prova quantos alunos a professora espera aprovar? Resp: aproximadamente 2 alunos.
Distribuição de Poisson
	
	A distribuição de Poisson consiste em uma distribuição discreta de probabilidade, comumente empregada para descrever a probabilidade do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo, geralmente tempo ou espaço. Geralmente se conhece o número de sucessos, porém se torna difícil e, às vezes, sem sentido determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Por exemplo: Automóveisque passam numa esquina. Pode-se num intervalo de tempo anotar o número de carros que passam, porém, o número de carros que deixaram de passar pela esquina não pode ser determinado.
	A característica da distribuição de Poisson consiste no fato de permitir a contagem do sucesso e não a contagem das falhas. Eis alguns exemplos:
a) número de clientes que entraram em uma loja durante certo intervalo de tempo;
b) o número de acidentes registrados por uma central de polícia em um dia;
c) o número de chamadas telefônicas recebidas em uma hora;
d) número de defeitos por metro quadrado.
	A distribuição de Poisson fica completamente caracterizada por um único parâmetro, a média do processo, (ou algumas vezes representado por ).
	 A fórmula para se determinar a probabilidade de ocorrência de um determinado número X de sucessos segundo a distribuição de Poisson pode ser representada como:
Onde:
X – variável aleatória discreta representando o número de sucesso.
x – o número de sucessos no intervalo desejado.
 - letra grega “lambda”, que representa o número médio de sucessos em um determinado intervalo de tempo ou espaço.
e – constante cujo valor aproximado é 2,718
Valor esperado (média) e variância
Exemplo:
1) Na revisão tipográfica de um livro achou-se em média, 1,5 erros por página. Das 800 páginas do livro, estime quantas não apresentam erro. Resp: 179 páginas
2) Em média há 2 chamadas por hora num certo telefone. Calculara probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em 2 horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos. Resp: 0,4331 e 0,0498
1
Modelo de distribuição de variáveis aleatórias contínuas
Distribuição Normal
É a mais empregada e difundida distribuição teórica de probabilidade. Também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace o Laplace-Gauss.
1. Definição: Seja X a v.a.c. Dizemos que X tem uma distribuição normal se possuir a seguinte fdp:
Onde: 
x – variável normalmente distribuída; 
 - desvio padrão populacional
 - média populacional
e – base dos logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é 2,71828
Observação: Indicaremos, resumidamente, que a variável aleatória X tem distribuição normal com média e variância por .
2. Representação Gráfica
3. Características da curva normal
É simétrica em torno da média;
A curva não chega a tocar no eixo das abscissas, variando de a (ou seja, é assintótica em relação ao eixo x);
A área sob a curva corresponde a proporção 1 ou à percentagem 100%;
Possui um ponto de máximo para ;
A distribuição dica delimitada pelo seu desvio padrão e sua média.
4. Variável Normal Padronizada Z.
	O uso de Z permite calcular probabilidades com auxílio de tabelas padronizadas que tornam os cálculos mais simples e dispensam o uso de integrais definidas.
Onde:
X- v.a. normal;
5. Cálculo de Probabilidades a partir de valores
Exemplo: Sabe-se que os pontos obtidos por diferentes candidatos em um concurso público seguem uma distribuição aproximadamente normal, com média igual a 140 e desvio padrão igual a 20. Qual é a probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso obter:
a) Uma pontuação entre 140 e 165,60 pontos?
b) Uma pontuação entre 127,4 e 140 pontos?
c) Uma pontuação entre 117,2 e 157 pontos?
d) Uma nota inferior a 127 pontos?
e) Uma nota superior a 174,2 pontos?
f) Uma nota inferior a 167,4 pontos?
g) Uma nota entre 155,4 e 168,4 pontos?
6. Cálculo de valores a partir de probabilidades
Exemplo: Considere, ainda em relação ao exemplo anterior, que um pesquisador precisasse definir uma nota de corte Xc, de tal forma que:
a) Entre a média e Xc estivessem 27,04% dos candidatos;
b) Nota de corte fosse superada por apenas 1% dos candidatos;
c) Nota de corte fosse superada por 97% dos candidatos;
d) . Pede-se Li e Ls.( Obs: limite central é simétrico.)
Lista de exercícios
1 – A probabilidade de um funcionário das Metalúrgicas Bigorna Ltda. ser promovido a gerente com menos de cinco anos de trabalho na empresa é igual 7,5%. Calcule a probabilidade de, em grupo de seis funcionários novos:
a) nenhum ser promovido a gerente;
b) pelo menos um ser promovido;
c) todos serem promovidos;
2 – A Olaria Barro Forte fabrica e comercializa dois produtos principais: telhas e tijolos. A relação da produção do mês de agosto do ano passado pode ser vista na tabela seguinte. Calcule o que se pede:
	Produto
	Com defeito
	Sem defeito 
	Total
	Tijolo
	6000
	84000
	90000
	Telha
	3000
	27000
	30000
	Total
	9000
	111000
	120000
a) em uma amostra composta por oito telhas, calcule a probabilidade de pelo menos duas serem defeituosas;
b) em uma amostra composta por sete tijolos, calcule a probabilidade de pelo menos seis serem defeituosos;
c) em uma amostra formada por quatro produtos, calcule a probabilidade de existirem dois defeituosos.
3 – Uma recente pesquisa detectou que 90% dos fumantes de uma região afirmaram desejar parar com seu vício. Em uma amostra formada por dez pessoas:
a) qual a probabilidade de a maioria querer parar de fumar;
b) qual a probabilidade de todos quererem parar de fumar.
4 – A proporção de adultos obesos em uma determinada região é igual a 8,5%. Um grupo com nove adultos foi selecionado. Calcule a probabilidade de:
a) apenas um ser obeso;
b) pelo menos dois serem obesos;
c) no máximo sete serem obesos;
5 – Uma empresa comercial calcula que 5% de suas vendas não são recebidas em função do recebimento de cheques sem fundos. Ao analisar uma amostra formada por oito vendas, qual a probabilidade de:
a) Todas serem pagas.
b) Uma ou duas serem pagas.
c) Pelo menos três vendas serem pagas?
d) Todas as vendas não serem pagas?
6 – A probabilidade de uma determinada construtora vencer licitações é aproximadamente igual a 54%. Em seis licitações, qual a probabilidade de essa empresa:
a) perder todas;
b) vencer apenas uma;
c) vencer pelo menos uma;
d) perder três licitações.
7 – A probabilidade de uma determinada empresa ganhar concorrências é igual a 73%. Sabendo que a empresa pretende participar de oito concorrências, calcule a probabilidade de ela: 
a) vencer apenas uma concorrência;
b) perder todas concorrências;
c) ganhar pelo menos duas concorrências.
8 – A probabilidade de encontrar embalagens fora de padrão de um determinado produto é igual a 30%. Em uma amostra composta por cinco produtos, calcule a probabilidade de:
a) apenas dois não estarem fora do padrão;
b) pelo menos um estar fora do padrão;
c) todos não estarem fora do padrão.
9 – Uma carteira de recebíveis é formada por vinte borderôs, com cinco títulos cada um, e com valor de face igual a $500,00 (em média, por título). Sabe-se que a probabilidade de inadimplência de um título escolhido ao acaso é aproximadamente igual a 35%. Quantos borderôs deverão apresentar problemas:
a) em três ou mais títulos?
b) em mais que três títulos?
10 – O número de clientes que entram por hora em uma loja de roupas é aproximadamente igual a três. Calcule a probabilidade de:
a) em três horas entrarem pelo menos dois clientes;
b) em cinco horas entrarem exatamente quatorze clientes;
11 – Uma indústria de refrigerantes recebe pedidos de seus vendedores por meio de fax, telefone e internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio no horário comercial é uma variável aleatória discreta com taxa igual a cinco pedidos por hora. Calcule a probabilidade de:
a) a indústria receber apenas dois pedidos em uma hora;
b) receber seis, sete ou oito pedidos em duas horas.
12 – Uma fábrica de papel para jornal verificou a existência de quatro defeitos de fabricação por cada área impressa de 3 m². Determine a probabilidade:
a) de existir apenas um defeito em uma área de 2m²;
b) de existirem oito ou nove defeitos em uma área de 5m².
13 – Um gerente de suprimentos estuda o dimensionamento ideal de estoques para uma determinada indústria.A demanda é medida em contêineres por dia e segue, aproximadamente, uma distribuição de Poisson, com lambda igual a quatro contêineres por dia. Em um determinado dia, qual é a probabilidade de serem demandados:
a) Dois contêineres?
b) Pelo menos dois contêineres?
c) No máximo três contêineres?
14 – Um caixa rápido atende a clientes à razão de dois por minuto. Em intervalos de dez minutos, calcule a probabilidade de serem atendidos:
a) 20 clientes;
b) 21 clientes;
c) 18 clientes;
15 – O departamento de logística de uma fábrica de fertilizantes despacha pedidos à razão de 3,5 por hora. Determine a probabilidade de ele despachar, no máximo, um único pedido em um intervalo de uma hora.
16 – As vendas mensais do mercadinho Pague Bem seguem, aproximadamente, uma distribuição normal, com média igual a $5000,00 e desvio padrão igual a $2000,00. Calcule a probabilidade de que em um determinado mês, as vendas:
a) sejam superiores a $3500,00;
b) sejam inferiores a $3000,00;
c) estejam entre $3800,00 e $5300,00;
d) estejam entre $2100,00 e $7800,00.
17 - A depender do valor das compras mensais efetuadas, os clientes do Atacadista Lisboa e Algarves Ltda. recebem uma classificação, podendo ser: (a) superespecial; (b) especial; (c) regular; (d) standard. As probabilidades de classificação dos clientes são, respectivamente, iguais a 5%, 10%, 30% e 55%. As compras seguem uma distribuição aproximadamente normal, com média igual a $240,00 e desvio padrão igual a $80,00. Calcule os limites empregados para a classificação dos clientes.
18 – Um sindicato de empresas industriais verificou que o número de faltas anuais dos trabalhadores segue uma distribuição aproximadamente normal, com média igual a 10,2 dias e desvio padrão igual a 5,4 dias. Qual a probabilidade de que um trabalhador escolhido aleatoriamente apresente um número de faltas inferior a 2 dias? Nesta situação, os números de dias são mensurados de forma contínua.
19 – Uma fábrica de produtos químicos embala seus produtos com volumes normalmente distribuídos. Uma embalagem padrão costuma apresentar 1100 ml, em média, com desvio padrão igual a 75 ml. Qual probabilidade de que uma embalagem escolhida ao acaso apresente volume entre 917 e 1150 ml?
20 - Os salários pagos para os funcionários em determinada empresa seguem uma distribuição normal com média igual a $1400,00 e desvio padrão igual a $227,00. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso apresentar salário maior que $1680,00.
______________________________________________________________________
Respostas:
	1) a) 0,6264
	b) 0,3736
	
c) 
	
	2) a) 0,1869
	
b) 
	c) 0,0289
	
	
3) a) 
	b) 0,3487
	
	
	4) a) 0,3759
	b) 0,1746
	
c) 
	
	5) a) 0,6634
	
b) 
	
c) 
	
d) 
	6) a) 0,0095
	b) 0,0667
	c) 0,9905
	d) 0,3065
	7) a) 0,0006
	
b) 
	c) 0,9994
	
	8) a) 0,1323
	b) 0,8319
	c) 0,1681
	
	
9) a)
	
b) 
	
	
	10) a) 0,9988
	b) 0,1024
	
	
	11) a) 0,0842
	b) 0,2657
	
	
	12) a) 0,1853
	b) 0,2144
	
	
	13) a) 0,1465
	b) 0,9084
	c) 0,4335
	
	14) a) 0,0888
	b) 0,0846
	c) 0,0844
	
	15) 0,1359
	
	
	
	16) a) 0,7734
	b) 0,1587
	c) 0,2853
	d) 0,8457
	17) 250,4; 323,2; 371,2
	
	
	18) 0,0643
	
	
	
	19) 0,7413
	
	
	
	20) 0,1093