Critério de Leibniz

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Cálculo II 
 
 
 
 
CRITÉRIO DE LEIBNIZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Sumário 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1.Teste da série alternada ............................................................................................................ 2 
1.1. Retomando ................................................................................................................... 2 
1.2. Critério de Leibniz......................................................................................................... 3 
1.3. Somas parciais .............................................................................................................. 3 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 4 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 4 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na aula anterior, identificamos alguns tipos recorrentes de séries, em 
particular, falamos das séries alternadas. Mas como definimos os critérios de 
convergência de uma série alternada? 
Essa é uma pergunta que os matemáticos já tentavam responder, e com a 
criação do cálculo diferencial e integral foi formalizada pelo matemático Gottfried W. 
Leibniz, ainda no século XVII. 
Nesta aula iremos aprender sobre o critério desenvolvido por Leibniz, também 
chamado de critério de convergência de uma série alternada. 
Objetivos 
• Entender as condições para a convergência de uma série alternada a partir das 
ideias de Leibniz; 
• Calcular esta convergência a partir de critérios pré-estabelecidos. 
 
1.Teste da série alternada 
1.1. Retomando 
Como vimos na aula anterior, uma série alternada possui a forma 
1
( 1)n nn a

=
−
 
ou 
1
1
( 1)n nn a
 +
=
−
 , com 
0na 
 . 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
Se observamos as séries alternadas, por exemplo as indicadas acima, 
verificamos que elas têm a propriedade de que os coeficientes 𝑎𝑛 forma uma 
São exemplos clássicos de séries alternadas as somas 
que definem 
1 1 1
ln 2 1 ...
2 3 4
= − + − +
 e 
1 1 1
1 ...
4 3 5 7

= − + − +
 
 
 
3 
 
sequência decrescente que tende a zero. Ou seja, 
1 2 31 2 3a a a  
 e, portanto, 
0na →
 . 
 
1.2. Critério de Leibniz 
Leibniz (1646-1716) mostrou que essas duas condições são suficientes para 
garantir que toda série alternada converge e estabeleceu um teste da série alternada 
que hoje chamamos de Critério de Leibniz. 
Assim, podemos enunciar o critério de Leibniz para uma série alternada, se ela 
satisfizer as condições 
1n na a− 
 , para qualquer 𝑛 natural e 
lim 0n
n
a
→
=
 , 
Então a série é convergente. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Somas parciais 
É importante lembrar que não é toda série com termos positivos e negativos 
que podemos chamar de alternada. Uma verificação válida é a das somas parciais da 
série, que, em uma série alternada, apresenta um movimento para frente e para trás, 
Seja a série harmônica alternada 
1
1
( 1) 1 1 1
1 ...
2 3 4
n
n n
+

=
−
= − + − +
 
Vamos avaliar sua convergência segundo o critério 
de Leibniz. 
i) Seja 
1
1
2
na + =
 e 
1
1
1
na = =
 , temos que 
1
1
2

 . 
ii) .
1
lim 0
n n→
=
 
Portanto a série é convergente. 
 
 
4 
 
semelhante às oscilações lentas de um pêndulo, se aproximando da posição de 
equilíbrio. 
 
1 
Pêndulo de Foucault oscilando sobre areia. Note como a areia está marcada com oscilações cada vez 
mais próximas do centro da imagem, no ponto de equilíbrio do pêndulo. 
 
Este é um exemplo de uma série de função que pode representar uma 
oscilação amortecida. Falaremos de séries de funções em aulas posteriores. 
Exercícios 
1. Verifique a convergência das séries utilizando o teste das séries alternadas: 
a. 
1
6
( 1)
2 3
n
n
n
n

=
−
+

 
b. 
1
21
( 1)n n
n
e
n

=
−

 
c. 
1n
sen
n

=
 
Gabarito 
1. 
a. Os termos 
na
 da série são crescentes pela tabela abaixo 
 
5 
 
n 1 2 3 4 5 
Termo 
1
1 1
2
( 1)
1
e
e
−
= −
 
1 1
2 2 2
2
( 1)
2 4
e e−
=
 
1 1
3 3 3
2
( 1)
3 9
e e−
=
 
1 1
4 4 4
2
( 1)
4 16
e e−
=
 
1 1
5 5 5
2
( 1)
5 25
e e−
=
 
E 
1
2
( 1)
lim 0
n n
n
e
n→
−
=
, logo a série converge. 
b. Os termos 𝑎𝑛 da série não são crescentes pela tabela abaixo 
n 1 2 3 4 5 
Termo 
1 6.1 6( 1)
2 3.1 5
− = −
+
 
2 6.2 12 4( 1)
2 3.2 8 3
− = =
+
 
3 6.3 18( 1)
2 3.3 11
− = −
+
 
4 6.4 24 12( 1)
2 3.4 14 7
− = − =
+
 
5 6.5 30( 1)
2 3.5 17
− = −
+
 
E 
6
lim 2
2 3n
n
n→
=
+
 , logo a série diverge. 
c. Os termos 
na
 da série são decrescentes pela tabela abaixo 
n 1 2 3 4 5 
Termo 
1
1
1
sen
sen=
 
2
2
sen
 
3
3
sen
 
4
4
sen
 
5
5
sen
 
E 
6
lim 2
2 3n
n
n→
=
+
 , logo a série diverge. 
Porém, não se trata de uma série alternada. Veja a distribuição dos termos da 
soma: 
3 
Figura 1: Distribuição dos termos versus valor de 𝑛. 
Resumo 
Nesta aula falamos sobre o critério de Leibniz para séries alternadas. O 
enunciado do teste nos diz que, dada uma série alternada de termos 
na
, se 
1n na a− 
 , 
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
te
rm
o
s 
d
a 
so
m
a
Valores de n
Gráfico dos termos da soma versus n
 
6 
 
para qualquer 𝑛 natural e 
lim 0n
n
a
→
=
 , então a série converge. É um critério objetivo, 
mas carregado de conceitos construídos no estudo de cálculo. 
É importante estar atento à série que estamos analisando. Lembre-se de que 
nem toda série que possui termos positivos e negativos é uma série alternada. Vale a 
pena fazer uma análise dos primeiros termos da série para ter uma ideia de como ela 
se comporta. Nem sempre a distribuição de termos de uma série infinita nos informa 
exatamente seu comportamento, mas esse movimento pode nos dar um norte sobre 
suas características, ou mesmo nos dar base para comparar com séries conhecidas. 
Também é preciso prestar atenção às séries cujos limites dos módulos dos 
termos da soma não existe. A convergência de séries deste tipo pode estar associada 
à manipulação dos termos da soma, como é o caso da série que define 
ln2
. É muito 
importante que você faça vários exercícios e se habitue com as séries infinitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Volume 4. São Paulo: LTC, 2002. 
 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Volume 2. São Paulo: Pearson, 2010. 
IPT-Lisboa.Notas de aula de Matemática II 2015. Disponível em: 
https://repositorio.ipl.pt/bitstream/10400.21/6193/1/Apoio%20aulas%20MATEM%C3%81TICA%20s%C3%A9ries
%20%281%29.pdf. Acessado em 25/04/2019 às 15h40min. 
Referências imagéticas 
Figura 01. PIXABAY. Disponível em: https://pixabay.com/pt/photos/p%C3%AAndulo-de-foucault-
p%C3%AAndulo-116977/. Acessado em: 26/04/19 às 17h53min.