Apol Análise matemática

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II. Dados os números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., 2n - 1 (n natural, n > 0), se tivermos dois números ímpares a soma será S = 1 + 3 = 4 = 2² e se tivermos 5 números ímpares a soma será S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Resolução:
De fato, a proposição I é verdadeira.
Para provar isso, podemos utilizar a soma dos termos de uma Progressão Aritmética:
Sendo Sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1, temos que
a₁ = 1
an = 2n - 1
Logo, a proposição II é verdadeira. Porém não justifica corretamente a primeira proposição.
Perceba que foram usados dois exemplos apenas.
Para justificar corretamente devemos mostrar que a propriedade vale para TODOS os números ímpares.
Para isso, deve-se utilizar a Indução:
P[n] é 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n²
Quando n = 1, tem-se que 2.1 - 1 = 1 = 1².
Portanto, P[n] é válida.
Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado, ou seja, suponha que vale 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n². Deve-se provar que 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 + 2n + 1 = (n + 1)², isto é, que P[n + 1] é verdade.
Dem.:
1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 + 2n + 1 =
n² + 2n + 1 =
(n + 1)²
Portanto, P[n + 1] é verdadeira.
Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se, então, que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].
Logo, pelas etapas acima e pelo PIM, tem-se que P[n] é valida ∀ n ∈ IN.
A demonstração acima justifica a proposição I.
Portanto, a alternativa correta é a letra b).