Aula 3_Integrais Múltiplas

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INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Profª Ms Elizabete L. da Silva
elizabete.silva@fmu.br
• Integrais Duplas
Integrais duplas sobre regiões gerais
Conteúdo
• Determine o volume do sólido que está abaixo
do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² e acima da região D
do plano xy limitada pela reta 𝑦 = 2𝑥 e pela
parábola 𝑦 = 𝑥²
Problema da aula passada...
Relembrando...
• Uma região plana D é dita do tipo I
(verticalmente simples) se for a região entre
o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja,
onde 𝑔1(𝑥)e 𝑔2(𝑥) são contínuas em [a, b].
Relembrando...
• Consideraremos também regiões planas do tipo 
II (horizontalmente simples), que podem 
ser expressas como
onde ℎ1(𝑥)e ℎ2(𝑥) são contínuas
Relembrando...
Relembrando...
• Determine o volume do sólido que está abaixo
do paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦² e acima da região D
do plano xy limitada pela reta 𝑦 = 2𝑥 e pela
parábola 𝑦 = 𝑥²
Integral Dupla sobre regiões gerais
• Considerando tipo I:
Integral Dupla sobre regiões gerais
• Considerando tipo I
(verticalmente simples):
Integral Dupla sobre regiões gerais
Integral Dupla sobre regiões gerais
• Considerando tipo II
(horizontalmente simples):
Integral Dupla sobre regiões gerais
Integral Dupla sobre regiões gerais
Integral Dupla sobre regiões gerais
Continuando...
• Calcule ׭𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝐴 , onde D é a região limitada pela
reta 𝑦 = 𝑥 − 1 e por 𝑦2 = 2𝑥 + 6.
Teste...
Teste...
• Considerando do tipo I:
• Neste caso, teríamos mais trabalho, mas o 
resultado seria o mesmo.
Teste...
Exercícios
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. 
Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.