Aula_07 Licenciatura em matemática

Prévia do material em texto

PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conteúdo Programático desta aula
	Nesta aula você irá:
Identificar o Regime de Juros Compostos.
Reconhecer seus elementos principais.
Relacionar problemas do cotidiano com os resultados imediatos de Juros Compostos.
 
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros Compostos
 
São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.
A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)
M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros Compostos
	
Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:
Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00 Tempo de Aplicação (t) = 3 meses Taxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)
Fazendo os cálculos, teremos:
M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³  → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos
Mês 1: 3% de $ 2000	 = $ 60 + $ 2000 = $ 2060
Mês 2: 3% de $ 2060 = $ 61,80 + $ 2060 = $ 2121,80
Mês 3: 3% de $ 2121,80 = $ 63,65+ $ 2121,80 = $ 2185,45
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo
Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.
S=P* (1+i)n
P =? n = 24 meses s= 15000 i- 2% a. m = 0,02
15000 = P* ( 1+ 0,02) ^24
15000 = P* 1,6084372495
P = 15000 / 1,6084372495
P = 9325,82 ( Valor do capital)
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
CÁLCULO DO MONTANTE E DO PRINCIPAL
O fator (1 + i)n é chamado fator de capitalização, ou fator de valor futuro para aplicação única.
S=P* (1+i)n
Trata-se do número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação inicial para obter seu valor futuro ou de resgate. 
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo
Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?
S=P* (1+i)n P=20000 i = 0,5%a.m. = 0,005 n = 4 anos = 48 meses (observe que o tempo e a taxa devem estar no mesmo período) S = ? 
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Solução
Aplicando a fórmula: S = 20000*(1+0,005)48 S = 20000*(1,005)48 S= 20000*1,2704891611 S = 25409,78 O montante produzido será de R$ 25409,78.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor Presente - PV
O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. O valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série.
 
O valor presente de uma série de parcelas uniformes e postecipadas (R) representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo na data zero.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor Presente - PV
	
	
O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. O valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série.
 
O valor presente de uma série de parcelas uniformes e postecipadas (R) representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo na data zero.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Utilizando a HP 12c
 
 Aplicando-se $200,00 por mês num em um investimento com renda Fixa a uma taxa mensal de 5%, pede-se calcular o montante ao final de 10 anos, considerando-se que as aplicações são feitas no final dos períodos.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Solução:
 Aplicando-se a fórmula teríamos: S = 200[(1+ 0,05)120 – 1] / 0,05 = $ 1.391.647,94 Observe que 120 = 10 anos x 12 meses.
Usando a calculadora financeira HP 12C, teríamos: 200  CHS  PMT 5 i 120 n FV Aparecerá no visor, o valor calculado acima.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e PG
Considere a expressão de juros compostos M = C.(1+i)^n, que te dá o valor do montante após a aplicação do capital C a uma taxa i por n períodos de tempo. 
Vamos passo a passo: 
Você tem inicialmente o capital C. 
Após um período de tempo: M = C . (1+i) ^1
Após 2 períodos de tempo: M = C . (1+i) ^2
Após 3 períodos de tempo: M = C . (1+ i) ^3 
e assim sucessivamente. 
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e PG
Olhando a sequencia de montantes você percebe que o resultado de um período de tempo sempre é o resultado anterior multiplicado por (1+i). Tem-se assim uma PG de razão (1=i) e termo inicial C.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e a PG
Nos dias de hoje a maioria das operações financeiras efetuadas utiliza juros compostos para remunerar um capital. Vamos supor , que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M1, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:
M1 = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00
M1 = 1.000,00 . (1+ 0,20)
M1 = 1.000,00 . 1,20
M1 = 1.200,00
   
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e PG – cont.
 Observe que, se quisermos aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:
                  M2 = M1 . 1,20
M2 = 1.200,00 . 1,20
M2 = 1.440,00
 
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e PG
 O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:
                   M3 = M2 . 1,20
                   M3 = 1.440,00 . 1,20
	 M3 = 1.728,00
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos e PG
Podemos perceber que a sequência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:
    (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercitando
Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Solução
n = 9 meses = 3 trimestres C = X M = 3X i = ? M = C(1 + i)^n 3X = X(1 + i)^3 3 = (1 + i)^3 log 3 = 3.log(1 + i) log(1 + i) = 0,477121255/3 1 + i = 10^0,159040418 i = 1,442249571 - 1 i = 0,442249571 => 44,22 % a.t.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercitando
Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazode 14 meses.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Solução
M = C(1 + i)^n M = 8000(1 + 0,03)^14 M = 8000.1,03^14 M = 8000.1,512589725 = 12100,7178
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercitando
Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Solução
M = C(1 + i)^n 146853 = 100000(1 + 0,03)^n 1,03^n = 146853/100000 1,03^n = 1,46853 log(1,03^n) = log(1,46853) n.log(1,03) = log(1,46853) n = log(1,46853)/log(1,03) n = 0,166882823/0,012837225 n = 12,99991446 => 13 meses
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 7- Juros Compostos
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Nesta aula você:
Identificou o Regime de Juros Compostos.
Reconheceu seus elementos principais.
Relacionou problemas do cotidiano com os resultados imediatos de Juros Compostos.
PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA