Lista de Exercícios 3

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Lista de Exercícios 3
 O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática
onde é o lucro, o custo da produção e a receita do produto. Uma fábrica de tratores produziu unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função 
e a receita representada por 
Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a: _______________
Solução.
Considere a função lucro
Logo, completando quadrados:
Isto é, a função lucro é uma parábola, cuja gráfica é a seguinte:
Note que
Ou seja, a função lucro tem como máximo , e atinge esse valor quando 
Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: 
onde é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8kg. 
Determine: 
A área da superfície corporal da criança.
A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. (Use a aproximação .)
Solução.
Considere a função que determina a área da superfície corporal dada por:
Se , então
A área da superfície corporal da criança
A massa da criança
Calcule os seguintes limites:
Solução.
Consideremos a função invertível cujo gráfico é visto abaixo.
A lei que define é: _________
Solução.
Segundo os dados da gráfica é uma reta com e então a pendente da reta é:
Logo
Fazendo uma mudança entre ás variáveis temos:
Portanto, 
Analise as afirmativas abaixo. Assinale V ou F, mas justifique, com cálculos, se necessário sua resposta. 
( ) 
( ) Para todo real, a função , dada por , é crescente. 
( ) Se então 
( ) Se é um número real, então é um número real menor do que 2. 
( ) O gráfico da função real dada por intercepta o eixo das abscissas no ponto 
Solução.
( V ) 
( F ) Para todo real, a função , dada por , é crescente. 
Se então
Não é crescente, é decrescente.
( V ) Se então 
( V ) Se é um número real, então é um número real menor do que 2. 
De fato, se então 
( F ) O gráfico da função real dada por intercepta o eixo das abscissas no ponto 
Note que para todo portanto não pode interceptar o eixo das abscissas.
A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei
O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: 
Solução.
Se então
900 
1000
180
810
90 
Considere duas funções reais:
e
Determine 
Solução.
De fato:
Encontre uma fórmula para a função inversa em cada caso:
Solução.
O domínio da função é
O rango da função é
Logo, calculamos a inversa da função 
O domínio da função é
O rango da função é
Logo, calculamos a inversa da função 
O domínio da função é
O rango da função é
Logo, calculamos a inversa da função 
A fórmula
onde expressa a temperatura C em graus Celsius como uma função da temperatura F em graus Fahrenheit. Encontre uma fórmula para sua inversa e determine o domínio da inversa. 
Solução.
O domínio da função é: 
O rango da função é:
Note que
Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após horas é 
Encontre a função inversa.
Quando a população atingirá 50000 bactérias? 
Solução.
Dados , e 
Domínio de 
Rango de 
Função inversa
Se , então
Resolva as equações:
Solução.
Solução.
Usando a fórmula quadrática
As soluções são
Solução.
Sobre a função: 
Esboce o gráfico.
Determine o domínio e a imagem.
Determine a inversa dessa função e esboce o gráfico.
Solução.
Considere a função 
Graficamente:
Gráfica da função 
Domínio e imagem
Inversa de 
Graficamente
Gráfica da função 
 Durante um mês, o número de unidades produzidas de um determinado bem é função do número de funcionários empregados de acordo a lei Sabendo que 121 funcionários estão empregados, o acréscimo de produção com a admissão de 48 novos funcionários é:
Solução.
Quando 
Quando 
A diferença entre esses momentos é
Resposta: C) 100
Seja a função O valor de 
Solução.
Calculando:
Resposta: C) 
A temperatura de um paciente, depois de receber um antitérmico, é dada pela função onde é a temperatura em graus Celsius e é o tempo medido em horas, a partir do momento em que o paciente é medicado. Supondo que certo paciente tenha recebido esse remédio às sua temperatura deverá ser de por volta das:
Solução.
Considere 
Se 
Logo
Resposta: 
Considere a função definida por Determine todos os valores de para os quais é valida a igualdade:
Solução.
Considere então 
Logo as soluções são:
Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.
Solução.
Considere o peso mínimo como função de então 
Suponha que então 
Logo o número mínimo de semanas completas é 
Uma pessoa, pesando atualmente 70 kgm deseja voltar ao peso normal de 56 kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200 g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de:
Solução.
Considere a função peso em função do número de semanas então 
Se então 
Resposta: D) 70 semanas
Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização de apenas um brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos usuários três opções de pagamento:
R$ 2,00 por bilhete.
Valor fixo de R$ 10,00 por dia, acrescido de R$ 0,40 por bilhete.
Valor fixo de R$ 16,00 por dia, com acesso livre aos brinquedos.
Com base nessa situação, julgue os itens a seguir (Verdadeiro ou Falso, justificando o falso)
Se uma criança dispõe de R$ 14,00, a opção I é a que lhe permite utilizar o maior número de brinquedos.
Se representa o número de vezes que uma pessoa utiliza os brinquedos do parque, a função que descreve a despesa diária efetuada, em reais, ao se utilizar a opção III, é dada por 
É possível a um usuário utilizar determinado número de brinquedos em um único dia, de modo que a sus despesa total seja a mesma, independente da opção de pagamento escolhida.
Solução.
Suponha que escolhe a opção I, então tem direito de brinquedos.
Suponha que escolhe a opção II, então tem direito de brinquedos.
Portanto, (1) é Falso, pois a opção II lhe permite utilizar um número maior de brinquedos.
A opção III, pode-se descrever como pois é um valor fixo, portanto (2) é falso.
Falso, pois na opção III tem um número ilimitado de vezes para utilizar os brinquedos em um único dia, embora nas outras opções, o número de vezes para utilizara os brinquedos é finito.
Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C
Baseado nos dados do gráfico, determine:
A lei da função apresentada no gráfico.
Qual é a massa (em gramas) de 30 de álcool.
Solução.
Considere a massa em gramas de álcool, e seja o volume (em cm3) do álcool quando a massa é de (em gramas). Devido ao gráfico a gráfica da função é uma reta que passa pelos pontos e logo a função é determinada pela lei:
Se 
Logo
Se 
Portanto, 
Se então 
Portanto, a massa de 30 cm3 de álcool é de 24 gramas.