Equações diferenciais de variáveis separáveis

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Cálculo diferencial integral III
Aula 1: Eq. Dif. ordinárias: Equações diferenciais de variáveis
separáveis
Apresentação
Equações diferenciais modelam inúmeros problemas em diversas áreas. Nesta nossa primeira aula, de�niremos os
conceitos fundamentais deste importante suporte matemático. Veremos também a primeira equação diferencial ordinária:
a equação de variáveis separáveis.
Como o próprio nome já nos diz, separaremos as variáveis e resolveremos a equação, integrando.
Bons estudos!
Objetivos
Identi�car uma equação diferencial;
Classi�car uma equação diferencial quanto à ordem;
Identi�car o grau de uma equação diferencial;
Veri�car se uma solução dada é adequada para determinada equação diferencial;
Identi�car os tipos de solução das equações diferenciais.
Identi�car e resolver equações de variáveis separáveis;
Resolver problemas geométricos envolvendo comprimentos de tangente, normal, subtangente e subnormal.
Introdução
Você já deve ter notado que, em diversas áreas, precisamos desenvolver modelos matemáticos para nos auxiliar na
compreensão de fenômenos físicos e na resolução de problemas reais.
Esses modelos, muitas vezes, nos levam à necessidade de resolver equações que contém algumas derivadas de funções
desconhecidas, ou ainda, resolver equações que contêm taxas.
Veja o exemplo de um pêndulo simples a seguir:
O movimento de um pêndulo simples de massa m e comprimento l pode ser descrito pela função θ(t), que satisfaz a equação
diferencial:
+ senθ = 0
d²θ
dt²
g
l
O que vem a ser uma equação diferencial?
Chamamos de equação diferencial toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função
incógnita.
Exemplo 1
 
Exemplo 2
 
Exemplo 3
Exemplo 4
 
Exemplo 5
 
Exemplo 6
+ x²y³= 0
dy
dx
+ y(y' +2( = 0
y
3
y
′
)
7
y
′′
)
5
(x²+ y²)dx+ (x+ y)d 0y=
+ = 0
δ²z
δx²
δ²z
δy²
x + y = d3
d²y
dx²
dy
dx
+ ( = senx
y
′′
y
′
)
3
Reparou que os exemplos que vimos de equações diferenciais são bem
diferentes uns dos outros em sua estrutura?
Classi�cações da equação diferencial
Devido às diferenças existentes em relação às equações diferenciais, vamos estabelecer algumas classi�cações para facilitar a
organização e estruturação do estudo das ED:
Clique nos botões para ver as informações.
Envolvem funções de uma variável e suas derivadas.
Exemplos:
Equações diferenciais ordinárias (EDO) 
+4y−=
dy
dx
e
3x
− +4y= 0
d²y
dx²
dy
dx
Envolvem funções de muitas variáveis e suas respectivas derivadas parciais.
Exemplo:
Equações diferenciais parciais (EDP) 
+ = 0
d²y
dx
δ²u
δy²
Grau e ordem de uma equação diferencial
A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada da equação.
No exemplo a seguir, você verá uma equação diferencial de segunda ordem.
O grau de uma equação diferencial , por sua vez, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que
aparece na equação.
Vamos voltar ao exemplo da ordem.
Derivada:
Segunda Ordem | Primeira Ordem
( ) + 3( − 6y =
d²y
dx²
dy
dx
)
4
e
x
Expoente: 1 ↓
Derivada: MAIOR Ordem ↓
Derivada:
Segunda Ordem | Primeira Ordem
( ) + 3( − 6y =
d²y
dx²
dy
dx
)
4
e
x
Resolvendo uma equação
diferencial
Após desenvolvermos os modelos matemáticos
representativos de problemas reais, com equações que
contém algumas derivadas, precisamos resolver as
equações diferenciais.
Você deve estar se perguntando o que signi�ca  “resolver
estas equações diferenciais”?
Resolver ou integrar uma equação diferencial signi�ca
determinar todas as funções que veri�cam a equação, isto
é, que a transformem numa identidade.
 Fonte: Freepik
Considere uma equação diferencial de ordem n:
Ϝ (𝑥,𝑦′,𝑦′′,𝑦′′′, …, 𝑦𝑛) = 0 (1)
Chama-se solução da equação diferencial (1) toda função y = φ(x), de�nida em
um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a
ordem n inclusive, de tal forma que, ao fazermos a substituição de y por y =
φ(x) na equação (1), esta equação se converte em uma identidade em relação
a x no intervalo (a,b).
Exemplo
Consideremos a equação diferencial y" + 4y = 0.
Será que y = cos2x - 3sen2x é solução para a equação diferencial dada?
Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, veri�cando se realmente será uma identidade
válida.
Substituindo em y" + 4y = 0, temos:
𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥 −3𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑦^′=2𝑠𝑒𝑛2𝑥 −6𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑦^′′=−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥
−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥)=
−4𝑐𝑜𝑠2𝑥+12𝑠𝑒𝑛2𝑥+4𝑐𝑜𝑠2𝑥 −12𝑠𝑒𝑛2𝑥= 0
Vamos ver alguns exemplos para entender melhor cada um desses tipos.
Realmente, é solução.
Tipos de solução
Vejamos agora os três tipos de solução:
1
Solução geral
É a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas
são as unidades da ordem da equação.
2
Solução particular
É toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos
valores particulares às constantes.
3
Solução singular
É toda solução que não pode ser obtida a partir da solução
geral, atribuindo-se às constantes valores particulares.
a) 𝑥² 𝑦^′=𝑦² Trata-se de uma EDO de ordem 1; portanto, precisará ter umaconstante arbitrária.
Solução geral
C constante arbitrária
Solução particular 𝑦=0 (C = 0)
Solução singular 𝑦=0
y= ,
x
1+Cx
a) 𝑥² 𝑦^′=𝑦² Trata-se de uma EDO de ordem 2; portanto, precisará ter duasconstantes arbitrárias.
Solução geral 𝑦=𝐶 𝑒 "= " 𝐶 𝑒 , 𝐶 , 𝐶 constantes arbitrárias
Solução particular 𝑦=𝑒^𝑥, 𝐶 = 1, 𝐶 = 0
Solução singular Não tem
1
𝑥
2
-𝑥
1 2
1 2
Grá�co da solução geral
Você sabe o que o grá�co da solução geral de uma equação
diferencial representa?
 Fonte: Freepik
Uma família de curvas chamadas curvas integrais.Esta
solução denomina-se primitiva ou integral da equação
diferencial.
Assim, a solução geral de uma equação diferencial ordinária
(EDO) de ordem n em um intervalo I é uma família de
soluções y(t) no intervalo I, que depende de n constantes
arbitrárias, de tal forma que qualquer solução particular
pode ser obtida da solução geral, atribuindo-se valores às
constantes.
Exemplo
Antes de continuar com seus estudos, clique aqui e veja dois exemplos para entender melhor a solução geral.
Problema de valor inicial
Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de ordem n: F(x, y', y'', y''',..., yn) = 0 consiste na equação diferencial e
mais n condições do tipo:
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y( ) =
x
0
y
0
y'( ) =x
0
y
1
y''( ) =x
0
y
2
. . .
( ) =y
(n−1)
x
0
y
(n−1)
⇒ y = y0|
x=
x
0
Onde:
, , ,⋯,x
0
y
0
y
1
y
(n−1)
Exemplo
Antes de continuar com seus estudos, clique aqui e veja dois exemplos para entender melhor a o problema de valor inicial para
uma equação diferencial.
Equações de 1ª ordem e 1º grau
Vejamos, agora, a forma geral das equações e as questões de 1º ordem e 1º grau.
Forma geral das equações de 1ª ordem:
Ϝ(𝑥, 𝑦, 𝑦^′ )=0
Equações de 1ª ordem e 1º grau:
= Ϝ(x,y)
dy
dx
ou ainda
𝑀 𝑑𝑥+𝑁 𝑑𝑦=0, Onde:
𝑀=𝑀(𝑥,𝑦) e 𝑁=𝑁(𝑥,𝑦) são contínuas no intervalo considerado.
Tipos de equações de 1ª ordem e 1º grau
Vejamos agora, os sete tipos de equações de 1ª ordem e 1º grau:
Equações de variáveis separáveis
Equações homogêneas
Equações redutíveis às homogêneas e as
variáveis separáveis
Equações diferenciais exatas
Equações lineares
Equações de Bernoulli
Equações de Riccati
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
Atividade proposta
EquaçãoOrdem Grau EDO/EDP
a) digite a resposta digite a resposta digite a resposta
b) (x²y²)dx+(x+y)dy = 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
c) digite a resposta digite a resposta digite a resposta
d) y''+(y')³ = senx digite a resposta digite a resposta digite a resposta
e) x³y'+y(y') +2(y'') = 0 digite a resposta digite a resposta digite a resposta
f) digite a resposta digite a resposta digite a resposta
= x²y³= 0
dy
dx
x + y = y³
d²y
dx²
dy
dx
7 5
+ = 0
δ²z
δx²
δ²z
δy²
Equações de variáveis separáveis
O que são equações de variáveis separáveis?
Chamamos equação de variáveis separáveis a equação do
tipo M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Onde:
M(x, y) e N(x, y) são:
Constantes;
Funções de uma única variável;
Produtos com fatores de uma única variável.
Podemos colocar esse tipo de equação sempre na forma:
α (x)dx + β (y)dy = 0 (∗)
 Fonte: Freepik
Resolução de equações de variáveis separáveis
A chave para resolvermos equações de variáveis separáveis é, como o
próprio nome já diz, separar as variáveis e depois integrar.
Vamos entender melhor com o exemplo a seguir?
Resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
Precisamos separar as variáveis, certo?
= 3x − 1
dy
dx
1- Vamos considerar a equação diferencial:
= 3x−1
dy
dx
Ou ainda:
dy= 3xdx− dx
(3x−1)dx− dy= 0
Esta equação está na forma:
a(x)dx+ β(y)dy= 0
(3x−1)dx− dy= 0
∫ (3x−1)dx− ∫ dy= C
− x− y= C
3x²
2
y= − x−
3x²
2
C
1
Com o auxílio do Wolfram alpha e da atribuição de valores às constantes,
podemos observar o traçado do grá�co dessa família de funções.
Atividades
Testando seus conhecimentos
Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis:
𝑡𝑔𝑥 . 𝑠𝑒𝑐𝑦 𝑑𝑥 − 𝑡𝑔𝑦 . 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑦 = 0
Notas
Referências
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo: volume II. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
BOYCE, William; DIPRIMA, Richard. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. São Paulo:
LTC, 2006.
Próximos passos
Equações Diferenciais Ordinárias: Equações diferenciais homogêneas. 
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Leia os textos:
NAGLE, R. Kent; SAFF, Edward B; SNIDER, Arthur David. Equações diferenciais. Pearson, 2012. Disponível na Biblioteca
Virtual da Estácio.
História das equações diferenciais, clicando aqui.
Di�culdades dos Alunos na Aprendizagem de Equações Diferenciais Ordinárias. In: Alexandria: R. Educ. Ci. Tec.,
Florianópolis, Santa Catarina, Brasil. ISSN 1982-5153. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria.
Acesso em jun. 2019.