APs cederj historia da matemática

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
2o EP 2008/1 AR Lic. em Matema´tica Semana 2 - Aulas 4 e 5 Versa˜o Tutor Coord. H. Clark
Estimados Tutores
Como recomendac¸a˜o geral, considerando as caracter´ısticas da Disciplina, lembre-se de orientar o(a) estu-
dante a trabalhar detalhadamente as demonstrac¸o˜es. Em especial, enfatize aos estudantes que em Ana´lise Real
requerera´ a todo momento o entendimento dos conceitos relevantes e sua expressa˜o em linguagem matema´tica,
exigindo deles mais do que apenas procedimentos operacionais com objetos matema´ticos abstratos.
Ex. 1 Determine o supremo e o ı´nfimo (observe se eles pertencem ou na˜o ao conjunto) dos seguintes
conjuntos, caso existam.
(a) A = {1/n;n ∈ N}; (b) B = {(−1)n/n;n ∈ N}; (c) C =
∞⋃
n=1
[1− 1/n, n];
(d) D =
∞⋃
n=1
{1− 1/n, n}.
Resoluc¸a˜o- Fazendo n variar em N descreve-se cada conjunto como segue:
(a) A = {1, 1/2, 1/3, · · ·}. Note que para n ∈ N bastante grande, o nu´mero racional 1/n torna-se
muito ”pro´ximo”de 0 (zero). Assim, tem-se inf A = 0, o qual na˜o pertence a A. O supA = 1 e 1 ∈ A.
(b) B = {−1, 1/2,−1/3, 1/4, · · ·} Note tambe´m que para n ∈ N bastante grande, o nu´mero racional
(−1)n/n torna-se muito ”pro´ximo”de 0 (zero), pela esquerda e pela direita. Todavia, o menor dos
nu´meros de B e´ o -1, logo, inf B = −1, e o maior e´ 1/2, e assim, supB = 1/2.
(c) C =
∞⋃
n=1
[1− 1/n, n) = [0, 1) ∪ [1/2, 2) ∪ [2/3, 3) · · ·. Note que o cojunto C e´ um intervalo semi-
fechado, o qual pode ser representado por C = [0,∞). Logo, inf C = 0 ∈ C e na˜o ha´ um supremo.
(d) D =
∞⋃
n=1
{1− 1/n, n} = {0, 1}∪{1/2, 2}∪{2/3, 3} · · · = {0, 1/2, 1, 2/3, 2 · · ·}. Logo, infD = 0 ∈ D
e na˜o ha´ um supremo.
Ex. 2 Se um subconjunto A de R tem uma cota inferior, enta˜o A tem ı´nfimo.
Demonstrac¸a˜o- Seja α uma cota inferior de A, i.e´, α ≤ β para todo β ∈ A. Assim, β − α ≥ 0. Seja
B = {x ∈ R;x = β − α, ∀β ∈ A}. Note que B ⊂ R+, assim B tem um ı´nfimo. Seja γ = inf B. Enta˜o
dado ² > 0 arbitra´rio, existe δ ∈ B tal que δ < γ + ². Portanto, β − α < γ + ². Assim, β < γ + α+ ².
Logo, γ + α = inf A
Ex. 3 Use as propriedades de R e mostre, para todo x, y ∈ R que:
(a) x0 = 0; (b) (−x)y = −(xy); (c) (-x)(-y)=xy.
Demonstrac¸a˜o- De fato,
1
(a) x0 = x(0 + 0) = x0 + x0⇐⇒ x0− x0 = x0. Como x0− x0 = 0, enta˜o, x0 = 0
(b) (−x)y + xy = [(−x) + x]y = 0y = 0. Adicionando −(xy) a esta identidade, tem-se
[(−x)y + xy]− (xy) = 0− (xy)⇐⇒ (−x)y + [xy − (xy)] = −(xy)⇐⇒ (−x)y + 0 = −(xy).
Logo, (−x)y = −(xy)
(c) Usando (b) e associatividade, respectivamente, tem-se
(−x)(−y) + [−(xy)] = (−x)(−y) + (−x)(y) = (−x)[(−y) + y] = (−x)0 = 0.
Adicionando xy a` u´ltima identidade tem-se
{(−x)(−y) + [−(xy)]}+ xy = xy ⇐⇒ (−x)(−y) + [−(xy) + xy] = xy ⇐⇒ (−x)(−y) + 0 = xy.
Logo, (−x)(−y) = xy
Ex. 4 Mostre que:
(a) se y < x e t < z, enta˜o y + t < x+ z para todo x, y, z, t ∈ R;
(b) se 0 < a < b, enta˜o 0 < 1/b < 1/a para a, b ∈ R.
Demonstrac¸a˜o- De fato,
(a) sendo y < x e t < z, enta˜o x− y > 0 e z − t > 0 respectivamente. Da´ı, (x− y) + (z − t) > 0⇐⇒
(x+ z)− (y + t) > 0. Logo, y + t < x+ z para todo x, y, z, t ∈ R;
(b) Sendo 0 < a e a ∈ R, existe a−1 ∈ R e aa−1 = 1. Como a > 0 e 1 > 0, enta˜o a−1 > 0. Similarmente
para b. Multiplicando a hipo´tese por 1/ab > 0 tem-se
0 < a/ab < b/ab⇐⇒ 0 < 1/b < 1/a
Ex. 5 Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B. Enta˜o
supA = supB se, somente se, para qualquer ² > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ².
Demonstrac¸a˜o- Deve-se provar, sendo α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B, que
supA = supB ⇐⇒ β − α < ², para todo ² > 0.
De fato,
• =⇒) Hipo´tese: supA = supB. Pela definic¸a˜o de sup, para todo ² > 0 existe α ∈ A tal que
α+ ² > supA. Como por hipo´tese supA = supB, enta˜o α+ ² > inf B. Assim, usando a definic¸a˜o de
inf, existe β ∈ B tal que β < α+ ². Logo, β − α < ².
• ⇐=) Hipo´tese: para todo ² > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ². Sera´ usado um
racioc´ınio que levara´ a` uma contradic¸a˜o. De fato, seja supA < inf B e suponha ² = inf B − supA.
Note que ² > 0. Como β ≥ inf B e −α ≥ − supA, enta˜o β − α ≥ inf B − supA. Portanto, β − α ≥ ²
para qualquer α ∈ A e qualquer β ∈ B. O que contradiz a hipo´tese. Logo, supA = supB
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