Comparção de resultados da simulação em Métodos dos Elementos Finitos através do software SCIA Engineer com as respectivas soluções analíticas

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Comparac¸a˜o de resultados da simulac¸a˜o em
Me´todos dos Elementos Finitos atrave´s do
software SCIA Engineer com as respectivas
soluc¸o˜es analı´ticas
Andre´ Chiullo dos Santos1
Eduardo Masaji Endo1
Lucas de Arau´jo Souza1
Jeferson Rafael Bueno2
1Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´, UTFPR Campus Campo Moura˜o
2Departamento Acadeˆmico de Construc¸a˜o Civil, DACOC, UTFPR
22 de maio de 2019
Resumo
A análise estrutural pode ser encontrada em diversos
softwares comerciais, a dúvida gerada está em até
que ponto os resultados apresentados pelo software se
assemelham com os resultados analíticos, o presente
artigo apresenta uma análise dos resultados analíticos
de um projeto piloto de estrutura metálica, com o SCIA
Engineer, software este que utiliza-se do Método dos
Elementos Finitos (MEF) como base de seu algoritmo.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Aná-
lise estrutural; SCIA Enginner.
Abstract
The structural analysis can be found in several commer-
cial software, the doubt generated is to what extent the
results presented by the software resemble the analyti-
cal results, the present article presents an analysis of
the analytical results of a metal structure pilot project,
with the SCIA Engineer, software that uses the Finite
Element Method (FEM) as the basis of its algorithm.
Keywords: Finite Element Method; Structural analy-
sis; SCIA Engineer.
1 Introduc¸a˜o
O Método dos Elementos Finitos (MEF), é uma ferra-
menta comumente utilizada para obtenção de dados
estruturais através de simulações numéricas, que po-
dem ser realizados através de diversos softwares comer-
ciais disponibilizados atualmente. Todavia, sabemos
que existem divergências dos resultados de cálculo em
softwares com as soluções analíticas, mesmo elas sendo
pequenas, essa variação também ocorre de software
para software, isto acontece devido a diferença nos
algoritmos dos programas e também por simplificações
que são feitas principalmente nas soluções analíticas.
Partindo deste pressuposto é interessante comparar os
resultados de esforços de uma estrutura no software
com sua solução analítica, para se ter uma noção da
confiabilidade do programa na hora de utilizá-lo em
algum projeto.
O software comercial em questão a ser analisado
no presente artigo será o SCIA Engineer devido a sua
licença grátis para estudantes e interface intuitiva, en-
quanto o exemplo base a ser comparado será especifi-
cado na seção 2.
Comparação de resultados da simulação em Métodos dos Elementos Finitos através do software SCIA Engineer com as
respectivas soluções analíticas
2 Dados do Exemplo
O exemplo adotado para a elaboração deste artigo não
deverá ter uma solução analítica muito trabalhosa, para
facilitar os cálculos àmão e também não tão trivial para
que o SCIA Engineer faça uma quantidade razoável de
iterações para convergência dos resultados.
Será utilizado então uma estrutura de aço com 3
pavimentos iguais com pé-direito de 3.5m, quatro lajes
quadradas com 10m de lado, cada, por pavimento,
dispostas de forma que cada andar seja um quadrado
de 400m2, conforme ilustrado na Figura 1 e a estrutura
é composta apenas por nós articulados excluindo a
fundação cujas ligações são engastadas.
Todas as lajes são de concreto C25 e espessura de
10 cm com as seguintes cargas atuantes:
p = 25 · 0, 1 + 0, 9 + 0, 4 + 1, 5
p = 5.3 kN/m2
• Peso próprio da laje = 2.50 kN/m2;
• Revestimento superior (cerâmica + contrapiso)
= 0.90 kN/m2;
• Revestimento Inferior (argamassa) = 0.40 kN/m2;
• Carga acidental = 1.50 kN/m2;
• Total = 5.30 kN/m2.
As vigas adotadas no projeto são todas biapoiadas e
de seção W610 x 82.0, sendo o peso de 0.82 kN/m e a
inércia no eixo x é de 56 628 cm4.
Os pilares adotados no projeto são os perfis soldados
da série CVS, sendo:
• nos pilares P1, P3, P7 e P9 (Figura 1), CVS800 x
340: com peso próprio de 3.309 kN/m;
• nos pilares P2, P4, P6 e P8, CVS1100 x 451: com
peso próprio de 4.514 kN/m;
• no pilar P5, CVS1500 x 692: com peso próprio de
6.918 kN/m.
Figura 1: Pavimento tipo com dimensões e indicação de vigas,
pilares e lajes.
3 Soluc¸a˜o Analı´tica
3.1 Ca´lculos das lajes
Para o cálculo nas lajes, foi adotado o método de
Czerny, seguindo a metodologia de GONTIJO[1]. As
quatro lajes são iguais, se caracterizando na seguinte
configuração:
Figura 2: Configuração de cada laje utilizada para obter os
coeficientes para cálculo dos momentos fletores atu-
antes.
Portanto, os parâmetros obtidos através da tabela de
Czerny (Anexo 1), com base na configuração da laje
atual, são:
• Menor e maior vão da laje: ly = lx = 10.0m;
• Carga total uniformemente distribuída: p =
5.30 kN/m2 (Seção 2);
• Caso 3 (laje biapoiada e biengastada, conforme a
Figura 2);
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• αx = 34.5;
• αy = 34.5;
• βx = 14.3;
• βy = 14.3.
Os momentos fletores obtidos através das equações
de Czerny, são:
mx = my =
p · l2x
αx
= 15.36 kNm/m (1)
para o momento fletor positivo nas direções x e y, e
m′x = m
′
y =
p · l2x
βx
= 37.06 kNm/m (2)
para o momento fletor negativo nas direções x e y.
3.2 Ca´lculos das vigas
Para as vigas V3, V4, V8 e V11:
• Área de influência da laje sobre a viga: A =
31.7m2;
• Peso distribuído da laje na viga: qi = 2 · p ·A/l =
33.6 kN/m;
• Peso da viga: qv = 0.82 kN/m;
• Peso distribuído total: qt = 34.42 kN/m;
• Comprimento: l = 10.0m;
• Inércia em x: Ix = 56628 · 10−8 m4;
• Altura da viga: d = 0.599m;
• Módulo de resistência elástico em x:
Wx = 1, 8908 · 10−3 m3;
• Módulo de elasticidade: E = 200 · 106 kN/m2.
Figura 3: Ilustração da carga atuante total nas vigas V3, V4,
V8 e V11.
A área de influência da laje sobre a viga é a área
da laje que será descarregada na viga, esta área foi
encontrada com base na NBR 6118/2014[2] cujo texto
diz que para o cálculo das reações de apoio das lajes
maciças retangulares com carga uniforme, quando não
há análise plástica, as charneiras podem ser aproxima-
das por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os
seguintes ângulos:
• 45o entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60o a partir do apoio considerado engastado, se o
outro for considerado simplesmente apoiado;
• 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for
livre.
Portanto, a laje utilizada no projeto, com apoios
iguais à da Figura 2 tem áreas de influência conforme
a Figura 4.
Figura 4: Área de influência da laje do projeto.
A equação genérica para obtenção do momento má-
ximo (no centro) em uma viga biapoiada é de:
Mma´x =
qt · l2
8
= 430.25 kN/m (3)
A tensão normal máxima pode ser relacionada com
o momento fletor da seguinte forma:
σma´x =
Mma´x
Wx
= 227.55MPa (4)
A equação genérica para a deflexão máxima de uma
viga biapoiada é:
wma´x =
5
384
qt · l4
EI
= 39.57mm (5)
A força cortante máxima atuando em uma viga se
encontra nos apoios, sendo estas de mesma intensidade
em caso de cargas atuantes simétricas (como mostrado
na Figura 3), portanto:
Vma´x =
qt · l
2
= 172.1 kN (6)
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Para as vigas V1, V2, V5, V6, V7, V9, V10 e V12:
• Área de influência da laje sobre a viga: A =
18.3m2;
• Peso distribuído da laje na viga: qi = 2 · p ·A/l =
9.7 kN/m;
• Peso da viga: qv = 0.82 kN/m;
• Peso distribuído total: qt = 10.52 kN/m;
• comprimento: l = 10.0m;
• Inércia em x: Ix = 56628 · 10−8 m4;
• Altura da viga: d = 0.599m;
• Módulo de elasticidade: E = 200 · 106 kN/m2.
Figura 5: Ilustração da carga atuante total nas vigas V1, V2,
V5, V6, V7, V9, V10 e V12.
O momento fletor máximo, a tensão normal,a defle-
xão máxima e a força cortante máxima obtidos, são:
Mma´x =
qt · l2
2
= 131.5 kN/m (7)
σma´x =
Mma´x
Ix
d
2
= 69.55MPa (8)
wma´x =
5
384
qt · l4
EI
= 12.1mm (9)
Vma´x =
qt · l
2
= 52.6 kN (10)
3.3 Ca´lculo dos pilares
Para os pilares P1, P3, P7 e P9:
• Altura do pé-direito: h = 3.5 m;
• Peso do pilar: qp = 3.398 kN/m;
• Vão da viga: l = 10.0m.
O esforço normal de compressão do pilar devido às
vigas é dado como a somatória da reação de apoio das
vigas que se apoiam no mesmo pilar:
rp =
qtv1 · l
2
+
qtv7 · l
2
= 105.2 kN (11)
onde qtvi é peso total da viga i.
O esforço normal máximo do pilar (no começo do
pavimento debaixo) do pavimento cobertura é dado
como o esforço normal de compressão do pilar devido
ao descarregamento das vigas mais o peso próprio do
pilar:
Nma´x = qp · h+ rp = 117.1 kN (12)
O esforço normal na fundação, portanto, é dado
como a somatória do esforço de compressão dos pilares
nos três pavimentos:
Nfund = 3 ·Nma´x = 351.3 kN (13)
Para os pilares P2, P4, P6 e P8:
• Altura do pé-direito: h = 3.5 m;
• Peso do pilar: qp = 4.514 kN/m;
• Vão da viga: l = 10.0m.
O esforço normal de compressão do pilar devido à
descarga das vigas é de:
rp =
qtv1 · l
2
+
qtv2 · l
2
+
qtv8 · l
2
= 277.3 kN (14)
O esforço normal máximo do pilar no pavimento
cobertura é:
Nma´x = qp · h+ rp = 293.1 kN (15)
O esforço normal na fundação, é:
Nfund = 3 ·Nma´x = 879.3 kN (16)
Para o pilar P5:
• Altura do pé-direito: h = 3.5 m;
• Peso do pilar: qp = 6.918 kN/m;
• Vão da viga: l = 10.0m.
O esforço de compressão do pilar devido à descarga
das vigas é de:
rp =
qtv3 · l
2
+
qtv4 · l
2
+
qtv8 · l
2
+
qtv11 · l
2
= 688.4 kN
(17)
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O esforço normal máximo do pilar no pavimento
cobertura é:
Nma´x = qp · h+ rp = 712.6 kN (18)
O esforço normal na fundação, é:
Nfund = 3 ·Nma´x = 2137.8 kN (19)
4 Soluc¸a˜o Computacional
O projeto apresentado na Figura 1 foi modelado com 3
pavimentos tipo utilizando o software SCIA Engineer
e os valores obtidos são apresentados a seguir.
4.1 Lajes
Como todas as lajes são iguais, os momentos obtidos
pelo software são de:
Reação Valor (kNm/m)
Mma´x 16.5
Mma´x’ 33.2
Tabela 1: Momentos na laje.
OndeMma´x representa o momento máximo positivo,
eMma´x’ representa o momento máximo negativo no
elemento.
Os valores dos momentos obtidos pelo software de-
monstrados na Tabela 1 só foram possíveis admitindo-
se vigas com pouca deformação, ou seja, com uma rigi-
dez mais alta, para isto foi acrescido 2 metros de altura
comparada à viga original, o resultado do diagrama
de momento com estas características é demonstrado
na Figura 6.
Figura 6: Momento na laje com viga indeformável.
Ao admitir as vigas como elementos deformáveis, os
resultados não se assemelham com os obtidos analiti-
camente pela tabela de Czerny, como mostra a Figura
7.
Figura 7: Momento na laje com viga deformável.
Para fins de projeto deve-se utilizar os resultados
obtidos ao considerar as vigas como elementos defor-
máveis, pois se aproxima do comportamento físico da
estrutura, diferente do modelo analítico idealizado. Po-
rém, para realizar as comparações entre os cálculos
analíticos e computacionais, será adotado os valores
dos momentos referente as estruturas indeformáveis
indicados na Tabela 1.
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4.2 Vigas
Para as vigas V1, V2, V5, V6, V7, V9, V10 e V12, tem-se:
Reação ValorPav. 1 Pav. 2 Pav. 3
V1
Mma´x (kNm) 146.51 146.38 146.88
Mma´x’ (kNm) 6.09 6.2 5.68
Vma´x (kN) 52.81 52.99 52.11
wma´x (mm) 12.5 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.6 77.7
V2
Mma´x (kNm) 146.51 146.38 146.88
Mma´x’ (kNm) 6.09 6.2 5.68
Vma´x (kN) 52.81 52.99 52.11
wma´x (mm) 12.5 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.6 77.7
V5
Mma´x (kNm) 146.51 146.38 146.88
Mma´x’ (kNm) 6.09 6.2 5.68
Vma´x (kN) 52.81 52.99 52.11
wma´x (mm) 12.5 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.6 77.7
V6
Mma´x (kNm) 146.51 146.38 146.88
Mma´x’ (kNm) 6.09 6.2 5.68
Vma´x (kN) 52.81 52.99 52.11
wma´x (mm) 12.5 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.6 77.7
V7
Mma´x (kNm) 146.62 146.41 147.09
Mma´x’ (kNm) 6.38 6.29 6.25
Vma´x (kN) 53.35 53.16 53.21
wma´x (mm) 12.6 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.7 77.8
V9
Mma´x (kNm) 146.62 146.41 147.09
Mma´x’ (kNm) 6.38 6.29 6.25
Vma´x (kN) 53.35 53.16 53.21
σma´x (MPa) 77.7 77.7 77.8
V10
Mma´x (kNm) 146.62 146.41 147.09
Mma´x’ (kNm) 6.38 6.29 6.25
Vma´x (kN) 53.35 53.16 53.21
wma´x (mm) 12.6 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.7 77.8
V12
Mma´x (kNm) 146.62 146.41 147.09
Mma´x’ (kNm) 6.38 6.29 6.25
Vma´x (kN) 53.35 53.16 53.21
wma´x (mm) 12.6 12.7 12.8
σma´x (MPa) 77.7 77.7 77.8
Tabela 2: Reações nas vigas V1, V2, V5, V6, V7, V9, V10 e
V12.
Onde a reação seguida de apóstrofo indica o valor
negativo.
Para as vigas V3, V4, V8 e V11:
Viga Reação ValorPav. 1 Pav. 2 Pav. 3
V3
Mma´x (kNm) 363.19 363.15 363.57
Mma´x’ (kNm) 30.32 30.27 30.12
Vma´x (kN) 172.64 172.49 172.38
wma´x (mm) 30.6 30.9 31
σma´x (MPa) 192.7 192.6 192.1
V4
Mma´x (kNm) 363.19 363.15 363.57
Mma´x’ (kNm) 30.32 30.27 30.12
Vma´x (kN) 172.64 172.49 172.38
wma´ (mm) 30.6 30.9 31
σma´x (MPa) 192.7 192.6 192.1
V8
Mma´x (kNm) 363.89 363.37 364.97
Mma´x’ (kNm) 30.73 30.4 30.93
Vma´x(kN) 186.93 185.94 187.76
wma´x (mm) 30.7 30.9 31.2
σma´x (MPa) 193 192.9 192.8
V11
Mma´x (kNm) 363.89 363.37 364.97
Mma´x’ (kNm) 30.73 30.4 30.93
Vma´x (kN) 186.93 185.94 187.76
wma´x (mm) 30.7 30.9 31.2
σma´x (MPa) 193 192.9 192.8
Tabela 3: Reações nas vigas V3, V4, V8 e V11.
Os diagramas das forças internas nas vigas não pos-
suem uma perfeita semelhança com os diagramas espe-
rados devido ao fato do software considerar a deforma-
ção dos elementos, a carga distribuída não uniforme,
entre outros efeitos que são desprezados ao realizar o
cálculo à mão. A Figura 8 mostra as reações da força
cortante, completamente diferente do que se espera
para uma viga biapoiada com carregamento linear-
mente distribuído.
Figura 8: Força cortante nas vigas.
Os diagramas de momento fletor possuem uma apa-
rência próxima à esperada para vigas biapoiadas, po-
rém, devido as considerações mais precisas do software
também demonstraram resultados diferentes dos cal-
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culados à mão, como mostra a Figura 9.
Figura 9: Momento fletor nas vigas.
4.3 Pilares
Para os pilares P1, P3, P7 e P9, tem-se:
Elemento Nma´x (kN)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P1 385.79 257.2 128.51
P3 385.79 257.2 128.51
P7 385.79 257.2 128.51
P9 385.79 257.2 128.51
Tabela 4: Força Normal nos pilares P1, P3, P7 e P9.
Já para os pilares P2, P4, P6 e P8, tem-se:
Elemento Nma´x (kN)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P2 884.66 589.72 294.54
P4 886.53 591.02 295.67
P6 886.53 591.02 295.67
P8 884.66 589.72 294.54
Tabela 5: Força Normal nos pilares P2, P4, P6 e P8.
Para o pilar central P5, tem-se:
Elemento Nma´x (kN)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P5 1976.13 1317.53 659.43
Tabela 6: Força Normal no pilar P5.
Para fins de comparação foi utilizado apenas os va-
lores de força normal, como mostrado na Figura 10,
já que analiticamente neste caso, não existem outros
esforços. Porém o software fornece valores para mo-
mento fletor e força cortante devido a forma mais pre-
cisa de cálculo.
Figura 10: Força normal nos pilares.
5 Comparac¸a˜o de Resultados
Para fins comparativos, foram elaboradas tabelascom
os erros relativos entre os resultados analíticos e do
software, assim como apontamentos de alguns motivos
para as divergências de resultados. O erro relativo é
dado por:
Er =
∣∣∣∣xa − xsxa
∣∣∣∣ · 100 (20)
onde Er é o erro relativo dado em (%), xs é o resul-
tado obtido do software e xa é o resultado obtido do
processo analítico.
5.1 Lajes
Reação Erro Relativo (%)
Mma´x 7.42
Mma´x’ 10.42
Tabela 7: Erro relativo nos momentos na laje.
As diferenças encontradas nos diagramas de momento
da laje do projeto piloto feitas no software, quando
comparado com os momentos máximos calculados pelo
método de Czerny foram evidentes, porém faz-se neces-
sário compreender que o SCIA Engineer utiliza o Mé-
todo dos Elementos Finitos, que leva em consideração
a estrutura do pavimento comportando-se como um
todo, isto é, um conjunto de pilares, vigas e lajes, sendo
que cada elemento possui suas seções, propriedades
e suas respectivas rigidezes, enquanto as metodologia
pelas Tabelas de Czerny também não são exatas por se
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Comparação de resultados da simulação em Métodos dos Elementos Finitos através do software SCIA Engineer com as
respectivas soluções analíticas
tratarem de tabelas semi-empíricas. Oque aconteceu
neste caso foi que, como a viga não tem uma rigidez
muito alta ela se deformou trazendo a laje consigo
e assim gerando maiores esforços na laje, tanto que
quando fazemos a alteração da altura da viga dando
a ela uma maior rigidez, os diagramas feitos no soft-
ware se assemelharam com os feitos analiticamente,
isto acontece porque a viga com uma maior rigidez
tende a se deformar menos, e o método de Czerny
leva em consideração que os apoios da laje não sofrem
deformações. Para efeito de comparação dos métodos,
utilizamos a seção da viga com maior rigidez, onde o
maior erro relativo encontrado foi de 10.42%, corres-
pondente ao máximo valor de momento negativo.
5.2 Vigas
Para as vigas V1, V2, V5, V6, V7, V9, V10 e V12:
Reação Erro Relativo (%)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
V1
Mma´x 11.41 11.32 11.7
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 0.4 0.74 -0.93
wma´x 3.31 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.57 11.72
V2
Mma´x 11.41 11.32 11.7
Mma´x’ 6.09 6.2 5.68
Vma´x 0.4 0.74 -0.93
wma´x 3.31 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.57 11.72
V5
Mma´x 11.41 11.32 11.70
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 0.4 0.74 -0.93
wma´x 3.31 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.57 11.72
V6
Mma´x 11.41 11.32 11.70
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 0.4 0.74 -0.93
wma´x 3.31 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.57 11.72
V7
Mma´x 11.5 11.34 11.86
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 1.43 1.06 11.16
wma´x 4.13 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.72 11.86
V9
Mma´x 11.5 11.34 11.86
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 1.43 1.06 11.16
wma´x 4.13 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.72 11.86
V10
Mma´x 11.5 11.34 11.86
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 1.43 1.06 11.16
wma´x 4.13 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.72 11.86
V12
Mma´x 11.5 11.34 11.86
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 1.43 1.06 11.16
wma´x 4.13 4.96 5.79
σma´x 11.72 11.72 11.86
Tabela 8: Erro relativo nas reações das vigas V1, V2, V5, V6,
V7, V9, V10 e V12.
Para as vigas V3, V4, V8 e V11, o erro relativo é de:
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Comparação de resultados da simulação em Métodos dos Elementos Finitos através do software SCIA Engineer com as
respectivas soluções analíticas
Elemento Reação Erro Relativo (%)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
V3
Mma´x 15.59 15.59 15.50
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 0.31 0.22 0.16
wma´x 22.66 21.91 21.66
σma´x 15.32 15.36 15.58
V4
Mma´x 15.59 15.59 15.50
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 0.31 0.22 0.16
wma´ 22.66 21.91 21.66
σma´x 15.32 15.36 15.58
V8
Mma´x 15.42 15.54 15.17
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 8.62 8.04 9.1
wma´x 22.42 21.91 21.15
σma´x 15.18 15.23 15.27
V11
Mma´x 15.42 15.54 15.17
Mma´x’ N/A N/A N/A
Vma´x 8.62 8.04 9.1
wma´x 22.42 21.91 21.15
σma´x 15.18 15.23 15.27
Tabela 9: Erro relativo nas reações das vigas V3, V4, V8 e V11.
É neste tópico onde encontra-se a maior disparidade
de resultados, vale ressaltar que o projeto piloto foi
escolhido de formar que a flecha máxima da viga não
ultrapassasse o estado limite de serviço deL/250, como
L = 10, logo a flecha máxima seria de 40 mm, e tam-
bém que a tensão no aço não ultrapassasse o limite de
escoamento, que para o aço ASTM A36 é de 250 MPa.
Como já citado anteriormente as possíveis dispari-
dades nos valores encontrados de um método para o
outro são devidas as simplificações na análise analítica,
que não leva em conta a estrutura no seu estado defor-
mado por exemplo, estado este que altera os valores
de tensões e deslocamentos das vigas.
Outro grande motivo sobre a diferença entre os re-
sultados se dá ao fato que a laje não transfere seus es-
forços para a viga da mesma forma como foi mostrada
nas Figuras 3 e 5, essa é uma consideração realizada
pela norma nacional de dimensionamento em concreto
armado, na realidade, segundo KUANG (2017)[3], em
lajes maciças apoiadas por 4 vigas (Figura 11), os car-
regamentos são trapezoidais e triangulares, como mos-
trado nas Figura 12.
Figura 11: Laje com apoios livres da Figura 12.
Figura 12: Distribuição de carregamentos da Figura 11.
A tensão máxima devido a momento fletor nas vi-
gas calculadas analiticamente foi de 227, 55 MPa, que
corresponde as vigas V3, V4, V8 e V11. No cálculo
computacional ocorreu na viga V8 e V11, no primeiro
pavimento com o valor de 193 MPa. Vale ressaltar que
o software faz o cálculo para cada viga diferenciando
ainda seus pavimentos de alocação, no caso do cálculo
analítico devido a simetria geométrica e igualdade das
seções, considerasse que todos esses valores de tensão,
momento, cortante e flecha máxima sejam iguais em to-
dos pavimentos. Foi exatamente nas tensões máximas
na viga devido a momento fletor, onde encontrou-se
o maior valor de erro relativo, que foi de 15, 58% na
viga V3 e V4 no terceiro pavimento.
A flecha máxima no cálculo analítico também foi
encontrada nas vigas V3, V4, V8 e V11, com o valor de
39, 57mm e 31, 2 na viga V8 e V11 na forma computaci-
onal, o erro relativo neste caso foi o maior encontrado
no artigo, que é de 22, 42%.
5.3 Pilares
Para os pilares P1, P3, P7 e P9, o erro relativo é de:
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Elemento Erro Relativo (%)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P1 9.82 9.82 9.74
P3 9.82 9.82 9.74
P7 9.82 9.82 9.74
P9 9.82 9.82 9.74
Tabela 10: Força Normal nos pilares P1, P3, P7 e P9.
Para os pilares P2, P4, P6 e P8:
Elemento Erro Relativo (%)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P2 0.61 0.6 0.49
P4 0.82 0.82 0.88
P6 0.82 0.82 0.88
P8 0.61 0.6 0.49
Tabela 11: Força Normal nos pilares P2, P4, P6 e P8.
Para o pilar central P5:
Elemento Erro Relativo (%)Pav. 1 Pav. 2 Pav. 3
P5 8.18 7.55 7.46
Tabela 12: Força Normal no pilar P5.
As cargas pontuais que chegam na fundação deram
resultados diferentes no software quando compara-
das ao cálculo analítico, tendo como máxima variação
9, 82%, respectivo a carga de P1, P3, P7 e P9, porém
quando analisamos a estrutura como um todo, o soma-
tório destas cargas foi praticamente igual.
• Analítico
351.3 · 4 + 879, 3 · 4 + 2137, 8 = 7060.2 kN (21)
• SCIA Engineer
385.79 · 4 + 884.66 · 2 + 884.53 · 2+
1976.13 = 7057.67 kN
(22)
• Erro relativo
Er =
∣∣∣∣7060.2− 7057.677060.2
∣∣∣∣ · 100 = 0.04%
(23)
A aproximidade das cargas totais que chegam na
fundaçao se deve ao fato que mesmo que os pilares
tenham alguma diferença entre esforços normais, em
comparação do resultado analítico com o de software,
os esforços que foram aplicados na estrutura como um
todo é a mesma em ambas soluções.
6 Considerac¸o˜es Finais
Embora o presente artigo tivesse como intuito compa-
rar os resultados analíticos com os do software SCIA
Engineer, alguns passos tomados nestre trabalho, base-ados no processo de dimensionamento comum entre
engenheiros do ramo (baseados em processos normati-
vos), levaram à maiores erros cujoresultados demons-
trados se divergiram dos resultados que seriam real-
mente analíticos.
As duas divergências presentes neste trabalho foram
partidas do processo de obtenção de momentos nas
lajes, onde se seguiram as tabelas de Czerny, que são
tabelas semi-empíricas, como comentado na Subseção
5.1 e no processo de obtenção das cargas transferi-
das das lajes sobre as vigas, seguidas pela norma NBR
6118/2014, onde há uma grande simplificação no mé-
todo.
Tanto o MEF, como o SCIA Engineer, que aplica o
método, se mostraram ferramentas poderosas para o
cálculo estrutural, podendo ser usadas em situações
de projetos reais. O conhecimento teórico também se
mostrou importante para compreender o porquê da
diferença dos resultados e como cadamétodo analisado
se comporta quando utilizado.
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Comparação de resultados da simulação em Métodos dos Elementos Finitos através do software SCIA Engineer com as
respectivas soluções analíticas
Bibliografia
[1] GONTIJO, Guilherme Batista; SILVA, Ney Amorim.
Cálculo e análise dos momentos fletores em lajes
de concreto armado. Curso de especialização em
estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais.
Minas Gerais. 2015.
[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNI-
CAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto —
Procedimento. Rio de Janeiro, p. 96. 2014.
[3] KUANG, William. Area Loads in One-
Way and Two-Way Systems. Disponível em:
<https://skyciv.com/technical/area-loads-in-one-
way-and-two-way-systems/>. Acesso em 22. maio.
2019.
Anexo 1
Tabela de Czerny para o caso 3.
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