Notas de Cálculo 1

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Marco Aymone
Universidade Federal de Minas Gerais
UFMG
Cálculo I - Notas de Aula
Notas de Aula do curso de cálculo I, versão 2017/01.
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Proposta
1
Esta é uma tentativa (des)pretensiosa de digitalizar as notas de aula do curso de cálculo 1. Este
documento contém não todo, mas boa parte do conteúdo visto em aula. Portanto, é importante a
presença de corpo e alma nas aulas.
O objetivo não é dispensar o uso de um livro texto. Recomenda-se o uso de não só um, mas
de vários livros de cálculo.
Esta é a primeira versão e não está revisada. Fique sabendo que aqui você encontrará erros
de toda natureza: ortográfica, digitação,...,+, −, ddx ,
∫
, limx→a,...
Os estudantes estão convidados a revisar, enviar sugestões e correções para 〈marco@mat.ufmg.br〉.
O prêmio para isso será o nome nos agradecimentos abaixo.
Quando no meio do texto uma seção estiver acompanhada da palavra �opcional�, significa que
a leitura não é obrigatória. Todo o conteúdo do appendix A é opcional. No appendix B estão
exercícios que já foram cobrados em exames anteriores.
Agradecimentos:
O autor agradece os estudantes, pela leitura cuidadosa, pelas correções de toda natureza, pelos
comentários, pelos questionamentos e sugestões que aprimoram o texto.
Gabriel Baker, Lucas Oliveira Machado de Sousa, Marcelo Augusto, José Geraldo, Gabriel
Ricardo, Lucas Oliveira Machado de Sousa, Wanderson
Sumário
1 Aula - Números reais, funções e gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Aula - Mais funções e mais gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Retas verticais e gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Funções induzidas por expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Funções definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Funções pares e ímpares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Funções monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Funções da forma xr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Aula - Funções exponenciais, inversas e logaritmos. Operações entre funções. 15
3.1 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Propriedades das funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Funções injetivas, sobrejetivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Propriedades da função logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Somas e produtos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Aula - Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Definição precisa de limite (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Convenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Convenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6 Propriedades de Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Aula - Ao infinito e além. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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5.2 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Aula- Teorema do confronto e do valor intermediário, funções contínuas. . 26
6.1 Teorema do confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Propriedades das funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.4 Funções contínuas e cálculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.5 O gráfico de uma função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Aula - Aplicações do TVI e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Aula - Um número... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.1 Um limite muito importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9 Aula - Introdução ao cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.1 A noção geométrica de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2 Definição de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10 Aula - Derivada das funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.1 A derivada de uma função também é uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.2 A notação
dy
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.3 Derivada da função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.4 Derivada de uma função multiplicada por uma constante . . . . . . . . . . . . 37
10.5 A derivada da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.6 Derivadas de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.7 Derivada da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.8 Derivada da função logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Aula - Regra do Produto e do Quociente, derivadas do seno e cosseno . . 39
11.1 Derivadas de funções trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11.2 A regra do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3 Regra do Quociente I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.4 Regra do Quociente II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Aula - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.1 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.2 A notação
d
dx e a regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13 Aula - Linearização, e consequências da hipótese de diferenciabilidade.. 45
13.1 Aproximação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.2 Como uma função pode não ser diferenciável no ponto x = a? . . . . . . . . . 47
14 Aula - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
15 Aula - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Cálculo I Aula 0 pág. 5
16 Aula- Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
16.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
16.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
17 Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
18 Aula - Derivada de funções implícitas e funções inversas . . . . . . . . . . . 50
18.1 Funções definidas implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
18.2 Derivada de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
19 Aula - Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
20 Aula - Funções n vezes diferenciáveis, máximos e mínimos. . . . . . . . . . 57
20.1 Anatomia das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
21 Aula - Pontos críticos, Teorema de Fermat e o método do intervalo fechado 61
21.1 Máximos ou mínimos locais e pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
21.2 Método do intervalo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
22 Aula - Teoremas de Rolle e do valor médio; Funções crescentes ou descrescentes
8 de maio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
22.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
22.2 Teorema do Valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
22.3 Derivadas e funções crescentes ou decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
23 Aula - Concavidade e pontos críticos revisitados. . . . . . . . . . . . . . . . 66
23.1 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
23.2 Pontos críticos revisitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
23.3 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
24 Mais gráficos; A Regra de L'Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
24.1 A regra de L'Hôspital (LH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
24.2 Interpretando o resultado de LH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
24.3 Quando não usar LH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
25 Aula - L'Hôspital II, Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
25.1 Limites do tipo 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
25.2 Limites do tipo 00, ∞0, 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
25.3 Aplicação de LH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25.4 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
26 Aula - Otimização II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
27 Aula - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
28 Aula - Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
29 Aula - Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
30 Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
31 Aula - Introdução ao cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
31.1 Áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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31.2 A integral de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
31.3 A função induzida por uma integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
32 Aula - Primitivas e Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
32.1 Integral indefinida vs Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
33 Aula - Métodos de integração: Substituição e partes . . . . . . . . . . . . . 88
33.1 Método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
33.2 O método da substituição e integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
33.3 Método de integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
34 O método da substituição trigonometrica; Polinômios trigonométricos . . 91
34.1 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
34.2 Polinômios trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
35 Decomposição em frações paricais; Áreas entre curvas. . . . . . . . . . . . . 95
35.1 Decomposição em frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
35.2 Áreas entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
36 volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
36.1 Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . 101
36.2 Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . 102
37 Integração impropria; Ccomprimento de curva 12 de junho . . . . . . . . . 104
37.1 Integrais impróprias no ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
37.2 Integral de funções descontínuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
37.3 Mais exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
38 Comprimento de arco; Valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
38.1 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
38.2 Valore médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
38.3 Aproximando f pelo seu valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Appendix A Algumas justificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.1 O número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2 A intuição por trás do limite limx→0
sin(x)
x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3 O limite limh→0
1−cos(h)
h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.4 Demonstração da Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.5 Demonstração da Regra do Quociente I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.6 Demonstração da Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.7 Prova Teorema Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.8 Prova do Teorema Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.9 Prova do Teorema do valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.10 A soma dos quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Appendix B Banco de questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Cálculo I Aula 0 pág. 7
B.1 Primeira prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.4 Exame especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Cálculo I Aula 1 pág. 8
1. Aula - Números reais, funções e gráficos.
1.1. Números reais.O conjunto dos números reais é denotado por R e é dotado de 2 operações:
adição e multiplicação. Neste curso x, y, z denotam números reais arbitrários.
Propriedades da adição:
a) (x+ y) + z = x+ (y + z);
b) x+ y = y + x;
c) 0 + x = x+ 0, 0 é o elemento neutro da adição;
d) x+ (−x) = 0.
Propriedades da multiplicação:
e) (x · y) · z = x · (y · z);
f) x · y = y · x;
g) 1 · x = x, 1 é o elemento neutro da multiplicação;
h) Se x 6= 0 então possui inverso multiplicativo que é denotado por x−1 ou 1x , e este número é tal
que x · 1x = 1;
i) x · (y + z) = x · y + x · z.
Note que a propriedade h) ensina como dividir um número real x por outro y:
x
y
= x · y−1,
contanto que y seja diferente de 0.
Duas consequências interessantes dessas propredades são as clássicas:
1) x · 0 = 0;
2) (−1) · (−1) = +1.
As propriedades 1 e 2 embora conhecidas não são tão óbvias. Quando multiplicamos 0 por 3,
por exemplo, é fácil deduzir que 0 · 3 = 0 pois 0 · 3 = 0 + 0 + 0 = 0. E multilplcar 0 por um número
irracional, pi = 3, 141592654... por exemplo? Não é tão óbvio, mas é consequência das propriedades
a-i.
Dedução de 1):
Por i) x · (0 + 1) = x · 0 + x · 1
Por c) x · 1 = x · 0 + x · 1
Por g) x = x · 0 + x
Por a) x+ (−x) = x · 0 + (x+ (−x))
Por d) 0 = x · 0.
Dedução de 2):
0 = 1 + (−1)
0 = (−1) · 0
0 = (−1) · (1 + (−1))
0 = (−1) · 1 + (−1) · (−1)
0 = (−1) + (−1) · (−1)
1 + 0 = 1 + (−1) + (−1) · (−1)
1 = (−1) · (−1).
1.2. Desigualdades. Sejam x e y números reais. Então:
x < y significa que x é menor do que y;
x ≤ y siginfica que x é menor ou pode ser igual a y;
x > y significa que x é maior do que y;
x ≥ y significa que x é maior ou pode ser igual a y.
Cálculo I Aula 1 pág. 9
Por exemplo, 2 < 3 e 3 > 2, mas também é legítimo escrever 2 ≤ 3 ou 3 ≥ 2.
1.3. Intervalos. Os intervalos de números reais podem ser de 3 tipos: aberto, fechado ou misto.
Sejam a e b números reais tais que a < b.
Intervalo aberto (a, b) = {x ∈ R : a < x < b};
Intervalo fechado [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};
Intervalo misto (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b};
Intervalo misto [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
1.4. Valor absoluto. O valor absoluto ou módulo de um número x, denotado por |x|, representa
a distância do número x até 0. Mais precisamente:
|x| =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0.
Exemplo: |3| = 3 e | − 3| = 3.
Observe da definição que o módulo de um número real é outro número real não negativo:
|x| ≥ 0.
Uma propriedade importante do módulo é a desigualdade triangular :
|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
1.5. Funções. O estudo de funções de uma variável real é o foco principal deste curso. Formal-
mente, uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto em outro conjunto. Em
cálculo 1 estamos interessados na classe das funções que associam números reais a outros números
reais - Funções reais de uma variável real. A notação padrão para uma função é f . Usualmente f
está definida em um conjunto A de números reais e associa elementos de A a outros números reais.
Nesse caso escrevemos
f : A→ R.
A notação y = f(x) significa que o número y está associado a x pela regra (função) f .
O domínio de f é o conjunto em que ela está definida. Na notação acima seria o conjunto A.
A imagem de f é o conjunto �saída�, isto é, é o conjunto de todos os números y tais que existe
algum x no domínio (x ∈ A) tal que y = f(x). Em linguagem matemática:
Imagem(f) = {y = f(x) : x ∈ A}.
Exemplos de funções:
1) Identidade: f(x) = x;
2) Parábola: f(x) = x2;
3) A parte inteira de um número real x: f(x) = [x].
No primeiro exmplo, a identidade associa a cada número x ele próprio; No segundo exemplo f
associa a cada número x o seu quadrado, por exemplo, f(2) = 4, f(3) = 9, f(
√
2) = 2; No terceiro
exemplo f associa a cada número x a sua parte inteira. A parte inteira de 1, 5 é 1, a parte inteira
de pi = 3, 141592654... é 3.
Exercício: Encontre o domínio da função f(x) =
√
x.
Cálculo I Aula 1 pág. 10
1.6. Gráficos. Uma forma de representar uma função é através de seu gráfico. A forma clássica de
fazer isso é através da representação gráfica no plano. Aqui identificamos o plano como o conjunto
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}. Para esboçar o gráfico de uma função f , traçamos 2 retas perpendiculares
a partir do ponto (0, 0): O eixo horizontal representa a coordenada dos valores de x (os valores de
entrada) e o eixo vertical representa a coordenada dos valores de y (valores de saída). O gráfico
de f consiste em marcar nesse plano todos os pontos da forma (x, f(x)), onde x percorre todo o
domínio de f .
Exemplo 1: f(x) = x
Exemplo 2: f(x) = x2
Exemplo 3: f(x) = [x]
Cálculo I Aula 1 pág. 11
Exemplo 4: f(x) = |x|
Figure 1.1. f(x) = |x|
Cálculo I Aula 2 pág. 12
2. Aula - Mais funções e mais gráficos.
Vimos que podemos atribuir um gráfico a cada função. A recíproca é verdadeira? Isto é, toda
curva C do plano pode ser representada como o gráfico de uma função f? A resposta é não e o
exemplo é simples.
Seja C o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem a equação
(2.1) x2 + y2 = 1,
isto é, C é o círculo de raio 1 (veja figura abaixo (2.1)). Os pontos (1/
√
2, 1/
√
2) e (1/
√
2,−1/√2)
pertencem ao círculo, visto que (
1√
2
)2
+
(
± 1√
2
)2
= 1.
Se C fosse o gráfico de uma função f , então teríamos que
f(1/
√
2) = 1/
√
2, e também que
f(1/
√
2) = −1/√2, implicando que 1/√2 = −1/√2, o que é falso. Concluímos que não existe
função f que realize o círculo como gráfico.
2.1. Retas verticais e gráficos. Uma curva C no plano é o gráfico de uma função se e somente
se cada reta vertical corta C no máximo uma vez.
No exemplo do círculo, veja que muitas retas verticais intersectam o círculo 2 vezes:
Figure 2.1. Círculo de raio 1
Exercício: Seja C o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem a equação (2.1) e tal que y ∈ [0, 1].
Mostre que C é o gráfico de uma função f , e exiba uma função que realiza esse gráfico.
2.2. Funções induzidas por expressões algébricas. Considere a seguinte expressão:
1
x2 + 2x+ 1
.
Essa expressão está bem definida para os valores de x para os quais x2 + 2x + 1 6= 0. Uma
manipulação mostra que x2 + 2x+ 1 = 0 se e somente se x = −1. Definindo D = R \ {1} obtemos
uma função f : D → R induzida por essa expressão (veja o gráfico abaixo)
f(x) =
1
x2 + 2x+ 1
.
Cálculo I Aula 2 pág. 13
2.3. Funções definidas por partes. f : D → R é dita definida por partes quando é estipulada
por mais de uma regra em seu domínio. Um exemplo é a função módulo ou valor absoluto. Outro
exemplo é a função f : [0,∞)→ R definida como
f(x) =
{
0, se x = 0
1
x , se x > 0.
É importante observar que f não é a mesma função que g : (0,∞) → R, onde g é dada por
g(x) = 1x . Isto porque 0 está no domínio de f mas não está no domínio de g.
Uma função sempre deve ser vista como um par: Uma regra e um domínio. Basta um desses
ser diferente para obter funções diferentes.
2.4. Funções pares e ímpares. f : R→ R é par se f(x) = f(−x), para todo número real x; É
ímpar se f(−x) = −f(x), para todo real x. Exemplos de funções pares são as potências pares de
x: x0, x2, x4, x6, .... Exemplos de funções ímpares são as potências ímpares de x: x, x3, x5, x7, ...
Para desenhar o gráfico de uma função par ou ímpar basta primeiro desenhar o gráfico na porção
positiva de R e então fazer uma reflexão, conforme:
2.5. Funções monótonas. f é dita monótona se satisfaz pelo menos uma das afirmações (a-d)
abaixo:
a) f(a) ≤ f(b), para todos a < b no domínio de f .
b) f(a) ≥ f(b), para todos a < b no domínio de f .
No caso a) dizemos que f é não-decrescente e no caso b) dizemos que f é não-crescente. Pode
ocorrer também que
c) f(a) < f(b), para todos a < b no domínio de f .
d) f(a) > f(b), para todos a < b no domínio de f .
No caso c) dizemos que f é crescente; Nocaso d) decrescente. A função f(x) = x é um
exemplo de uma função crescente. Já a função f(x) = 1/x, definida no intervalo 0 < x < ∞ é
decrescente.
Cálculo I Aula 2 pág. 14
2.6. Funções da forma xr. Essas são as funções onde r é um número real fixo, e x varia em um
certo domínio. Esse domínio é extremamente sensível ao valor de r: Para r um número natural,
f(x) = xr está definida em todo R; Para r = 1/2, f(x) = x1/2 =
√
x e essa expressão está definida
somente para valores não negativos de x; ; Para r < 0, então 0 não está no domínio de f .
2.7. Funções periódicas. Uma função f é periódica de período T se f(x+ T ) = f(x) para todo
x em seu domínio. Um exemplo de uma função periódica de período 1 é a parte fracionária de um
número x, isto é, f(x) = x− [x] (veja o g´rafico abaixo) onde [x] é a parte inteira.
2.8. Polinômios. É uma função do tipo P (x) = a0 +a1x+a2x
2 + ...+anx
n
, onde n é um número
natural e a0, ..., an são núemeros reais fixos. O grau de P é o maior número g tal que o coeficiente
ag 6= 0. Por exemplo, P (x) = 2x2 + x17 tem grau 17; P (x) = 1 + x+ x2 + x3 + x5 tem grau 5. O
domínio de qualquer polinômio é sempre todo R. Note que f(x) =
√
x não é um polinômio.
2.9. Funções lineares. São todos os polinômios de grau 1, isto é, f é uma função linear se existem
números reais a, b tais que f(x) = ax + b, para todo x real. O gráfico de f é sempre uma reta.
Para a = 0, o gráfico de f é uma reta horizontal; Para a > 0, o gráfico de f é uma reta crescente;
Para a < 0 o gráfico de f é uma reta decrescente.
2.10. Funções Racionais. São as funções da forma
P (x)
Q(x) , onde P e Q são polinômios. Exemplo,
f(x) = 5x+11+x2 .
2.11. Seno e Cosseno. As funções trigonométricas básicas são sin (seno) e cos (cosseno). O
domínio delas é todo R e podem ser definidas conforme o diagrama mostrado em aula. A convenção
aqui é que o argumento dessa funções sempre será em radianos. Elas tem a propriedade de que
para todo x, o ponto (sin(x), cos(x)) está no círculo de raio 1, isto é,
sin(x)2 + cos(x)2 = 1.
Além disso elas tem período 2pi: sin(x+ 2pi) = sin(x), para todo x real.
Cálculo I Aula 3 pág. 15
3. Aula - Funções exponenciais, inversas e logaritmos. Operações entre funções.
3.1. Funções exponenciais. Seja a > 0 um número fixo. Uma função f : R → R da forma
f(x) = ax é dita exponencial.
Como funções exponenciais podem ocorrer no cotidiano?
Suponha que uma pessoa escreve uma mensagem. Um minuto depois ela envia essa mensagem para
outras 2. No próximo minuto cada uma dessas 2 envia para outras 2, totalizando 4 recebimentos.
No próximo minuto cada uma das 4 envia para mais outras 2, totalizando 8 recebimentos. E assim
por diante.
Consideremos o instante t = 0 o momento em que a primeira pessoa escreve a mensagem. Seja
g(t) a quantidade de pessoas que recebem a mensagem no instante t. Então
g(t) = 2t.
Questão. Quem é maior, a quantidade de todas pessoas que receberam a mensagem até o tempo
t ou a quantidade de pessoas que receberão a mensagem no intante t+ 1?
Solução. Seja q(t) a quantidade de todas pessoas que receberam a mensagem até o tempo t. A
quantidade de pessoas que receberão a mensagem no intante t+ 1 é g(t+ 1). Observe que
q(t) = g(0) + g(1) + g(2) + ...+ g(t) = q(t− 1) + g(t).
Vamos calcular q(t) em casos particulares:
q(0) = g(0) = 20 = 1 < g(1) = 2,
q(1) = q(0) + g(1) = 1 + 2 = 3 < g(2) = 4,
q(2) = q(1) + g(2) = 3 + 4 = 7 < g(3) = 8,
q(3) = q(2) + g(3) = 7 + 8 = 15 < g(4) = 16,
q(4) = q(3) + g(4) = 15 + 16 = 31 < g(5) = 32.
Assim pelo menos para t = 0, 1, 2, 3, 4, obtemos que q(t) < g(t + 1). De fato, isto é verdade para
todo t ∈ N e é consequência da seguinte fórmula:
Proposição 3.1. Seja n um número natural e x 6= 1. Então
1 + x+ x2 + ...+ xn =
xn+1 − 1
x− 1 .
Prova.
(1 + x+ x2 + ...+ xn) · (x− 1) =
{
x (1 + x+ x2 + ...+ xn)
−(1 + x+ x2 + ...+ xn)
=
{
x+ x2 + x3 + ...+ xn + xn+1
−1− x− x2 − x3 − ...− xn
=xn+1 − 1
Concluímos a prova dividindo a equação acima por x− 1.
Aplicando a fórmula acima para x = 2 e n = t:
q(t) = 1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2t =
2t+1 − 1
2− 1 = 2
t+1 − 1 = g(t+ 1)− 1 < g(t+ 1),
respondendo nossa questão.
3.2. Propriedades das funções exponenciais. Sejam a, b > 0 e x, y ∈ R.
a) ax+y = axay;
b) ax−y = a
x
ay ;
c) (ax)y = axy;
d) (ab)x = axbx.
Cálculo I Aula 3 pág. 16
Figure 3.1. f(x) = ax, a > 1
Figure 3.2. f(x) = ax, 0 < a < 1
3.3. Funções injetivas, sobrejetivas e inversas. f é injetiva se f(a) 6= f(b) para todos os pares
a 6= b. Um exemplo é a função identidade. Dizemos que f : D → I é sobrejetiva se para todo y ∈ I
existe x no domínio de f tal que f(x) = y. A função f : R→ [0,∞), f(x) = x2 é sobrejetiva, pois
para todo y ∈ [0,∞) existe x tal que x2 = y. No caso x = √y. Entretanto f não é injetiva, pois
f(1) = f(−1).
Dizemos que f é uma bijeção quando é injetiva e sobrejetiva. A função f : (0, 1] → [1,∞),
f(x) = x−1 é um exemplo de bijeção.
Seja f : D → I uma bijeção. Definimos e denotamos f−1 a função inversa de f , isto é,
f−1 : I → D é definida tal que f−1(y) = x se e somente se f(x) = y.
Por exemplo, a função f : [0,∞)→ [0,∞) dada por f(x) = x2 é uma bijeção (compare com o
parágrafo acima) e sua inversa é f−1(x) =
√
x.
3.4. Logaritmos. Seja a > 1. Definimos e denotamos loga a função logaritmo na base a, onde
loga : (0,∞) → R é a função inversa de f : R → (0,∞), f(x) = ax. Em outras palavras, o
logaritmo é a função inversa da exponencial. Isso quer dizer que loga y = x se e somente se a
x = y.
Por exemplo, sabemos que 23 = 8. Logo log2 8 = 3. Da mesma forma, log2 32 = 5, log2
√
2 =
1
2 .
Figure 3.3. f(x) = log2(x)
Cálculo I Aula 3 pág. 17
Vimos que se f é exponencial, então f(x + y) = f(x)f(y). Informalmente, f transforma a
soma em produto. Sendo o logaritmo a função inversa da exponencial, obtemos que log(xy) =
log(x) + log(y), isto é, o logaritmo transforma o produto em soma.
3.5. Propriedades da função logaritmo. Sejam x, y > 0 e a > 1.
a)loga(xy) = loga(x) + loga(y);
b)loga(x/y) = loga(x)− loga(y);
c)loga(x
r) = r loga(x), para todo real r;
d)aloga(x) = x.
3.6. Composição de funções. Sejam f : A → R e g : B → A funções. Definimos e denotamos
f ◦ g a composição da função f com a função g tal que
f ◦ g(x) = f(g(x)).
A composição da f com g só faz sentido quando a imagem de g está contida no domínio da f .
Observe que, quando f tem inversa, a composição de f com f−1 retorna na identidade, isto é:
f ◦ f−1(x) = x.
Exemplos: A função h(x) = cos(1 + x2) é a composição de f(x) = cos(x) com g(x) = 1 + x2;
A função h(x) = 15+x4 é a composição de f(x) =
1
x com g(x) = 5 + x
4
.
3.7. Somas e produtos de funções. Dadas duas funções f e g com o mesmo domínio, definimos
f + g e fg como
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x).
Quando g(x) 6= 0 para todo x em seu domínio definimos fg como
f
g
(x) =
f(x)
g(x)
.
Cálculo I Aula 4 pág. 18
4. Aula - Limites
O conceito de limite desempenha um papel central no estudo das funções. A área da matemática
que estuda funções nesse ponto de vista se chama Análise.
Formalmente escrevemos
lim
x→a f(x) = L
e informalmente dizemos que os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x fica
próximo do número a. Por arbitrariamente próximo de a queremos dizer que f sequer precisa
estar definida no ponto x = a, mas sim em uma vizinhança de a, i.e., um conjunto da forma
(a− δ, a+ δ) \ {a}, onde δ é um número positivo possivelmente pequeno.
Exemplo 4.1. Considere f : R\{1} → R dada por f(x) = x2−1x−1 . O gráfico de f em uma vizinhança
no ponto de x = 1 é:
Observe que os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de 2 quando x fica arbitrariamente
próximo de 1. Nesse caso é legítimo escrever
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2.
De fato, para mostrar algebricamente queisso é verdade, procedemos da seguinte forma:
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = limx→1(x+ 1) = 1 + 1 = 2.
Exemplo 4.2. Considere agora um mau exemplo: f : R \ {0} → R, f(x) = sin(1/x). Afirmamos
que os valores f(x) não se aproximam de um único valor L a medida que x fica arbitrariamente
próximo de 0.
Figure 4.1. x variando entre 0.01 e 0.03
Cálculo I Aula 4 pág. 19
Figure 4.2. x variando entre 0.001 e 0.0012
Nos gráficos acima vemos que a função sin(1/x) fica oscilando rapidamente conforme x → 0
(x tende a 0). Nesse caso escrevemos que o limite não existe:
@ lim
x→0
sin
(
1
x
)
.
Exemplo 4.3. Considere f : R \ {0} → R, f(x) = x sin(1/x). Começamos observando que f é par
(verifique!) e portanto só precisamos analisar o comportamento de f nos reais positivos. O gráfico
dessa f nessa região do espaço é
Figure 4.3. x variando entre 0.001 e 0.008
Vemos que os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de 0 quando x = 0. De fato, isso
é verdade porque −1 e +1 são, respectivamente, o menor e o maior valor que função sin pode
assumir. Em outras palavras, | sin(a)| ≤ 1 para todo a ∈ R. Sendo assim:
0 ≤ lim
x→0
|x sin(1/x)| ≤ lim
x→0
|x| · 1 = 0.
4.1. Definição precisa de limite (opcional).
Definição 4.1. Escrevemos
lim
x→a f(x) = L
quando para cada número pequeno � > 0 existe um número possivelmente menor δ > 0 tal que
|f(x)− L| ≤ �,
para todo x na vizinhança (x− δ, x+ δ) \ {a}.
Como interpretar essa definição?
Cálculo I Aula 4 pág. 20
Imagine que um matemático A está 100% certo de que
lim
x→a f(x) = L,
e deseja provar. Então um matemático B lhe diz: Eu duvido que para este valor de � = h > 0
existe uma vizinhança de a tal que para todo x nessa vizinhança |f(x)− L| ≤ h. Então A fornece
explicitamente um valor de δ = b > 0 tal que para todo x na vizinhança (x− b, x+ b) \ {a} vale
|f(x)− L| ≤ �.
Não satisfeito, B fala: OK! tome um novo valor de � = h10000000 . Então A faz umas contas e mostra
que δ = b100000000000000 > 0 é suficiente para garantir que
|f(x)− L| ≤ h
10000000
,
para todo x em (x− δ, x+ δ)\{a}. Assim A e B continuam nesse impasse. A cada etapa B fornece
um valor � > 0 menor que o anterior, e a cada etapa A tenta achar um valor de δ > 0. Se eles
continuarem infinitamente, isto é, se para todo � > 0 fornecido por B o matemático A achar um
δ > 0 tal que para todo x na vizinhança (x− δ, x+ δ) \ {a} vale
|f(x)− L| ≤ �,
então
lim
x→a f(x) = L.
4.2. Convenção. Dizemos que o limite existe e escrvemos ∃ limx→a f(x) quando para algum
número real L
lim
x→a f(x) = L.
A partir da definição é possível provar que esse valor L é único, no sentido de que se limx→a f(x) = L
e limx→a f(x) = M , então L = M .
4.3. Propriedades de limites. Sejam f, g funções tais que limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M .
L1) lim
x→a(f(x) + g(x)) = L+M ;
L2) lim
x→a cf(x) = cL, para todo c ∈ R;
L3) lim
x→a f(x)g(x) = LM ;
L4) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, se M 6= 0;
Exemplo 4.4. Calcule limx→2(1 + x+ x2 + x3).
Solução 1:
lim
x→2
(1 + x+ x2 + x3) =
(P1)
lim
x→2
1 + lim
x→2
x+ lim
x→2
x2 + lim
x→2
x3
= 1 + 2 + 22 + 23
= 1 + 2 + 4 + 8
= 15.
Cálculo I Aula 4 pág. 21
Solução 2: Pela Proposição 3.1 temos que
lim
x→2
(1 + x+ x2 + x3) = lim
x→2
x4 − 1
x− 1
=
(P4)
limx→2(x4 − 1)
limx→2(x− 1)
=
24 − 1
2− 1
= 15.
4.4. Limites Laterais. Os limites laterais podem ser de 2 tipos:
Limite Lateral pela direita. Escrevemos
lim
x→a+
f(x) = L
quando os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x se aproxima de a por valores
estritamente maiores que a. Mais precisamente (opcional): Quando para todo � > 0 existe δ > 0
tal que para todo x ∈ (a, a+ δ) vale
|f(x)− L| ≤ �.
Limite Lateral pela esquerda. Escrevemos
lim
x→a−
f(x) = L
quando os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x se aproxima de a por valores
estritamente menores que a. Mais precisamente (opcional): Quando para todo � > 0 existe δ > 0
tal que para todo x ∈ (a− δ, a) vale
|f(x)− L| ≤ �.
4.5. Convenção. Dizemos que existe limx→a+ f(x) quando para algum número real L temos
limx→a+ f(x) = L. Analogamente, dizemos o mesmo para a existência de limx→a− f(x).
Questão. Quando os limites laterais existem necessariamente são iguais?
Exemplo 4.5. A função de Heaviside H : R \ {0} → {0, 1} é dada por
H(x) =
{
0, se x < 0,
1, se x > 0.
Figure 4.4. A função de Heaviside
Claramente temos
lim
x→0−
H(x) = 0 6= lim
x→0+
H(x) = 1.
4.6. Propriedades de Limites Laterais. Limites Laterais satisfazem além da unicidade as pro-
priedades (P1)-(P4) dos limites, e uma quinta propriedade:
(L5)
lim
x→a f(x) = L
⇐⇒
lim
x→a+
f(x) = L, lim
x→a−
f(x) = L.
Cálculo I Aula 5 pág. 22
5. Aula - Ao infinito e além.
5.1. Limites no infinito. Por
a) lim
x→∞ f(x) = L, b) limx→−∞ f(x) = L
queremos dizer que, no caso a), os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando x fica
arbitrariamente grande; No caso b), os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L quando
x < 0 fica arbitrariamente grande em valor absoluto (|x|).
(Opcional) A definição precisa no caso a) é: Para todo � > 0 existe um número inteiro n tal
que para todo x ≥ n vale |f(x)−L| ≤ �. Já no caso b): Para todo � > 0 existe um número inteiro
n tal que para todo x ≤ n vale |f(x)− L| ≤ �.
Antes de exemplos, precisamos estabelecer o
Princípio da monotonicidade. Seja f uma função monótona e limitada, isto é, limitada quer dizer
que existe M > 0 tal que para todo x no domínio de f temos
−M ≤ f(x) ≤M.
Então para cada ponto a:
M1) Existe limx→a+ f(x), se f está definida em uma vizinhança à direita do ponto a;
M2) Existe limx→a− f(x), se f está definida em uma vizinhança à esquerda do ponto a;
M3) Existe limx→∞ f(x), se [a,∞) está no domínio de f ;
M4) Existe limx→−∞ f(x), se (−∞, a] está no domínio de f .
Exemplo 5.1. Seja f : [1,∞)→ R, f(x) = 1x . A função f(x) = 1/x é decrescente, em particular é
monótona. Como o domínio de f é o intervalo [1,∞) obtemos que f é limitada, visto que
0 <
1
x
≤ 1.
Pelo princípio da monotonicidade, existe limx→∞ f(x), resta estabelecer esse valor limite.
O gráfico de f é
Vemos pelo gráfico que os valores f(x) se aproximam de 0 conforme x cresce. Assim, suspeita-
mos desde o princípio que
lim
x→∞ f(x) = 0.
De fato isso é verdade. A intuiçao por trás do fato que o limite acima é zero, é que o numerador
fica fixo igual a 1 e o denominador cresce ilimitadamente.
Exemplo 5.2. Calcule lim
x→∞
x− 1
x
. Começamos observando que
x− 1
x
= 1− 1
x
.
Cálculo I Aula 5 pág. 23
Portanto
lim
x→∞
x− 1
x
= lim
x→∞
(
1− 1
x
)
=
(P1)
lim
x→∞ 1− limx→∞
1
x
= 1− 0
= 1.
Figure 5.1. f(x) = x−1x
Exemplo 5.3. Considere f : R→ R, f(x) = 12x . Então podemos proceder da mesma forma que no
exemplo 5.1 e mostrar que
lim
x→∞
1
2x
= 0.
Em geral, se 0 < a < 1, então limx→∞ ax = 0.
Figure 5.2. f(x) = 12x
Exemplo 5.4. Calcule limx→∞(
√
x+ 10−√x).
Solução - a técnica de multiplicar e dividir por 1:
lim
x→∞(
√
x+ 10−√x) = lim
x→∞(
√
x+ 10−√x) ·
√
x+ 10 +
√
x√
x+ 10 +
√
x
= lim
x→∞
(x+ 10)− (x)
1
· 1√
x+ 10 +
√
x
= lim
x→∞
10√
x+ 10 +
√
x
= 0.
Cálculo I Aula 5 pág. 24
5.2. Limites infinitos. Até agora estudamos limites, limites laterais, limites no infinito e limites
no -infinito. Em todos os casos sempre obtemos um número real como resposta - Nossa convenção
de existência de limite. Agora nós vamos introduzir o conceito
lim
x→Ω
f(x) =∞,
onde Ω representa uma das 5 possibilidades: O limite comum no ponto a, Ω = a, os limites laterais
pela esquerda ou direita, Ω = a− ou Ω = a+, e os limites no infinito ou -infinto, Ω = ∞ ou
Ω= −∞.
Dizemos que
lim
x→Ω
f(x) =∞,
quando os valores f(x) ficam arbitrariamente grandes quando x
1) se aproxima de a, no caso em que Ω = a;
2) se aproxima de a pela esquerda, quando Ω = a−;
3) se aproxima de a pela direita, quando Ω = a+;
4) fica arbitrariamente grande, quando Ω =∞;
5) quando x < 0 fica com |x| arbitrariamente grande, quando Ω = −∞.
Dentro das 5 possibilidades acima, dizemos que
lim
x→Ω
f(x) = −∞
quando limx→Ω(−f(x)) = ∞. Em cada um dos exemplos abaixo justifique com um argumento
gráfico:
lim
x→∞x =∞;
lim
x→−∞x = −∞;
lim
x→0+
1
x
=∞;
lim
x→0−
1
x
= −∞;
lim
x→0+
log2(x) = −∞;
lim
x→∞x
p =∞, para todo p > 0;
lim
x→∞ a
x =∞, para todo a > 1;
lim
x→1+
1
x− 1 =∞;
Exemplo 5.5. Seja P um polinômio de grau p e Q um polinômio de grau q. Calcule
lim
x→∞
P (x)
Q(x)
.
Cálculo I Aula 5 pág. 25
Solução: Escreva P (x) = a0 + a1x+ ...+ apx
p
, Q(x) = b0 + b1x+ ...+ bqx
q
. Então
lim
x→∞
P (x)
Q(x)
= lim
x→∞
a0 + a1x+ ...+ apx
p
b0 + b1x+ ...+ bqxq
= lim
x→∞
xp
xq
(a0x
−p + a1x1−p + ...+ ap)
(b0x−q + b1x1−q + ...+ bq)
= lim
x→∞x
p−q · (a0x
−p + a1x1−p + ...+ ap)
(b0x−q + b1x1−q + ...+ bq)
.
Observe que
lim
x→∞
(a0x
−p + a1x1−p + ...+ ap)
(b0x−q + b1x1−q + ...+ bq)
=
ap
bq
.
Por outro lado
lim
x→∞x
p−q =

∞, se p > q
1, se p = q
0, se p < q.
Sendo assim, limx→∞
P (x)
Q(x) é
ap
bp
, se P e Q tem mesmo grau; É 0 se p < q; É +∞ se p > q e apbq > 0;
É −∞ se p > q e apbq < 0.
5.3. Assíntotas. Dizemos que a reta horizontal y = L é uma assíntota ao gráfico de uma função
f se limx→∞ f(x) = L ou limx→−∞ f(x) = L.
Por exemplo, a reta y = 1 é uma assíntota (horizontal) ao gráfico da função f(x) = xx−1 (veja
exemplo acima).
Dizemos que a reta vertical x = a é uma assíntota ao gráfico de uma função f se limx→a+ f(x) =
±∞ ou limx→a− f(x) = ±∞.
Por exemplo, a reta x = 0 é uma assíntota (vertical) ao gráfico da função f(x) = 1/x.
Cálculo I Aula 6 pág. 26
6. Aula- Teorema do confronto e do valor intermediário, funções contínuas.
6.1. Teorema do confronto. Sejam f e g tais que f(x) ≤ g(x), para todo x em uma vizinhança
Ω, onde Ω representa um ponto a, ou um limite lateral a+, a−, ou ∞ ou −∞. Por vizinhança de
∞ ou de −∞ referimos, respectivamente, a um conjunto da forma [a,∞) ou (−∞, a]. Então
lim
x→Ω
f(x) ≤ lim
x→Ω
g(x).
Além disso, suponha que uma terceira função h satisfaz limx→Ω h(x) = limx→Ω g(x). Assuma
também que
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x),
para todo x em uma vizinhança de Ω. Então
lim
x→Ω
h(x) = lim
x→Ω
f(x) = lim
x→Ω
g(x).
Exercício. Mostre que limx→∞ x−1 sin(x4) = 0 usando o teorema do confronto.
6.2. Funções contínuas. Dizemos que f é uma função contínua no ponto x = a se
lim
x→a f(x) = f(a).
No caso em que o domínio de f é um intervalo da forma [c, d], dizemos que f é contínua no ponto
c se
lim
x→c+
f(x) = f(c);
Dizemos que f é contínua no ponto d se
lim
x→d−
f(x) = f(d).
Dizemos que f é descontínua no ponto a se f não está definida no ponto a, ou se está definida
no ponto a mas não existe limx→a f(x), ou, se existe e limx→a f(x) 6= f(a).
Dizemos que f é contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Nesse curso assumiremos que são funções contínuas em seu domínio: Os polinômios, as funções
da forma xr onde r > 0; o seno e o cosseno, as exponenciais e os logaritmos.
6.3. Propriedades das funções contínuas. Sejam f e g contínuas e com mesmo domínio.
C1) f + g é contínua;
C2) fg é contínua;
C3)
f
g (x) é contínua em todo x tal que g(x) 6= 0;
C4) Se a imagem de g está contida no domínio de f , então a composição f ◦ g é contínua;
C5) Se f é contínua e limx→Ω g(x) = L, então
lim
x→Ω
f ◦ g(x) = f(L).
6.4. Funções contínuas e cálculo de limites. O conhecimento prévio de que certas funções
são contínuas aliado com as propriedades C1-C5 permitem muitas estratégias para o cálculo de
limites.
Exemplo 6.1. Calcule limx→pi/4 tan(x).
A função tangente é tan(x) = sin(x)cos(x) . A função sin e cos são contínuas em R. Portanto tan é
contínua em todo x tal que cos(x) 6= 0. Em particular, tan(x) é contínua em x = pi/4. Logo
lim
x→pi/4
tan(x) = tan(pi/4) = 1.
Cálculo I Aula 6 pág. 27
Exemplo 6.2. Calcule
lim
x→∞(log2(x+ 10)− log2(x)).
Começamos observando que
log2(x+ 10)− log2(x) = log2
x+ 10
x
= log2
(
1 +
10
x
)
.
Em particular log2(x + 10) − log2(x) é a composição de funções contínuas: f(x) = log2(x) com
g(x) = 1 + 10x . Por um lado, limx→∞ g(x) = 1. Por outro lado, pela proprieda C5 temos que
lim
x→∞(log2(x+ 10)− log2(x)) = limx→∞ f ◦ g(x)
= log2(1)
= 0.
Exemplo 6.3. Calcule limx→a cos(cos(cos(x))). Ora, u(x) = cos(cos(cos(x))) é a composição de 3
funções contínuas f ◦ g ◦ h, onde f = g = h = cos. Pela propriedade C4, u(x) é contínua. Logo
lim
x→a cos(cos(cos(x))) = cos(cos(cos(a))).
6.5. O gráfico de uma função contínua. Seja f uma função contínua e suponha que o intervalo
[a, b] está no domínio de f . Heuristicamente, o gráfico de f nesse intervalo consiste em deformar
uma linha reta, composta de um material hiper flexível mas hiper resistente, impossível de partir
em qualquer ponto.
Essa propriedade é consequência de um resultado muito profundo em análise cuja prova está
além dos métodos vistos em um curso de cálculo 1:
Teorema 6.1. Seja f : [a, b]→ R contínua e tal que f(a) 6= f(b). Então para cada y entre f(a) e
f(b) existe um número x ∈ (a, b) tal que f(x) = y.
Na literatura esse resultado é conhecido como o Teorema do Valor Intermediário (TVI). As
aplicações desse teorema são muitas, abaixo veremos algumas delas.
Exemplo 6.4. A equação x = cos(x) tem solução. Achar uma solução dessa equação consiste em
encontrar uma intersecção entre os gráficos de f(x) = x e g(x) = cos(x). Equivalentemente, achar
uma solução para essa equação consiste em encontrar x0 tal que h(x) = x−cos(x) satisfaz h(x0) = 0.
De fato, observe que h(0) = 0 − cos(0) = −1 < 0. Por outro lado, h(pi/2) = pi/2 − cos(pi/2) =
pi/2 > 0. Pelo TVI existe x0 ∈ (0, pi/2) tal que h(x0) = 0, equivalentemente:
x0 = cos(x0).
Figure 6.1. Em vermelho f(x) = x; Em verde g(x) = cos(x); Em amarelo
h(x) = x − cos(x). O ponto x0 corresponde a intersecção das curvas vermelha e
verde, ou a intersecção da curva amarela com reta y = 0.
Cálculo I Aula 7 pág. 28
7. Aula - Aplicações do TVI e exercícios
Mais aplicações do TVI.
Exemplo 7.1. Todo polinômio de grau 3 possui pelo menos uma raíz real. Em geral, todo polinômio
de grau ímpar possui pelo menos uma raíz real.
Um número x é raiz de um polinômio P se P (x) = 0. Para achar as raízes de um polinômio
de grau 2 usamos a clássica fórmula do ensino médio. Entretanto, nem todo polinômio de grau 2
tem raíz real. Por exemplo P (x) = x2 + 1.
Se P é polinômio de grau 3, então P (x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0, onde a3 6= 0. Por um lado
lim
x→∞(a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0) = lim
x→∞x
3(a3 + a2x
−1 + a1x−2 + a0x−3)
=
{
∞, se a3 > 0
−∞ se a3 < 0.
Por outro lado
lim
x→−∞(a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0) = lim
x→−∞x
3(a3 + a2x
−1 + a1x−2 + a0x−3)
=
{
−∞, se a3 > 0
∞ se a3 < 0.
Se P tem grau 3, mostramos que as possibilidades para (limx→−∞ P (x), limx→∞ P (x)) são
(−∞,∞) ou (∞,−∞). Em qualquer um dos casos, existe um número b tal que P (b) > 0 e um
número a tal que P (a) < 0. No primeiro caso podemos tomar a < b e no segundo caso b < a. Pelo
TVI concluímos que existe x entre a e b tal que P (x) = 0.
Questão. O TVI continua valendo sem a hipóetese de continuidade? Não! Considere f : R→
R definida por
f(x) =
{
1, se x > 0,
0, se x ≤ 0.
Essa função só assume 2 valores: 0 e 1.
É uma contradição ao TVI? Não, pois tem uma descontinuidade em seu domínio, a saber, no
ponto x= 0.
7.1. Exercícios. Appendix B (limites e continuidade).
Cálculo I Aula 8 pág. 29
8. Aula - Um número...
8.1. Um limite muito importante. Um número especial na matemática, tão especial quanto o
pi, é o número de Euler, denotado como e. Os primeiros digítos de e são
e = 2, 718281828459045...
O por quê desse número ser tão especial será esclarecido nos próximos 2-3 anos.
As contribuiçoes de Leonhard Euler para a matemática são muitas. Os interessados na obra
e vida dele encontrarão suas respostas no google.
Aqui definimos o número de Euler como
e = lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
.
Equivalentemente
e = lim
x→0+
(1 + x)1/x.
Figure 8.1. f(x) =
(
1 + 1x
)x
.
Definimos a função exponencial exp : R→ R como exp(x) = ex e a função logaritmo natural
ln : (0,∞)→ R como a função inversa de exp, isto é, ln(x) = loge(x). Segue que essas são funções
contínuas.
Exemplo 8.1. Calcule
lim
x→∞
(
1− 1
x
)x
.
Começamos observando que 1− 1x = x−1x . Defina então z(x) = x− 1.
Assim
1− 1
x
=
x− 1
x
=
z
z + 1
=
1
1 + 1z
.
Observe que quando x→∞, z →∞. Logo
lim
x→∞
(
1− 1
x
)x
= lim
z→∞
1
(1 + 1z )
z+1
= lim
z→∞
1
(1 + 1z )
z
lim
z→∞
1
1 + 1z
=
1
e
= e−1.
Equivalentemente
e−1 = lim
x→0+
(1− x)1/x.
Cálculo I Aula 8 pág. 30
Exemplo 8.2. Seja t ∈ R. Calcule
lim
x→∞
(
1 +
t
x
)x
.
Defina 3 funções: f(x) =
(
1 + 1x
)x
, z(x) = xt e h(x) = x
t
. Observe que
(
1 +
t
x
)x
=
(
1 +
1
z
)tz
=
[(
1 +
1
z
)z]t
= h ◦ f ◦ z(x).
Caso 1: t>0.
Por um lado, quando x→∞, z →∞ visto z = x/t e t > 0. Assim
lim
x→∞ f ◦ z(x) = limz→∞
(
1 +
1
z
)z
= e.
Por outro lado a função h é contínua, e portanto pela propriedade C5 das funções contínuas
lim
x→∞h ◦ f ◦ z(x) = h(e) = e
t.
Assim
lim
x→∞
(
1 +
t
x
)x
= et.
Caso 2: t < 0.
Nesse caso observamos que z = −xt tende para ∞ quando x→∞. Sendo assim
lim
x→∞
(
1 +
t
x
)x
= lim
z→∞
(
1− 1
z
)−zt
= lim
z→∞
1
(1− 1z )zt
= lim
z→∞
{
1
(1− 1z )z
}t
=
{
lim
z→∞
1
(1− 1z )z
}t
=
{
1
e−1
}t
= et.
Exemplo 8.3. Calcule
lim
x→0
ln(1 + x)
x
.
Observe que
ln(1 + x)
x
= ln(1 + x)1/x.
Quando x→ 0+, obtemos que (1 + x)1/x tende a e.
Quando x→ 0−, obtemos que (1 + x)−1/x tende a 1/e, visto que pelo exemplo acima,
limx→∞(1− x−1)x = e−1.
Em particular limx→0(1 + x)1/x = e. Logo
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1.
Exemplo 8.4. Calcule
lim
x→0
ex − 1
x
.
Defina u(x) = ex. Em particular, quando x→ 0, u→ 1. Por outro lado, x = lnu. Assim
lim
x→0
ex − 1
x
= lim
u→1
u− 1
ln(u)
.
Cálculo I Aula 8 pág. 31
Defina agora z = u− 1. Então z → 0 quando u→ 1. Logo
lim
u→1
u− 1
ln(u)
= lim
z→0
z
ln(1 + z)
=
1
limz→0
ln(1+z)
z
= 1.
Cálculo I Aula 9 pág. 32
9. Aula - Introdução ao cálculo diferencial
9.1. A noção geométrica de derivada. Começamos com o seguinte problema:
Dada uma função f e um ponto a de seu domínio, dentre todas as retas L que passam pelo
ponto (a, f(a)), qual é a reta que melhor aproxima o gráfico de f em uma vizinhança do ponto
x = a?
Figure 9.1. Qual é a reta?
Observe que se L(x) é uma reta que passa pelo ponto (a, f(a)), então L é dada pela equação
(9.1) L(x) = (x− a) · I + f(a),
onde I é um número real que aqui identificamos como a inclinação ou coeficiente angular da reta
L. Assim, se L1 e L2 são retas distintas que passam pelo ponto (a, f(a)), então a única diferença
entre as equações (9.1) que as descrevem está nas respectivas inclinações I1 e I2.
Portanto, nosso problema se resume em encontrar a melhor inclinação I de tal forma que
L(x) = (x− a) · I + f(a) melhor aproxima o gráfico de f em uma vizinhança do ponto a.
Mas, o que significa �melhor aproximação�?
Uma tentativa de definir �melhor aproximação� é dizendo que o gráfico da reta L dada por (9.1)
aproxima arbitrariamente o gráfico de f a medida que x tende a. Em outras palavras:
lim
x→a |f(x)− L(x)| = 0.
Note que se f é uma função contínua no ponto a, então limx→a f(x) = f(a). Em particular o
limite acima é zero para qualquer reta L com inclinação I. Ou seja, nessa definição de �melhor
aproximação�, qualquer valor de inclinação I resolve nosso problema.
Isso motiva outra questão:
Podemos definir �melhor aproximação� melhor?
A resposta é sim e solucionaremos esse problema no caso em que f(x) = 21x2 e a = 1. Seja
L1 a reta que passa pelos pontos (1, f(1)) e (2, f(2)). Em particular essa reta tem inclinação (veja
a figura abaixo)
I1 =
f(2)− f(1)
2− 1 ,
e a equação que a descreve é
L1(x) = (x− 1) · f(2)− f(1)
2− 1 + f(1).
Cálculo I Aula 9 pág. 33
Figure 9.2. L1 em azul.
Vemos no gráfico acima que L1 aproxima bem o gráfico de f perto do ponto (1, f(1)). Mas
podemos fazer melhor.
Seja L2 a reta que passa pelos pontos (1, f(1)) e (1.5, f(1.5)). A inclinação dessa reta é
I2 =
f(1.5)− f(1)
1.5− 1 .
Vemos na figura acima que L2 está mais proxima do gráfico de f do que L1, quando x está
próximo de 1.
Mas podemos fazer infinitamente melhor.
Seja Lt(x) a reta que passa pelos pontos (1, f(1)) e (t, f(t)). Nosso objetivo é fazer t 6= 1
tender a 1 e obter a equação da reta limite.
A inclinação da reta Lt(x) para t 6= 1 é dada por
It =
f(t)− f(1)
t− 1 =
21t2 − 21
t− 1
= 21 · t
2 − 1
t− 1
= 21 · (t+ 1)(t− 1)
t− 1
= 21 · (t+ 1).
Portanto
lim
t→1
It = lim
t→1
21(t+ 1) = 42.
A inclinação limite é, portanto, 42.
Cálculo I Aula 9 pág. 34
Afirmamos que 42 é a resposta a pergunta fundamental, isto é, a reta
L(x) = 42(x− 1) + 21
(que tem inclinação 42) é a que melhor aproxima o gráfico de f(x) = 21x2 na vizinhança do ponto
x = 1.
Começamos observando que L(1) = f(1), ou seja, f e L coincidem no ponto a = 1. Afirmamos
também que a reta L é a única com a propriedade de que o �Erro(x)�= f(x) − L(x) vai para 0
quando x tende a 1 mais rápido do que c(x − 1), para qualquer constante pequena c > 0. Mais
precisamente, L é a única reta com a propriedade de que
lim
x→1
Erro(x)
c(x− 1) = limx→1
f(x)− L(x)
c(x− 1) = 0.
De fato, se L(x) = (x− 1)I + f(1), então
lim
x→1
f(x)− L(x)
x− 1 = limx→1
f(x)− f(1)− (L(x)− f(1))
x− 1
= lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 − limx→1
L(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1
Ix − lim
x→1
(x− 1)I
x− 1
= 42− I.
Se I 6= 42, então para x perto de a = 1, o erro no ponto x fica proporcional a x− 1. Nesse caso, a
razão dessa proporção é 42− I 6= 0. Por outro lado, escolhendo I = 42, quando x se aproxima de
1, o erro no ponto x fica muito menor do que c(x− 1) para qualquer constante fixa c > 0. (veja a
figura abaixo).
Figure 9.3. Várias escolhas de I.
Na figura 9.3, plotamos o gráfico dos erros f(x)−L(x) quando I = 39,I = 40,I = 41 e I = 42.
Observe que na vizinhança do ponto x = 1, o erro que está mais próximo de 0 corresponde a
escolha I = 42.
Cálculo I Aula 9 pág. 35
De fato, no caso em que I = 42 podemos determinar explictamente a expressão matemática
do erro:
Erro(x) = f(x)− L(x) = 21x2 − (42(x− 1) + 21) = 21[x2 − (2(x− 1) + 1)]
= 21[x2 − (2x− 2 + 1]
= 21[x2 − 2x+ 1]
= 21[x− 1]2,
e quando x → 1, a função (x − 1)2 converge para 0 mais rápido do que c(x − 1) para qualquer
constante c > 0 (veja a figura abaixo).
Figure 9.4. Em verde a curva y = (x− 1)2, em vermelho a curva y = x− 1.
9.2. Definição de derivada. Ainda no exemplo acima, dizemos que a inclinção limite - 42 - é a
derivada da função f(x) = 21x2 no ponto a = 1. A reta limite L(x) = 42(x − 1) + 21 é a reta
tangente ao gráfico dessa f no ponto a = 1. Clique aqui para um gif animado.
A derivada de f no ponto x = a é representada por f ′(a). Se f(x) = 21x2, então f ′(1) = 42.
Em geral:Definição 9.1. Seja f uma função definida em um intervalo aberto. Seja a um ponto desse
intervalo. Definimos e denotamos f ′(a) a derivada de f no ponto x = a como:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
,
quando esse limite existe. Equivalentemente
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = a é a reta que tem equação
L(x) = f ′(a)(x− a) + f(a).
Exercício. Sejam f e L como na definição acima. Calcule
lim
x→a
f(x)− L(x)
x− a .
Como você interpreta o resultado desse limite?
Cálculo I Aula 10 pág. 36
10. Aula - Derivada das funções elementares
10.1. A derivada de uma função também é uma função.
Definição 10.1. Dizemos que f é derivável ou diferenciável no ponto x = a se o valor f ′(a) está
definido e é um número real. Dizemos que f é diferenciável se é diferenciável em todos os pontos
do seu domínio.
Seja f : D → R uma função diferenciável, isto é, para cada x existe o limite
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Relembramos que quando um limite existe, então é um número real e é único. Assim definimos
a derivada de f como sendo a função f ′ : D → R, onde f ′(x) é a inclinação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto x. Clique aqui para um gif animado de uma função, sua derivada e as retas
tangentes.
Exemplo 10.1. Obtenha a derivada de f(x) = x2.
Solução. Precisamos calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em qualquer ponto x:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= lim
h→0
x2 + 2hx+ h2 − x2
h
= lim
h→0
2hx+ h2
h
= lim
h→0
2hx
h
+ lim
h→0
h2
h
= 2x lim
h→0
h
h
+ lim
h→0
h
= 2x.
Assim a derivada de f é f ′(x) = 2x; A inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto
genérico x é 2x.
10.2. A notação
dy
dx . Outra forma de escrever a derivada consiste em usar o símbolo ∆=�Delta�,
amplamente usado para representar uma variação. Usualmente, escrevemos ∆x = (x + h) − x,
onde h ∈ R. Se y = f(x), definimos
∆y = f(x+ ∆x)− f(x).
A razão
∆y
∆x representa a inclinação da reta que passa pelos pontos (x, f(x)) e (x+∆x, f(x+∆x)).
Em particular,
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= f ′(x).
Assim, definimos
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
= f ′(x).
Em muita situações será necessário enfatizar o ponto onde desejamos extrair a derivada, nesses
casos escrevemos
dy
dx
∣∣∣∣
x=a
= f ′(a).
Em particular, se ao invés de x usarmos a variável t de tempo, então y = f(t) bem pode
representar a posição de uma partícula no instante t. Nesse caso, a razão
∆y
∆t
Cálculo I Aula 10 pág. 37
representa a velocidade média dessa partícula. Já
dy
dt
= lim
∆t→0
∆y
∆x
= f ′(t)
é o que chamamos de velocidade instantânea - O limite das velocidades médias.
10.3. Derivada da função constante. Uma função f é dita constante se existe algum número
c tal que f(x) = c, para todo x ∈ R. A derivada de uma função constante é:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= 0.
10.4. Derivada de uma função multiplicada por uma constante. É uma constante multi-
plicada pela derivada dessa função. Mais precisamente, se c ∈ R verifique como exercício que
d
dx
(cf(x)) = c
d
dx
(f(x)).
10.5. A derivada da soma. É a soma das derivadas:
d
dx
(f + g) =
d
dx
f +
d
dx
g.
Isso segue combinando a definição de derivada com a propriedade de que o limite da soma é a soma
dos limites, quando ambos existem. O leitor interessado nos detalhes pode tentar como exercício.
Em geral, para n funções f1, ..., fn vale
(10.1)
d
dx
(f1 + ...+ fn) =
d
dx
f1 + ...+
d
dx
fn.
10.6. Derivadas de polinômios. Vimos que
d
dxx
2 = 2x. Nosso objetivo agora é calcular ddxP (x)
para qualquer polinômio P .
Teorema 10.1. Seja n um número natural. Então
d
dx
xn = nxn−1
Prova. Seja P (x) = xn. Queremos mostrar que P ′(a) = nan−1 para todo a ∈ R. Observe que
P ′(a) = lim
x→a
xn − an
x− a = limx→a
an
a
·
(
x
a
)n − 1
x
a − 1
= an−1 lim
x→a
(
x
a
)n − 1
x
a − 1
= an−1 lim
x→a
[
1 +
(
x
a
)
+
(
x
a
)2
+ ...+
(
x
a
)n−1]
= an−1n,
onde na penúltima igualdade usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica (Proposição
3.1). �
Combinando o Teorema 10.1 com a fórmula (10.1), concluímos:
Teorema 10.2. Se P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3...+ anx
n
então
P ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + ...+ nanxn−1.
Exemplo 10.2.
d
dx
(10x5 + 4x4 + 12x+ 1) = 5 · 10x4 + 4 · 4x3 + 12 + 0 = 50x4 + 16x3 + 12.
Teorema 10.3. Se P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3...+ anx
n
então
P ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + ...+ nanxn−1.
Cálculo I Aula 10 pág. 38
10.7. Derivada da função exponencial. Relembramos que a função exponecial é exp(x) = ex,
onde e é o número de Euler.
Teorema 10.4.
d
dx
ex = ex.
Prova. Lembramos que a função exponencial tem a propriedade de que ex+h = ex · eh. Portanto
d
dx
ex = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex · eh − ex
h
= ex lim
h→0
eh − 1
h
.
Pelo cálculo feito no exemplo 8.4,
d
dx
ex
∣∣∣∣
x=0
= lim
h→0
eh − 1
h
= 1,
o que completa a prova. �
Exercício: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função exponencial no ponto
x = a. Qual é a inclinação dessa reta tangente?
10.8. Derivada da função logaritmo natural. Relembramos que a função logaritmo natural é
ln(x) = loge(x), onde e é o número de Euler.
Teorema 10.5.
d
dx
ln(x) =
1
x
.
Prova. Começamos observando pelas propriedades do logaritmo que
ln(x+ h)− ln(x)
h
=
1
h
ln
(
x+ h
x
)
=
1
h
ln
(
1 +
h
x
)
= ln
(
1 + hx−1
)1/h
.
Assim
d
dx
ln(x) = lim
h→0
ln
(
1 + hx−1
)1/h
= lim
u→0
ln
(
1 + u
)1/ux
= ln
[(
lim
u→0
(
1 + u
)1/u)1/x]
= ln[e1/x]
=
1
x
,
onde na segunda igualdade fizemos a substituição u = hx e observamos que h → 0 se e somente
se u → 0; Na terceira igualdade usamos que o ln(·) e (·)1/x são contínuas e portanto passamos o
limite para dentro da expressão. �
Exercício. Estabelecemos que limx→∞ ln(x) = ∞. Agora estabeleça limx→∞ ddx ln(x). Como
você interpreta esses dois resultados?
Cálculo I Aula 11 pág. 39
11. Aula - Regra do Produto e do Quociente, derivadas do seno e cosseno
11.1. Derivadas de funções trigonométricas. Nosso objetivo é justificar as relações clássicas
d
dx
sin(x) = cos(x) e
d
dx
cos(x) = − sin(x).
A seguir demonstraremos essas relações assumindo que são verdadeiras:
(11.1) lim
h→0
sin(h)
h
= 1,
(11.2) lim
h→0
cos(h)− 1
h
= 0,
sin(x+ h) = sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x),
cos(x+ h) = cos(x) cos(h) + sin(h) sin(x).
De fato,
d
dx
sin(x) = lim
h→0
sin(x+ h)− sin(x)
h
= lim
h→0
sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)− sin(x)
h
= lim
h→0
sin(x)(cos(h)− 1) + sin(h) cos(x)
h
= sin(x) lim
h→0
cos(h)− 1
h
+ cos(x) lim
h→0
sin(h)
h
= sin(x) · 0 + cos(x) · 1
= cos(x).
Da mesma forma,
d
dx
cos(x) = lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= lim
h→0
cos(x) cos(h) + sin(h) sin(x)− cos(x)
h
= lim
h→0
cos(x)(cos(h)− 1) + sin(h) sin(x)
h
= cos(x) lim
h→0
(cos(h)− 1)
h
+ sin(x) lim
h→0
sin(h)
h
= cos(x) · 0 + sin(x) · 1
= sin(x).
Justificamos os limites (11.1) e (11.2) no appendix A.
Cálculo I Aula 11 pág. 40
11.2. A regra do produto. Sabemos que
d
dxx
2 = 2x e ddx sin(x) = cos(x). Como calcular
d
dx
x2 sin(x)?
Teorema 11.1 (Regra do Produto). Sejam f e g funções diferenciáveis no ponto x = a. Então o
produto fg é diferenciável no ponto x = a e
(fg)′(a) = f(a)g′(a) + g(a)f ′(a).
Proof. Veja appendix A.4 �
Consequentemente, no caso em que f e g são diferenciáveis em todos os pontosde um domínio
em comum, escrevemos
d
dx
fg = f
d
dx
g + g
d
dx
f,
ou
(fg)′ = fg′ + gf ′.
Exemplo 11.1.
d
dx
x2 sin(x) = x2
d
dx
sin(x) + sin(x)
d
dx
x2
= x2 cos(x) + sin(x)2x.
Exemplo 11.2.
d
dx
ex ln(x) = ex
d
dx
ln(x) + ln(x)
d
dx
ex
= ex
1
x
+ ln(x)ex
= ex(x−1 + ln(x)).
Exemplo 11.3.
d
dx
(x3 + x2 + 1) ln(x) = (x3 + x2 + 1)
d
dx
ln(x) + ln(x)
d
dx
(x3 + x2 + 1)
= (x3 + x2 + 1)
1
x
+ ln(x)(3x2 + 2x)
= x2 + x+ x−1 + ln(x)(3x2 + 2x).
11.3. Regra do Quociente I.
Teorema 11.2 (Regra do Quociente I). Seja f uma função diferenciável no ponto x = a e tal que
f(a) 6= 0. Então 1f é diferenciável em x = a e(
1
f
)′
(a) = − f
′(a)
f2(a)
.
Prova. Veja appendix A.5. �
Consequentemente, quando f é diferenciável e não se anula em seu domínio, escrevemos
d
dx
1
f
= −
d
dxf
f2
,
ou equivalentemente (
1
f
)′
= − f
′
f2
.
Cálculo I Aula 11 pág. 41
Exemplo 11.4.
d
dx
1
x2
= −
d
dxx
2
(x2)2
= −2x
x4
= −2 1
x3
.
Equivalentemente
d
dx
x−2 = −2x−3.
Exemplo 11.5. Seja n um número inteiro não negativo.
d
dx
1
xn
= −
d
dxx
n
(xn)2
= −nx
n−1
x2n
= −nx
n−1
xn+n
.
= −n 1
xn+1
.
= − n
xn+1
.
Equivalentemente
d
dx
x−n = −nx−n−1.
Em particular, se z é um número inteiro
d
dx
xz = zxz−1.
11.4. Regra do Quociente II.
Teorema 11.3 (Regra do Quociente II). Sejam f e g funções diferenciáveis no ponto x = a e tais
que g(a) 6= 0. Então fg é diferenciável em x = a e(
f
g
)′
(a) =
f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)
g2(a)
.
Consequentemente, quando f e g são diferenciáveis em um domínio em comum e g não se
anula nesse domínio, escrevemos (
f
g
)′
=
f ′g − fg′
g2
,
ou equivalentemente
d
dx
f
g
=
g ddxf − f ddxg
g2
.
Prova. Pelo Teorema 11.2 (Regra do quociente I), 1/g é diferenciável em x = a. Pelo Teorema
11.1 (regra do produto), f · 1g é diferenciável em x = a. Segue que(
f
1
g
)′
(a) = f ′(a)
1
g(a)
+ f(a)
(
1
g
)′
(a)
=
f ′(a)
g(a)
+ f(a)(−1) g
′(a)
g2(a)
=
f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)
g2(a)
.
Cálculo I Aula 11 pág. 42
�
Exemplo 11.6.
d
dx
tan(x) =
d
dx
sin(x)
cos(x)
=
cos(x) ddx sin(x)− sin(x) ddx cos(x)
cos2(x)
=
cos(x) cos(x)− sin(x)(− sin(x))
cos2(x)
=
cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=
cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
.
A função secante sec é definida como sec(x) = 1cos(x) , para todo x tal que cos(x) 6= 0. Em particular
podemos escrever a fórmula clássica
(11.3)
d
dx
tan(x) = sec2(x).
Exemplo 11.7.
d
dx
2x3 + 5x+ 1
x9 − 5x2 + 3 =
(x9 − 5x2 + 3) ddx (2x3 + 5x+ 1)− (2x3 + 5x+ 1) ddx (x9 − 5x2 + 3)
(x9 − 5x2 + 3)2
=
(x9 − 5x2 + 3)(6x2 + 5)− (2x3 + 5x+ 1)(9x8 − 10x)
(x9 − 5x2 + 3)2 .
Exemplo 11.8.
d
dx
x
ex + 1
=
(ex + 1) ddxx− x ddx (ex + 1)
(ex + 1)2
=
ex + 1− xex
(ex + 1)2
.
Cálculo I Aula 12 pág. 43
12. Aula - Regra da Cadeia
12.1. Regra da cadeia. Nessa seção aprenderemos a derivar expressões do tipo f ◦ g(x).
Teorema 12.1 (Regra da cadeia). Sejam f e g funções diferenciáveis no ponto x = a e tais que
o conjunto imagem de g é um subconjunto do domínio de f , isto é, a operação f ◦ g está definida.
Então
(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a))g′(a).
Em outras palavras, muito informalmente:
d
dx
f( alguma coisa ) =
d
dx
f
(
aplicada nessa coisa
)
× d
dx
( dessa coisa).
Exemplo 12.1. Vamos calcular a derivada de sin(ex). Observe que
sin(ex) = f ◦ g(x),
onde f = sin e g = exp. Assim f ′ = cos e g′ = exp. Pela fórmula da regra da cadeia
d
dx
sin(ex) = f ′(g(x))g′(x)
= cos(g(x))ex
= cos(ex)ex.
Em geral, informalmente de novo:
d
dx
sin( coisa ) = cos( coisa ) · d
dx
da coisa .
Exemplo 12.2. Seja r um número real. Mostre que
d
dx
xr = rxr−1, para todo x > 0.
Já fizemos isso quando r é um número inteiro. Note que a nossa abordagem anterior não se aplica
para r não inteiro. Mostraremos essa fórmula usando a regra da cadeia. Começamos observando
que qualquer numéro real a > 0 satisfaz
a = eln a.
Em particular
xr = eln x
r
= er ln(x).
Assim podemos representar xr como a composição f ◦ g onde f(x) = ex e g(x) = r ln(x). Portanto
d
dx
xr = f ′(g(x))g′(x)
= eg(x)
r
x
= eln x
r r
x
= xr
r
x
= rxr−1.
Exemplo 12.3. Sabemos que tan′ = sec2. Assim
d
dx
tan(5x) = sec2(5x)
d
dx
5x = 5 sec2(5x).
Em geral, para uma constante c, d ∈ R
d
dx
f(cx+ d) = cf ′(cx+ d).
Cálculo I Aula 12 pág. 44
12.2. A notação
d
dx e a regra da cadeia. Suponha que t é uma variável que representa o tempo
e x(t) representa a posição de uma partícula que se move sobre uma reta. Assim dxdt representa a
função velocidade instantânea dessa partícula. Já
dx
dt
∣∣
t=a
representa a velocidade instantânea no
instante t = a. Agora seja y(x) uma função de x, por exemplo a temperatura em função da posição
x. Ora, se y é uma função de x e x é uma função de t, então y também pode ser vista como uma
função de t. Em muitas dessas situações pode ser difícil obter a expressão de y em termos de t. Já
obter a derivada é mais fácil. Nesse caso a regra da cadeia assume a versão clássica:
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
Porém, é necessário um certo cuidado ao usar a regra da cadeia nessa notação. No final do processo
é necessário deixar a expressão do lado direito da equação em termos de t, somente.
Exemplo 12.4. Seja y = x66 e x = 5t2 + 1. Calcule dydt e
dy
dt
∣∣
t=1
. Começamos observando que y é
uma função de x, y(x), e x é uma função de t, x(t).
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
=
(
d
dx
(x66)
)(
d
dt
(5t2 + 1)
)
=
(
66x65
)(
10t
)
=
(
66(5t2 + 1)65
)(
10t
)
= 660t(5t2 + 1)65.
Note que na penúltima igualdade substituímos x por sua expressão em termos da variável t. Assim
dy
dt
∣∣∣∣
t=1
= 660t(5t2 + 1)65
∣∣
t=1
= 660 · 1(5 · 1 + 1)65
= 660 · 665.
Exemplo 12.5. Sejam c > 0 e m0 > 0 constantes. Defina a =
dv
dt . Calcule
dm
dt onde
m =
m0√
1− v2c2
.
Pela regra da cadeia,
dm
dt =
dm
dv
dv
dt = a
dm
dv . Por sua vez
dm
dv
= m0
d
dv
(
1− v
2
c2
)−1/2
= −m0
2
(
1− v
2
c2
)−1/2−1
· d
dv
(
1− v
2
c2
)
= −m0
2
(
1− v
2
c2
)−3/2
·
(
− 2v
c2
)
=
v
c2
· m0(
1− v2c2
)3/2 .
Assim
dm
dt
=
v
c2
· m0a(
1− v2c2
)3/2 .
Cálculo I Aula 13 pág. 45
13. Aula - Linearização, e consequências da hipótese de diferenciabilidade.
13.1. Aproximação linear. Nas últimas aulas ficamos à deriva, derivando, e desenvolvendo méto-
dos para derivação. As regras da soma, produto, quociente e cadeia permitem calcular a derivada
de muitas combinações possíveis das funções elementares. Agora é o momento de voltar para o
conceito geométrico de derivada.
Relembre que se f é diferenciável no ponto x = a, então existe uma inclinação limite f ′(a), e
a reta tangente La ao gráfico de f no ponto x = a é aquela que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem
inclinação f ′(a), isto é: La : R→ R
La(x) = f
′(a)(x− a) + f(a).
Vimos que La é, dentre todas as retas que passam pelo ponto (a, f(a)), a que melhor aproxima
o gráfico de f em uma vizinhança do ponto x = a. Mais precisamente vimos que La é a única reta
com a propriedade de que o �Erro�
Erro(x) = f(x)− L(x)
converge para 0 quando x → a de forma mais rápida do que c(x − a), para qualquer constante
pequena c > 0. Matematicamente:
lim
x→a
Erro(x)
c(x− a) = 0.
Em outras palavras, podemos escrever, para x ≈ a (x próximo de a)
f(x) ≈ La(x).
Isso motiva a seguintedefinição:
Definição 13.1. A Linearização de f no ponto a é a reta tangente ao gráfico de f no ponto a.
Exemplo 13.1. Considere f : [0,∞)→ R, f(x) = √x.
a) Linearize f no ponto a > 0.
b) Com a linearização de f no ponto a = 81, aproxime
√
82 = 9.055385....
c) Mostre que o erro(x) da linearização de f no ponto a para x próximo de a é proporcional a
(x− a)2.
d) Com o item c) dê um chute para
√
82. Esse chute é melhor do que do item b)? Por que?.
Solução.
a) Observe que f(x) = x1/2, e f ′(x) = 12x
1/2−1 = 1
2
√
x
. Assim f ′(a) = 1
2
√
a
. A linearização de f
no ponto a é a reta tangente L nesse pont. Logo
La(x) =
x− a
2
√
a
+
√
a.
b) Pelo item anterior, a linerização de f no ponto a = 81 é
L81(x) =
x− 81
2
√
81
+
√
81 =
x− 81
18
+ 9.
Sabemos que f(x) ≈ L81(x) para x próximo de 81. Um bom chute para
√
82 é portanto L81(82):
L81(82) =
82− 81
18
+ 9 = 9 + 1/18 = 9.055555...
Cálculo I Aula 13 pág. 46
c)
Erro(x) = f(x)− La(x) =
√
x− x− a
2
√
a
−√a = √x−√a− x− a
2
√
a
= (
√
x−√a) ·
√
x+
√
a√
x+
√
a
− x− a
2
√
a
=
x− a√
x+
√
a
− x− a
2
√
a
= (x− a)
(
1√
x+
√
a
− 1
2
√
a
)
=
x− a√
x+
√
a
− x− a
2
√
a
= (x− a)
(
2
√
a− (√x+√a)
(
√
x+
√
a)2
√
a
)
= (x− a)
(
2
√
a− (√x+√a)
(
√
x+
√
a)2
√
a
)
= (x− a)
( √
a−√x)
(
√
x+
√
a)2
√
a
)
·
√
x+
√
a√
x+
√
a
= − (x− a)
2
2
√
a(
√
x+
√
a)2
Em particular
lim
x→a
Erro(x)
x− a = 0, e limx→a
Erro(x)
(x− a)2 = −
1
8
1
a3/2
,
isto é
|Erro(x)| ≈ (x− a)
2
8a3/2
.
Concluímos assim que, para x próximo de um número a > 0,
√
x ≈ √a+ 1
2
√
a
(x− a)− 1
2!
1
4a3/2
(x− a)2.
d)
√
82 ≈
√
81 +
1
2
√
81
(82− 81)− 1
2!
1
813/2
(82− 81)2
=9 +
1
18
− 1
8 · 93
=9 +
1
18
− 1
5832
=
52811
5832
=9.055384...
Figure 13.1. O erro da aproximação de
√
x por retas para x póximo de 81. Um
erro corresponde a aproximação por uma reta que tem inclinação 1/17.99 e o outro
erro corresponde a aproximação por uma reta que tem inclinação 1/18. Quem é
quem?
Cálculo I Aula 13 pág. 47
13.2. Como uma função pode não ser diferenciável no ponto x = a?
Teorema 13.1. Se f é diferenciável no ponto a então f é contínua nesse ponto.
Prova. Observe que f diferenciável no ponto a implica que o gráfico de f em uma vizinhança desse
ponto é bem aproximado pela reta tangente, e o erro dessa aproximação satisfaz limx→a erro(x) =
0. Portanto
lim
x→a f(x) = limx→a[L(x) + Erro(x)] = limx→a[f(a) + f
′(a)(x− a) + Erro(x)] = f(a)
�
Em outras palavras, um pré-requisito para f ser diferenciável é f ser contínua.
Questão. Esse pré-requisito é suficiente? Isto é, o simples fato de f ser contínua implica que
f é diferenciável?
Não.
Exemplo 13.2. A função f : R→ R, f(x) = |x| é contínua no ponto x = 0 mas não é diferenciável
nesse ponto. Por um lado
lim
x→0+
f(h)− f(0)
h
=
h
h
= 1.
Por outro lado
lim
x→0−
f(h)− f(0)
h
=
−h
h
= −1.
Assim não existe limx→0
f(h)−f(0)
h porque os limites laterais são diferentes. Veja figura 1.1
Exemplo 13.3. Outro exemplo de função não diferenciável, mas contínua, é f dada por f(0) = 0 e
f(x) = x sin(x−1) para x 6= 0. Nesse caso f é par e nenhum limite lateral existe:
lim
h→0+
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0+
h sin(h−1)
h
= lim
h→0+
sin(h−1) = @.
Veja que, nesse gif, não existe uma reta limite. A reta azul sempre fica oscilando entre a reta y = x
e y = −x.
Exemplo 13.4. Agora um exemplo de função diferenciável: dada por f(0) = 0 e f(x) = x2 sin(x−1)
para x 6= 0. Calcule f ′(0).
f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h2 sin(h−1)
h
= lim
h→0
h sin(h−1) = 0.
Veja que, nesse gif, existe uma reta limite. A reta azul estabiliza na reta constante y = 0.
Cálculo I Aula 16 pág. 48
14. Aula - Exercícios
15. Aula - Exercícios
16. Aula- Exercícios
16.1. Limites. Como sempre Ω representa uma das 5 possibilidades: um número real, uma aprox-
imação lateral, ∞ ou −∞.
L1) lim
x→Ω
(f(x) + g(x)) = lim
x→Ω
f(x) + lim
x→Ω
f(x), se ambos existem;
L2) lim
x→Ω
cf(x) = c lim
x→Ω
f(x), para todo c ∈ R;
L3) lim
x→Ω
f(x)g(x) = lim
x→Ω
f(x) lim
x→Ω
g(x), se ambos existem;
L4) lim
x→Ω
f(x)
g(x)
=
limx→Ω f(x)
limx→Ω g(x)
, se ambos existem e lim
x→Ω
g(x) 6= 0;
L5) Se lim
x→Ω
f(x) = L > 0 e lim
x→Ω
g(x) =∞, então lim
x→Ω
f(x)g(x) = L · ∞ =∞.
L6)
lim
x→a f(x) = Ω
⇐⇒
lim
x→a+
f(x) = Ω, lim
x→a−
f(x) = Ω.
L7) Se f é contínua no ponto a, então lim
x→a f(x) = f(a).
L8) Se f é diferenciável no ponto a, então lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a).
L9) Método da substituição: Se u = g(x) e lim
x→Ω1
u = Ω2, então lim
x→Ω1
f(g(x)) = lim
u→Ω2
f(u).
Reconheça as propriedades acima nos exemplos abaixo:
Exemplo 16.1.
lim
x→pi/4+
tan(x)− 1
(x− pi/4)2 = limx→pi/4+
tan(x)− 1
(x− pi/4)
1
(x− pi/4)
d
dx
tan(x)
∣∣∣∣
x=pi4
· ∞ = sec2(pi/4) · ∞ =∞.
Exemplo 16.2.
lim
x→0
sin(1− cos(x))
1− cos(x) = limu→0+
sin(u)
u
d
dx
sin(x)
∣∣∣∣
x=0
= cos(0) = 1.
Exemplo 16.3.
lim
x→∞
(pix5 + x4 + 1)3/4
(x15 + 1)1/4
= lim
x→∞
(x5(pi + x−1 + x−5))3/4
(x15(1 + x−15))1/4
= lim
x→∞
x15/4(pi + x−1 + x−5)3/4
x15/4(1 + x−15)1/4
= lim
x→∞
(pi + x−1 + x−5)3/4
(1 + x−15)1/4
= pi.
Cálculo I Aula 17 pág. 49
Exemplo 16.4. Encontre os números a e b de forma que a função f : R → R seja contínua em
x = 1, onde f é dada por:
f(x) =

b2x6 + 3bx3 + 3bx+ 9
x− 1 se x 6= 1
a se x = 1
Solução. Precisamos que limx→1 f(x) = f(1) = a. Por um lado f é da forma f(x) = P (x)/(x −
1), onde P é um polinômio. Polinômios são funções contínuas e diferenciáveis. Em particular
limx→1 P (x) = P (1). Assim existe o limite limx→1 f(x) = f(1) = a se e somente se P (1) = 0, e
nesse caso a = limx→1 f(x) = limx→1
P (x)−P (1)
x−1 = P
′(1). Assim obtemos duas condições:
P (1) = 0⇔ b2 + 6b+ 9 = 0⇔ (b+ 3)2 = 0⇔ b = −3.
a = P ′(1)
Observe que P ′(x) = 6b2x5 + 9bx2 + 3b. Assim
a = P ′(1) = 6b2 + 9b+ 3b = 3b(2b+ 4) = 3 · (−3)(2 · (−3) + 4) = −9 · (−2) = 18.
16.2. Derivadas. A seguir f e g são funções diferenciáveis e α e β são constantes.
D1)
d
dx (αf + βg) = α+
d
dxfβ
d
dxg;
D2)
d
dx (fg) = g
d
dxf + f
d
dxg;
D3)
d
dx (f/g) =
g ddx f−f ddx g
g2 ;
D4)
d
dxf ◦ g(x) = f ′(g(x))g′(x);
Exemplo 16.5.
d
dx
pix =
d
dx
ex lnpi = ex lnpi
d
dx
x lnpi = piex lnpi = (lnpi)pix.
Exemplo 16.6.
d
dx
x
lnx
=
(lnx) ddxx− x ddx ln(x)
(lnx)2
=
(lnx)− x · 1x
(lnx)2
=
lnx− 1
(lnx)2
.
Exemplo 16.7.
d
dx
cos(tan(ex)).
Defina f(x) = cos(x), g(x) = tan(x) e h(x) = ex. Assim cos(tan(ex)) = f ◦ g ◦ h(x). Então
f ′(x) = − cos(x), g′(x) = sec2(x) e h′(x) = ex. Pela regra da cadeia
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′(g ◦ h(x))(g ◦ h)′(x) = f ′(g(h(x)))g′(h(x))h′(x),
d
dx
cos(tan(ex)) = − sin(tan(ex)) sec2(ex)ex.
Exemplo 16.8.
d
dx
xx =
d
dx
(eln x)x =
d
dx
ex ln x = ex ln x
d
dx
x lnx = xx(x
d
dx
lnx+ lnx
d
dx
x) = xx(1 + lnx).
17. Prova
Cálculo I Aula 18 pág. 50
18. Aula - Derivada de funções implícitas e funções inversas
18.1. Funções definidas implicitamente. Até agora trabalhamos com funções que podem ser
descritas explicitamente como uma regra
y = f(x).
Nesse caso o gráfico de y = f(x) é uma curva no plano, e para cada ponto a no domínio da função
f essa curva intersecta a reta vertical x = a somente uma vez: A intersecção ocorre exatamente
no ponto (a, f(a)).
Vimos que o círculo de raio 1 (C), que é o conjunto de todos os pares (x, y) taisque
x2 + y2 = 1
não pode ser descrito globalmente como o gráfico de uma função y = f(x). Entretanto, em muitos
locais a curva C (veja figura 2.1) parece com uma genuína curva diferenciável. Nesse caso é natural
investigar se podemos e onde podemos extrair a derivada em um ponto genérico (x, y) de C. Uma
forma de fazer isso é observando que o semi-círculo superior C+ = {(x, y) ∈ C : y ≥ 0} pode ser
descrito pela regra y = f(x) onde f : [−1, 1]→ [0, 1] é dada por
f(x) =
√
1− x2.
Assim, para calcular a derivada em um ponto (x, y =
√
1− x2), basta calcularmos f ′(x):
f ′(x) =
−x√
1− x2 = −
x
y
.
Observe que a expressão para f ′(x) está definida somente quando x 6= ±1, pois nesses casos o
y correspondente a esses valores de x é 0, resultando em uma divisão por 0. Podemos repetir o
mesmo argumento para o semi-círculo inferior. Em resumo, para extrair a derivada em um ponto
(x, y) do círculo C:
1) Expressamos C em uma vizinhança do ponto x como o gráfico de uma função y = f(x);
2) Calculamos explicitamente a derivada dessa função f .
Agora desejamos fazer o mesmo com uma variedade de exemplos. Considere, por exemplo, C
- o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem
x3 + y3 = 6xy.
Nesse caso é algebricamente difícil fazer a etapa 1), isto é, estabelecer localmente y como uma
regra y = f(x). Entretanto vemos na figura abaixo que localmente C se parece com o gráfico de
uma função diferenciável:
Precisamos então de um novo método que substitua as etapas 1) e 2). O que vamos descrever
agora é o que chamamos o método da derivação implícita:
Assuma que exista f diferenciável onde y = f(x). Não precisamos saber quem f é exatamente, e
isso é tudo que precisamos para estabelecer
d
dxy no caso em que y depende implicitamente de x,
Cálculo I Aula 18 pág. 51
por exemplo x3 + y3 = 6xy. Na prática podemos obter ddxy seguindo as regras usais da derivação
(cadeia, produto e quociente):
x3 + y3 = 6xy
d
dx
(x3 + y3) =
d
dx
(6xy)
3x2 +
d
dx
y3 = 6
d
dx
xy
3x2 + 3y2
d
dx
y = 6y
d
dx
x+ 6x
d
dx
y
3y2
d
dx
y − 6x d
dx
y = 6y − 3x2
(3y2 − 6x) d
dx
y = 6y − 3x2
d
dx
y =
6y − 3x2
3y2 − 6x
d
dx
y =
2y − x2
y2 − 2x.
Exemplo 18.1. Encontre a reta tangente à curva constituída dos pares (x, y) tais que x3 +y3 = 6xy
no ponto (x0, y0) = (3, 3). Começamos observando que (3, 3) está na curva:
33 + 33 = 2 · 33 = (2 · 3) · 3 · 3 = 6 · 3 · 3.
Assim, a reta tangente L que buscamos é aquela que passa pelo ponto (x0 = 3, y0 = 3) e que tem
inclinação I = ddxy
∣∣
(x0,y0)
:
L(x) = I(x− x0) + y0 = I(x− 3) + 3.
Cálculo de I:
I =
d
dx
y
∣∣∣∣
(x=3,y=3)
=
2y − x2
y2 − 2x
∣∣∣∣
(x=3,y=3)
=
6− 9
9− 6 = −1.
A reta tangente é portanto
L(x) = −(x− 3) + 3 = −x+ 6.
Exercício. Seja C o círculo de raio R: O conjunto dos pares (x, y) tais que
x2 + y2 = R2.
Seja P um ponto desse círculo. Mostre que a reta que passa por (0, 0) e P é perpendicular a reta
tangente que passa por P .
Exercício. Suponha que você concluiu o exercício anterior e agora está de pé na beira do mar
olhando para um belo horizonte. Suponha que seus olhos estão a uma altura h do solo, que a
Terra é redonda e tem raio R. Calcule a distância entre seus olhos e o ponto mais longe que você
consegue visualizar no horizonte em termos de h e R.
Concluímos o assunto derivação implícita dizendo que a razão pela qual esse método funciona
será abordada somente em cálculo 2, Teorema da função implícita. Esse Teorema diz que sob
certas hipóteses (que incluem o círculo e o outro exemplo), sim é possível afirmar que y = f(x)
localmente, mas não globalmente, isto é, para cada ponto x0 existe uma função fx0(x), tal que
para y suficientemente próximo de x0, vale y = fx0(x).
Cálculo I Aula 18 pág. 52
18.2. Derivada de funções inversas. Começamos enunciando o seguinte resultado:
Teorema 18.1 (Derivação da função inversa). Suponha que f tem inversa f−1. Suponha que
ambas são diferenciáveis. Se f ′(x) 6= 0 para todo x no domínio de f então
d
dx
f−1(x) =
1
f ′ ◦ f−1(x) .
Prova. Pela regra da cadeia
f ◦ f−1(x) = x
d
dx
f ◦ f−1(x) = d
dx
x
f ′(f−1(x))
d
dx
f−1(x) = 1
d
dx
f−1(x) =
1
f ′(f−1(x))
.
�
Exemplo 18.2. Usando o método acima, calcule
d
dx lnx.
Solução: Defina f(x) = ex. Assim f−1(x) = lnx. Logo
d
dx
ln(x) =
1
f ′ ◦ f−1(x) =
1
eln x
=
1
x
.
Exemplo 18.3. Usando o método acima, calcule
d
dx arcsin(x), para x 6= ±1.
Solução: Defina f(x) = sin(x), onde o domínio de f é [−pi/2, pi/2]. Defina θ(x) = arcsin(x), para
x ∈ [−1, 1]. Assim f−1(x) = θ(x). Logo
d
dx
arcsin(x) =
1
f ′ ◦ f−1(x) =
1
cos(θ)
.
Observe que sin2(θ) + cos2(θ) = 1 e que sin(θ) = x. Assim cos(θ) = ±√1− x2. Uma vez que
θ ∈ (−pi/2, pi/2), cos(θ) não pode ser negativo. Portanto cos(θ) = √1− x2. Concluímos que
d
dx
arcsin(x) =
1√
1− x2 .
Figure 18.1. Em vermelho a função arcsin e em azul sua derivada.
Cálculo I Aula 18 pág. 53
Exemplo 18.4. Usando o método acima, calcule
d
dx arctan(x), para x ∈ R.
Solução: Defina f(x) = tan(x), onde o domínio de f é (−pi/2, pi/2). Defina θ(x) = arctan(x), para
x ∈ R. Assim f−1(x) = θ(x). Logo
d
dx
arctan(x) =
1
f ′ ◦ f−1(x) =
1
sec2(θ)
.
Observe que tan2(θ) + 1 = sec2(θ) e que tan(θ) = x. Assim sec2(θ) = 1 + x2. Concluímos que
d
dx
arctan(x) =
1
1 + x2
.
Figure 18.2. Em vermelho a função arctan e em azul sua derivada.
Cálculo I Aula 19 pág. 54
19. Aula - Taxas relacionadas
Considere a equação
PV = cT,
onde P é pressão, V é volume, c > 0 é uma constante e T é temperatura. Assuma que T é
constante e que P cresce ao longo do tempo. Aqui t representa o tempo. Sem fazer nenhuma
conta, percebemos V deve diminuir ao longo do tempo. De fato, se T não varia no tempo, obtemos
pelo método da derivação implícita
d
dt
PV = c
d
dt
T
V
d
dt
P + P
d
dt
V = c · 0 = 0
d
dt
P = −P
V
d
dt
V.
A equação acima nos diz que taxa de variação instantânea da pressão está relacionada a taxa
de variação instântenea do volume, isso se a temperatura for mantida constante. Isso é o que
chamamos de taxas relacionadas - Quando a taxa de variação de uma grandeza está relacionada a
outra taxa.
Nessa aula nosso objetivo é expressar uma taxa de variação em termos de outra, em diversos
exemplos. Os seguintes exemplos e exercícios foram extraídos do livro de cálculo 1 do J. Stewart,
sétima edição.
Exemplo 19.1. Volume V está sendo bombeado para um balão esférico a uma taxa constante
100cm3/s. Qual é a taxa de variação instantânea do raio r do balão quando o diâmetro for 50 cm?
Solução. O volume de um balão esférico é
V =
4
3
pir3.
Pelo método da derivação implícita:
d
dt
V =
4
3
pi
d
dt
r3
d
dt
V =
4
3
pi · 3r2 d
dt
r
d
dt
r =
1
4pir2
d
dt
V
d
dt
r =
100
4pir2
d
dt
r
∣∣∣∣
r=25
=
25
pi252
=
1
25pi
cm
s
.
Observação. Claramente nesse exemplo limt→∞ V = ∞, e uma vez que r é proporcional a V 1/3
também temos limt→∞ r =∞. Entretanto, conforme calculamos acima
lim
t→∞
d
dt
r = lim
r→∞
100
4pir2
= 0.
Em outras palavras, o raio do balão vai para∞ com o tempo, mas o ritmo de crescimento diminui,
chegando a crescomento quase nulo no fim dos tempos.
Exemplo 19.2. Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada sobre uma parede. Se
a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade constante de 1m/s, qual é a
velocidade vertical do topo da escada quando a base está a 3 metros da parede?
Solução. Seja T o topo e B a base da escada. Então TB mede 5 metros. Suponha que a parede
é representada pela reta vertical x = 0 e o chão pela reta horizontaly = 0 (Faça um desenho).
Cálculo I Aula 19 pág. 55
Seja y a altura de T relativa ao chão e x a distância entre B e a parede. É dado que ddtx = 1m/s.
Nosso objetivo é calcular
d
dty quando x = 3 metros.
Por Pitágoras e pelo método da derivação implícita:
x2 + y2 = 52
d
dt
(x2 + y2) =
d
dt
25 = 0
2x
d
dt
x+ 2y
d
dt
y = 0.
Portanto
d
dt
y = −x
y
d
dt
x = −x
y
.
Quando x = 3, por Pitágoras y = 4. Assim
d
dt
y
∣∣∣∣
x=3,y=4
= −3
4
m
s
.
Observação. A velocidade vertical do topo um infinitésimo antes da escada cair completamente
é −∞. De fato, a escada cai quando x = 5. Um infinitésimo antes da escada cair corresponde a
limx→5− . Assim
lim
x→5−
d
dt
y = lim
x→5−
−x√
25− x2 = −∞.
Exemplo 19.3. Nas olimpíadas do Rio Bolt correu com uma velocidade constante 7m/s em uma
pista circular com raio de 100 m. O treinador estava parado a uma distância de 200 m do centro
da pista. Em uma olimpíada de cálculo desejamos saber o quão rápído Bolt está se afastando do
treinador quando a distância entre eles é de 200 metros.
Solução. Seja O = (0, 0), B a posição de Bolt no círculo de raio 100 m com centro O e T = (200, 0)
a posição do treinador. Seja D o comprimento do segmento de reta TB. Faça um desenho. O que
queremos calcular é
d
dt
D
∣∣∣∣
D=200
.
Podemos representar o ponto T com trigonometria:
T = (100 cos(θ), 100 sin(θ)),
onde θ é o ângulo entre os segmentos OT e OB (desenhe!). Vamos assumir que Bolt corre no
sentido anti-horário. Como Bolt corre a uma velocidade constante sobre o círculo, a velocidade
angular
d
dtθ também é constante e igual a
d
dt
θ =
2pi rad
tempo necessário para Bolt completar uma volta
=
2pi rad
2pi·100m
7m/s
=
7
100
rad
s
.
Seja A o ponto (100 cos(θ), 0) (desenhe!). Então o triângulo ÂTB é retângulo com hipotenusa TB
(desenhe!). Por Pitágoras:
D2 = 1002 sin2(θ) + (200− 100 cos(θ))2 = 1002 sin2(θ) + 2002 − 2 · 200 · 100 cos(θ) + 1002 cos2(θ)
= 2002 − 2 · 200 · 100 cos(θ)).
Cálculo I Aula 19 pág. 56
Portanto, pelo método da derivação implícita:
d
dt
D2 = −2 · 200 · 100 d
dt
cos(θ)
2D
d
dt
D = 2 · 200 · 100 sin(θ) d
dt
θ
d
dt
D =
200 · 100
D
sin(θ)
7
100
rad
s
d
dt
D =
7 · 200
D
sin(θ)
rad
s
.
Quando D = 200, obtemos por Pitágoras que cos(θ) = 14 . Por Pitágoras novamente sin(θ) =
√
15
4 .
Conluímos que
d
dt
D
∣∣∣∣
D=200
=
7
4
√
15
m
s
.
Cálculo I Aula 20 pág. 57
20. Aula - Funções n vezes diferenciáveis, máximos e mínimos.
Definição 20.1. Dizemos que f é 2 vezes diferenciável se f e f ′ são funções diferenciáveis. A
segunda derivada de uma função f é a derivada da derivada: (f ′)′.
Denotamos a segunda derivada de uma função f por f ′′ ou d
2
dx2 f .
Exemplo 20.1.
d2
dx2
(x3 + 2x2 + 2x+ 1) =
d
dx
(3x2 + 4x+ 2) = 6x+ 4.
Exemplo 20.2.
d2
dx2
sin(x) =
d
dx
cos(x) = − sin(x).
Exemplo 20.3.
d2
dx2
ex =
d
dx
ex = ex.
Observe que em todos os exemplos acima
d2
dx2 f é uma função que também é diferenciável.
Nesses casos podemos extrair a terceira derivada: A derivada da segunda derivada. Denotamos a
terceira derivada de f por f ′′′ ou d
3
dx3 f .
Exemplo 20.4.
d3
dx3
(x3 + 2x2 + 2x+ 1) =
d2
dx2
(3x2 + 4x+ 2) =
d
dx
(6x+ 4) = 6.
Exemplo 20.5.
d3
dx3
sin(x) =
d2
dx2
cos(x) = − d
dx
sin(x) = − cos(x).
Exemplo 20.6.
d3
dx3
ex =
d2
dx2
ex =
d
dx
ex = ex.
Isso motiva seguinte definição:
Definição 20.2. Dizemos que f é n vezes diferenciável quando f ′ é (n − 1) vezes diferenciável.
Nesse caso a n-ésima derivada de f é a derivada da (n− 1)-ésima derivada.
Denotamos a n-ésima derivada de uma função f por f (n) ou d
n
dxn f . Assim
dn
dxn
f =
d
dx
...
d
dx︸ ︷︷ ︸
n vezes
f.
Nas aulas anteriores vimos que se f é diferenciável então f contínua, e informalmente falamos
que a derivada mede a suavidade de uma função. Por exemplo, a função |x| não é diferenciável no
ponto x = 0, pois seu gráfico tem uma quina nesse ponto.
Nessa mesma linha de raciocínio, uma função 2 vezes diferenciável é mais suave que uma
função só uma vez diferenciável. Isso porque 2 vezes diferenciável implica que f e f ′ são contínuas.
Para ilustar isso, considere f e g dadas por
f(x) =
{
0, se x ≤ 0
x2, se x ≥ 0
,
g(x) =
{
0, se x ≤ 0
x3, se x ≥ 0
.
Na figura abaixo vemos que a f e a g tem um comportamento similar perto de 0. Entretanto
essa figura esconde o fato de que f é menos suave que a g perto de 0.
Cálculo I Aula 20 pág. 58
Figure 20.1. Em vermelho a função f e em azul g.
De fato:
f ′(x) =
{
0, se x ≤ 0
2x, se x ≥ 0
,
g′(x) =
{
0, se x ≤ 0
3x2, se x ≥ 0
.
Figure 20.2. Em vermelho a função f ′ e em azul g′.
Observe que f ′ é diferenciável em cada ponto x 6= 0, exceto no 0 visto que
lim
h→0+
f ′(h)− f ′(0)
h
= 2 6= 0 = lim
h→0−
f ′(h)− f ′(0)
h
.
Assim obtemos que f não é 2 vezes diferenciável porque f ′ não é diferenciável em todos os pontos
de seu domínio. Segue que
f ′′(x) =

0, se x < 0
@, se x = 0
2, se x > 0
,
g′′(x) =
{
0, se x ≤ 0
6x, se x ≥ 0
.
Cálculo I Aula 20 pág. 59
Figure 20.3. Em vermelho a função f ′′ e em azul g′′.
20.1. Anatomia das funções. No curso de Cálculo 1 estamos interessados mais na primeira e
segunda derivada de uma função f . Nas próximas aulas iremos construir ferramentas baseadas
nessas funções para obter informações sobre a própria f .
Definição 20.3. Seja f : D → R uma função e seja c um ponto do seu domínio. Dizemos que
f(c) é valor:
a) máximo absoluto se f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ D;
b) máximo local se f(c) ≥ f(x) para todo x em um intervalo aberto contendo c (x suficientemente
próximo de c);
c) mínimo absoluto se f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ D;
d) mínimo local se f(c) ≤ f(x) em um intervalo aberto contendo c (x suficientemente próximo de
c).
Segue da definição que se o domínio da função f é um intervalo fechado [a, b], então os máximos
ou mínimos locais, se existirem, necessariamente ocorrem no intervalo aberto (a, b), nunca nos
extremos. Já os máximos ou mínimos absolutos podem ocrrer em qualquer ponto de [a, b].
Figure 20.4. Identifique no gráfico os máximos e mínimos locais e absolutos.
Antes de prosseguirmos observamos que nem toda função f assume um valor máximo ou
mínimo absoluto. Considere por exemplo f : (0, 1]→ R, f(x) = x−1. Sabemos que f é decrescente.
Segue que f não possui valor máximo absoluto uma vez que limx→0+ f(x) =∞. Mas essa função
f assume um valor mínimo absoluto no ponto x = 1.
Cálculo I Aula 20 pág. 60
Já f : [0, 1] → R, f(x) = x assume valor máximo e mínimo absoluto: O mínimo é 0 e o
máximo é 1. Entretanto, g : (0, 1)→ R, g(x) = x não tem valor máximo nem mínimo absoluto.
Podemos perceber que o fato de uma função ter ou não um máximo ou um mínimo absoluto
é um problema extremamente sensível ao domínio dessa função.
Relembramos a noção de continuidade em um intervalo fechado, reveja seção 6.2.
Teorema 20.1 (Teorema do Valor extremo). Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b],
então f tem um valor máximo e um valor mínimo absoluto nesse intervalo.
Concluímos a aula com uma aplicação do Teorema do valor extremo:
Figure 20.5. Em verde os máximos locais; Em vermelho o máximo absoluto; Em
azul os mínimos locais; em amarelo os mínimos absolutos.
Cálculo I Aula 21 pág. 61
21. Aula - Pontos críticos, Teorema de Fermat e o método do intervalo fechado
Definição 21.1. Seja c um ponto no domínio de uma função f . Dizemos que c é ponto crítico de
f se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) não existe.
Exemplo 21.1. Cada função da forma f(x) = xn onde n ∈ N tem0 como ponto crítico. De fato,
f ′(x) = nxn−1 e portanto f ′(0) = 0.
Exemplo 21.2. A função f(x) = |x| também tem 0 como ponto crítico. Vimos nas aulas anteriores
que não existe f ′(0).
Exemplo 21.3. A função f(x) = ex não tem pontos críticos. Como f ′(x) = ex, segue que f ′(x) > 0
para todo x ∈ R.
Exemplo 21.4. A função f(x) = sin(x) tem uma infinidade de pontos críticos. Como f ′(x) = cos(x),
segue que todo x da forma
x = número ímpar · pi
2
é um ponto crítico.
Exemplo 21.5. Se f : R → R é constante, então todo ponto no domínio de f é um ponto crítico,
visto que nesse caso f ′ = 0.
21.1. Máximos ou mínimos locais e pontos críticos.
Teorema 21.1 (Teorema de Fermat). Assuma que f é diferenciável no ponto c. Se f(c) é máximo
ou mínimo local de f então c é um ponto crítico de f .
No caso em que f tem um máximo ou mínimo local no ponto c e é diferenciável nesse ponto,
então a reta tangente nesse ponto é uma reta horizontal.
Prova. Veja appendix A.7. �
Observamos que nem todo ponto crítico é um máximo ou mínimo local de f . Por exemplo, a
função f(x) = x3 tem 0 como ponto crítico. Por um lado, se x > 0 então x3 > 0. Por outro lado,
se x < 0 então x3 < 0. Logo 0 não é máximo nem mínimo local (veja figura abaixo).
21.2. Método do intervalo fechado. O Teorema de Fermat combinado com o Teorema do valor
extremo fornecem um ferramenta poderosa para encontrar os valores extremos de uma função
contínua f em um intervalo fechado [a, b]. O método abaixo é o que chamamos de Método do
Intervalo fechado:
1) Determine os pontos críticos de f no aberto (a, b);
2) Avalie f nos pontos críticos;
3) Calcule f nos extremos: f(a) e f(b);
4) Dentre os valores obtidos nas estapas 2 e 3, o maior deles é o máximo absoluto, o menor deles
é o mínimo absoluto.
Cálculo I Aula 21 pág. 62
O método funciona porque f é contínua por hipótese, e pelo Teorema do valor extremo, segue
que f atinge um valor máximo absoluto no intervalo fechado [a, b]. Esse máximo absoluto ou pode
ocorrer nos extremos {a} ou {b}, ou no intervalo aberto (a, b). Se ocorrer nos extremos, então ele
será detectado na etapa 3. Se ocorrer em um ponto c ∈ (a, b) e f for diferenciável em c, então pelo
Teorema de Fermat necessariamente f ′(c) = 0. Se f não for diferenciável em c, então f ′(c) = @.
Em qualquer um dos casos c será ponto crítico de f e esse valor será detectado na etapa 2. O
mesmo argumento também funciona para o mínimo abslouto.
Exemplo 21.6. Encontre os valores extremos de f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo [−1/2, 4].
Solução. Começamos procurando por pontos críticos. Observe que f é um polinômio e portanto
é diferenciável em toda parte. Logo se tiver ponto crítico c, então necessariamente f ′(c) = 0. A
derivada de f é 3x2 − 6x. Assim f ′(c) = 0 se e somente se
3c2 − 6c = 0.
Portanto há dois ponto críticos: c1 = 0 e c2 = 2. Temos f(0) = 1 e f(2) = −3. Agora analisamos
o valor de f nos extremos: f(−1/2) = 1/8 e f(4) = 17. Concluímos que 17 é o valor máximo
absoluto de f e é atingido no extremo do intervalo x = 4; −3 é o valor mínimo absoluto e é atingido
no ponto crítico x = 2. Veja o gráfico abaixo
Exemplo 21.7. Encontre os valores extremos de f(x) = x
1
x
no intervalo [1, 10]. Dados: 101/10 =
1.258925412... e e1/e = 1.444667861.... Começamos buscando por pontos críticos. Usando as
propriedades da função exponencial e do logaritmo, podemos escrever f(x) = e
ln x
x
. Pela regra da
cadeia
f ′(x) = e
ln x
x
d
dx
lnx
x
= x
1
x · x ·
1
x − lnx
x2
= x
1
x · 1− lnx
x2
.
As funções x
1
x
e
1
x2 nunca se anulam no intervalo [1, 10]. Assim
c
1
c · 1− ln c
c2
= 0
se e somente se ln c = 1, isto é, se e somente se c = e. Segue que f tem um único ponto crítico: c = e.
Pelos dados: f(1) = 1, f(e) = 1.444667861... e f(10) = 1.258925412. Concluímos que f atinge seu
máximo absoluto no ponto x = e e seu mínimo absoluto no ponto x = 1. Posteriormente veremos
que limx→∞ f(x) = 1. Assumindo então esse limite, obtemos mais uma propriedade número de
Euler:
x
√
x ≤ e√e, para todo x ≥ 1, veja o gráfico abaixo.
Cálculo I Aula 22 pág. 63
22. Aula - Teoremas de Rolle e do valor médio; Funções crescentes ou
descrescentes 8 de maio
22.1. Teorema de Rolle. Dê 6 passos para frente e depois 6 passos para trás, em qualquer ritmo
que você desejar. Durante a realização desse movimento existe um instante de tempo no qual sua
velocidade instântenea é zero. Isso é consequêcia do:
Teorema 22.1 (Teorema de Rolle). Assuma que f é uma função contínua no intervalo fechado
[a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Assuma que f(a) = f(b). Então existe c ∈ (a, b) tal
que f ′(c) = 0.
Prova. Veja appendix A.8. �
Exemplo 22.1. A função f(x) = sin(x) é tal que sin(0) = sin(pi) = 0. Logo existe c ∈ (0, pi) tal que
f ′(c) = 0. No caso f ′(x) = cos(x) e logo c = pi/2.
É importante observar que o Teorema de Rolle só garante a existência de tal valor c, mas não
ensina determinar esse valor.
Exemplo 22.2. A função f : R \ {0} → R dada por f(x) = 1x2 é tal que f(−1) = f(1) = 1.
Entretanto, f ′(x) = − 2x3 . Logo não existe c ∈ (−1, 1) tal que f ′(c) = 0. Isso é uma contradição ao
Teorema de Rolle? Claro que não. Essa f não é contínua no intervalo [−1, 1].
Exemplo 22.3. Teorema de Rolle - Verdade e consequência: Se f : [a, b]→ R é contínua e diferen-
ciável no aberto (a, b), e se além disso f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b), então f possui no máximo 1
raíz real no intervalo fechado [a, b]. Para ver que isso é verdade, observe que se f possui 2 raízes
ou mais nesse intervalo, então existiria c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
22.2. Teorema do Valor médio.
Teorema 22.2 (Teorema do valor médio). Suponha que f é uma função contínua no intervalo
fechado [a, b] e diferenciável no aberto (a, b). Então existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(c) · (b− a).
Prova. Veja appendix A.9. �
Teorema 22.3 (Desigualdade do Valor médio). Seja f como no Teorema do valor médio. Assuma
que existe uma constante C > 0 tal que |f ′(x)| ≤ C, para todo x ∈ (a, b). Então
|f(b)− f(a)| ≤ C|b− a|.
Prova. Pelo Teorema do valor médio, existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). Portanto
|f(b)− f(a)| = |f ′(c)||b− a| ≤ C|b− a|.
�
Exemplo 22.4. Mostre que a desigualdade sin(x) ≤ x é válida para todo x ≥ 0.
Solução. É verdadeira para x ≥ 1, uma vez que sin(x) ≤ 1. A região onde essa desiguadade não é
trivial é para x ≥ 0 pequeno . Assuma então que 0 ≤ x ≤ 1. Por um lado sin(0) = 0 e 1 < pi/2.
Logo sin(x) ≥ 0 no intervalo [0, 1]. Segue que | sin(x)− sin(0)| = sin(x). Por outro lado a derivada
de sin(x) é cos(x) e | cos(x)| ≤ 1. Pela desigualdade do valor médio sin(x) = | sin(x) − sin(0)| ≤
1 · |x− 0| = x.
Cálculo I Aula 22 pág. 64
22.3. Derivadas e funções crescentes ou decrescentes. . O Teorema do valor médio fornece
o seguinte critério baseado na derivada para estabelecer se uma função é crescente ou decerescente:
Teorema 22.4. Seja f : [a, b] contínua e diferenciável no aberto (a, b). Se
i. f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), ou se
ii. f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então:
No caso i. f é crescente no intervalo [a, b];
No caso ii. f é decrescente no intervalo [a, b].
Prova. Sejam c < d pontos arbitrários do intervalo [a, b]. Pelo Teorema do valor médio, existe u
entre c e d tal que
f(d)− f(c) = f ′(u)(d− c).
Assuma situação i. Então
f(d)− f(c) = f ′(u)︸ ︷︷ ︸
>0
(d− c)︸ ︷︷ ︸
>0
> 0.
Na situação ii, temos
f(d)− f(c) = f ′(u)︸ ︷︷ ︸
<0
(d− c)︸ ︷︷ ︸
>0
< 0.
Mostramos então que para todo par c < d, f(c) < f(d) no caso i, e no caso ii para todo par c < d,
f(c) > f(d). �
Exemplo 22.5. Considere f : [1,∞) → R dada por f(x) = x1/x. Encontre os intervalos onde f é
crescente ou decrescente.
Solução. Primeiro estabelecemos a derivada de f (veja exemplo 21.7):
f ′(x) = x1/x · 1− ln(x)x2
.
Agora analisamos o sinal de f ′. Começamos observando que f ′ é poduto de 3 funções: x1/x,
1− ln(x) e 1x2 . Além disso, x1/x e 1/x2 são sempre positivas no domínio de f . Já 1− ln(x) muda
de sinal: É positiva antes de e e negativa depois. Logo f ′(x) > 0 para todo x ∈ (1, e) e f ′(x) < 0
para todo x ∈ (e,∞). Em particular f é crescente no intervalo (1, e) e decrescente no intervalo
(e,∞).
Exemplo 22.6. Considere f : R→ R dada por f(x) = 3x4− 4x3− 12x2 + 5. Encontre os intervalos
onde f é crescente ou decrescente.
Solução. Primeiro estabelecemos a derivada de f e depois analisamos o seu sinal:
f ′(x) = 4x3 − 12x2 − 12x = 12x(x− 2)(x+ 1).
Assim f ′ é o produto de 3 funções: A = 12x, B = x − 2 e C = x + 1. Segue que A = 0 quando
x = 0; B = 0 quando x = 2; C = 0 quando x = −1. Agora marcamos na reta real esses pontos
−1, 0 e 2 e analisaremos o sinal de f ′ nos intervalos (−∞,−1), (−1, 0), (0, 2) e (2,∞):
Intervalo 12x x− 2 x+ 1 f ′
(−∞,−1) − − − −
(−1, 0) − − + +
(0, 2) + − + −
(2,∞) + + + +
Segue que f é decrescente nos intervalos (−∞,−1) e (0, 2), e é crescente nos intervalos (−1, 0)
e (2,∞) (veja o gráfico abaixo):
Cálculo I Aula 22 pág. 65
Exemplo 22.7. Considere f : R → R dada por f(x) = xe−x2 . Encontre os intervalos onde f é
crescente ou decrescente.
Solução. A derivada de f :
f ′(x) = e−x
2
+ xe−x
2 · (−2x) = e−x2(1− 2x2) = e−x2(1− x
√
2)(1 + x
√
2).
Assim f ′ é o produto de 3 funções: A = e−x
2
, B = 1 − x√2 e C = 1 + x√2. Segue que sempre
A > 0; B = 0 quando x = 1√
2
; C = 0 quando x = − 1√
2
. Agora marcamos na reta real os pontos
± 1√
2
e analisaremos o sinal de f ′ nos intervalos (−∞,− 1√
2
), (− 1√
2
, 1√
2
) e ( 1√
2
,∞):
Intervalo e−x
2
1− x√2 1 + x√2 f ′
(−∞,− 1√
2
) + + − −
(− 1√
2
, 1√
2
) + + + +
( 1√
2
,∞) + − + −
Segue que f é decrescente nos intervalos (−∞,− 1√
2
) e ( 1√
2
,∞), e é crescente no intervalo
(− 1√
2
, 1√
2
) (veja o gráfico abaixo).
Cálculo I Aula 23 pág. 66
23. Aula - Concavidade e pontos críticos revisitados.
23.1. Concavidade. Na aula de hoje aprenderemos a razão pela qual o gráfico da função seno é
assim
e não assim
Definição 23.1. Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que no intervalo I, f
é côncava:
i. Para cima: Se para todo a ∈ I, o gráfico de f no intervalo I se está acima da reta tangente (ao
gráfico de f) no ponto a;
ii. Para baixo: Se para todo a ∈ I, o gráfico de f no intervalo I se está abaixo da reta tangente
(ao gráfico de f) no ponto a.
Em outras palavras, f é côncava para cima se para cada a ∈ I fixo, vale
f(x) ≥ La(x), para todo x ∈ I,
onde La(x) = f
′(a)(x− a) + f(a).
Da mesma forma, f é côncava para baixo se para cada a ∈ I fixo, vale
f(x) ≤ La(x), para todo x ∈ I.
Segue da definição que se f é côncava para cima, então αf também é se α > 0. No caso em
que α < 0, αf é côncava para baixo.
Teorema 23.1. A função f(x) = x2 é côncava para cima.
Prova. A reta tangente em um ponto genérico a é
La(x) = 2a(x− a) + a2.
Considere g(x) = x2 − La(x). Observe que
g(x) = x2 − (a2 − 2a(x− a)) = x2 − 2ax+ a2 = (x− a)2 ≥ 0.
Mostramos então que para cada número a ∈ R fixo, a desigualdade f(x) ≥ La(x) vale para todo
x ∈ R. �
Cálculo I Aula 23 pág. 67
Informalmente falando, o gráfico de uma função côncava para cima em um intervalo I é
parecido com o da função x2. Já o o gráfico de uma função côncava para baixo em um intervalo I
é parecido com o da função −x2.
Exemplo 23.1. Para uma função f não ser côncava para cima nem para baixo em um intervalo I
basta mostramos a existência de um ponto a ∈ I e pontos x1 e x2 de I onde f(x1) > La(x1) e
f(x2) < La(x2). Considere por exemplo f(x) = x
3
. Essa f é côncava para baixo ou para cima
no intervalo (−1, 1)? Nenhum dos dois. Para ver isso considere a = 0. A reta tangente a f nesse
ponto é a reta constante L(x) = 0. Para x > 0, x3 > 0 e para x < 0, x3 < 0. Entretanto, essa
função é côncava para cima no intervalo (0,∞) e côncava para baixo em (−∞, 0).
Definição 23.2. Dizemos que o ponto (a, f(a)) é um ponto de inflexão no gráfico de f se para
algum δ > 0 a concavidade de f no intervalo (a, a + δ) é oposta a concavidade de f no intervalo
(a− δ, a), e se além disso f é contínua nesse ponto.
Em outras palavras, o ponto a é de inflexão se a concavidade de f (contínua) muda nesse
ponto.
Teorema 23.2. Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, então f é côncava para cima nesse intervalo. Se
f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, então f é côncava para baixo nesse intervalo.
Exemplo 23.2. A função x2 não tem pontos de inflexão. A função x3 tem um único ponto de
inflexão, o ponto (0, 0).
Exemplo 23.3. Encontre os intervalos onde f(x) = e−x
2
é côncava para cima ou para baixo, e
pontos de inflexão se houver.
Solução: Precisamos calcular f ′′(x) e então analisar o sinal dessa função. De fato, verifique que
f ′′(x) = 2 e−x
2 (−1 + 2x2) .
Observe que e−x
2
> 0 para todo x. Assim a concavidade de f é determinada pelo sinal do termo
2x2 − 1 = (
√
2x+ 1)(
√
2x− 1).
Analisando o sinal desse termo observamos que f ′′ > 0 nos intervalos ( 1√
2
,∞) e (−∞,− 1√
2
),
logo f é côncava para cima nesses intervalos; Já no intervalo (− 1√
2
, 1√
2
) temos f ′′ < 0, segue que f
é côncava para baixo nesse intervalo. Os pontos de inflexão ocorrem portanto nos pontos x = ± 1√
2
.
23.2. Pontos críticos revisitados. Vimos em aulas anteriores que pontos críticos são sempre
bons candidatos a um ponto máximo ou mínimo local. Mas também vimos exemplos de pontos
críticos que não o são. Por exemplo, 0 é ponto crítico de f(x) = x3 mas não é máximo nem mínimo
local. Então, quando um ponto crítico é um máximo ou mínimo local?
Assuma que f é uma função contínua.
i. Se para algum δ > 0 f é crescente em (a − δ, a) e decrescente em (a, a + δ) então f(a) é valor
máximo local.
ii. Se para algum δ > 0 f ′′ é contínua em (a − δ, a + δ) com f ′(a) = 0 e f ′′(a) < 0, então f(a) é
valor máximo local.
iii. Se para algum δ > 0 f é decrescente em (a− δ, a) e crescente em (a, a+ δ), então f(a) é valor
mínimo local.
iv. Se para algum δ > 0 f ′′ é contínua em (a − δ, a + δ) com f ′(a) = 0 e f ′′(a) > 0, então f(a) é
valor mínimo local.
Cálculo I Aula 23 pág. 68
23.3. Gráficos. Agora temos todas as ferramentas para esboçar o gráfico de uma função f : [a, b].
Um algoritmo para fazer isso pode ser:
1) Determinar os pontos críticos (se existirem) de f : os pontos onde f não é diferenciável ou os
pontos onde tem derivada 0;
2) Ordenar os pontos críticos de f : a < c0 < c1 < c2 < ... < cn < b; Calcular o valor de f nesses
pontos críticos;
3) Analisar o sinal de f ′ em intervalos da forma I0 = (a, c0), I1 = (c0, c1), ..., In+1 = (cn, b). f será
crescente no intervalo Ij se f
′
for positiva nesse intervalo. Será decrescente se for f ′ for negativa
nesse intervalo;
4) Analisar a concavidade de f em cada intervalo Ij acima.
5) Interpretar os dados e achar os máximos e mínimos locais de f . Esses pontos podem já ser
detectados na etapa 3, ou na combinção da etapa 1 com 4.
6) Encontrar os pontos de inflexão - Interpretar os dados no passo 4.
7) Encontrar pontos de descontinuidade e assíntotas, se houver;
8) Montar o gráfico.
Começamos com o exemplo da função f : [0, 2pi], f(x) = sin(x).
1) f é diferenciável no aberto (0, 2pi). Portanto os pontos críticos de f são os que tem derivada
zero. f ′(x) = 0⇐⇒ cos(x) = 0⇐⇒ x = pi/2 ou x = 3pi/2.
2 e 3) Análise do sinal de f ′ nos intervalos (0, pi/2), (pi/2, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi):
Intervalo cos(x)
(0, pi/2) +
(pi/2, 3pi/2) −
(3pi/2, 2pi) +
Aqui já concluímos (5) que f(pi/2) é máximo local e f(3pi/2) é mínimo local.
4) Concavidade de f : f ′′(x) = − sin(x).
Intervalo − sin(x)
(0, pi) −
(pi, 2pi) +
Aqui já conluímos (6) que (pi, f(pi)) é oúnico ponto de inflexão.
Assim:
i. Em (0, pi/2) f é crescente e côncava para baixo. Nessa região do espaço o gráfico de f deve ser:
ii. Em (pi/2, pi) f é decrescente e côncava para baixo. Nessa região do espaço o gráfico de f deve
ser:
iii. Em (pi, 3pi/2) f é decrescente e côncava para cima. Nessa região do espaço o gráfico de f deve
ser:
iv. Em (3pi/2, 2pi) f é cresecente e côncava para cima. Nessa região do espaço o gráfico de f deve
ser:
Cálculo I Aula 23 pág. 69
Isso explicaa razão pela qual o gráfico da função seno é de fato como na figura do início da
aula, é só encaixar as peças. Isso porque, a função seno tem somente um ponto de inflexão no
intervalo [0, 2pi]. Já o gráfico na segunda figura tem 5 pontos de inflexão nesse intervalo (tente
achá-los).
Cálculo I Aula 24 pág. 70
24. Mais gráficos; A Regra de L'Hôspital
Exemplo 24.1. Faça o gráfico da função f : R → R dada por f(0) = 0 e f(x) = exp(−1/x2) se
x 6= 0.
Solução. Começamos observando que f é par e contínua no ponto x = 0. De fato, fazendo a
mudança de variável z = −1/x2, observe que o limite x→ 0 corresponde a z → −∞. Assim
lim
x→0
f(x) = lim
z→−∞ e
z = 0 = f(0).
Buscando pontos críticos.
Seja x 6= 0.
f ′(x) =
d
dx
exp(−x−2) = exp(−x−2) d
dx
(−x−2) = 2
x3
exp(−x−2).
Assim f ′(x) > 0 para x > 0 e f ′(x) < 0 para x < 0, isto é, f é crescente no intervalo (0,∞) e
decrescente no intervalo (−∞, 0). Em particular f(0) é não somente um valor mínimo local para
f , mas é o mínimo global.
Analisando a concavidade.
Agora precisamos da segunda derivada. Seja x 6= 0.
f ′′(x) = 2
d
dx
exp(−x−2)x−3 = 2 exp(−x−2) d
dx
x−3 + 2x−3
d
dx
exp(−x2)
= − 6
x4
exp(−x−2) + 2
x3
· 2
x3
exp(−x−2)
=
(
− 6
x4
+
4
x6
)
exp
(−1
x2
)
= (−6x2 + 4) · 1
x6
exp
(
− 1
x2
)
.
Observe que
1
x6 exp
(
− 1x2
)
> 0 para x 6= 0. Assim quem governa a concavidade de f é o termo
4 − 6x2 = 6( 23 − x2). Precisamos analisar somente o sinal de 23 − x2 = (
√
2
3 − x)(
√
2
3 + x).
Concluímos que f ′′(x) > 0 para x entre −
√
2
3 e
√
2
3 , e f
′′(x) < 0 para os demais valores de x.
Logo f é côncava para cima no intervalo
(
−
√
2
3 ,
√
2
3
)
e é côncava para baixo em
(√
2
3 ,∞
)
e(
−∞,−
√
2
3
)
.
Assíntotas.
Observe que f tem assíntotas. De fato
lim
x→∞ f(x) = limx→∞ exp(−1/x
2) = e0 = 1.
Logo a reta horizontal y = 1 é uma assíntota para f . Como f é par, segue que limx→−∞ f(x) = 1.
Um último detalhe.
Temos quase todas as informações necessárias para determinar o gráfico de f . Note que f parece
ter um problema no ponto x = 0 por conta da expressão −1/x2 no argumento da exponencial.
Vimos que isso não afeta a continuidade. Mas pode ou não afetar a diferenciabilidade. Precisamos
decidir se f tem uma quina ou não em x = 0, isto é, se f é ou não diferenciável em x = 0.
Precisamos analisar isso pela definição da derivada, isto é, determinar se o seguinte limite existe:
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0
exp(−1/x2)
x
.
Observe que o limite acima é altamente não trivial pois, tanto o numerador exp(−1/x2) e o de-
nominador x convergem para 0 quando x → 0. Dizemos que esse limite é do tipo 00 e é o nosso
próximo assunto. Como veremos a seguir ele existe e é zero.
Cálculo I Aula 24 pág. 71
Agora podemos desenhar o gráfico de f :
24.1. A regra de L'Hôspital (LH). Essa regra serve para calcular limites do tipo
lim
x→Ω
f(x)
g(x)
onde limx→Ω f(x) = ± limx→Ω g(x) = 0 ou ±∞, lembrando que Ω representa uma das 5 possibili-
dades (veja seção 5.2). Esses limites chamamos do tipo
0
0 ou
∞
∞ . Como resultado para limx→Ω
f(x)
g(x)
podemos obter que o mesmo é ±∞, que não existe, ou que existe.
Teorema 24.1. Sejam f e g funções diferenciáveis em uma vizinhança de Ω com g′(x) 6= 0 para
todo x em uma vizinhança de Ω. Suponha que limx→Ω f(x) = limx→Ω g(x) = 0 ou ±∞. Então
lim
x→Ω
f(x)
g(x)
= lim
x→Ω
f ′(x)
g′(x)
.
Exemplo 24.2. Recalcule limx→0
sin(x)
x usando LH.
lim
x→0
sin(x)
x
= lim
x→0
d
dx sin(x)
d
dxx
= lim
x→0
cos(x)
1
= 1.
Exemplo 24.3. Calcule lim
u→∞
u
eu2
. Em primeiro lugar observamos que tanto o numerador u e o
denominador eu
2
vão para∞ quando u→∞. Esse limite é portanto do tipo ∞∞ . Além disso, essas
funções são diferenciáveis:
d
duu = 1 e
d
due
u2 = 2ueu
2
e essa última função não anula para u grande.
Assim é legítimo usar LH (L'Hôspital):
lim
u→∞
u
eu2
= lim
x→∞
1
2ueu2
= 0.
Observe que a função
u
eu2
é ímpar. Assim também temos lim
u→−∞
u
eu2
= 0. Considere agora
a mudança de varíavel x = 1u . Assim x → 0+ corresponde a u → ∞ e x → 0− corresponde a
u→ −∞. Podemos dizer então que
lim
x→0
exp(−1/x2)
x
= lim
u→±∞
u
eu2
= 0,
e isso completa o gráfico do primeiro exemplo da aula.
24.2. Interpretando o resultado de LH.. Seja limx→Ω
f(x)
g(x) do tipo
0
0 . Se esse limite dá 0 como
resultado, então isso quer dizer que o numerador converge para 0mais rápido do que o denominador
quando x se aproxima de Ω, onde por mais rápido é no sentido de velocidade de convergência. Se
por acaso o resultado desse limite dá ±∞, isso quer dizer que é o denominador quem converge
mais rápido para 0 quando x se aproxima de Ω. Quando esse limite dá um número real 6= 0, isto
quer dizer que ambos numerador e denominador se aproximam de 0 com velocidades proporcionais.
Nesse caso, a razão dessa proporção é dada pelo valor desse limite.
Considere agora limx→Ω
f(x)
g(x) do tipo
±∞
±∞ . Se esse limite dá 0 como resultado, então isso
quer dizer que o denominador explode para ±∞ mais rápido do que o numerador, quando x se
aproxima de Ω. Se por acaso o resultado desse limite dá ±∞, isso quer dizer que é o numerador
quem explode mais rápido para ±∞ quando x se aproxima de Ω. Quando esse limite dá um número
real 6= 0, isto quer dizer que ambos numerador e denominador explodem para ±∞ com velocidades
proporcionais. Nesse caso, a razão dessa proporção é dada pelo valor desse limite.
Cálculo I Aula 24 pág. 72
24.3. Quando não usar LH. Não devemos usar LH em limx→Ω
f(x)
g(x) quando ou limx→Ω f(x)
ou limx→Ω g(x) é um número real diferente de 0. Por exemplo: Não é legítimo usar LH em
limx→0
cos(x)
x2 . Isso por que limx→0 cos(x) = 1 - O 1 é um número real diferente de 0 - e portanto
limx→0
cos(x)
x2 =∞. Se aqui usássemos LH, obteríamos uma resposta diferente (verifique).
Cálculo I Aula 25 pág. 73
25. Aula - L'Hôspital II, Otimização
25.1. Limites do tipo 0 · ∞. . Esses são limites do tipo limx→Ω f(x)g(x) onde limx→Ω f(x) = 0
e limx→Ω g(x) = ±∞. Definindo h(x) = 1g(x) , observe que limx→Ω h(x) = 0 e
f(x)g(x) =
f(x)
h(x)
.
Em particular
lim
x→Ω
f(x)g(x) = lim
x→Ω
f(x)
h(x)
.
Assim transformamos um limite 0 · ∞ no tipo 00 . Se f e h satisfazem as hipótese da Regra de LH,
então:
lim
x→Ω
f(x)g(x) = lim
x→Ω
f(x)
h(x)
= lim
x→Ω
f ′(x)
h′(x)
= lim
x→Ω
f ′(x)
− g′(x)g2(x)
= − lim
x→Ω
f ′(x)
g′(x)
g2(x).
Também podemos transformar um limite 0 · ∞ no tipo ∞∞ , mas precisamos ter mais cuidado.
Para isso vamos definir uma convenção. Dizemos que limx→Ω f(x) = 0+ se limx→Ω f(x) = 0 e
f(x) ≥ 0 para x em uma viznhança de Ω. Analogamente, dizemos que limx→Ω f(x) = 0− se
limx→Ω f(x) = 0 e f(x) ≤ 0 para x em uma vizinhança de Ω. Assim, se limx→Ω f(x)g(x) é do tipo
0+ · ∞, ou do tipo 0− · ∞, então
lim
x→Ω
f(x)g(x) = lim
x→Ω
g(x)
1
f(x)
onde esse último é
∞
∞ .
Como veremos através de exercícios, hora é conveniente (mais fácil de derivar) transoformar
um limite do tipo 0 ·∞ em um limite do tipo 00 , ou transformar 0+ ·∞ ou 0− ·∞ em um limite do
tipo
∞
∞ .
Exemplo 25.1. Calcule limx→0+ x lnx.Esse é um limite do tipo 0+ · ∞. De fato limx→0+ x = 0+
e limx→0+ lnx = −∞. A transformação adequada aqui é do tipo ∞/∞. Assim
lim
x→0+
x lnx = lim
x→0+
lnx
1/x
= lim
x→0+
1/x
−1/x2 = limx→0+−x = 0.
Exemplo 25.2. Calcule limx→pi2 +(x − pi/2) tan(x). Esse é do tipo 0+ · ∞. Observe que cot(x) =
1/ tan(x), logo
lim
x→pi2 +
(x− pi/2) tan(x) = lim
x→pi2 +
(x− pi/2)
cot(x)
= lim
x→pi2 +
1
− 1
sin2(x)
= −1.
25.2. Limites do tipo 00, ∞0, 1∞. Dizemos que lim
x→Ω
f(x)g(x) é do tipo:
1) 00, se limx→Ω f(x) = 0+ e limx→Ω g(x) = 0;
2) ∞0, se limx→Ω f(x) =∞ e limx→Ω g(x) = 0;
3) 1∞, se limx→Ω f(x) = 1 e limx→Ω g(x) =∞.
Para calcular esses limites, tiramos logaritmos:
y = f(x)g(x)
ln y = g(x) ln f(x).
Usando que y = exp(ln(y)) e que a função exponencial é contínua, podemos escrever
lim
x→Ω
f(x)g(x) = lim
x→Ω
exp(ln y) = exp
(
lim
x→Ω
ln y
)
,
com a convenção de que exp(∞) =∞ e exp(−∞) = 0.
Cálculo I Aula 25 pág. 74
Agora observe que limx→Ω ln y = limx→Ω g(x) ln f(x) é sempre do tipo 0 · ∞. Assim pode ser
que seja possível calcular esse último usando LH.
Exemplo 25.3. Use a técnica acima para recalcular
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
.
Primeiro escrevemos
y =
(
1 +
1
x
)x
e então tiramos logaritmos:
ln y = x ln(1 + 1/x) =
ln(1 + u)
u
,
onde fizemos acima a mudança de variável u = 1/x. Assim x→∞ corresponde a u→ 0+. Assim
lim
x→∞ ln(y) = limu→0+
ln(1 + u)
u
=LH lim
u→0+
1/(1 + u)
1
= 1.
Portanto
lim
x→∞ y = limx→∞ exp(ln y) = exp
(
lim
x→∞ ln y
)
= exp(1) = e.
Exemplo 25.4. Calcule
lim
x→∞x
1/x.
Primeiro escrevemos
y = x1/x
e então tiramos logaritmos:
ln y =
lnx
x
,
Assim
lim
x→∞ ln(y) = limx→∞
lnx
x
=LH lim
x→∞
1/x
1
= 0.
Portanto
lim
x→∞ y = limx→∞ exp(ln y) = exp
(
lim
x→∞ ln y
)
= exp(0) = 1.
25.3. Aplicação de LH. .
Teorema 25.1. Assuma que f é uma função n+ 1 vezes diferenciável em uma vizinhança de um
ponto a. Assuma também que f (n+1) é contínua em a. Defina
Pn(x; a) = f(a) + f
′(a)(x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + ...+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n.
Então
lim
x→a
f(x)− Pn(x; a)
xn+1
=
f (n+1)(a)
(n+ 1)!
.
O polinônimio Pn(x; a) tem grau n e é chamado n-ésimo polinômio de Taylor de f centrado
em a. A mensagem do Teorema é que podemos aproximar f por Pn(x; a) para x na vizinhança de
a, isso se f é n+ 1 vezes diferenciável. Mais precisamente,
f(x) = Pn(x; a) + Erro(x)
onde esse erro é proporcional a (x− a)n+1. Em particular, limx→a erro(x)/(x− a)n = 0.
Cálculo I Aula 25 pág. 75
Proof. A prova consiste em sucessivas aplicações de LH. Por exemplo, no caso em que n = 2,
temos
lim
x→a
f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)− f ′′(a)2! (x− a)2
(x− a)3 = limx→a
f ′(x)− f ′(a)− f ′′(a)(x− a)
3(x− a)2
= lim
x→a
f ′′(x)− f ′′(a)
6(x− a)
= lim
x→a
f ′′′(x)
6
=
f ′′′(a)
3!
.
O caso geral segue analogamente. �
Exemplo 25.5. Calcule P4(x; 0) no caso em que f(x) = e
x
,f(x) = sin(x) e f(x) = cos(x).
25.4. Otimização. A seguir aplicaremos os métodos para encontrar máximos e mínimos em prob-
lemas reais. Os seguintes exemplos e exercícios foram extraídos do livro de cálculo 1, 7a edição, J.
Stewart.
Exemplo 25.6. Um fazendeiro tem 1200 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Qual é o comprimento e
largura do campo que tem maior área?
Solução. Considere R o retângulo de 4 lados: Os lados paralelos ao rio tem medida x e os lados
perpendiculares ao rio tem medida y. Assim
x+ 2y = 1200.
A área de R é
A = xy.
Uma vez que podemos relacionar y em termos de x, podemos escrever a área como uma função de
x:
A(x) = x ·
(
1200− x
2
)
= 600x− x
2
2
.
Em particular o gráfico de A em função de x é o de uma parábola côncava para baixo. Logo o
ponto x0 onde A
′(x0) = 0 é o máximo global de A(x):
A′(x0) = 600− x0 = 0⇐⇒ x0 = 600.
Concluímos que as medidas que buscamos são x0 = 600 e y0 = 300.
Cálculo I Aula 26 pág. 76
26. Aula - Otimização II
Exemplo 26.1. Uma lata cilíndrica é feita para receber uma litro de óleo. Encontre as dimensões
que minimizam o custo de metal para produzir a lata.
Solução. Uma lata cilíndrica é composta de 2 tampos circulares de raio r (uma base e uma tampa)
e de um corpo cilíndrico de altura h e circunferência 2pir. Uma vez que o volume é fixo e igual a
1 litro, isso induz uma relação de de dependência entre as variáveis h e r:
V = Área da base×Altura = 1
1 = pir2h.
Assim podemos escrever h em função de r:
h =
1
pir2
.
Já a área da lata em função de r é:
A = 2pir2 + 2pirh = 2pir2 + 2pir · 1
pir2
= 2pir2 +
2
r
.
Lembre que queremos minimizar o custo de produção da lata. Logo que queremos minimizar A(r).
Prosseguimos com os métodos do cálculo diferencial.
A′(r) = 4pir − 2
r2
.
Busca por pontos críticos: A′(rc) = 0 se e só se
4pirc =
2
r2c
r3c =
1
2pi
rc =
1
(2pi)1/3
.
Em particular essa conta mostra que a função A′(r) possui uma única raíz real. Isso aliado aos
fatos de que limr→0+ A′(r) = −∞ e limr→∞A′(r) =∞, mostra que A′(r) < 0 se r < rc e A′(r) > 0
se r > rc. Concluímos que A é decrescente no intervalo (0, rc) e crescente no intervalo (rc,∞).
Logo A(rc) é o mínimo global. Assim as dimensões da lata que minimizam o custo de produção
são: rc = (2pi)
−1/3
e
hc =
1
pir2c
= 2
(2pi)2/3
2pi
=
2
(2pi)1/3
= 2rc.
Exemplo 26.2. Existem 50 árvores em um pomar. Cada árvore produz 800 maçãs. Para cada
árvore adicional plantada no pomar, cada árvore produz 10 maçãs a menos. Quantas árvores
devem ser adicionadas ao pomar existente afim de maximizar a produção total de maçãs?
Solução. A adição de x árvores implica em uma produção individual de 800 − 10x maçãs. Em
particular, 80 árvores a mais implica em produção 0.
Seja
P (x) = Produção total quando são adicionadas x árvores.
Então P (0) = 50 · 800 e P (80) = 0.
Assim
P (x) = total de árvores vezes a produção individual de cada árvore = (50 + x)(800− 10x).
= 40.000 + 300x− 10x2.
Cálculo I Aula 26 pág. 77
Em particular o gráfico de P (x) é o de uma parábola côncava para baixo. Assim o ponto xc tal
que P ′(xc) = 0 é o ponto onde P atinge seu máximo global.
Cálculo de xc:
P ′(x) = 300− 20x = 0⇐⇒ x = 15.
Assim nossa resposta é de que xc = 15 árvores devem ser adicionadas.
Exemplo 26.3. (A melhor posição no cinema). Um estudante de cálculo decide ir ao cinema. Ele
percebe que a tela do cinema tem altura h e o ponto mais baixo da tela está a uma distância d
acima de seu olho. A que distância x da parede esse estudante deve ficar afim de obter a melhor
visão?
Resposta:
x =
√
d(h+ d)2 − d2(h+ d)
h
.
Conclusão: A indecisão na hora de escolher a posição no cinema acabou. Vamos aos cálculos.
Em primeiro lugar precisamos especificar um bom sistema de coordenadas. Digamos que a
base da tela é representada pelo ponto B = (0, d) e que o topo da tela é representado pelo ponto
T = (0, h + d). O estudante está posicionado ao longo do eixo dos x, isto é, a posição dele é
representada pelo ponto E = (x, 0). Seja α o ângulo formado pelos segmentos de reta EB e EO, e
θ o ângulo formado pelos segmentos de reta ET e EB. Observe que o triângulo OTE é retângulo
e θ+α é o ângulo entre os segmentos ET e EO. O que desejamos maximizar em função da posição
x é o ângulo de visão, no caso o ângulo θ. Observe que quando x = 0 o ângulo θ é zero. Observe
que
tan(α) =
d
x
, tan(θ + α) =
h+ d
x
.
Segue que
α = arctan(d/x), θ + α = arctan((h+ d)/x).
Logo obtemos uma equação para θ(x):
θ(x) = arctan
(
h+ d
x
)
− arctan
(
d
x
)
.
O que fazemos agora? Busacamos por pontos críticose investigamos eles. Lembre que
d
dx
arctan(x) =
1
1 + x2
.
Assim, pela regra da cadeia:
d
dx
arctan
(
h+ d
x
)
=
1
1 +
(
h+d
x
)2 ddx h+ dx = h+ d1 + (h+d)2x2 ·
−1
x2
= − h+ d
x2 + (h+ d)2
.
Analogamente obtemos
d
dx
arctan
(
d
x
)
= − d
x2 + d2
.
Assim
0 = θ′(x)⇐⇒ − h+ d
x2 + (h+ d)2
+
d
x2 + d2
= 0.
Isolando x na equação obtemos que (Faça em casa!):
xc =
√
d(h+ d)2 − d2(h+ d)
h
.
Agora precisamos decidir se θ(xc) é valor máximo absoluto ou não. Usaremos o método do intervalo
fechado. Seja L um número grande. Observe que a função limx→0+ θ(x) = limL→∞ θ(L) = 0. Da
Cálculo I Aula 26 pág. 78
definição de limites, limL→∞ θ(L) = 0 quer dizer que existe um valor fixo L > 0 possivelmente
grande tal que para todo x > L vale θ(x) < θ(xc)2 . Observe também que a função θ é contínua no
intervalo [0,∞), em particular é contínua no fechado [0, L]. Logo atinge um valor máximo absoluto
nesse intervalo. Segue que esse valor máimo absoluto não pode ocorrer nos extremos do intervalo
- Ocorre no interior e portanto no único ponto crítico xc. Logo θ(xc) é o valor máximo absoluto
de θ no intervalo [0,∞).
Cálculo I Aula 30 pág. 79
27. Aula - Exercícios
28. Aula - Exercicios
29. Aula - Exercicios
30. Prova
Cálculo I Aula 31 pág. 80
31. Aula - Introdução ao cálculo integral
31.1. Áreas. Considere o seguinte problema: f : [a, b] → [0,∞) é uma função e R é conjunto de
pontos do plano que estão entre a reta horizontal y = 0 e o gráfico de f , isto é,
R := {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
Como calcular/definir a área da região R?
Introduziremos a idéia a clássica do cálculo integral.
Vamos começar com um exemplo: f(x) = x2 e [a, b] = [0, 1]. Para n ∈ N, n ≥ 2 fixo, definimos
Pn o conjunto dos pontos da forma kn onde 0 ≤ k ≤ n, isto é, Pn é o conjunto dos pontos da forma
0 =
0
n
,
1
n
,
2
n
,
3
n
, ...,
n
n
= 1.
Dizemos que Pn é uma partição do intervalo [0, 1] em n subintervalos de mesmo comprimento.
Entre cada 2 pontos consecutivos kn e
k+1
n escolhemos arbitrariamente um ponto xk. Definimos
Ek o retângulo [k/n, (k+ 1)/n]× [0, f(xk)], isto é, Ek é o retângulo que tem como base o intervalo
[k/n, (k+1)/n] e altura igual a f(xk). Em particular a área de Ek é f(xk)/n. Definimos a n-ésima
soma de Riemann de f no intervalo [0, 1] como
S(f, n) :=
n−1∑
k=0
Área(Ek) =
n∑
k=1
f(xk) · 1
n
.
Antes de prosseguirmos vamos desenhar alguns casos particulares de n. Em cada um dos casos
abaixo escolhemos o ponto xk como sendo o ponto k/n.
Figure 31.1. S(f, 4) =
3∑
k=0
f(k/4) · 1
4
= 0.21875
Cálculo I Aula 31 pág. 81
Figure 31.2. S(f, 20) =
19∑
k=0
f(k/20) · 1
20
= 0.30875
Figure 31.3. S(f, 30) =
29∑
k=0
f(k/30) · 1
30
= 0.3168518520
Figure 31.4. S(f, 80) =
79∑
k=0
f(k/80) · 1
80
= 0.3271093747
Como os desenhos acima indicam os valores S(f, n) parecem convergir para 1/3 quando n→
∞. Podemos provar alguma coisa?
Seja então n um número natural. Note que
S(f, n+ 1) =
n∑
k=0
k2
(n+ 1)2
· 1
n+ 1
=
1
(n+ 1)3
n∑
k=0
k2.
Cálculo I Aula 31 pág. 82
Agora invocamos um resultado de teoria dos números que diz que a soma dos n primeiros quadrada-
dos perfeitos é
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
,
veja A.10 para uma demonstração (elegante). Logo
S(f, n+ 1) =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6(n+ 1)3
lim
n→∞S(f, n+ 1) = limn→∞
n
n+ 1
n+ 1
n+ 1
2n+ 1
6(n+ 1)
= 1 · 1 · 2
6
=
1
3
.
31.2. A integral de uma função. Começamos com o seguinte Teorema:
Teorema 31.1. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Defina ∆x = b−an . Para cada n fixo e
0 ≤ k ≤ n− 1, sejam xk pontos arbitários tais que xk ∈ [a+ k∆x, a+ (k + 1)∆x]. Então existe
lim
n→∞S(f, n) = limn→∞
1
n
n−1∑
k=0
f(xk) = lim
∆x→0
n∑
k=0
f(xk)∆x.
No caso em que o limite acima existe, escrevemos
lim
n→∞S(f, n) =
∫ b
a
f(x)dx
e lemos a equação acima como: A integral definida desde a até b (
∫ b
a
) da função f(x) com respeito
a variável x (dx) existe e é igual ao limite das somas de Riemman.
Quando f é não-negativa, então
∫ b
a
f(x)dx é a área da região delimitada pelas retas verticais
x = a e x = b, pela reta horizontal y = 0 e o gráfico de f .
Quando f nem sempre é não-negativa, por exemplo, não-negativa desde a até um ponto c e
não-positiva desde c até b, de modo que −f é não-negativa no intervalo [c, b], então o valor de∫ b
a
f(x)dx é o que chamamos de área líquida de f :∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx−
∫ b
c
(−f(x))dx.
Sem fazer nenhuma conta, podemos afirmar que∫ 2pi
0
sin(x)dx = 0, conforme o desenho abaixo:
Cálculo I Aula 31 pág. 83
31.3. A função induzida por uma integral. Seja f : R → R uma função contínua e a um
número. Em particular para cada número real t ≥ a está definido o valor ∫ t
a
f(x)dx. Assim
definimos uma nova função F : [a,∞)→ R
F (t) =
∫ t
a
f(x)dx.
Como fizemos nas seções anteriores podemos questionar sob quais condições F é uma função
contínua, diferenciável, 2 vezes diferenciável e etc.
Teorema 31.2 (Teorema fundamental do cálculo). A função F definida acima é contínua em
[a, b] e diferenciável em (a, b) quando f é contínua em [a, b]. Nesse caso vale para cada t ∈ (a, b)
F ′(t) = f(t), ou equivalentemente
d
dt
∫ t
0
f(x)dx = f(t).
Em outras palavras a integral desfaz o que a derivada faz; O processo de calcular áreas sob
gráficos é o processo inverso de calcular retas tangentes.
Exemplo 31.1. Calcule
F (t) =
∫ t
0
x2dx.
Observe que F (0) = 0. Pelo teorema fundamental do cálculo F (t) é uma função que satisfaz para
cada t real F ′(t) = t2. Por outro lado sabemos que para cada r real, ddt t
r = rtr−1. Em particular,
t2 = ddt
t3
3 . Logo a função que buscamos é F (t) =
t3
3 .
Em geral vale que para r ≥ 0
∫ t
0
xrdx =
tr+1
r + 1
.
Dito de outra forma
d
dt
∫ t
0
xrdx =
d
dt
tr+1
r + 1
= tr.
Cálculo I Aula 32 pág. 84
32. Aula - Primitivas e Propriedades da integral
Exemplo 32.1. Calcule
∫ t
3
(x2 + 1)dx.
Solução: Pelo Toerema fundamental do cálculo, a função
F (t) =
∫ t
3
(x2 + 1)dx
é tal que F (3) = 0 e F ′(t) = t2 + 1. Em particular, vemos que G(t) = t3/3 + t é tal que
G′(t) = F ′(t) porém G(3) = 33/3 + 3 = 12 6= 0. Assim G(t) não é a função que buscamos. Veja
agora que F (t) = G(t)−G(3) satisfaz F (3) = 0 e F ′(t) = t2 + 1. Logo∫ t
3
(x2 + 1)dx =
t3
3
+ t− 12.
Nos exemplos anteriores resolvemos
F (t) =
∫ t
a
f(x)dx
por �adivinhando� uma função F tal que F (a) = 0 e F ′(t) = f(t) para todo t ≥ a. Mas, poderia
haver mais de uma função satisfazendo esses requisitos? A resposta é não como veremos a seguir.
Definição 32.1. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Dizemos que F : [a, b] → R é uma
primitiva de f se é contínua e F ′(t) = f(t) para todo a < t < b.
Teorema 32.1. Sejam F : [a, b]→ R e G : [a, b]→ R funções contínuas. Assuma que F e G são
duas primitivas distintas de f : [a, b]→ R. Então existe uma constante c ∈ R tal que
F (x) = G(x) + c.
Em outras palavras, uma função contínua f possui infinitas primitivas sendo que cada duas
primitivas são iguais a menos de uma constante. Em particular, se duas primitivas coincidem em um
ponto do intervalo [a, b], então coincidem em todos os pontos desse intervalo, isto é, correspondem
a mesma função.
Prova. Seja h(t) = F (t) − G(t). Então h é uma função diferenciável no aberto (a, b) pois é
a diferença de duas funções diferenciáveis nesse intervalo. Em particular h′(t) = 0 para cada
t ∈ (a, b). Queremos provar que h(t) = constante. Por absurdo, suponhamos que não. Logo
existem 2 valores a < u < w < b tais que h(u) 6= h(w). Pelo teorema do valor médio, existe um v
entre u ew tal que
h(w)− h(u) = h′(v)(w − u).
Mas conforme verificado anteriormente, h′(t) = 0 para cada a < t < b e portanto
0 6= h(w)− h(u) = 0 · (w − u) = 0,
o que é uma contradição a hipótese de absurdo. �
Teorema 32.2. Seja f : [a, b] → R uma função contínua e G : [a, b] → R uma primitiva para f .
Então ∫ b
a
f(x)dx = G(b)−G(a).
Proof. Defina F (t) =
∫ t
a
f(x)dx. Então F (a) = 0 pois corresponde a área de uma semi-reta que é
zero. Pelo Teorema fundamental do cálculo F é uma primitiva de f . Pelo Teorema 32.1 existe uma
constante c ∈ R tal que F (t) − G(t) = c, pois F e G são duas primitivas de f . Como F (a) = 0,
segue que −G(a) = c, isto é, para todo t ∈ [a, b]
F (t)−G(t) = −G(a).
Fazendo t = b obtemos F (b) = G(b)−G(a). �
Cálculo I Aula 32 pág. 85
Uma formulação equivalente (e bastante útil) do teorema acima é:∫ b
a
F ′(x)dx = F (b)− F (a).
Notação. Antes de prosseguirmos com exemplos, introduziremos uma notação importante. Seja
G uma função definida nos pontos u e v. Então
G(x)
∣∣∣∣x=v
x=u
= G(v)−G(u).
Exemplo 32.2. Uma primitiva para 4t4 + cos(t) é 45 t
5 + sin(t). Logo
∫ 6
1
(4x4 + cos(x))dx =
(
4
5
t5 + sin(t)
)∣∣∣∣t=6
t=1
=
(
4
5
65 + sin(6)
)
−
(
4
5
+ sin(1)
)
.
Exemplo 32.3. Sabemos que et é uma primitiva para et. Logo∫ 2
−2
exdx = et
∣∣∣∣t=2
t=−2
= e2 − 1
e2
.
Exemplo 32.4. Uma primitiva para sec2(t) é tan(t). Logo
∫ pi/4
0
sec2(x)dx = tan(t)
∣∣∣∣t=pi/4
t=0
= tan(pi/4)− tan(0) = 1− 0 = 1.
Exemplo 32.5. Uma primitiva para
1
t2 é − 1t logo∫ 1
−1
1
x2
dx = −1
t
∣∣∣∣t=1
t=−1
= −1
1
−
(
− 1−1
)
= −2,
correto?
Não tenho tanta certeza...
Por um lado a função
1
x2 só assume valores positivos, então como poderia o resultado dessa
integral ser um número negativo? Seria um único caso em que o cálculo integral falha? Será que
esse furo passou despercebido por gerações e mais gerações de matemáticos?
Não, nada disso. É só uma questão de ler atentamente as hipóteses do Teorema 32.2. A
função
1
x2 não é contínua no intervalo [−1, 1], logo
∫ 1
−1
1
x2 dx não está na classe de aplicabilidade
desse teorema. Entretanto, é legítimo usar esse teorema para calcular
∫ 10
1
1
x2 dx, por exemplo, visto
que essa função é contínua em (0,∞).
32.1. Integral indefinida vs Integral definida. Denotamos a integral indefinida de f como
sendo ∫
f(x)dx,
e definimos essa integral como sendo a forma geral de todas as primitivas de f . Pelo teorema 32.1,
quaisquer duas primitivas de f diferem por uma constante. Assim, se G é uma primitiva de f ,
então ∫
f(x)dx = G(x) + c,
onde c é uma constante arbitrária.
Cálculo I Aula 32 pág. 86
Exemplo 32.6. ∫
xrdx =
xr+1
r + 1
+ c, se r 6= 1∫
1
x
dx = ln |x|+ c∫
sin(x)dx = − cos(x) + c∫
cos(x)dx = sin(x) + c∫
sec2(x)dx = tan(x) + c∫
exdx = ex + c.
Já as integrais definidas são aquelas em que estipulamos limites de integração, em geral rep-
resentados pela letra a e b: ∫ b
a
f(x)dx.
Uma diferença pivotal entre uma integral indefinida e uma integral definida é que a integral in-
definida representa uma família infinita de funções. Já a integral definida ou é um número - Quando
os limites de integração são fixos - ou é uma única função - Quando os limites de integração são
também funções. Com um certo abuso de notação, é legítimo escrever∫ b
a
f(x)dx =
(∫
f(x)dx
)∣∣∣∣b
a
.
Em tese deveríamos escrever, por exemplo,(∫
x2dx
)
(x) =
x3
3
+ c,
mas não o fazemos pois a fim de simplificar a notação.
Algumas propriedades das integrais: Sejam f e g definidas em um certo intervalo [a, b] e
contínuas. Então:
I1:
∫
(f(x) + g(x))dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx.
I2:
∫
cf(x)dx = c
∫
f(x)dx, para qualquer constante c que não depende de x.
I3:
∫
f(u)du,
∫
f(x)dx e
∫
f(♠)d♠ representam a mesma família de primitivas (funções), isto é,
para qualquer intervalo [c, d] ⊂ [a, b] temos∫ d
c
f(u)du =
∫ d
c
f(x)dx =
∫ d
c
f(♠)d♠.
É importante observar que se ♣ independe de ♠ então∫
f(♣)d♠ = f(♣)♠+ c,
ao passo que ∫ b
a
f(♣)d♠ = f(♣)(b− a).
I4.
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx.
I5.
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx, para qualquer c ∈ (a, b).
I6. Se f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], então para cada t ∈ [a, b] temos∫ t
a
(f(x)− g(x))dx ≥ 0.
Cálculo I Aula 32 pág. 87
I7. Vale que ∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)|dx.
Cálculo I Aula 33 pág. 88
33. Aula - Métodos de integração: Substituição e partes
Vimos que o cálculo de integrais tanto indefinidas quanto definidas se resume em encontrar
primitivas. Nessa e nas próximas aulas estudaremos métodos para �Primitivar� uma função.
33.1. Método da substituição. O método da substituição consiste em reverter a regra da cadeia.
Observe que
d
dx
f ◦ g(x) = f ′(g(x))g′(x).
Logo ∫
f ′(g(x))g′(x)dx =
∫
d
dx
f ◦ g(x)dx = f ◦ g(x) + c.
Teoricamente, esse é o método da substituição. Na prática funciona da seguinte forma: Quere-
mos lidar com uma integral complicada do tipo
∫
f(♣)♠dx onde ♣ e ♠ são expressões complicadas
em termos de x, e a integral
∫
f(x)dx = F (x) + c é fácil de ser calculada. Se por acaso acontecer
(o milagre) que para alguma constante c 6= 0
♠ = c d
dx
♣,
então fazemos a substituição: u = ♣. Segue que dudx = c♠. Heuristicamente, duc = ♠dx. Imple-
mentando essas substituições escrevemos∫
f(♣)♠dx =
∫
f(u)
du
c
=
1
c
∫
f(u)du =
F (♣)
c
+ k.
Exemplo 33.1. Calcule
∫
(sin(x))66 cos(x)dx.
Solução. Nesse caso f(x) = x66, ♣ = sin(x) e ♠ = cos(x). Se fizermos u = sin(x) segue que
du
dx = cos(x). Simbolicamente, du = cos(x)dx. Assim∫
[sin(x)︸ ︷︷ ︸
u
]66 cos(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
=
∫
u66du =
u67
67
+ c =
(sin(x))67
67
+ c.
Exemplo 33.2. Calcule
∫
ln t
t dt.
Solução. Defina u = ln t. Então dudt =
1
t . Simbolicamente isso quer dizer que du =
dt
t . Logo∫
ln t︸︷︷︸
u
dt
t︸︷︷︸
du
=
∫
udu =
u2
2
+ c =
(ln t)2
2
+ c.
33.2. O método da substituição e integrais definidas. Uma observação importante ao usar o
método da substituição é que a resposta final deve ser em termos da variável original de integração.
Por exemplo, vimos que ∫
[sin(x)︸ ︷︷ ︸
u
]66 cos(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
=
∫
u66du =
u67
67
+ c
e somos tentados em deixar essa expressão em termos de u como sendo a resposta final. Entretanto é
importante voltar para variável original de integração x. No caso, fizemos a substituição u = sin(x),
logo a resposta que queremos é∫
(sin(x))66 cos(x)dx =
(sin(x))67
67
+ c.
Esse não é o caso quando tratamos da integral definida∫ pi/2
0
(sin(x))66 cos(x)dx.
Observe que nesse caso a resposta final é um número concreto. E no caso da integral definida não é
necessário voltar a váriavel original x para aplicar os limites de integração na primitiva. Isso se na
Cálculo I Aula 33 pág. 89
etapa em que efetuarmos a substituição u = sin(x) modificarmos também os limites de integração
adequadamente:
∫ pi/2
0
[sin(x)︸ ︷︷ ︸
u
]66 cos(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
=
∫ 1
0
u66du =
u67
67
∣∣∣∣u=1
u=0
=
1
67
.
No exemplo acima substituímos no limite inferior o valor de u que corresponde ao sin(0), que
por coincidência é 0. No limite superior substituímos o valor de u que corresponde ao valor de
sin(pi/2) = 1. Outra forma (mais trabalhosa de calcular essa integral) seria voltar para a variável
x e então aplicar os limites de integração:∫ pi/2
0
(sin(x))66 cos(x)dx =
(sin(x))67
67
∣∣∣∣x=pi/2
x=0
=
(sin(pi/2))67
67
− (sin(0))
67
67
=
1
67
.
Exemplo 33.3. Calcule a primitiva de
√
2x+ 1 e
∫ 1
0
√
2x+ 1dx.
Solução. Façamos u = 2x + 1. Assim dudx= 2. Logo (simbolicamente) dx =
du
2 . Quando x = 0,
u = 1; Quando x = 1, u = 3. Logo∫ 1
0
√
2x+ 1dx =
∫ 3
1
√
u
du
2
=
1
2
u3/2
3/2
∣∣∣∣3
1
=
1
3
(33/2 − 1)∫ √
2x+ 1dx =
∫ √
u
du
2
=
1
2
u3/2
3/2
+ c =
(2x+ 1)3/2
3
+ c.
Exemplo 33.4. Calcule
∫
xe−x
2/2dx.
Solução. Façamos u = −x2/2. Assim dudx = −x. Simbolicamente temos então xdx = −du. Logo∫
xe−x
2/2dx = −
∫
eudu = −eu + c = −e−x2/2 + c.
Exemplo 33.5. Calcule
∫
tan(x)dx.
Solução. Façamos u = cos(x). Assim dudx = − sin(x). Simbolicamente temos então sin(x)dx = −du.
Logo ∫
sin(x)
cos(x)
dx = −
∫
1
u
du = − ln |u|+ c = − ln | cos(x)|+ c = ln | sec(x)|+ c.
33.3. Método de integração por partes. Esse método consiste em reverter a regra do produto:
Sejam u e v funções de x, então:
d
dx
uv = u
d
dx
v + v
d
dx
u
uv =
∫
u
(
d
dx
v
)
dx+
∫
v
(
d
dx
u
)
dx∫
u
(
d
dx
v
)
dx = uv −
∫
v
(
d
dx
u
)
dx.
Em sua forma clássica (fácil de memorizar), escrevemos a fórmula de integração por partes:∫
udv = uv −
∫
vdu.
Em teoria, assim funciona o método de integração por partes. Na prática queremos calcular uma
integral do tipo ∫
f(x)g(x)dx.
O método é efetivo quando é fácil estabelecer
∫
g(x)f ′(x)dx e
∫
g(x)dx = G(x). Nesse caso fazemos
a substituição u = f(x) e ddxv = g(x). Simbolicamente temos du = f
′(x)dx e v =
∫
g(x)dx = G(x).
Agora ∫
f(x)g(x)dx =
∫
udv = uv −
∫
vdu = f(x)G(x)−
∫
G(x)f ′(x)dx.
Cálculo I Aula 33 pág. 90
Sempre há uma indeterminação: dentre f e g, quem escolhemos para fazer o papel de u e
quem escolhemos para fazer o papel de dv?
Exemplo 33.6. Calcule
∫
x sin(x)dx. A má escolha (descubra a razão!):
u = sin(x) e dv = xdx.
A boa escolha:
u = x e dv = sin(x)dx.
Nesse caso, du = dx e v = − cos(x). Logo∫
x︸︷︷︸
u
sin(x)dx︸ ︷︷ ︸
dv
= −x cos(x)︸ ︷︷ ︸
uv
−
∫
(− cos(x))︸ ︷︷ ︸
v
dx︸︷︷︸
du
= −x cos(x) + sin(x) + c.
Exemplo 33.7 (Clássico!). Calcule
∫
ln(x)dx.
Soulução. Façamos a escolha u = lnx e dv = dx, de modo que du = dxx e v = x. Assim∫
ln(x) = uv −
∫
vdu = x lnx−
∫
x
dx
x
= x lnx− x+ c.
Exemplo 33.8. Calcule
∫
t2etdt.
Solução. Nesse exemplo aplicaremos o método da integração por partes duas vezes. Façamos
u = t2 e dv = etdt. Assim du = 2tdt e v = et. Logo∫
t2etdt = t2et −
∫
et2tdt.
Agora precisamos calcular
∫
et2tdt. Para isso fazemos u = 2t e dv = et de modo que du = 2dt e
v = t. Logo ∫
2tetdt = 2tet −
∫
et2dt = 2tet − 2et.
Assim ∫
t2etdt = t2et −
(
2tet − 2et
)
= et(t2 − 2t+ 2) + c.
Exemplo 33.9 (Clássico!!). Calcule I =
∫
et sin(t)dt.
Solução. Façamos a substituição u = sin(t) e dv = etdt de modo que du = cos(t)dt e v = et. Assim
I = et sin(t)−
∫
et cos(t)dt︸ ︷︷ ︸
J
.
Cálculo de J : Façamos u = cos(t) e dv = etdt de modo que du = − sin(t)dt e v = et. Segue que
J = cos(t)et −
∫
et(− sin(t))dt = cos(t)et + I.
Assim
I = et sin(t)− (et cos(t) + I)
2I = et(sin(t)− cos(t))∫
et sin(t)dt =
et
2
· (sin(t)− cos(t)).
Cálculo I Aula 34 pág. 91
34. O método da substituição trigonometrica; Polinômios trigonométricos
34.1. Substituição trigonométrica. A substituição trigonométrica é um caso particular do
método da substituição. No caso, aqui fazemos uma substituição do tipo
x = função trigonométrica (θ),
e então fazemos vantagen do uso de alguma relação trigonométrica:
sin2(θ) + cos2(θ) = 1
1 + (co) tan2(θ) = (co) sec2(θ)
cos2(θ) =
1 + cos(2θ)
2
sin2(θ) =
1− cos(2θ)
2
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ).
Exemplo 34.1. Mostre que a área delimitada por um círculo de círculo de raio r é pir2.
Solução. O círculo de raio r é o cojunto de pares de pontos (x, y) tais que
x2 + y2 = r2.
Logo o semícirculo superior pode ser descrito pela função
y =
√
r2 − x2.
Logo a área do círculo é 4 vezes a área correpondente ao primeiro quadrante:
A = 4
∫ r
0
ydx =
∫ r
0
√
r2 − x2dx.
Faça x = r sin(θ). Logo dx = r cos(θ)dθ e r2 − x2 = r2 cos2(θ). Além disso, θ = arcsin(x/r). Logo
o valor de θ correpondente ao ponto x = 0 é θ0 = arcsin(0) = 0; O valor de θ correpondente ao
ponto x = r é θ0 = arcsin(r/r) = pi/2. Assim
4
∫ r
0
√
r2 − x2dx = 4
∫ pi/2
0
√
r2 cos2(θ)r cos(θ)dθ
= 4r2
∫ pi/2
0
| cos(θ)| cos(θ)dθ
= 4r2
∫ pi/2
0
cos2(θ)dθ
= 4r2
∫ pi/2
0
1 + cos(2θ)
2
dθ
= 4r2
∫ pi/2
0
1
2
dθ + 4r2
∫ pi/2
0
cos(2θ)
2
dθ
= 4r2
θ
2
∣∣∣∣θ=pi/2
θ=0
+ 4r2
sin(2θ)
4
∣∣∣∣θ=pi/2
θ=0
= 4r2
pi
4
+ 4r2
(sin(pi)− sin(0))
4
= pir2.
Exemplo 34.2. Calcule a área da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
Cálculo I Aula 34 pág. 92
onde a e b são números reais positivos.
Solução. Da mesma forma que no item anterior calcularemos somente a área do primeiro
quadrante e então multiplicaremos por 4. Observe que no caso da elipse no primeiro quadrante
temos y = ba
√
a2 − x2. Assim a área da elispse é
b
a
∫ a
0
4
√
a2 − x2dx = b
a
× Área do círculo de raio a = b
a
pia2 = abpi.
Exemplo 34.3. Calcule
∫ √
1− x2dx.
Solução. Fazendo r = 1 no exemplo anterior obtemos∫ √
1− x2dx = θ
2
+
sin(2θ)
4
+ c.
Precisamos somente voltar para a variável original x. Observe que x = sin(θ) e portanto cos(θ) =√
1− x2. Logo sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) = 2x√1− x2. Por outro lado θ = arcsin(x). Concluímos
que ∫ √
1− x2dx = arcsin(x)
2
+
x
√
1− x2
2
+ c.
Exemplo 34.4. Calcule
∫ √
9−x2
x2 dx.
Solução. Faremos a substituição x = 3 sin(θ) de modo que 9 − x2 = 9 cos2(θ) e dx = 3 cos(θ)dθ.
Segue que ∫ √
9− x2
x2
dx =
∫ √
9 cos2(θ)
9 sin2(θ)
3 cos(θ)dθ
=
∫
cos2(θ)
sin2(θ)
dθ
=
∫
(csc2(θ)− 1)dθ
= − cot(θ)− θ + c.
Precisamos voltar para a variável original x. Observe que definimos
sin(θ) =
x
3
=
cateto oposto
hipotenusa
.
Segue que o cateto adjacente a θ mede
√
9− x2. Logo
tan(θ) =
x√
9− x2
de modo que
cot(θ) =
√
9− x2
x
.
Concluímos que ∫ √
9− x2
x2
dx = −
√
9− x2
x
− arcsin(x/3) + c.
Cálculo I Aula 34 pág. 93
Exemplo 34.5.
∫
dx
x(1+x2) .
Solução. A substituição apropriada aqui é x = tan(θ) uma vez que 1 + x2 = sec2(θ). Segue que
dx = sec2(θ)dθ. Logo ∫
dx
x(1 + x2)
=
∫
sec2(θ)
tan(θ)(sec2(θ))
dθ =
∫
cot(θ)dθ
= ln | sin(θ)|+ c.
Precisamos voltar para a variável original x. Veja que deifinimos
tan(θ) =
x
1
=
cateto oposto
cateto adjacente
.
Assim a hipotenusa mede
√
1 + x2. Em particular sin(θ) = x√
1+x2
. Concluímos que∫
dx
x(1 + x2)
= ln
∣∣∣∣ x√1 + x2
∣∣∣∣+ c.
34.2. Polinômios trigonométricos. Agora estamos interessados em calcular integrais do tipo∫
sinm(x) cosn(x)dx.
A estratégia é aplicar o método da substituição.
Caso em que n é ímpar. Se n é ímpar então n = 2k + 1. O método consiste em escrever
cos2k+1(x) sinm(x) = (cos2(x))k sinm(x) cos(x) = (1− sin2(x))k sinm(x) cos(x).
Fazendo a substituição u = sin(x) obtemos du = cos(x)dx. Portanto∫
cosm(x) sinn(x)dx =
∫
(1− u2)kumdu,
isto é, transformamos a integral inicial na integral de um polinômio na variável u. A resposta final
é P (sin(x)) onde P (x) é um polinômio.
Caso em que m é ímpar. Se m é ímpar então m = 2k + 1. O método consiste em escrever
sin2k+1(x) cosm(x) = (sin2(x))k cosm(x) sin(x) = (1− cos2(x))k cosm(x) sin(x).
Fazendo a substituição u = cos(x) obtemos du = − sin(x)dx. Portanto∫
sinm(x) cosn(x)dx = −
∫
(1− u2)kumdu,
isto é, transformamos a integral inicial na integral de um polinômio na variável u. A resposta final
é P (sin(x)) onde P (x) é um polinômio.
Exemplo 34.6.∫
cos2(x) sin3(x)dx =
∫
cos2(x) sin2(x) sin(x)dx =
∫
(cos(x)︸︷︷ ︸
u
)2(1− cos2(x)) sin(x)dx︸ ︷︷ ︸
−du
=
∫
u2(1− u2)(−du) = −
∫
(u2 − u4)du = −u
3
3
+
u5
5
+ c
=
cos5(x)
5
− cos
3(x)
3
+ c.
Caso em que n e m são pares. Nesse caso use e abuse das relações
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
,
cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
.
Cálculo I Aula 34 pág. 94
Exemplo 34.7. ∫
sin2(x) cos2(x)dx =
∫
(1− cos(2x))
2
(1 + cos(2x))
2
dx
=
∫
1− cos2(2x)
4
dx
=
∫
1− 1+cos(4x)2
4
dx
=
1
8
∫
(1− cos(4x))dx
=
1
8
(
x− sin(4x)
4
)
+ c
=
x
8
− sin(4x)
32
+ c.
Cálculo I Aula 35 pág. 95
35. Decomposição em frações paricais; Áreas entre curvas.
35.1. Decomposição em frações parciais. Estamos interessados em calcular integrais do tipo∫
P (x)
Q(x)
dx,
onde o grau de P é menor do que o grau de Q. Isso não é perda de generalidade porque se o grau
de P é maior que o grau de Q então podemos escrever
P (x)
Q(x)
= U(x) +
R(x)
Q(x)
,
onde U(x) e R(x) são polinômios e o grau de R é menor que o grau de Q.
Agora vem uma perda de generalidade: Nosso método será restrito ao caso em que Q se escreve
como:
Q(x) = (a1x− b1) · (a2x− b2) · ... · (anx− bn),
isto é, o caso em que Q tem grau n e n raízes reais.
Para o caso geral o autor aconselha a consulta de um livro texto.
O método.
Afirmamos que se Q(x) = (a1x− b1) · (a2x− b2) · ... · (anx− bn) e P tem grau menor do que
n, então existem constantes A1, A2, ..., An tais que
P (x)
Q(x)
=
A1
a1x− b1 + ...+
An
anx− bn .
Em particular obtemos∫
P (x)
Q(x)
dx =
A1
a1
ln |a1x− b1|+ ...+ An
an
ln |anx− bn|.
A dificuldade é portanto encontrar as constantes A1, A2, ..., An. Para isso usaremos álgebra
linear.
Exemplo 35.1. Calcule
∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2xdx.
Solução. Começamos fatorando o denominador:
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x− 1)(x+ 2).
Agora decompomos
x2+2x−1
2x3+3x2−2x em frações parciais:
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x =
A
x
+
B
2x− 1 +
C
x+ 2
=
A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)
x(2x− 1)(x+ 2)
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x =
A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)
x(2x− 1)(x+ 2)
x2 + 2x− 1 = A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)
x2 + 2x− 1 = A(2x2 + 3x− 2) +B(x2 + 2x) + C(2x2 − x)
x2 + 2x− 1 = x2(2A+B + 2C) + x(3A+ 2B − C) + (−2A).
A identidade acima é verdadeira para todo x se e somente se
2A+B + 2C = 1
3A+ 2B − C = 2
−2A = −1.
Cálculo I Aula 35 pág. 96
Da última equação segue que A = 1/2. Assim obtemos
B + 2C = 0
2B − C = 1/2.
Segue que B = −2C, e −4C − C = 1/2. Portanto C = −1/10 e B = 1/5. Concluímos que∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2xdx =
∫ (
1/2
x
+
1/5
2x− 1 +
−1/10
x+ 2
)
dx =
1
2
ln |x|+ 1
5 · 2 ln |2x−1|−
1
10
ln |x+2|+c.
Exemplo 35.2. Calcule
∫
1
x2−2dx.
Solução. Começamos fatorando o denominador:
x2 − 2 = (x−
√
2)(x+
√
2).
Agora decompomos em frações parciais:
1
x2 − 1 =
A
x−√2 +
B
x+
√
2
=
A(x+
√
2) +B(x−√2)
(x−√2)(x−√2)
=
x(A+B) +
√
2(B −A)
(x−√2)(x−√2)
1 = x(A+B) +
√
2(A−B)
⇐⇒
A+B = 0 e A−B = 1√
2
.
Segue que B = − 1
2
√
2
e A = 1
2
√
2
. Logo
1
x2 − 2dx =
∫ ( 1
2
√
2
x−√2 −
1
2
√
2
x+
√
2
)
dx =
1
2
√
2
ln |x−
√
2| − 1
2
√
2
ln |x+
√
2|+ c.
35.2. Áreas entre curvas. Sejam f e g funções contínuas tais que para todo x ∈ [a, b]. Desejamos
calcular a área de região R entre as curvas y = f(x) e y = g(x) onde x ∈ [a, b]. Não é difícil ver
que a área dessa região é dada por ∫
|f(x)− g(x)|dx.
Exemplo 35.3. Esboçe a região R delimitada superiormente pela curva y = ex, inferiormente pela
reta y = x, lateralmente pelas retas x = 0 e x = 1.
Solução. Observe que |ex−x| = ex−x para todo x ∈ [0, 1]. Assim a área entre essas duas curvas é∫ 1
0
(ex − x)dx = (ex − x2/2)
∣∣∣∣1
0
= e− 3/2.
Esboço da região:
Cálculo I Aula 35 pág. 97
Exemplo 35.4. Esboce a região delimitada entre as curvas y1 = x
2
e y2 = 2x− x2.
Solução. A curva y1 é uma parábola côncava para cima e a curva y2 é uma parábola côncava
para baixo. Primeiro precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se interseccionam, isto é,
quando para o mesmo valor de x temos y1(x) = y2(x):
x2 = 2x− x2.
Essas intersecções ocorrem nos pontos correspondentes a x = 0 e x = 1. Assim a região delimitada
entre essas curvas é:
A área dessa região é portanto:∫ 1
0
[(2x− x2)− x2]dx = 2
∫ 1
0
[x− x2]dx = 2
(
x2
2
− x
3
3
)∣∣∣∣1
0
=
1
3
.
Exemplo 35.5 (Problema 43 do Stewart). Encontre a área da região em formato de lua crescente
delimitada pelos círculos de raio r e R (Região �aqua� abaixo). Dados: r < R; O centro do círculo
de Raio R e de raio r são, respectivamente, os pontos O1 = (0, 0) e O2 = (0,
√
R2 − r2), de modo
que os dois pontos de intersecção entre esses círculos e O2 são colineares.
Cálculo I Aula 35 pág. 98
Solução. Seja I o ponto de intersecção à direita no desenho acima. Como I e O2 são colineares
tem mesmo altura. Como I está a uma distância r de O2, concluímos que
I = O2 + (r, 0) = (
√
R2 − r2, r).
Por simetria, precisamos calcular somente a área da região referente ao primeiro quadrante e
multilpicar por 2. Chamemos de A a área do primeiro quadrante, de y1 e y2 os semicírculos
superirores de raio r e R, respectivamente. Então
A =
∫ r
0
y1dx−
∫ r
0
y2dx =
∫ r
0
(
√
R2 − r2 +
√
r2 − x2)dx−
∫ r
0
√
R2 − x2dx
= r
√
R2 − r2 + pir
2
4
−
(
R2
2
arcsin
(
x
R
)
+
x
√
R2 − x2
2
)∣∣∣∣x=r
0
= r
√
R2 − r2 + pir
2
4
−
(
R2
2
arcsin
(
r
R
)
+
r
√
R2 − r2
2
)
=
r
√
R2 − r2
2
+
pir2
4
− R
2
2
arcsin
(
r
R
)
.
Concluímos que a área da lua crescente é:
r
√
R2 − r2 + pir
2
2
−R2 arcsin
(
r
R
)
.
Cálculo I Aula 36 pág. 99
36. volumes
Chamaremos um subconjunto S ⊂ R3 de sólido. Na aula de hoje estamos interessados em
definir e calcular o volume de S. Começamos com a seguinte definição:
Definição 36.1. A seção transversal St de um sólido S é a intrersecção de S com o plano
Pt = {(x, y, z) ∈ R3 : x = t)}.
Exemplo 36.1. A esfera sólida S de raio R é o conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que
x2 + y2 + z3 ≤ R2.
A seção transversal St é o conjunto dos pontos de S para os quais a primeira coordenada x é
constante igual a t. Mais precisamente St é o cojunto dos pontos da forma (t, y, z) tais que
z2 + y2 = R2 − t2,
ou seja, St é o cojunto de todos os pontos dentro do círculo de raio
√
R2 − t2 com centro (t, 0, 0)
e paralelo ao plano yz.
Figure 36.1. A seção transversal vista de outro ângulo. Perceba que a seção
transversal é um conjunto bi-dimensional e que está sempre paralelo ao plano yz.
Dizemos que o sólido S está entre x = a e x = b se para cada x ∈ R \ [a, b] a seção transversal
Sx é vazia.
Definição 36.2. Seja A : [a, b]→ [0,∞) tal que
A(x) = Área(Sx).
Definimos o volume de S como sendo o limite das somas de Riemann da função A, quando esse
limite existe.
Cálculo I Aula 36 pág. 100
Em particular, quando A é contínua, segue que
V (S) =
∫ b
a
A(x)dx.
Pense em fatias de pão. Cada fatia tem um volume e o volume do pão é soma do volume de
cada fatia. Cada fatia tem uma base, um topo e uma espessura. A base e o topo correspondem a
seções transversais diferentes. Chamemos a espessura de ∆x. Assim a base é a seção transversal
Sx e o topo a seção Sx+∆x. Se a base e o topo da fatia são praticamente a mesma quando ∆x é
pequeno, então o volume dessa fatia é aproximadamente a área da base vezes a espessura:
∆V ≈ A(x)∆x.
Exemplo 36.2. A esfera sólida S de raio R tem como seção transversal Sx um círculo de raio√
R2 − x2. Em particular a área dessa seção é A(x) = pi(R2− x2). Logo o volume de S é
V (S) =
∫ R
−R
A(x)dx = pi
(
R2x− x
3
3
)∣∣∣∣R
−R
= pi
(
2R3 − 2
3
R3
)
=
4
3
piR3.
Exemplo 36.3. O elipsóide é o conjunto dos pontos (x, y, z) para os quais
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1,
onde a, b, c são constantes positivas.
Figure 36.2. A seção transversal vista de outro ângulo.
Cálculo I Aula 36 pág. 101
A seção St de um elipsóide é o conjunto dos pontos da forma (t, y, z) para os quais t é fixo e
t2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
y2
b2
+
z2
c2
= 1− t
2
a2
y2
b2
(
1− t2a2
) + z2
c2
(
1− t2a2
) = 1.
Em particular St é uma elipse da forma
y2
u2
+
z2
v2
= 1,
onde u2 = b2
(
1− t2a2
)
e v2 = c2
(
1− t2a2
)
. Conforme aulas anteriores a área de S(t) é
A(t) = piuv = pi
bc
a2
(a2 − t2).
Segue que
V (elipsóide) =
∫ a
−a
A(t)dt = pi
bc
a2
∫ a
−a
(a2 − t2)dt
=
bc
a2
× Volume da esfera de raio a
=
bc
a2
· 4
3
pia3
=
4
3
piabc.
36.1. Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo x. Em situações específicas é fácil
descrever as seções transversais de um sólido e portanto obter a integral que descreve seu volume.
Esse é o caso dos sólidos de revolução. Dizemos que um sólido S entre a e b é gerado por uma
rotação em torno do eixo x se para cada t ∈ [a, b], a seção transversal St é um círculo centrado no
ponto (x, y, z) = (t, 0, 0) e de raio f(t), onde f : [a, b]→ [0,∞) é uma função contínua.
Segue nesse caso que a área da seção Sx é A(x) = pif
2(x) e portanto
V (S) =
∫ b
a
pif2(x)dx.
Exemplo 36.4. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f(x) = x2 + 1 em
torno do eixo x, onde 0 ≤ x ≤ 1.
Cálculo I Aula 36 pág. 102
Solução:
V =
∫ 1
0
pi[x2 + 1]2dx = pi
∫ 2
0
(x4 + 2x2 + 1)dx
= pi(x5/5 + 2x3/3 + x)
∣∣∣∣1
0
= pi(1/5 + 2/3 + 1)
=
pi
15
(3 + 10 + 15)
=
28pi
15
Exemplo 36.5. Calcule o volume de um cone de altura h e raio R.
Solução. Um cone pode ser representado como a rotação de uma reta y(x) = ax em torno do eixo
x, onde x varia desde 0 até a altura h. Para encontrar o valor adequado da inclinação a usamos o
fato de que y(h) = R. Segue que a = Rh .
O Volume é portanto:
V = pi
∫ h
0
R2
h2
x2dx =
piR2
h2
(x3/3)
∣∣∣∣h
0
=
1
3
piR2h.
Exemplo 36.6. A região R delimitada pelas curvas y1 = x e y2 = x
2
é girada ao redor do eixo x.
Encontre o volume do sólido resultante.
Solução. Nesse caso as seções transversais são anéis de raio interno y2 e raio externo y1. A área
da seção Sx é portanto A(x) = pi(y
2
1 − y22) = pi(x2 − x4). O volume do sólido resultante é portanto
V =
∫ 2
0
pi(x2 − x4)dx = 2pi
15
.
36.2. Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo y. Agora desejamos rotacionar o
gráfico de uma função f em torno do eixo y. É importante observar que esse sólido é totalmente
distinto de um outro obtido pela rotação da mesma f em torno do eixo x. Isso porque as seções
transversais não são necessariamente círculos.
Em comparação com os exemplos anteriores, abaixo rotacionamos a curva y = 2x2 − x3 em
torno do eixo y:
A idéia para calcular o volume desse tipo sólido vem do seguinte exemplo:
Cálculo I Aula 36 pág. 103
Exemplo 36.7. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de f : [a, b]→ R em torno do eixo
y, onde f é constante igual a c, assuma que a ≥ 0.
Solução. Nesse caso o sólido resultante é o que chamamos de uma casa cilíndrica: É constiuído do
cilindro centrado em (0, 0) com raio b e altura c menos o cilindro com mesmo centro e altura c mas
raio a. O Volume nesse caso é portanto:
V = pib2c− pia2c = pic(b2 − a2) =
∫ b
a
2pixf(x)dx.
O método das cascas cilíndricas consiste em generalizar o exemplo anterior para a classe das
funções contínuas. Seja então portanto f : [a, b] → [0,∞) uma função contínua e x ∈ [a, b).
Seja V (x) o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f : [a, x]→ R em torno do eixo y.
Queremos estimar V (x+∆x)−V (x) para ∆x pequeno. Consideramos a função g : [x, x+∆x]→ R
dada por g(t) = f(x), isto é, g é constante e igual a f(x). Como vimos no exemplo anterior, o
Volume gerado pela rotação de g em torno do eixo y é dado por
Vg = pif(x)((x+ ∆x)
2 − x2) = pi(2x+ ∆x)(∆x)f(x).
Como f é contínua segue que para ∆x suficientemente pequeno, f(t) ≈ f(x) = g(t) para todo
t ∈ [x, x+ ∆x]. Assim
V (x+ ∆x)− V (x) ≈ Vg = pi(2x+ ∆x)(∆x)f(x).
Segue que
∆V
∆x
≈ (2x+ ∆x)pif(x).
De fato, com mais cuidado podemos provar que no limite ∆x→ 0:
d
dx
V = 2pixf(x).
Pelo Teorema fundamental do cálculo:
V =
∫ b
a
2pixf(x)dx.
Exemplo 36.8. Calcule o volume do sólido ontido pela rotação da curva y = 2x2 − x3 ao redor do
eixo y, onde x varia entre 0 e 2.
Solução.
V =
∫ 2
0
2pixf(x)dx =
∫ 2
0
2pix(2x3 − x4)dx = 16pi
5
.
Cálculo I Aula 37 pág. 104
37. Integração impropria; Ccomprimento de curva 12 de junho
Agora desejamos calcular a área de regiões infinitas. Começamos com a seguinte definição:
37.1. Integrais impróprias no ±∞.
Definição 37.1. Seja f uma função contínua e definida em um intervalo da forma [a,∞). Defin-
imos a integral imprópria
∫∞
a
f(x)dx como∫ ∞
a
f(x)dx = lim
T→∞
∫ T
a
f(x)dx.
Analogamente, no caso em que f está definida em um intervalo da forma (−∞, a] definimos∫ a
−∞
f(x)dx = lim
T→−∞
∫ a
T
f(x)dx.
Exemplo 37.1. Calcule
∫∞
1
dx
x2 .
Solução. Primeiro precisamos calcular a integral finita:∫ ∞
1
dx
x2
= lim
T→∞
∫ T
1
dx
x2
= lim
T→∞
(
− 1
x
)∣∣∣∣T
1
= lim
T→∞
(
1− 1
T
)
= 1.
Exemplo 37.2. Calcule
∫∞
1
dx
x .
Solução: ∫ ∞
1
dx
x
= lim
T→∞
∫ T
1
dx
x
= lim
T→∞
(
lnx
)∣∣∣∣T
1
= lim
T→∞
(
lnT
)
=∞.
Exemplo 37.3. Para quais valores de p ∈ R∫ ∞
1
dx
xp
<∞?
Solução: Já vimos que no caso p = 1 essa integral imprópria é ∞. Assim podemos assumir que
p 6= −1. ∫ ∞
1
dx
xp
= lim
T→∞
∫ T
1
x−pdx
= lim
T→∞
(
x−p+1
−p+ 1
)∣∣∣∣T
1
=
1
p− 1 limT→∞
(
1− 1
T p−1
)
=
{
1
p−1 , se p > 1
∞, se p < 1.
Concluímos que a integral acima é finita se somente se p > 1.
Cálculo I Aula 37 pág. 105
Exemplo 37.4. Calcule
∫∞
0
dx
1+x2 .
Solução. Começamos fazendo a substituição x = tan(θ). Assim dx = sec2(θ)dθ e 1 + tan2(θ) =
sec2(θ). Em particular obtemos
∫
dx
1+x2 =
∫
dθ = θ + C = arctan(x) + C. Logo∫ ∞
0
dx
1 + x2
= lim
T→∞
∫ T
0
dx
1 + x2
= lim
T→∞
arctan(T ) =
pi
2
.
Definição 37.2. Dizemos que a integral imprópria
∫∞
a
f(x)dx converge quando o limite
lim
T→∞
∫ T
a
f(x)dx
existe e é um número real. Dizemos que a integral imprópria imprópria
∫∞
a
f(x)dx converge abso-
lutamente quando a integral imprórpia
∫∞
a
|f(x)|dx converge. Fazemos definições análogas no caso
em que a integral imprópria é no −∞.
Vale a pena notar que no caso em que f é não-negativa temos que o conceito de convergência
absoluta coincide com o conceito de convergência simples.
Definição 37.3. Seja f : R → R tal que para algum a ∈ R as integrais impróprias ∫∞
a
f(x)dx e∫ a
−∞ f(x)dx convergem. Definimos∫ ∞
−∞
f(x)dx =
∫ a
−∞
f(x)dx+
∫ ∞
a
f(x)dx.
Teorema 37.1. Para cada a ∈ R e f : [a,∞)→ R contínua vale∣∣∣∣ ∫ ∞
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞
a
|f(x)|dx.
Em particular, convergência absoluta implica convergência.
Um resultado análogo vale no caso em que f está definida em (−∞, a].
Exemplo 37.5. Prove que a integral
∫∞
0
sin(x)
1+x2 dx converge.
Solução. Mostraremos que de fato converge absolutamente. Observe que
| sin(t)| ≤ 1
e portanto pela propriedade I7 das integrais (veja seção 32.1) vale para todo T > 0
F (T ) =
∫ T
0
≤
∫ | sin(x)|x2
dx ≤
∫ T
0
dx
1 + x2
≤
∫ ∞
0
dx
1 + x2
=
pi
2
.
Em particular F (T ) é crescente (em particular monótona) e limitada. Pelo princípio da monotoni-
cidade (reveja seção 5.1) existe limT→∞ F (T ), isto é,
∫∞
0
sin(x)
x2 dx converge absolutamente. Pelo
Teorema 37.1 essa integral converge.
Exemplo 37.6. Temos que ∫ ∞
−∞
sin(x)
1 + x2
dx = 0.
Isso é consequência do fato que a integral imprópria desde 0 a ∞ converge (exemplo anterior)
aliado ao fato que o integrando é uma função ímpar.
Concluímos essa seção observando que convergência não implica convergência absoluta. Um
exemplo clássico é a função
sin(x)
x que satisfaz∫ ∞
0
sin(x)
x
dx =
pi
2
,∫ ∞
0
| sin(x)|
|x| dx =∞
Cálculo I Aula 37 pág. 106
Figure 37.1. A área líquida de
sin(x)
1+x2 desde pi/2 até ∞ é aproxi-
madamente 0.6467611225.
Figure 37.2. A área líquida de
| sin(x)|
1+x2 desde pi/2 até∞ é aprox-
imadamente 0.9071810872.
37.2. Integral de funções descontínuas.
Definição 37.4. Seja f uma função contínua definida em um intervalo da forma i) (a, b] ou da
forma ii) (a, b]. Definimos
i.
∫ b
a+
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx;
ii.
∫ b−
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx.
Definimos o conceito de convergência e convergência absoluta dessas integrais de modo análogo
ao caso anterior.
Exemplo 37.7. Calcule
∫ 1
0+
dx√
x
.
Solução. Pela definição: ∫ 1
0+
dx√
x
= lim
t→0+
∫ 1
t
dx√
x
= lim
t→0+
2
√
x
∣∣∣∣1
t
= 2 lim
t→0+
(1−√t)
= 2.
Exemplo 37.8. Determine os valores de p ∈ R para os quais a integral ∫ 1
0+
xpdx converge.
Solução. Tratamos primeiramente o caso em que p 6= −1:∫ 1
0+
xpdx = lim
t→0+
∫ 1
t
xpdx
= lim
t→0+
xp+1
p+ 1
∣∣∣∣1
t
=
1
p+ 1
lim
t→0+
(1− xp+1)
=
{
1
p+1 , se p+ 1 > 0
∞, caso contrário.
No caso em que p = −1 temos ∫ 1
0+
dx
x
= lim
t→0+
(ln 1− ln t) =∞.
Concluímos que a integral converge se e somente se p > −1.
Cálculo I Aula 38 pág. 107
Exemplo 37.9. Pelo exemplo
∫
lnxdx = x lnx− x+ c. Logo∫ 1
0+
lnxdx = lim
t→0+
[(1 ln 1− 1)− (t ln tt− t)]
= −1− lim
t→0+
t ln t
= −1− lim
t→0+
ln t
1/t
= −1− lim
t→0+
1/t
−1/t2 (por LH)
= −1.
Figure 37.3. A área de
1√
x
desde 0 até 1 é 2.
Figure 37.4. A área líquida de
lnx desde 0 até 1 é −1.
37.3. Mais exemplos.
Exemplo 37.10. Mostre que
∫∞
2
dt
ln t =∞ e que
lim
x→∞
1
x/ lnx
∫ x
2
dt
ln t
= 1.
Solução. Sabemos por L'Hôspital que limx→∞ ln xx = 0. Isso implica que existe um valor x0 > 2
tal que para todo x ≥ x0 vale que ln xx ≤ 1. Assim
∞ =
∫ ∞
x0
dx
x
≤
∫ ∞
x0
1
lnx
dx.
Concluímos que
∫∞
2
1
ln tdt = ∞. Em particular o limite que queremos calcular é do tipo ∞/∞.
Por L'Hôspital e TFC:
lim
x→∞
1
x/ lnx
∫ x
2
dt
ln t
= lim
x→∞
1/ lnx
1
ln x − 1(ln x)2
= lim
x→∞
1
1− 1ln x
= 1.
Exemplo 37.11. Seja f : [0,∞] → R uma função contínua. A transformada de Laplace de f é a
função dada por
Lf (x) =
∫ ∞
0
f(t)e−xtdt.
A trasformada de Laplace é um exemplo de um operador (função) que associa uma função a
outra função. Por isso é chamado de �transformada�: Transforma uma função em outra função.
Por exemplo A transformada de Laplace transforma a função sin(x) na função 11+x2 : Faça como
exercício (dica: último exemplo de integração por partes)!
Cálculo I Aula 38 pág. 108
38. Comprimento de arco; Valor médio
38.1. Comprimento de arco. Estamos interessados em calcular o comprimento de uma curva
arbitrária. Começamos com:
Definição 38.1. Seja f uma função tal que f ′ é contínua no intervalo [a, b]. Definimos o com-
primento C de f no intervalo [a, b] como
C =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx.
De fato, a idéia por trás dessa definição é que, definindo C(x) o comprimento do segmento de
curva desde a até x, chamando y = f(x) obtemos por pitágoras que
C(x+ ∆x)− C(x) ≈
√
[∆x]2 + [∆y]2 =
√
1 +
∣∣∣∣∆y∆x
∣∣∣∣2∆x,
de modo que
∆C
∆x
≈
√
1 +
∣∣∣∣∆y∆x
∣∣∣∣2.
Carregando o argumento mais rigorosamente podemos mostrar que de fato no limite ∆x → 0,
obtemos que
d
dx
C =
√
1 + [f ′(x)]2.
Sendo f ′(x) contínua,
√
1 + [f ′(x)]2 também é contínua, assim podemos integrar os dois lados a
equação acima.
Exemplo 38.1. Calcule o comprimento de curva da parábola y = x
2
2 desde a até b.
Solução. A fórmula do comprimento de arco nos dá:
C =
∫ b
a
√
1 + x2dx.
Façamos a substituição trigonométrica x = tan(θ). Assim∫ √
1 + x2dx =
∫
sec3(θ)dθ.
Aplicando integração por partes com u = sec(θ), du = sec(θ) tan(θ), dv = sec2(θ), v = tan(θ),
obtemos: ∫
sec3(θ)dθ = sec(θ) tan(θ)−
∫
tan2(θ) sec(θ)dθ
= sec(θ) tan(θ)−
∫
sec3(θ)dθ −
∫
sec(θ)dθ∫
sec3(θ)dθ =
sec(θ) tan(θ)− ∫ sec(θ)dθ
2
.
Observe que
sec(θ)(sec(θ) + tan(θ)) = sec2(θ) + sec(θ) tan(θ) =
d
dθ
(sec(θ) + tan(θ)).
Em particular,∫
sec(θ) =
∫
sec(θ) · sec(θ) + tan(θ)
sec(θ) + tan(θ)
dθ =
∫ d
dθ (sec(θ) + tan(θ))
sec(θ) + tan(θ)
dθ = ln | sec(θ) + tan(θ)|+ c.
Concluímos que ∫
sec3(θ)dθ =
sec(θ) tan(θ) + ln | sec(θ) + tan(θ)|
2
+ c.
Cálculo I Aula 38 pág. 109
Voltamos agora para a variável original x. Temos que x = tan(θ) e cos(θ) = 1√
1+x2
. Logo
sec(θ) =
√
1 + x2 e por fim∫ √
1 + x2dx =
x
√
1 + x2 + ln |x+√1 + x2|
2
+ c.
Segue que o comprimento da curva C desde a até b é
C =
b
√
1 + b2 − a√1 + a2 + ln |b+
√
1+b2|
|a+√1+a2|
2
.
38.2. Valore médio. Sejam X = (X1, X2, ..., Xn) uma sequência de números. Definimos a média
aritmética desses números como sendo
EnX =
X1 + ...+Xn
n
.
Coloque X2 = (X21 , ..., X
2
n). Também podemos falar em valores médios de funções. Seja então
f : [a, b]→ R uma função contínua. Sejam
X = (a = X0 < ... < Xn = b)
pontos igualmente espaçados do intervalo [a, b] de modo que Xk+1 −Xk = b−an . Coloque f(X) =
(f(X1), ..., f(Xn)). Assim obtemos que
Enf(X) =
n∑
k=0
f(Xk) · 1
n
=
1
b− a
n∑
k=1
f(Xk)∆X.
Assim, se f é contínua em [a, b] obtemos
lim
n→∞Enf(X) =
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx.
Isso motiva a seguinte:
Definição 38.2. Seja f : [a, b] contínua. O valor médio Ef nesse intervalo é dado por
Ef =
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx.
Exemplo 38.2. Calcule E sin no intervalo [0, 2pi].
Solução.
E sin =
1
2pi
∫ 2pi
0
sin(x)dx = − 1
2pi
cos(x)
∣∣∣∣2pi
0
= 0.
Exemplo 38.3. Calcule Exnno intervalo [0, 1].
Solução.
Exn =
∫ 1
0
xndx =
1
n+ 1
.
38.3. Aproximando f pelo seu valor médio.
Lemma 38.1. Seja f : [1,∞) diferenciável com f ′ contínua. Seja k ∈ N e [x] a parte inteira do
número x. Então
f(k + 1)−
∫ k+1
k
f(t)dt =
∫ k+1
k
(t− [t])f ′(t)dt.
Prova. Observe que ∫ k+1
k
(t− [t])f ′(t)dt =
∫ k+1
k
tf ′(t)dt−
∫ k+1
k
[t]f ′(t)dt.
Integrando por partes:∫ k+1
k
tf ′(t)dt = tf(t)
∣∣∣∣k+1
k
−
∫ k+1
k
f(t)dt = kf(k + 1) + f(k + 1)− kf(k)−
∫ k+1
k
f(t)dt.
Cálculo I Aula 38 pág. 110
Observando que no intervalo [k, k + 1] temos [t] = k e portanto:∫ k+1
k
[t]f ′(t)dt = k
∫ k+1
k
f ′(t)dt = k[f(k + 1)− f(k)].
Assim:∫ k+1
k
(t− [t])f ′(t)dt = kf(k + 1) + f(k + 1)− kf(k)−
∫ k+1
k
f(t)dt− k[f(k + 1)− f(k)]∫ k+1
k
(t− [t])f ′(t)dt = f(k + 1)−
∫ k+1
k
f(t)dt.
�
Teorema 38.1 (Fórmula de Euler). Seja f : [1,∞) como no lema anterior. Então
f(1) + f(2) + ...+ f(n) =
∫ n
1
f(x)dx+
∫ n
1
(x− [x])f ′(x)dx.
Exemplo 38.4. O n-ésimo número harmônico é
Hn = 1 +
1
2
+ ...+
1
n
.
Teorema 38.2. O n−ésimo número harmônico satisfaz: limn→∞Hn =∞, e
lim
n→∞(Hn − lnn) = γ,
onde γ é a constante de Euler-Mascheroni.
Proof. Pela fórmula de Euler:
Hn =
n∑
k=1
1k
= 1 +
∫ n
1
dx
x
−
∫ n
1
x− [x]
x2
dx.
Observe que 0 ≤ x− [x] ≤ 1 e portanto∫ n
1
x− [x]
x2
dx ≤
∫ n
1
1
x2
dx ≤
∫ ∞
1
1
x2
dx = 1.
Na mesma linha de raciocíno do exemplo 37.6, concluímos que a integral imprópria∫ ∞
1
x− [x]
x2
dx
converge. Assim escrevemos
Hn = lnn+ 1−
∫ ∞
1
x− [x]
x2
dx︸ ︷︷ ︸
γ
+
∫ ∞
n
x− [x]
x2
dx︸ ︷︷ ︸
Rn
.
Observe que 0 ≤ Rn ≤
∫∞
n
1
x2 dx =
1
n e portanto
Hn − lnn = γ +Rn.
Fazendo n→∞ concluímos a demonstração. �
Exemplo 38.5. Chamamos de d(n) a quantidade de divisores de n. Por exemplo, 6 tem como
divisores 1, 2, 3, 6, de modo que d(6) = 4.
Teorema 38.3. O valor médio de d(n) é
End =
d(1) + ...d(n)
n
≈ lnn,
de modo que
|End− lnn| ≤ γ + 2.
Cálculo I Aula 38 pág. 111
Proof. A idéia da prova é listar para cada número n todos os seus divisores:
Divisores de 1: {1}
Divisores de 2: {1, 2}
Divisores de 3: {1, 3}
Divisores de 4: {1, 2, 4}
Divisores de 5: {1, 5}
Divisores de 6: {1, 2, 3, 6}
...
Observe que o número 1 aparece n vezes nessa lista; O número 2 aparece [n/2] vezes nessa lista;
O número 3 aparece [n/3] vezes nessa lista; O número k aparece [n/k] vezes nessa lista. Assim
n∑
k=1
d(k) =
n∑
k=1
[
n
k
]
= nHn −
n∑
k=1
{
n
k
}
︸ ︷︷ ︸
Ln
,
onde {x} é a parte fracionária do número x. Observe que |Ln| ≤ n. Assim
d(1) + ...d(n)
n
= Hn +
Ln
n
.
Observe que
|Ln|
n ≤ 1 e que Hn = lnn+ γ +Rn onde Rn ≤ 1/n. Assim concluímos a prova. �
Cálculo I Aula A pág. 112
Appendix A. Algumas justificativas
O conteúdo dessa seção é opcional.
A.1. O número e.
Teorema A.1. Existe o limite
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)
.
Prova. Seja f(x) =
(
1 + 1x
)x
. Começaremos analisando o comportamento dessa função nos
números naturais. A seguir n representa um número natural genérico. Recordamos que n! =
1 · 2 · ... · n. A clássica fórmula do binômio de Newton é:
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk,
onde (
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! .
Aplicando o Binômio de Newton para f(n) obtemos
f(n) =
(
1 +
1
n
)n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
=
n∑
k=1
Ak(n).
Agora analisamos cada termo Ak(n) =
(
n
k
)
1
nk
individualemente:
Ak(n) =
1
k!
n!
(n− k)!
1
nk
=
1
k!
n(n− 1)(n− 2) · ... · (n− (k − 1))
nk
=
1
k!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
· ... ·
(
1− k − 1
n
)
.
Em particular, para cada número k fixo, obtemos que Ak(n) é crescente em n e satisfaz Ak(n) <
1
k! .
Por exemplo, quando k = 2, obtemos que A2(n) =
1
2!
(
1− 1n
)
. Consequentemente f(n) é crescente
em n. Se mostrarmos que também é limitada, poderemos concluir pelo princípio da monotonicidade
que existe limn→∞ f(n). De fato, mostramos que
f(n) ≤
n∑
k=0
1
k!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
2 · 3 + ...+
1
2 · 3... · n
≤ 1 + 1
20
+
1
2
+
1
2 · 2 + ...+
1
2n−1
= 1 +
1
2n − 1
1
2 − 1
= 1 +
1− 12n
1
2
≤ 3.
Concluímos então pelo princípio da monotonicidade que existe limn→∞ f(n), e o chamaremos de
e. Em particular, nessa prova mostramos que e ≤ 3. Precisamos mostrar agora que e também é o
limite quando variamos x→∞ não só nos naturais, mas no contínuo.
Para x > 0, denotamos [x] a parte inteira de x. Começamos observando que
(A.1)
(
1 +
1
[x] + 1
)[x]
≤
(
1 +
1
[x] + 1
)x
≤
(
1 +
1
x
)x
≤
(
1 +
1
[x]
)x
≤
(
1 +
1
[x]
)[x]+1
.
Cálculo I Aula A pág. 113
Observe que
lim
x→∞
(
1 +
1
[x]
)[x]+1
= lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+1
= lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
·
(
1 +
1
n
)1
= e.
Por outro lado,
lim
x→∞
(
1 +
1
[x] + 1
)[x]
= lim
n→∞
(
1 +
1
n+ 1
)n
= lim
n→∞
(
1 +
1
n+ 1
)n 1 + 1n+1
1 + 1n+1
=
limn→∞
(
1 + 1n+1
)n+1
limn→∞(1 + 1n+1 )
= e.
Passando o limite x→∞ em A.1, pelo teorema do confornto concluímos que
e = lim
x→0+
(1 + x)1/x.
A.2. A intuição por trás do limite limx→0
sin(x)
x . Considere a figura abaixo:
Nessa figura, o ângulo x é pequeno e medido em radianos, o círculo tem raio 1, A é o ponto
(cos(x), sin(x)), B é o ponto (1, tan(x)) e C é o ponto (1, 0). Relembramos que á area do círculo de
raio 1 é pi. Observe que o triângulo ÔAC está contido no arco
︷ ︸︸ ︷
OAC que por sua vez está contido
no triângulo ÔBC. Portanto
Area(ÔAC) ≤ Area(
︷ ︸︸ ︷
OAC) ≤ Area(ÔBC).
Cálculo I Aula A pág. 114
A área do triângulo ÔAC é sin(x)2 . A área do arco
︷ ︸︸ ︷
OAC é x/2. A área do triângulo ÔBC é tan(x)2 .
Concluímos que
sin(x)
2
≤ x
2
≤ tan(x)
2
.
Equivalentemente
cos(x) ≤ sin(x)
x
≤ 1.
lim
x→0
cos(x) ≤ lim
x→0
sin(x)
x
≤ 1.
Concluímos pelo teorema do confronto que
lim
x→0
sin(x)
x
= 1.
A.3. O limite limh→0
1−cos(h)
h . Relembramos que
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
.
Assim
lim
h→0
1− cos(h)
h
= lim
h→0
2
sin2(h/2)
h
= lim
h→0
sin(h/2)
h/2
sin(h)
= 1 · 0
= 0.
A.4. Demonstração da Regra do Produto.
Prova. Sejam f e g funções diferenciáveis no ponto x = a. Em particular pelo Teorema 13.1 f e g
são contínuas nesse ponto. Segue que
(fg)′(a) = lim
x→a
f(x)g(x)− f(a)g(a)
x− a
= lim
x→a
f(x)g(x) + (g(x)f(a)− f(a)g(x))− f(a)g(a)
x− a
= lim
x→a
(f(x)g(x)− f(a)g(x)) + (g(x)f(a)− f(a)g(a))
x− a
= lim
x→a
g(x)(f(x)− f(a)) + f(a)(g(x)− g(a))
x− a
= lim
x→a g(x) limx→a
f(x)− f(a)
x− a + f(a) limx→a
g(x)− g(a)
x− a
= g(a)f ′(a) + f(a)g′(a).
�
A.5. Demonstração da Regra do Quociente I.
Cálculo I Aula A pág. 115
Prova. Seja f diferenciável no ponto x = a. Em particular pelo Teorema 13.1 f é contínua nesse
ponto. Como f(a) 6= 0, 1f também é contínua nesse ponto. Segue que(
1
f
)′
(a) = lim
x→a
1
f(x) − 1f(a)
x− a
= lim
x→a
f(a)−f(x)
f(x)f(a)
x− a
=
1
f(a)
lim
x→a
1
f(x)
lim
x→a
f(a)− f(x)
x− a
=
1
f2(a)
lim
x→a(−1) ·
f(x)− f(a)
x− a
=
−1
f2(a)
f ′(a)
=
−f ′(a)
f2(a)
.
�
A.6. Demonstração da Regra da cadeia.
Prova. Então f e g são funções diferenciáveis e tais que está definida a composição f ◦ g. Observe
que ambas são contínuas, Teorema 13.1. Vamos separar a prova em dois casos:
Caso 1 g′(x) = 0. Nesse caso, usaremos a linearização de f no ponto b = g(a) e a linearização de
g no ponto a. Como g′(a) = 0, obtemos
g(a+ h) = g(a) + erro1(h),
onde limh→0 erro1(h)/h = 0. A linerização de f no ponto b = g(a) nos dá
f(g(a+ h)) = f(b+ erro1(h)) = f(b) + f
′(b)erro1(h) + erro2(h),
onde limh→0 erro2(h)/h = 0. Portanto
(f ◦ g)′(a) = lim
h→0
f(g(a+ h))− f(g(a))
h
= lim
h→0
f(b) + f ′(b)erro1(h) + erro2(h)− f(b)
h
= f ′(b) lim
h→0
erro1(h)
h
+ lim
h→0
erro2(h)
h
= f ′(b) · 0 + 0
= 0.
Nesse caso mostramos então que, g′(a) = 0, então (f ◦ g)′(a) = f ′(g(a))g′(a) = f ′(g(a)) · 0 = 0.
Caso 2 g′(a) 6= 0. Nesse caso, afirmamos que para todo h com |h| suficientemente pequeno,
g(a+ h)− g(a) 6= 0.
Se não fosse assim, então existiria uma sequência hn → 0 tal que g(a+hn)− g(a) = 0, e nesse caso
obteríamos g′(a) = 0, o caso anterior.
(f ◦ g)′(a) = lim
h→0
f(g(a+ h))− f(g(a))
h
= lim
h→0
f(g(a+ h))− f(g(a))
h
g(a+ h))− g(a)
g(a+ h)− g(a)
= lim
h→0
f(g(a+ h))− f(g(a))
g(a+ h)− g(a)
g(a+ h))− g(a)
h
= lim
u→0
f(g(a) + u)− f(g(a))
u
lim
h→0
g(a+ h))− g(a)
h
= f ′(g(a))g′(a),
Cálculo I Aula A pág. 116
onde na passagem para a penúltima igualdade fizemos a substituição u = g(a+h)−g(a), e usamos
que h→ 0 se e somente se u→ 0, pois g é contínua. �
A.7. Prova Teorema Fermat.
Prova. A prova consiste em combinar a definição de derivada com a definição de máximoou mínimo
local. Assuma primeiramente que f(c) é máximo local.
Pela definição, para todo h com |h| > 0 pequeno vale
f(c+ h)− f(c) ≤ 0.
Se h > 0 então 1/h > 0. Logo
f(c+ h)− f(c)
h
≤ 0
h
= 0
f ′(c) = lim
h→0+
f(c+ h)− f(c)
h
≤ 0.
Se h < 0 então 1/h < 0. Logo
f(c+ h)− f(c)
h
≥ 0
h
= 0
f ′(c) = lim
h→0−
f(c+ h)− f(c)
h
≥ 0.
Concluímos que f ′(c) = 0.
Assuma agora que f(c) é mínimo local. Então g(x) = −f(x) é tal que g(c) é um máximo local
para g. Segue que −f ′(0) = g′(0) = 0.
�
A.8. Prova do Teorema Rolle.
Prova. Assuma que f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle. Em particular, como f é contínua,
pelo Teorema do valo extremo f atinge seus valores extremos no intervalo fechado [a, b]. Por outro
lado, existem só 2 possibilidades para essa função: Ou f é constante ou não é. Se f é constante,
então f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), nesse caso o teorema está provado. Se f não é constante,
então pelo menos um dos valores extremos - Máximo absoluto ou Mínimo absoluto - é atingido
no aberto (a, b). Para ver que isso é verdade trabalhemos com contrapositivas: Se ambos valores
extremos são atingidos ou em {a} ou em {b} então f é constante novamente, visto que f(a) = f(b).
Segue que esse valor extremo localizado no aberto (a, b) é também valor extremo local. Segue pelo
Teorema de Fermat que nesse ponto temos derivada zero. �
A.9. Prova do Teorema do valor médio.
Prova. Seja L a reta
L(x) = I(x− a) + f(a),
onde
I =
f(b)− f(a)
b− a .
Então L(a) = I(a − a) + f(a) = f(a) e L(b) = I(b − a) + f(a) = (f(b) − f(a)) + f(a) = f(b).
Portanto a função g(x) = f(x)−L(x) é tal que g(a) = g(b) = 0. Segue pelo Teorema de Rolle que
existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0. Observe que
0 = g′(c) = f ′(c)− I.
Cálculo I Aula A pág. 117
Segue que
I =
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
�
A.10. A soma dos quadrados perfeitos. A prova do resultado abaixo foi elaborada por Lucas
O. M. Sousa - estudante de graduação em engenharia elétrica, junho de 2017.
Teorema A.2. Seja n ∈ N. Então
(A.2)
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
Prova. É fácil provar por indução que a forma é válida. Aqui apresentaremos uma prova constru-
tiva. Para isso, escrevemos cada quadrado como a soma de valores unitários. Representaremos
esses valores por bolinhas:
k = 1, 12 : o
k = 2, 22 : oooo
k = 3, 32 : ooooooooo
k = 4, 42 : oooooooooooooooo
k = 5, 52 : ooooooooooooooooooooooooo
. . .
k = n, n2 : o1o2o3 . . . on2−1on2
Note que a soma que queremos é exatamente o total de bolinhas que aparece nas n linhas
acima. Isso ainda não nos ajuda muito. Separe então cada linha em grupos de sucessivos ímpares
(1 bolinha, 3 bolinhas, 5 bolinhas e assim por diante):
k = 1, 12 : o
k = 2, 22 : o ooo
k = 3, 32 : o ooo ooooo
k = 4, 42 : o ooo ooooo ooooooo
k = 5, 52 : o ooo ooooo ooooooo ooooooooo
. . .
k = n, n2 : o1 o2o3o4 . . . ...on2−1on2
Observe que o número de bolinhas em cada linha continua o mesmo; apenas inserimos alguns
espaços para separá-las. Essa decomposição foi para ver que:
Lemma A.1. Cada n2 pode ser escrito como a soma dos n primeiros números ímpares.
Prova do Lema. Precisamos da clássica fórmula
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Cálculo I Aula A pág. 118
Somando os primeiro n númeors ímpares:
n∑
k=1
(2k − 1) =
n∑
k=1
2k +
n∑
k=1
−1 =
= 2 ·
n∑
k=1
k −
n∑
k=1
1 =
= 2 · n(n+ 1)
2
− n = n2 + n− n = n2.
�
Voltemos agora a prova do Teorema A.2. A soma de todas as bolinhas é exatamente a soma
de todos os quadrados perfeitos de 1 a n. Como dividimos as bolinhas em diversas "barras", se
somarmos o número de bolinhas em cada barra obteremos o número total de bolinhas.
Note que a primeira barra tem altura n (vai da linha 1 até a linha n), a segunda barra tem
altura n− 1 (vai da linha 2 até a linha n), e assim por diante.
O comprimento de cada barra, por sua vez, será o n-ésimo número ímpar. Assim, a primeira coluna
tem comprimento 1, a segunda coluna tem comprimento 3, e assim por diante. Portanto, o número
de bolinhas pode ser escrito como:
(n− 0) · 1 + (n− 1) · 3 + (n− 2) · 5 + . . .+ 1 · (2n− 1)
Logo:
n∑
k=0
k2 =
n∑
k=0
(n− k)(2k + 1) =
n∑
k=0
(2nk + n− 2k2 − k)
n∑
k=0
k2 =
n∑
k=0
2nk +
n∑
k=0
n−
n∑
k=0
2k2 −
n∑
k=0
k
n∑
k=0
k2 = 2n
n∑
k=0
k +
n∑
k=0
n− 2 ·
n∑
k=0
k2 −
n∑
k=0
k
3 ·
n∑
k=0
k2 = (2n− 1)
n∑
k=0
k +
n∑
k=0
n =
n(n+ 1)(2n− 1)
2
+ n2 + n
n∑
k=0
k2 =
2n3 − n2 + 2n2 − n+ 2n2 + 2n
6
=
2n3 + 3n2 + n
6
n∑
k=0
k2 =
n(2n2 + 3n+ 1)
6
.
Uma raiz para o polinômio 2n2 + 3n+ 1 é n = (−1). Assim, 2n2 + 3n+ 1 é divisível por (n+ 1).
Concluímos que:
n∑
k=0
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
�
Cálculo I Aula B pág. 119
Appendix B. Banco de questões
A lista a seguir contém exercícios que foram cobrados em exames anteriores.
B.1. Primeira prova.
(1) Calcule, se existirem, os limites solicitados em cada item a seguir:
(a) lim
x→0+
sin(x)√
x
(Dica: use que limx→0
sin(x)
x = 1).
(b) lim
x→∞
√
36x6 + x
x3 + 6
.
(2) Calcule as derivadas das funções dadas em cada item a seguir:
(a) f(x) =
√
x5
2 + sin(x)
.
(b) g(x) = e−x
2
ln(x).
(3) Encontre os números a e b de forma que a função f : R −→ R seja contínua em x = 1,
onde f é dada por:
f(x) =

b2x6 + 3bx3 + 3bx+ 9
x− 1 se x 6= 1
a se x = 1
(4) Considere a função h(x) = x2 + 2− 2x definida em R.
(a) Verifique que h(4) > 0
(b) Verifique que h(5) < 0
(c) Explique porque podemos afirmar que os gráficos das funções f(x) = x2+2 e g(x) = 2x
têm, pelo menos, uma interseção no intervalo [4, 5].
(5) Calcule, se existirem, os limites solicitados em cada item a seguir:
(a) lim
x→0
√
|x| sin( 1
x
)
(b) lim
x→∞
x10
(x6 + 6)2
.
(6) Calcule as derivadas das funções dadas em cada item a seguir:
(a) f(x) =
1
2 + cos(2x)
.
(b) g(x) = ex+cos(x).
(7) Encontre o número b de forma que a função f : R −→ R seja diferenciável em x = 1, onde
f é dada por:
f(x) =
{
b2x4 + 2bx3 + 2bx+ 4 se x 6= 1
0 se x = 1
Nesse caso calcule f ′(1).
(8) Considere a função h(x) = sin(pi2x)− ln(x) definida em R+.
(a) Verifique que h(1) > 0.
(b) Verifique que h(2) < 0.
(c) Explique porque podemos afirmar que os gráficos das funções f(x) = sin(pi2x) e g(x) =
ln(x) têm, pelo menos, uma interseção no intervalo [1, 2].
(9) Calcule, se existirem, os limites solicitados em cada item a seguir:
(a) lim
x→0
x
sin(2pix)
. (Dica: use que limx→0
sin(x)
x = 1)
(b) lim
x→∞
3
√
x9 + 1
3x3
.
(10) Calcule as derivadas das funções dadas em cada item a seguir:
(a) f(x) =
1
x+ e−x
.
(b) g(x) = ln(x2 + 4 + cos(x)).
Cálculo I Aula B pág. 120
(11) Encontre o números a 6= 0 de forma que a função f : R −→ R seja contínua em x = 0,
onde f é dada por:
f(x) =

a sin((a+ 1a )x)
x
se x 6= 0
2a se x = 0
(12) Considere a função h(x) = tan(x)− ex2 definida em R.
(a) Verifique que h(0) < 0.
(b) Verifique que lim
x→pi2 −
h(x) =∞.
(c) Explique porque podemos afirmar que os gráficos das funções f(x) = tan(x) e g(x) =
ex
2
têm, pelo menos, uma interseção no intervalo [0, pi/2).
(13) Determine, caso existam, os seguintes limites:
a) lim
x→∞
√
25x10 + x9
x5 + 1
.
b) lim
x→0
tan(5x)
x . Dica: Use que limx→0
sen(x)
x = 1 .
(14) Calcule f ′(x) onde:
a) f(x) = ex cos(x).
b) f(x) = ln(5x3 + 3x2 + 2x+ 1).
(15) Considere f : [0,∞)→ R dada por f(x) = 1
1+
√
x
.
a) Encontre a reta tangente ao gráfico de f em um ponto genérico (a, f(a)).
b) Usando o item anterior, encontre o número α tal que f(101) ≈ f(100) + α.
(16) Considere a equação x2 + y4 = x. Calcule dydx .
(17) Enuncie precisamente o Teorema do Valor Intermediário. Mostreque no intervalo [−1, 0]
existe uma solução para equação
3x4 + 2x2 + 8x+ 1 = 0.
(18) Determine, caso existam, os seguintes limites
a) lim
x→∞
(2x8 + x6)1/3
x8/3 + x
.
b) lim
x→1
x4−1
x2−1 .
(19) Calcule f ′(x) onde:
a) f(x) = ex
2+2x + tan(x).
b) f(x) = 11+x2 .
(20) Determine o número real c de tal forma que a seguinte função f : R→ R seja contínua:
f(x) =
{
ecx−1
x , se x 6= 0;
pi, se x = 0.
(21) Encontre a equação da reta tangente a curva f(x) = 3x3 + 2x2 + x no ponto (a, f(a)).
Cálculo I Aula B pág. 121
B.2. Segunda Prova.
(1) Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é
necessário justificar. (Dica exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras.)
(a) Nem toda função contínua é diferenciável.
(b) Não existe função f tal que limx→∞ f(x) =∞ e limx→∞ f ′(x) = 0.
(c) Nem todo polinômio de grau 4 possui ponto de inflexão.
(d) Se f : (0, 1)→ (0,∞) é côncava para cima, então 1f(x) é côncava para baixo.
(2) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
(a) lim
x→0
√
1 + x− 1− x2 + x
2
8
x2
.
(b) lim
x→0+
(1 + 3x)
4
x
.
(3) Um fazendeiro com 300 metros de cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la
em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total
possível das quatro partes?
(4) Considere f : [0,∞]→ [0,∞) dada por
f(x) = xe−x
2
.
Você pode usar (não precisa calcular) que:
f ′(x) = −2e−x2
(
x2 − 1
2
)
, f ′′(x) = 4xe−x
2
(
x2 − 3
2
)
(a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) Determine os pontos onde f é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos
e mínimos locais e absolutos; assíntotas se houver.
(d) Faça o gráfico de f .
(5) Em um filme de ação, um herói corre ao longo de um caminho reto a uma velocidade de
5 metros por segundo. Uma câmera cinematográfica está posicionada num ponto fixo a 6
metros desse caminho, e é mantida focalizada no herói. A que taxa a câmera está girando
quando o herói está a 8 metros do ponto do caminho mais próximo da câmera?
(6) (6 pontos) Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa.
Não é necessário justificar. (Dica: Exatamente 2 das afirmações abaixo são verdadeiras)
(a) Toda f : (0, 1]→ R contínua atinge um valor máximo absoluto.
(b) Toda f : [0, 1]→ R contínua atinge um valor máximo absoluto.
(c) Se f ′(c) = 0 então f atinge um máximo ou um mínimo local no ponto c.
(d) Toda f : R→ R periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.
(7) (8 pontos) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
(a) lim
x→0
x2
ln(1 + x)− x .
(b) lim
x→0+
(cos(x))
1
x2
.
(8) (6 pontos) Em um certo jogo de apostas, a probabilidade de ganhar 49 reais apostando
x ≥ 0 reais é dada por p(x) = x1+x . O ganho esperado em função do valor da aposta é
49p(x). O lucro esperado é o ganho esperado menos o valor da aposta, isto é, 49p(x)− x.
Qual é o valor da aposta que maximiza o lucro esperado?
(9) (12 pontos) Considere f : R→ R dada por
f(x) = xex.
Você pode usar (não precisa calcular) que:
f ′(x) = (x+ 1)ex, f ′′(x) = (x+ 2)ex
(a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
Cálculo I Aula B pág. 122
(b) Determine os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) ) Determine os pontos onde f é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máxi-
mos e mínimos locais e absolutos; assíntotas (se houver).
(d) Faça o gráfico de f .
(10) Um velocista corre numa pista circular com raio de 100 metros numa velocidade constante
de 7 metros por segundo. O amigo do corredor está parado a uma distância 200 metros do
centro da pista. Quão rápido a distância entre os amigos está variando quando a distância
entre eles é de 200 metros?
(11) Em cada uma das seguintes afirmações, decida se a mesma é verdadeira ou falsa. Não é
necessário justificar. (Dica: exatamente 2 das seguintes afirmações são verdadeiras)
(a) Para toda f : [0, 1] → R contínua, e tal que f(0) = f(1) existe um número c ∈ (0, 1)
tal que f ′(c) = 0.
(b) Para toda f : [0, 1]→ R contínua e diferenciável no intervalo aberto (0, 1), existe um
número c ∈ (0, 1) tal que f(1)− f(0) = f ′(c).
(c) Nem todo polinômio de grau 3 possui ponto de inflexão.
(d) Toda f : R→ R periódica de período 1 e contínua atinge um valor máximo absoluto.
(12) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
(a) lim
x→0
2 cos(x)− 2 + x2
x2
.
(b) lim
x→0+
(1 + sin(x))
1
tan(x)
.
(13) Um pedaço de fio é cortado em 2 partes, digamos x e y onde x + y = 10 metros. Uma
parte é dobrada na forma de um quadrado, a outra é dobrada na forma de um triângulo
equilátero. A área de um quadrado de lado x é x2, e a área de um triângulo equilátero de
lado y é y
2
√
3
4 . Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja a)
máxima e b) mínima?
(14) Considere f : [0,∞)→ R dada por
f(x) =
x
1 + x2
.
Você pode usar (não precisa calcular) que, para cada −1 < x < 1:
f ′(x) =
1− x2
(1 + x2)2
, f ′′(x) =
2x(x2 − 3)
(1 + x2)3
.
(a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima.
(c) Determine os pontos onde f é descontínua (se houver); os pontos de inflexão; máximos
e mínimos locais e absolutos; determine as assíntotas se houver.
(d) Faça o gráfico de f .
(15) Determine, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim
x→0
1− cos(x)
sen2(x)
.
(b) lim
x→0+
(1 + pix)
1
x
.
(c) lim
x→∞
xe
ex
, onde e é o número de Euler 2, 7182...
(16) Um clube de futebol tem vendido 11 mil ingressos e cobrado 12 reais por cada. Uma
pesquisa de mercado indica que para cada real de desconto no valor do ingresso, a quanti-
dade de ingressos vendidos aumenta em 1000. Como os donos desse clube devem definir o
preço do ingresso para maximizar o lucro total com as vendas?
(17) Um tanque cilíndrico com raio de 5 metros está sendo enchido com água a uma taxa de 3
metros
3
por minuto. Quão rápido a altura da água está aumentando?
(18) Considere a função f : R→ R definida por f(x) = x3 + x2 − x.
(a) Indique os intervalos onde f é crescente ou decrescente e encontre os máximos e
mínimos locais de f ;
Cálculo I Aula B pág. 123
(b) Indique os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima e encontre os
pontos de inflexão;
(c) Faça o gráfico de f : Indique no desenho o comportamento de f no +∞ e no −∞; os
intervalos onde f é decrescente ou decrescente; onde é côncava para baixo ou côncava
para cima; os máximos e os mínimos locais; os pontos de inflexão.
(19) Calcule os limites e simplifique sua resposta:
(a) lim
x→0
ex − 1− x− x2/2− x3/6
x4
.
(b) lim
x→0+
(1 + 5x)1/(e
x−1)
.
(20) Encontre a área do maior retângulo inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e com os lados paralelos
aos eixos coordenados, onde a > 0 e b > 0.
(21) Considere
f(x) =
1
x2 + 3x+ 2
.
Encontre o domínio de f , assíntotas (se houver); máximos e mínimos locais e globais; pontos
de inflexão; intervalos onde f é crescente ou decrescente; intervalos onde f é côncava para
cima ou côncava para baixo. Dados:
f ′(x) = − 2x+ 3
(x2 + 3x+ 2)2
;
f ′′(x) = 2
3x2 + 9x+ 7
(x2 + 3x+ 2)3
.
(22) (3 pontos) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 5 metros de altura. Um
homem com 2 metros de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1, 5m/s ao
longo de uma trajetória reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando
ele está a 10 metros do poste?
(23) Determine, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim
x→0
sen(x2)
(ex − 1)2 .
(b) lim
x→0+
(cos(2x))1
x
.
(c) lim
x→∞
ln(x)√
x
.
(24) Encontre o ponto sobre a reta y = 2x+ 3 que está mais próximo da origem.
(25) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a uma velocidade constante de 800
km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a
distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.
(26) Considere a função f : R→ R definida por f(x) = x5 − 5x+ 3.
(a) Indique os intervalos onde f é crescente ou decrescente e encontre os máximos e
mínimos locais de f ;
(b) Indique os intervalos onde f é côncava para baixo ou côncava para cima e encontre os
pontos de inflexão;
(c) Faça o gráfico de f : Indique no desenho o comportamento de f no +∞ e no −∞; os
intervalos onde f é crescente ou decrescente; onde é côncava para baixo ou côncava
para cima; os máximos e os mínimos locais; os pontos de inflexão.
Cálculo I Aula B pág. 124
B.3. Terceira Prova.
(1) Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
cos6(x) sin3(x)dx
(b)
∫
x+ 3
(1 + x)(2 + x)
dx
(c)
∫
xexdx
(2) Enuncie o Teorema fundamental do Cálculo e calcule:
(a)
d
dx
exp
(∫ x
1
sin(t)
t
dt
)
(b)
d
dx
∫ cos(x)
0
et
2
dt
(3) Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes e calcule:
(a)
∫ ∞
−∞
x4e−|x|
5
dx
(b)
∫ 1
0+
1
x2
dx
(4) Considere f : [0, 1] → R dada por f(x) = ex. Em cada item abaixo calcule o volume do
Sólido S e descreva o método utilizado, onde S é gerado pela:
(a) Rotação do gráfico de f em torno do eixo x;
(b) Rotação do gráfico de f em torno do eixo y;
(5) Esboce e calcule a área entre as curvas y = x3 e y = x2, onde 0 ≤ x ≤ 2.
(6) Sejam f e g funções contínuas em R e tais que: f(0) = f(1) = g(0) = g(1) = 0;∫ 1
0
f(x)dx = 2;
∫ 1
0
f(x)g′(x)dx = 1. Calcule:
(a)
∫ pi
2
0
f(sin(x)) cos(x)dx
(b)
∫ 1
0
g(x)f ′(x)dx
(7) Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
ex(1 + ex)80dx
(b)
∫ √
1− x2dx
(c)
∫
x
(
d
dx
sec2(x)
)
dx.
(8) Enuncie o Teorema fundamental do Cálculo e calcule:
(a)
d2
dx2
∫ x
0
(∫ t
0
eu
2
du
)
dt
(b)
d
dx
∫ x5
0
1
1 + t10
dt
(9) Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes e calcule:
(a)
∫ ∞
1
1
x66
dx
(b)
∫ 1
0+
1
x
dx
(10) Considere f : [1, 2] → R dada por f(x) = 1x2 . Em cada item abaixo calcule o volume do
Sólido S e descreva o método utilizado, onde S é gerado pela:
(a) Rotação do gráfico de f em torno do eixo x;
(b) Rotação do gráfico de f em torno do eixo y;
(11) Esboce e calcule a área entre as curvas y = cos(x) e y = sin(x), onde 0 ≤ x ≤ pi/4.
Cálculo I Aula B pág. 125
(12) Seja f : [0,∞] → R tal que |f(x)| ≤ 1 e |f ′(x)| ≤ 1, para todo x ≥ 0. A transformada de
Laplace de f é dada por
L[f(t)](x) =
∫ ∞
0
f(t)e−xtdt.
(a) Prove que L[f ′(t)](x) = xL[f(t)](x)− f(0).
(b) Usando que L[sin(t)](x) = 11+x2 calcule L[cos(t)](x).
(13) Calcule as seguinte integrais:
(a)
∫
3x2(1 + x3)66dx
(b)
∫
1
x(1 + x2)
dx
(c)
∫
x ln(x)dx
(14) Enuncie o Teorema fundamental do Cálculo, e calcule:
(a)
d2
dx2
∫ x
0
(∫ t
0
eu
4
du
)
dt
d
dx
∫ e2x
2
dt
ln t
(15) Determine se as seguintes integrais impróprias são convergentes ou divergentes e calcule:
(a) a)
∫ ∞
−∞
e−|x|dx
(b)
∫ 1
0+
1
x1/6
dx
(16) Considere f : [0, 1] → R dada por f(x) = x15. Em cada item abaixo calcule o volume do
Sólido S e descreva o método utilizado, onde S é gerado pela:
(a) Rotação do gráfico de f em torno do eixo x;
(b) Rotação do gráfico de f em torno do eixo y;
(17) Esboce e calcule a área entre as curvas y = x2 e y =
√
x, onde 0 ≤ x ≤ 2.
(18) Seja f tal que f ′′ é contínua, f(0) = f(1) e f ′(1) = pi. Calcule:∫ 1
0
xf ′′(x)dx.
(19) Calcule
(a)
∫
12x3(1 + 3x4)1234dx
(b)
∫
x
(x+ 1)(x+ 2)
dx
(c)
∫ ∞
0
xe−x
2/2dx.
(d)
∫ 1
0+
1
x2
dx.
(e)
d
dx
∫ cos2(x)
0
et
2
dt
(20) Considere a curva y = sin(x), e R a região dos pontos do plano que estão entre o gráfico de
y = f(x) e a reta y = 0, onde 0 ≤ x ≤ pi. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação
de R em torno do eixo y.
(21) Seja f : [0, 1] → R uma função contínua. Encontro o valor de x que minimiza a função
V : R→ R, onde V é dada por:
V (x) =
∫ 1
0
(f(t)− x)2dt.
(22) Calcule:
(a)
∫ 1
0
xe5xdx
Cálculo I Aula B pág. 126
(b)
∫ ∞
0
1
(1 + x2)3/2
dx (Dica: 1 + tan2(θ) = sec2(θ))
(c)
∫ 1
0+
ln(x)dx (Dica: Integração por partes, u = ln(x), dv = dx)
(d)
d2
dx2
∫ x2
0
(∫ t
0
u5du
)
dt
(23) O comprimento de um segmento de uma curva y = f(x), onde a ≤ x ≤ b é∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2)dx.
Calcule o comprimento de curva onde f(x) = x
2
2 , a = 0 e b = 1. Dados:
1 + tan2(θ) = sec2(θ),
2
∫
sec3(θ)dθ = sec(θ) tan(θ) + ln | sec(θ) + tan(θ)|+ C.
(24) Usando que
∫∞
2
1
ln(t)dt =∞, calcule o seguinte limite:
lim
x→∞
∫ x
2
1
ln(t)dt
x
ln(x)
.
Cálculo I Aula B pág. 127
B.4. Exame especial. Exame especial, 01 de Fevereiro de 2017.
(1) Calcule:
(a)
d
dx
[
x
x+ 1
+ xesin(x)
]
.
(b) lim
x→0+
[
cos(x)− 1
x2
+ (1 + 5x)1/x
]
(c)
∫ [
xe2x + sin(x) cos(x)
]
dx
(d) lim
x→0+
1
x
∫ x
0
et
88
dt+ lim
x→∞
∫ x
0
et
2
dt
ex2
x
.
(2) Considere a função f : R → R dada por f(x) = x3 + x2. a)(5p) Determine os intervalos
onde f é crescente ou decrescente; b)(5p) Determine os pontos onde f é côncava para baixo
ou para cima; c)(5p) Determine os máximos e os mínimos locais e os pontos de inflexão.
(3) Considere a curva y =
√
x, onde x ∈ [0,∞). Encontre o ponto sobre a curva y = f(x) que
está mais próximo do ponto (1, 0).
(4) Calcule a área da região entre as curvas y = x3 e y = x4, onde 0 ≤ x ≤ 2.
(5) Verdadeiro ou falso?
d
dx
1
x = − 1x2 , logo pelo teorema fundamental do cálculo:∫ 1
−1
1
x2
dx = − 1
x
∣∣∣∣1
−1
= −
(
1
1
− 1−1
)
= −(1 + 1) = −2.
Exame especial, Quarta feira 06, Janeiro 2016.
(1) Calcule as derivadas:
a)
d
dx
e5x
2
cos(2x). b)
d
dx
∫ x
0
et
5
dt.
(2) Calcule o limite lim
x→0
ex − 1
sin(pix)
.
(3) Calcule as integrais:
(a)
∫ ee
e
1
ln t
dt
t
.
(b)
∫
xe6xdx.
(c)
∫ ∞
1
1
x4
dx.
(4) Seja f : R\{1} → R dada por f(x) = x+ 1
(x− 1)3 . Em cada item abaixo você pode usar que:
f ′(x) = −2 · x+ 2
(x− 1)4 , f
′′(x) = 6 · x+ 3
(x− 1)5 .
(a) Determine os intervalos onde f é crescente, decrescente, côncava para baixo ou para
cima.
(b) Determine os máximos e mínimos locais (se houver), os pontos de inflexão e os pontos
de descontinuidade de f .
(c) No intervalo (−∞, 0] f atinge um máximo global?
(d) Determine as assíntotas (verticais e horizontais) de f .
(e) Calcule a área da região entre as curvas y = x3 e y = x4, onde 0 ≤ x ≤ 2.
(5) Identifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, justificando suas respostas.
(a) O volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = ex, y = 0,
x = 1 e x = 0 em torno de x = −1 pode ser obtido por V =
∫ 1
0
xexdx.
(b) A função f(x) = 1x2 é contínua em todo ponto x ∈ R e portanto:
Cálculo I Aula B pág. 128∫ 1
−1
1
x2
dx = − 1
x
∣∣∣∣1
−1
= −
(
1
1
− 1−1
)
= −(1 + 1) = −2.
(c) As funções f(x) = x3 + 3 e g(x) = 3x têm pelo menos uma interseção no intervalo
[3, 4].
	1. Aula - Números reais, funções e gráficos.
	1.1. Números reais.
	1.2. Desigualdades.
	1.3. Intervalos.
	1.4. Valor absoluto
	1.5. Funções
	1.6. Gráficos
	2. Aula - Mais funções e mais gráficos.
	2.1. Retasverticais e gráficos.
	2.2. Funções induzidas por expressões algébricas
	2.3. Funções definidas por partes
	2.4. Funções pares e ímpares.
	2.5. Funções monótonas
	2.6. Funções da forma xr
	2.7. Funções periódicas
	2.8. Polinômios
	2.9. Funções lineares
	2.10. Funções Racionais
	2.11. Seno e Cosseno
	3. Aula - Funções exponenciais, inversas e logaritmos. Operações entre funções.
	3.1. Funções exponenciais
	3.2. Propriedades das funções exponenciais
	3.3. Funções injetivas, sobrejetivas e inversas
	3.4. Logaritmos
	3.5. Propriedades da função logaritmo
	3.6. Composição de funções
	3.7. Somas e produtos de funções
	4. Aula - Limites
	4.1. Definição precisa de limite (opcional)
	4.2. Convenção
	4.3. Propriedades de limites
	4.4. Limites Laterais
	4.5. Convenção
	4.6. Propriedades de Limites Laterais
	5. Aula - Ao infinito e além.
	5.1. Limites no infinito
	5.2. Limites infinitos
	5.3. Assíntotas
	6. Aula- Teorema do confronto e do valor intermediário, funções contínuas.
	6.1. Teorema do confronto
	6.2. Funções contínuas
	6.3. Propriedades das funções contínuas
	6.4. Funções contínuas e cálculo de limites
	6.5. O gráfico de uma função contínua
	7. Aula - Aplicações do TVI e exercícios
	7.1. Exercícios
	8. Aula - Um número...
	8.1. Um limite muito importante
	9. Aula - Introdução ao cálculo diferencial
	9.1. A noção geométrica de derivada
	9.2. Definição de derivada
	10. Aula - Derivada das funções elementares
	10.1. A derivada de uma função também é uma função.
	10.2. A notação dydx
	10.3. Derivada da função constante
	10.4. Derivada de uma função multiplicada por uma constante
	10.5. A derivada da soma
	10.6. Derivadas de polinômios
	10.7. Derivada da função exponencial
	10.8. Derivada da função logaritmo natural
	11. Aula - Regra do Produto e do Quociente, derivadas do seno e cosseno
	11.1. Derivadas de funções trigonométricas.
	11.2. A regra do produto
	11.3. Regra do Quociente I
	11.4. Regra do Quociente II
	12. Aula - Regra da Cadeia
	12.1. Regra da cadeia
	12.2. A notação ddx e a regra da cadeia
	13. Aula - Linearização, e consequências da hipótese de diferenciabilidade.
	13.1. Aproximação linear
	13.2. Como uma função pode não ser diferenciável no ponto x=a?
	14. Aula - Exercícios
	15. Aula - Exercícios
	16. Aula- Exercícios
	16.1. Limites
	16.2. Derivadas
	17. Prova
	18. Aula - Derivada de funções implícitas e funções inversas
	18.1. Funções definidas implicitamente
	18.2. Derivada de funções inversas
	19. Aula - Taxas relacionadas
	20. Aula - Funções n vezes diferenciáveis, máximos e mínimos.
	20.1. Anatomia das funções
	21. Aula - Pontos críticos, Teorema de Fermat e o método do intervalo fechado
	21.1. Máximos ou mínimos locais e pontos críticos
	21.2. Método do intervalo fechado
	22. Aula - Teoremas de Rolle e do valor médio; Funções crescentes ou descrescentes 8 de maio
	22.1. Teorema de Rolle
	22.2. Teorema do Valor médio
	22.3. Derivadas e funções crescentes ou decrescentes
	23. Aula - Concavidade e pontos críticos revisitados.
	23.1. Concavidade
	23.2. Pontos críticos revisitados
	23.3. Gráficos
	24. Mais gráficos; A Regra de L'Hôspital
	24.1. A regra de L'Hôspital (LH)
	24.2. Interpretando o resultado de LH.
	24.3. Quando não usar LH
	25. Aula - L'Hôspital II, Otimização
	25.1. Limites do tipo 0
	25.2. Limites do tipo 00,0, 1
	25.3. Aplicação de LH
	25.4. Otimização
	26. Aula - Otimização II
	27. Aula - Exercícios
	28. Aula - Exercicios
	29. Aula - Exercicios
	30. Prova
	31. Aula - Introdução ao cálculo integral
	31.1. Áreas.
	31.2. A integral de uma função
	31.3. A função induzida por uma integral.
	32. Aula - Primitivas e Propriedades da integral
	32.1. Integral indefinida vs Integral definida
	33. Aula - Métodos de integração: Substituição e partes
	33.1. Método da substituição
	33.2. O método da substituição e integrais definidas
	33.3. Método de integração por partes
	34. O método da substituição trigonometrica; Polinômios trigonométricos
	34.1. Substituição trigonométrica
	34.2. Polinômios trigonométricos
	35. Decomposição em frações paricais; Áreas entre curvas.
	35.1. Decomposição em frações parciais
	35.2. Áreas entre curvas
	36. volumes
	36.1. Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo x
	36.2. Sólidos de revolução: Rotação em torno do eixo y
	37. Integração impropria; Ccomprimento de curva 12 de junho
	37.1. Integrais impróprias no 
	37.2. Integral de funções descontínuas.
	37.3. Mais exemplos
	38. Comprimento de arco; Valor médio
	38.1. Comprimento de arco
	38.2. Valore médio
	38.3. Aproximando f pelo seu valor médio
	Appendix A. Algumas justificativas
	A.1. O número e
	A.2. A intuição por trás do limite limx0sin(x)x
	A.3. O limite limh01-cos(h)h
	A.4. Demonstração da Regra do Produto
	A.5. Demonstração da Regra do Quociente I
	A.6. Demonstração da Regra da cadeia
	A.7. Prova Teorema Fermat
	A.8. Prova do Teorema Rolle
	A.9. Prova do Teorema do valor médio
	A.10. A soma dos quadrados perfeitos
	Appendix B. Banco de questões
	B.1. Primeira prova
	B.2. Segunda Prova
	B.3. Terceira Prova
	B.4. Exame especial