Apostila De Cálculo Numérico (Matlab EXTRA)

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1
 
INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAÇÕES 
INATEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NB004 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª. Karina Perez Mokarzel Carneiro 
Profª. Rosanna Mara Rocha Silveira 
Prof. Felipe Beltrán Mejía 
 
 
 
 
 
 
1º Semestre de 2018 
 
 
 2
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA BÁSICA 
 
RUGGIERO, M. A. G. e LOPES, V. L. R. - Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e 
Computacionais, 2. ed. Makron Books: São Paulo, 1997. 
 
SPERANDIO, D., e outros. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e 
Computacionais dos Métodos Numéricos. Prentice Hall: São Paulo, 2003. 
 
 
 3
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1 – ERROS 
Capítulo 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES 
Capítulo 3 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – SELA`s 
Capítulo 4 – INTERPOLAÇÃO 
Capítulo 5 – AJUSTE DE CURVA 
Capítulo 6 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
CAPÍTULO 1 
ERROS 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio de métodos 
numéricos nem sempre fornece valores dentro de limites razoáveis. Esta afirmação é correta 
mesmo quando se aplica um método adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira 
correta. 
Esta diferença é chamada erro e é inerente ao processo, não podendo, em muitos casos, ser 
evitada. 
 
 
Exemplo 1.1: O modelo matemático que descreve o estudo do movimento de um corpo sujeito 
a uma aceleração constante é: 
 
 
2
oo t a 2
1
tvxx ++= 
 
 
 
 
Um engenheiro quer determinar a altura do edifício do prédio central. Para isso dispõe 
apenas de uma bolinha de metal, cronômetro e a fórmula acima. Ele sobe no edifício, solta a 
bolinha e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo: 3 segundos. 
 
2
oo t a 2
1
tvxx ++= 
m 1,4499,43 8,9 
2
1
t00x 2 =×=××+×+= 
 
No modelo matemático não foram consideradas outras forças: resistência do ar, velocidade 
do vento, etc. 
Outro fator: precisão da leitura do cronômetro. Uma pequena variação devido a uma 
imprecisão do experimentador no momento da leitura do dado, como por exemplo, se s 5,3t =
, a altura do prédio seria: 
 
m 605,38,9
2
15,300x 2 =××+×+= 
 
Ou seja, uma variação de 17% na leitura do tempo acarreta 36% de variação na distância 
percorrida. 
 
 
 
distância 
percorrida 
distância 
inicial 
aceleração 
velocidade 
inicial 
tempo 
 5
Exemplo 1.2: A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a certa variação de 
temperatura é dada pela seguinte fórmula: 
 
 
)t β t α(Δ 2o += ll 
 
 
 
 
 
 
 
Um físico quer determinar a variação no comprimento de uma barra de metal quando sujeita 
a uma variação de temperatura de 10ºC, sendo: 
 
m1o =l 
000068,0
001253,0
=β
=α
 
 
 Então: 
 
m 0,019330 )10 . 0,000068 10 . (0,001253 . 1 2 =+=∆l 
 
Como os valores de α e β foram obtidos experimentalmente com a precisão da ordem de 
610− , tem-se: 
 
001254,0001252,0 <α< 
000069,0000067,0 <β< 
 
Então: 
 
m 0,019220 )10 . 0,000067 10 . (0,001252 . 1 2 =+>∆l 
m 0,019440 )10 . 0,000069 10 . (0,001254 . 1 2 =+<∆l 
 
Logo: 
 
m 0,019440 019220,0 <∆< l 
 
Ou, ainda: 
 
m 10 0,0193 4−±=∆l 
 
OBS: Veja que uma imprecisão na sexta casa decimal de α e β implicou numa imprecisão na 
quarta casa decimal de l∆ . 
Neste caso temos uma imprecisão dos dados de entrada. 
 
Variação do 
comprimento 
Comprimento 
inicial Temperatura 
Constantes específicas para 
cada material 
Obtidos experimentalmente 
 6
O processo de uma solução numérica de um problema físico por meio da aplicação de 
métodos numéricos é representado segundo o diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os erros são cometidos em todos os passos do esquema: 
 
MODELAGEM: erros iniciais ou inerentes 
RESOLUÇÃO: erros de arredondamento e truncamento 
 
É de vital importância conhecer os tipos de erros a que estão sujeitos os métodos numéricos 
para identificá-los, quantifica-los, evita-los, minimiza-los e controla-los. 
 
 Na engenharia, muitas vezes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método numérico: todo algarismo composto de uma lista de instruções envolvendo apenas 
operações com números: operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a 
tabela de valores, arbitramento de um valor, que tem por objetivo determinar um valor 
aproximado da solução exata dentro de uma precisão estabelecida. 
 
Número aproximado: é aquele cuja representação se difere do número exato. 
 
OBS: Sempre que for utilizar uma função trigonométrica, use o ângulo em radianos. 
 
1.2 – ERRO ABSOLUTO 
 
É a diferença, em módulo, entre o valor exato de um número X e de seu valor aproximado 
X’. 
 
 'XXEA )'X( −= 
PROBLEMA 
FÍSICO 
MODELO 
MATEMÁTICO 
 
SOLUÇÃO modelagem resolução 
Através de um dado 
problema físico 
Raramente se tem uma 
descrição exata desse 
fenômeno 
Constrói-se um 
Instrumentos de cálculo que 
necessitam que sejam feitas 
certas aproximações 
Obtém-se a solução 
com a aplicação de 
métodos numéricos 
MODELOS 
MATEMÁTICOS 
PROBLEMAS CUJA SOLUÇÃO EXATA 
DEMANDA MUITO ESFORÇO PARA SER 
DETERMINADA OU SIMPLESMENTE NÃO 
PODE SER DETERMINADA 
Conduzem 
Usam-se métodos que forneçam uma aproximação 
da solução dentro de um grau de precisão desejado 
 7
Exemplo 1.3: Qual é o erro absoluto cometido ao substituirmos 2 por 1,41? 
 
 ......0042135,041,1....4142135,141,12EA )41,1'x( =−=−== 
 
Exemplo 1.4: Ao substituirmos .....66666,0
3
2
= por 0,66 cometemos o seguinte erro absoluto: 
 
 .....0066,066,0......6666,0EA )66,0( =−= 
 
OBS: Quando não se conhece o valor exato X, o erro absoluto é indeterminado. 
 
1.3 – COTA SUPERIOR DE ERRO ABSOLUTO 
 
Seja 0c > um valor tal que: c'XXEA )'X( <−= 
 
Onde m105,0c −×= . O valor de m indica que a aproximação X’ do valor exato X possui 
pelo menos as m primeiras casas decimais corretas. 
 
Exemplo 1.5: se tomarmos a aproximação 3,1428 para o número irracional ....141592,3π = , o 
erro absoluto cometido nesta aproximação é da ordem de: 
 
2)1428,3( 105,0001207,01428,3πEA −×<=−= 
 
A aproximação 'π de π possui somente as duas primeiras casas decimais corretas. 
 
1.4 – ERRO RELATIVO 
 
O erro relativo é definido como: 
 
( )
'X
'XX
'X
EA
ER 'X)'X(
−
== 
 
Erro percentual relativo é: 
 
ER100EPR ×= 
 
Exemplos 1.6: 
 
00005,0'X
00006,0X
=
=
 � 
( )
( ) 20% 2,0ER
00001,0EA
'X
'X
=>=
=
 
 
100000'Y
100500Y
=
=
 � 
( )
( ) 0,5% 005,0ER
500EA
'Y
'Y
=>=
=
 
 
 
 8
 Qual foi a aproximação mais precisa? 
 
 ( ) ( )'Y'X EAEA < => a aproximação utilizada para X é mais precisa que Y 
 ( ) ( )'Y'X ERER > => Y é mais preciso 
 
OBS: Quanto menor for o erro relativo maior será a precisão do resultado da equação. 
 
1.5 – ERROS DE ARREDONDAMENTO 
 
Erro cometido quando se assume uma representação decimal finita para um número real 
que admite representação infinita, através do abandono das casas decimais de mais baixa ordem. 
De modo a limitar esse erro a meia unidade da última casa decimal conservada, adota-se o 
descrito na Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE: 
 
• 1º algarismo decimal a ser eliminado < 5, o último algarismo conservado fica como está. 
 
• 1º algarismo decimal a ser eliminado 5> , o último algarismo conservado é aumentado de 
uma unidade. 
• 1º algarismo decimal a ser eliminado 5= seguido, em qualquer casa, um algarismodiferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer. 
• 1º algarismo decimal a ser eliminado 5= seguido de zeros (ou se o 5 for o último 
algarismo), o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for 
ímpar. 
 
Exemplo 1.7: 
 
a) Valor exato: ....7320508,13 = Valor aproximado: 1,732 
 
b) Valor exato: ....5707963,12π = Valor aproximado: 1,571 
 
1.6 – ERROS DE TRUNCAMENTO 
 
Erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos (ou grandes) para 
a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados. Essa interrupção gera o 
erro de truncamento. 
Esses processos são utilizados na avaliação de funções matemáticas: exponenciação, 
logaritmos, funções trigonométricas, etc. 
 
Exemplo 1.8: 
a) ....
!7
x
!5
x
!3
x
x)x(sen
753
+−+−= 
 
b) .......
!3
x
!2
x
x1e
32
x ++++= 
 
c) .....
!4
1
!3
1
!2
1
!1
11e +++++= 
 
 9
1.7 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
Na matemática aplicada, algarismos significativos são utilizados para monitorar os erros 
ao se representar números reais na base 10. 
Diz-se que uma representação tem n algarismos significativos quando admite-se um erro 
no algarismo seguinte da representação. 
 
Exemplo 1.9: 
 
1/7 = 0,14 com dois algarismos significativos (já que o erro está na segunda casa decimal: 
1/7 = 0,142857142857...). 
 
1/30 = 0,0333 com três algarismos significativos (erro na quarta casa decimal). 
 
 Dada uma representação decimal: 
 
1. os algarismos zero que correspondem às ordens maiores não são significativos. 
 
Exemplos: em 001234,56 os dois primeiros zeros não são significativos; em 0,000543 
os quatro primeiros zeros não são significativos. 
 
2. os algarismos zero que correspondem às menores ordens, se elas são fracionárias, são 
significativos. 
 
Exemplo: em 12,00 os dois últimos zeros são significativos . 
 
3. os algarismos de 1 a 9 são sempre significativos. 
 
4. zeros entre algarismos de 1 a 9 são significativos. 
 
Exemplo: em 1203,4 todos algarismos são significativos. 
 
5. Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são 
significativos (ex: 1,000 e 33,30 possuem 4 algarismos significativos). 
 
Exemplo 1.10: 
 
157,0 � 4 algarismos significativos. 
157 � 3 algarismos significativos. 
0,00157 � 3 algarismos significativos. 
1,3800 � 5 algarismos significativos. 
35,6 � 3 algarismos significativos. 
3,56 � 3 algarismos significativos. 
0,356 � 3 algarismos significativos. 
0,00356 � 3 algarismos significativos. 
 
Exemplos com potência de 10: 
 
3200 ou 3,2 x 103 � 2 algarismos significativos 
3200, ou 3,200 x 103 � 4 algarismos significativos 
3200,0 ou 3,2000 x 103 � 5 algarismos significativos 
32.050 ou 3,205 x 104 � 4 algarismos significativos 
0,032 ou 3,2 x 10-2 � 2 algarismos significativos 
0,03200 ou 3,200 x 10-2 � 4 algarismos significativos 
 
 10
OBS: A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos, por exemplo, o 
comprimento de 0,0240m possui três algarismos significativos e pode ter a posição da vírgula 
alterado de várias formas usando uma potência de dez adequada, e sem alterar o seu número de 
algarismos significativos. Veja abaixo: 
 
dm 240,0m10240,0m 0240,0 1 =×= − 
cm 40,2m1040,2m 0240,0 2 =×= − 
mm 0,24m100,24m 0240,0 3 =×= − 
 
Observe que o número de algarismos significativos é sempre três, independentemente da 
forma que o número foi escrito e da posição de sua vírgula. Outro ponto importante é que o 
valor da medida é sempre a mesma, visto que: 0,0240m = 0,240dm = 2,40 cm = 24,0mm. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Se 373,3876A = e só desejarmos a parte inteira A’, qual será o erro absoluto e a cota 
superior de erro absoluto cometidos nesta aproximação? 
 
2) Seja o número 2113x = representado por 9,2112'x = e seja o número 2,5y = 
representado por 3,5'y = . Pode-se dizer que ambos os números estão representados com 
a mesma precisão? 
3) Qual a cota superior de erro absoluto da aproximação 
!3
)(
3hhhsen −=
 para 5,0h −= ? 
 
4) Suponhamos que o valor 6640,0'y = é um valor aproximado de Y=2/3. Das 6 afirmativas 
abaixo, estão corretas: 
 
a) o valor aproximado tem 5 algarismos significativos; 
b) o valor aproximado só tem 4 algarismos significativos; 
c) o valor aproximado só tem 3 algarismos significativos; 
d) só tem 3 algarismos significativos corretos; 
e) só tem 2 algarismos significativos corretos; 
f) só tem 1 algarismo significativo correto. 
 
5) Arredonde e trunque cada um dos números abaixo para 4 algarismos significativos: 
 
 a) 432431,85 b) 003134499,0 c) 075414,998 
 
6) Para o número arredondado para 4 algarismos significativos do exercício 5-a), determine 
o erro absoluto, a cota superior de erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual 
relativo. 
 
7) Determine o erro relativo cometido no cálculo do valor numérico de 523)( 2 −+= xxxy
, sendo 16,3x = e o erro absoluto cometido nesta medida igual a 001,0 . 
 
 11
CAPÍTULO 2 
 ZEROS DE FUNÇÕES 
 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia, temos a necessidade de determinar o valor 
de α para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, 0)(f =α . O número α é chamado raiz ou 
zero da função f(x). 
 
 As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, resolvendo a equação 
0)x(f = , como por exemplo: 
 
1) Se 2x)x(f −= 
 2x = é a raiz de f(x), pois: 
 022)2(f =−= 
 
2) Se 10x5)x(f += 
 2 x 10x5 010x5 −=→−=→=+ 
 2x −= é a raiz de f(x), pois: 
 
( ) ( ) 0101010252f =+−=+−=− 
 
3) Se 4x5x)x(f 2 +−= 
 
2
35
2
16255
x 04x5x2 ±=−±=→=+− 
 Tanto 1x = quanto 4x = são raízes de f(x), pois: 
 045141.51)1(f 2 =+−=+−= 
 04201644.54)4(f 2 =+−=+−= 
 
 Porém, nem sempre é possível encontrar analiticamente a raiz de uma função, como nos 
casos a seguir: 
 
 1) 3 x)2x(sen)x(f +−= 
 2) 5x)xln()x(f += 
 3) 2xe)x(f x2 −+= 
 
Nestes casos precisamos de um método numérico para determinar um valor aproximado 
de uma raiz. Tais métodos contam com duas etapas: 
 
1 – Etapa de Isolamento: achar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma, e 
somente uma, raiz da equação 0)x(f = . 
 
Enumerar – localizar 
 
2 – Etapa de Refinamento: melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la, através de 
métodos iterativos até a precisão requerida. 
 
Calcular seus valores, se não exatos, aproximados 
 12
2.2 – ETAPA DE ISOLAMENTO 
 
 Utilizam-se dois métodos distintos para separar as raízes reais de uma função: 
 
 - Método do GRÁFICO 
 - Método TABELAMENTO 
 
2.2.1 – Método Gráfico 
 
 Para a análise gráfica da função )x(f , ou seja, na análise de 0)x(f = podemos usar um dos 
seguintes processos: 
 
1º) Consiste em plotar o gráfico de )x(fy = 
 Uma raiz real de uma função é o ponto onde a função f(x) toca o eixo dos x’s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1α , 2α , 3α e 4α são raízes de f(x) no intervalo [a,b]. 
 
0)(f)(f)(f)(f 4321 =α=α=α=α 
 
2º) Consiste em substituir f(x) por duas funções g(x) e h(x) equivalentes a f(x), ou seja, 
 
 )x(h)x(g)x(f −= 
 0)x(f = 
 0)x(h)x(g =− 
 )x(h)x(g = 
 
 )(h)(g 0)(f α=α→=α→α => funções que têm a mesma raiz. 
 
 As raízes reais de f(x) corresponderão às abscissas dos pontos de interseção do gráfico de 
g(x) com o gráfico de h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1α , 2α e 3α são raízes reais de )x(h)x(g)x(f −= no intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
x 
f(x) 
a b 
 
 
 
x 
f(x) 
a b 
g(x) h(x) 
 13
 No 2º processo, representara função em análise através da subtração de duas componentes 
e não realizar operações na determinação dessas componentes para não alterar a definição da 
função original, pode-se perder raízes ou surgir raízes “estranhas”. 
 
Exemplos: 
 
0)x(f = => 0)x(h)x(g =− => )x(h)x(g = 
 
1) 030x20x2x)x(f 23 =+−−= 2) 02)x(sene)x(f x =−−= 
23 x2x)x(g −= xe)x(g = 
 30x20)x(h −= 2)x(sen)x(h += 
 
3) )x(sen)xlog()x(f 2 += 4) 1xx)x(f +−= 
 )xlog()x(g 2= x)x(g = 
 )x(sen)x(h −= 1x)x(h −= 
 
OBS: 
0)x(sen)xlog()x(f 2 =+= 01xx)x(f =+−= 
)x(sen)xlog( 2 −= 1xx −= 
)x(sen)xlog(2 −= 2)1x(x −= 
)x(sen 5,0)xlog( −= 1x2xx 2 +−= 
 ? ? ? ? 
Perda de raiz Aparecimento de uma raiz 
 
2.2.2 – Método do Tabelamento 
 
 Nos intervalos em que f(x) for contínua e mudar de sinal enquanto sua derivada f’(x) 
mantiver seu sinal constante, tem-se garantida a existência de uma única raiz real. 
 
Equações Algébricas: quando nas expressões que definem f(x), a variável independente x 
estiver submetida apenas às operações fundamentais da álgebra ( )
 ,a /,, , , b×−+ . 
 Ex: 4x3x
3
5
x)x(f 34 ++−= 
 x3x41x3)x(f 2 −++= 
 
Equações Transcendentes: quando nas expressões que definem f(x), a variável independente x 
estiver submetida às operações logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e suas inversas. 
 
 Ex: 2senxe)x(f x −−= 
 2)x(arctg)x(f += 
 
 Algumas equações algébricas de 1º e 2º graus, certas classes de 3º e 4º graus e algumas 
equações transcendentes podem ter suas raízes computadas através de métodos analíticos. 
 
 14
 Para polinômios de grau maior que 4 e para a grande maioria das equações transcendentes 
o problema de se calcular as raízes só pode ser resolvido através de métodos que aproximam as 
soluções. NÃO SE TEM UMA FÓRMULA PARA ACHAR AS RAÍZES. 
 
 Embora estes métodos não forneçam raízes exatas, elas podem, a menos de limitações de 
máquinas, serem calculadas com a exatidão que o problema requeira, desde que certas 
condições sobre f sejam satisfeitas. 
 
2.2.3 – Teorema da Existência e Unicidade – T.E.U 
 
I – Seja uma função contínua no intervalo [a,b]. 
 
OBS: Continuidade: 
 
 Dizer que uma função é contínua em cx = significa que o gráfico de f(x) não tem 
interrupções em c. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função é descontínua quando: 
 
 1 – A função não está definida em x = c. 
 2 – O limite de f(x) não existe em x = c. 
 - comportamento ilimitado 
 - comportamentos diferentes à esquerda e à direita (saltos) 
 3 – O limite de f(x) existe em x = c, mas não é igual a f(c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – A função assume valores com sinais diferentes (opostos) nos pontos extremos do intervalo 
[a,b] , ou seja, 0f(b) . )a(f < . Neste caso, a função corta o eixo das abscissas uma vez ou um 
número ímpar de vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
f(x
a 
b 
 
x 
f(x) 
a 
b 
x 
c 
f(c) 
f(x) 
x 
c1 
f(x) 
c2 c2 c3 
 15
III – A derivada de 1ª ordem de )x(f existe e não muda de sinal dentro do intervalo [a,b], ou 
seja, 0)x('f > ou 0)x('f < para bxa << . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Com a prova do TEU fica garantida a existência de apenas uma raiz real no intervalo [a,b]. 
 
 * O atendimento apenas de II e III não garante a existência de uma única raiz no intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* O atendimento apenas de I e II não garante a existência de uma única raiz no intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.1: Localizar as raízes da função 4xe)x(f 2x −+= 
 x2e)x('f x += 
 
x ∞− -10 -3 -2 -1 0 1 2 10 ∞ 
)x(f + + 96 + 5 + 
0,13 
6,2− 3− 28,0− + 7,38 + 
22,1 
+ 
)x('f - - - 8,3− 6,1− + 1 71,4+ 3,11+ + + 
 Decrescente Crescente 
 
 Logo, podemos concluir que em cada um dos intervalos ]1,2[ −− e [1,2] existe apenas uma 
única raiz. 
 
 
 
x 
f(x) 
a 
b 
 
 
x 
f(x) 
a 
b 
 
f(x) 
x 
crescente 
crescente 
 
 
 
 x 
f(x) 
a 
b 
+ 
 
 16
Exemplo 2.2: Localizar as raízes da função 3x9x)x(f 3 +−= . 
 
1º MÉTODO: TEU 
 
3x9x)x(f 3 +−= 9x3)x('f 2 −= 
3x0)x('f ±=⇒= 
 
x 4− 3− 
 
1− 0 1 
 
2 3 
f(x) 25− 3 13,3923 11 3 3923,7− 7− 3 
f’(x) 39 18 0 6− 9− 6− 0 3 18 
 
2º MÉTODO: GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º MÉTODO: GRÁFICO 
 
3x9x)x(f 3 +−= 
3x9x 03x9x 33 −=→=+− 
 
3x)x(g = 
3x9)x(h −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3− 3
5−
 
 
 17
 2.3 – ETAPA DE REFINAMENTO 
 
 O método do ISOLAMENTO é uma aproximação inicial da raiz exata. Esta aproximação é 
grosseira e precisa ser refinada. 
 
 Os métodos de aproximação da raiz exata são iterativos. 
 
 Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a 
passo, algumas das quais são repetidas em ciclos (iterações). 
 
 Os resultados obtidos em cada iteração do processo dependem dos valores calculados na 
iteração anterior. 
 
 Geralmente, a cada iteração feita, o resultado deve ser o mais próximo daquele esperado 
(convergência). 
 
Principais Métodos: 
 
 � Método da Bissecção (dicotomia) – divisão ao meio 
 - Método das Partes Proporcionais (da falsa posição) 
 - Método da Iteração Linear 
 � Método de Newton-Raphson 
 - Método das secantes 
 
 É necessário estabelecer um critério de parada para esses processos iterativos (muitos 
casos possuem infinitas iterações). Os critérios de parada dependem do problema a ser resolvido 
e da precisão ( ε ) estipulada para a solução. 
 
2.3.1 – Método da Bissecção 
 
 - Simples: fácil de aplicar 
 - Seguro: inexistência de descontinuidade no intervalo [a,b] 
 - Pouco eficiente: de convergência lenta, muitas iterações até que seja atingida a precisão 
desejada do valor aproximado da raiz (leva à raiz muito lentamente). 
 - Estrutura baseada no TEU: ter uma única raiz real contida no intervalo de análise [a,b] 
 
 Consiste em, obtido um intervalo contendo uma única raiz, ir dividindo-o ao meio, 
sucessivamente, mantendo a raiz enquadrada (num intervalo) até aproximar-se suficientemente 
dela. 
 
Método: 
 
 )x(f => contínua no intervalo [a,b] 
 0f(b) . )a(f < => número ímpar de raízes 
 0)x('f < ou 0)x('f > em [a,b] => uma única raiz 
 Divide-se [a,b] ao meio, obtém-se xo e tem-se dois subintervalos [a,xo] e [xo,b]: 
 
• Se 0)x(f o = → a raiz α é xo (exato) 
• Senão, ela estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos. 
• Se 0)f(x . )a(f o < , ]x,a[ o∈α 
• Se não, ]b,x[ o∈α 
 18
 O novo intervalo ]b,a[ 11 que contém α é dividido ao meio obtendo x1. O processo se repete 
até que se obtenha uma “boa” aproximação para a raiz exata α . 
 
 Interpretação geométrica do Método da Bissecção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critério de parada: 
 
 O método da bissecção deve satisfazer, sempre que possível, os dois critérios abaixo: 
 
1) ε<−
2
ab nn
 
2) ε<)x(f n 
 
onde nx é a raiz aproximada da raiz exata α com precisão ε . 
 
 Nem sempre é possível ter as exigências (1) e (2) satisfeitas simultaneamente. Os gráficos 
a seguir ilustram algumas possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
x 
 
a 
b 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
M
o2
o1
o
x,x
x,x
x,a
b,a
∈α
∈α
∈α
∈α
 
f(x) 
x 
 
a 
b 
 
f(x) 
x 
 
a 
b 
 
 
f(x)x 
 
a 
b 
 
 19
 Exclusivamente no método da Bissecção, o número mínimo de iterações necessárias para 
se alcançar o primeiro critério de parada pode ser determinado por: 
 
1
2ln
)]/)abln[(
n −
ε−≥ 
 
OBS: Se o intervalo inicial é tal que ε>>− ab , a convergência será muito lenta, pois, o número 
de iterações tende a um número muito grande. 
 
 Por exemplo, se 3ab =− e 710−=ε => 25n = 
 
Exemplo 2.3: As raízes da função 3x9x)x(f 3 +−= foram isoladas no exemplo 2.2. Agora 
refine a raiz que encontra no intervalo ]1,0[I2 = , com erro de 210−<ε . Usar quatro casas 
decimais. 
 
Número de iterações: 1
2ln
)]10/)01ln[(
n
2
−
−≥
−
 => 64,5n ≥ => 6n ≥ 
 
n an + bn - xn f(xn) 
2
)ab( nn −
 
0 0 1 0,5 -1,3750 0,5 
1 0 0,5 0,25 +0,7656 0,25 
2 0,25 0,5 0,375 -0,3223 0,125 
3 0,25 0,375 0,3125 +0,2180 0,0625 
4 0,3125 0,375 0,3438 -0,0536 0,0313 
5 0,3125 0,3438 0,3282 +0,0816 0,0157 
6 0,3282 0,3438 0,3360 +0,0139 0,0078 210−< 
7 0,3360 0,3438 0,3399 -0,0198 0,0039 
8 0,3360 0,3399 0,3380 
-0,0034 210−< 0,0020 
 
 Então, 3380,0x8 ==α 
 
Exemplo 2.4: Calcular a raiz da equação 10x)x(f 3 −= , com 1,0<ε e ]3,2[∈α . Usar quatro 
casas decimais. 
 
 Teste do TEU: 
 
1) f(x) é contínua no intervalo definido. 
 
2) 2)2(f)a(f −== 0f(b) . )a(f < 
 17)3(f)b(f == 
 
3) 2x3)x('f = � esta função é sempre positiva. 
 += 12)2('f Crescente 
 += 27)3('f 
 += (2,5) . 3)5,2('f 2 
 
 20
 Número de iterações: Se o intervalo é [2,3] e 1,0<ε 
 
 1
2ln
)]1,0/)23ln[(
n −
−≥ => 32,2n ≥ => 3n ≥ 
 
n an - bn + xn f(xn) 
2
)ab( nn −
 
0 2 3 2,5 +5,625 0,5 
1 2 2,5 2,25 +1,3906 0,25 
2 2 2,25 2,125 -0,4043 0,125 
3 2,125 2,25 2,1875 +0,4675 0,0625 
4 2,125 2,1875 2,1563 0,0260 0,0313 
 
 
1563,2x3 =≅α 
2.3.2 – Método de Newton-Raphson 
 
 - Validas todas as condições do TEU 
 - As derivadas )x('f )0)x('f( ≠ e )x(''f devem também ser contínuas e preservarem o 
sinal do intervalo. 
 - Método mais rápido (processo leva à raiz mais rapidamente). 
 - O método pode divergir. 
 
 O método de Newton-Raphson é equivalente a substituir um pequeno arco de curva 
)x(fy = por uma reta tangente, traçada a partir de um ponto da curva. 
 
Observação: 
Derivada de 1ª ordem de uma função: 
 
Traçar uma reta tangente à curva )x(fy = num ponto e 
obter a inclinação da curva neste ponto (a tangente do ângulo 
que esta reta faz com o eixo x é a inclinação) 
 
2
2
4
adjacente cateto
oposto cateto
tg ===θ => 2)x('y = 
 
 
Interpretação geométrica do método: 
 
Para se obter uma melhor aproximação x1 da 
raiz α , traça-se uma reta tangente à curva 
)x(fy = a partir do ponto )]x(f,x[B ooo que 
intercepta o eixo x no ponto x1. 
 
- Do ponto )]x(f,x[B 111 traça-se outra 
tangente à curva que corta o eixo x no ponto 
x2, obtendo-se uma melhor aproximação da 
raiz. 
- O processo se repete até encontrar α≅nx 
com a exatidão requerida. 
 
f(x) 
x 
4 
2 
1 2 
 
 21
 Portanto, 
 
)x('f
xx
)x(f
tg o
1o
o
=
−
=α 
21
1
xx
)x(f
tg
−
=β 
1o
o
o
xx
)x(f)x('f
−
= 
21
1
1
xx
)x(f)x('f
−
= 
)x('f
)x(f
xx
o
o
1o =− )x('f
)x(f
xx
1
1
21 =− 
)x('f
)x(f
xx
o
o
o1 −= )x('f
)x(f
xx
1
1
12 −= 
 
 Generalizando tem-se: 
 
)x('f
)x(f
xx
n
n
n1n −=+ p/ ..... 2, 1, ,0n = � Fórmula do Método de Newton 
 
 
ε<−
−1nn xx e ε<)x(f n � Critério de parada 
 
 
 Condições e observações para a convergência do método de Newton-Raphson: 
 
1ª) )x('f e )x(''f com sinais constantes no intervalo [a,b]. 
 )x(''f não deve se anular no intervalo. 
 Se 0)x(''f = , então )x(f sofre mudança de concavidade no intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
x a 
b x1 x2 
 
As tangentes podem conduzir a 
aproximações fora do intervalo. 
f(x) 
x 
 
 
 
Aproximações repetidas. 
 22
2ª) A escolha de xo 
 
 A má escolha pode causar divergência no método. 
 xo deve ser o ponto extremo de [a,b] onde a função f(x) apresenta o mesmo sinal de )x(''f . 
 
 
0 
ou 
0 
0)(x'f' . )x(f oo
>−−
>++
>
 
 
1º Caso: 
 
 
0)a(f < 
0)b(f > 
0)x(''f > (concavidade para cima) 
Em qual extremo 0)(x'f' . )x(f > ? 
0)(b'f' . )b(f > => bxo = 
 
2º Caso: 
 
 
0)a(f < 
0)b(f > 
0)x(''f < (concavidade para baixo) 
0)(a'f' . )a(f > => axo = 
 
 
3º Caso: 
 
 
0)a(f > 
0)b(f < 
0)x(''f > 
0)(a'f' . )a(f > => axo = 
 
 
4º Caso: 
 
 
0)a(f > 
0)b(f < 
0)x(''f < 
0)(b'f' . )b(f > => bxo = 
 
 
 
f(x) 
x 
 
 
 
Tangente que diverge 
f(x) 
x 
 
 
 
Tangente que diverge 
f(x) 
x 
 
 
f(x) 
x 
 
 
 23
Exemplo 2.5: Calcular a raiz 1,5] , 5,0[∈α de 3xx5x)x(f 23 ++−= com 001,010 3 ≅≤ε − 
 
TEU: 1) contínua => OK 
 
 2) 
 0 . 
0)b(f).a(f
<−+
<
=> OK 
 
 3) 0)x('f < no intervalo => OK 
 
3xx5x)x(f 23 ++−= 
1x10x3)x('f 2 +−= 
10x6)x(''f −= 
 
)( 375,2)5,0(f += 
)( 375,3)5,1(f −−= 
 
)( 25,3)5,0('f −−= 
)( 25,7)5,1('f −−= 
)( 6)1('f −−= 
 
)( 7)5,0(''f −−= 
)( 1)5,1(''f −−= 
 
Escolha de xo 
 
0 
0)b(''f).b(f
>−−
>
 => bxo = )x('f
)x(f
xx
n
n
n1n −=+ e 1nn xx −−<ε 
 
n xn )x(f n )x('f n 1nn xx −− 
0 1,5 - 3,3750 - 7,2500 ---- 
1 1,0345 - 0,2093 - 6,1344 0,4655 
2 1,0004 - 0,0024 - 6,0016 0,0341 
3 1,0000 0 
 
 
1x3 ==α 
 (neste caso a raiz é exata) 
 
 Não se deve usar esse método quando f(x) próxima do ponto de interseção com x é quase 
horizontal ( ???(x)f(x)/f' 0)x('f =→≈ ). 
 
 
 
 
 
 
 
 24
Exemplo 2.6: Considerando a função 3x9x)x(f 3 +−= , determinar a raiz que está no 
intervalo ]1,0[I2 = com erro de 210−=ε . 
OBS: Compare com o resultado do exemplo 2.3. 
 
TEU: 1) contínua => OK 
 
 2) 
 0 . 
0)b(f).a(f
<−+
<
=> OK 
 
 3) 0)x('f < no intervalo => OK 
 
3x9x)x(f 3 +−= => 9x3)x('f 2 −= => x6)x(''f = 
 
3)0(f += (+) )( 9)0('f −−= 0)0(''f =  muda concavidade 
)( 5)1(f −−= )( 6)1('f −−= 6)1(''f = 
 
x 0 0,2 1 
f(x) 3+ 1,208 5− 
f'(x) 9− 88,8− 6− 
 
Podemos reduzir o intervalo I=[0,2 , 1] 
 
)( 208,1)2,0(f += )( 88,8)2,0('f −−= )( 2,1)2,0(''f += 
)( 5)1(f −−= )( 6)1('f −−= )( 6)1(''f += 
 
Escolha de xo 
 
0 
0)a(''f).a(f
>++
>
 => 2,0axo == )x('f
)x(f
xx
n
n
n1n −=+ 
 
n xn )x(f n )x('f n 1nn xx −− 
0 0,2 1,208 88,8− ---- 
1 0,33604 0,01359 66123,8− 0,13604 
2 0,33761 61004,9 −×− 65806,8− 0,00157 
 
 
33761,0x3 ==α 
 
 
 25
EXERCÍCIOS 
 
1) Isolar todas as raízes da função 30x20x2x)x(f 23 +−−= pelo método do tabelamento. 
 
Tabela de valores de f(x): 
x -10 -8 -5 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 5 10 
f(x) -970 -450 -45 14 54 47 30 9 -10 -21 -18 5 630 
 
2) Localizar as raízes da função 11x20x5,7x2x)x(f 234 −−−+= pelo método do 
tabelamento. 
 
Tabela de sinais de f(x) e f’(x): 
x -6 -4 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 
sinais 
f(x) + + + - - + + - - - - - - + 
f’(x) - - - - + + - - - - - + + + 
 
3) Faça a tabela de valores da função 1x3x)x(f 3 −+= e indique o(s) intervalo(s) em que 
houver zeros reais. 
4) Ao estudar as raízes reais da função)x(sen
x
1)x(f += , foi montada a seguinte tabela de 
sinais: 
 
x (em radianos) -12 -10 -4,5 -2 1 3 10 12 
sinal de f(x) + + + - + + - - 
 
 E chegou-se à conclusão que esta função possui raízes reais únicas nos intervalos [-
4,5 , -2], [-2, 1] e [3, 10]. Verifique se esta conclusão é verdadeira justificando sua resposta. 
 
5) Localize pelo método do tabelamento as raízes das equações a seguir: 
 
 a) 0e)xcos(4 x2 =− 
 b) 0)xln(x1 =− 
 
6) Localize graficamente as raízes das equações a seguir: 
 
 a) 0x32x =− 
 b) 01000xx3 =−+ 
 
7) Calcular, usando o método da bissecção, o valor aproximado da raiz pertencente ao intervalo 
[0,5, 1] da função 1xx2x)x(f 34 −−+= sabendo-se que esse valor aproximado deverá ter 
2 casas decimais corretas. 
8) Calcular pelo método da bissecção a raiz da equação )xln(x)x(f 2 += com є ≤ 0.01 no 
intervalo [0,5 , 1,0]. 
 
 26
9) O polinômio x
21
5
x
9
10
x)x(p 35 +−= tem cinco zeros reais, todos no intervalo [-1,1]. 
Encontre pelo método da bissecção a maior raiz negativa com є ≤ 10-5. 
 
10) Achar pelo método de Newton-Raphson a raiz de 5)xln(x2)x(f 3 −+= , com є ≤ 10-7 no 
intervalo [1, 2]. 
 
11) Calcular a raiz negativa pelo método de Newton-Raphson de 3xx5x)x(f 23 ++−= com 
є ≤ 10-5. 
 
12) Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir 
com precisão є ≤ 10-4: 
 
 a) 0)x(tg2x =− 
 b) 2e)xcos(2
x
= 
 c) 06x5 =− 
 
13) Aplique o método de Newton-Raphson à equação 010x3x2x 23 =+−− com x0=1,9. 
Justifique o que acontece. 
 
 
 
 
 
 27
CAPÍTULO 3 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – SELAs 
 
3.1 – DEFINIÇÃO 
 
 Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas na forma 
 







=++++
=++++
=++++
=
nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa.........xaxaxa
bxa.........xaxaxa
bxa..........xaxaxa
s
M
 
 
∑
=
==
n
1j
ijijn bxas n,...,3,2,1i/p = 
 
Onde, 
 
→ija Coeficientes das incógnitas 
→jx Incógnitas 
→ib Termos independentes 
 
Pode ser colocado sob a forma 
 
 












=












×












n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
M
L
L
 Vetor dos termos independentes 
 
Matriz de coeficiente Vetor das incógnitas 
 
 O sistema pode ainda ser colocado sob a forma matricial mais compacta => A.X = b 
 
 Matriz ampliada ou matriz aumentada � 












nnn2n1n
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa
L
M
L
L
 
 
 Vetor solução � 














=
n
2
1
x
x
x
x
M
 
 28
3.2 – CLASSIFICAÇÃO 
 
� Natureza dos coeficientes e termos independentes: 
• Reais: todos os coeficientes e termos independentes são números reais. 
• Complexos: pelo menos um coeficiente ou termo independente for número 
complexo. 
 
� Valor dos termos independentes: 
• Homogêneo: todos os termos independentes são nulos (b = 0). 
• Heterogêneo: pelo menos um termo independente não é nulo. 
 
� Número de soluções: 
• Possível e Determinado: uma única solução. 
• Possível e Indeterminado: infinitas soluções. 
• Impossível /Incompatível: não possui soluções. 
 
Exemplo 3.1: Seja o sistema: 
 



=→=−
−=→=+
2121
2121
xx 0xx
xx 0xx
 
 
Qual é a solução do sistema? 
 
Um ponto comum entre as retas. 
Possui uma única solução: )0,0( => origem 
 
OBS: De acordo com a Regra de Cramer, se o 0)Adet( ≠ , o sistema é possível e 
determinado. 
 






−
=
11
1 1
A => 0211
11
1 1)Adet( ≠−=−−=
−
= 
 
Logo, o sistema é real, homogêneo, possível e determinado. 
 
 
Exemplo 3.2: Seja o sistema: 
 
21
2121
2121
x x 
x2x2 0x2x2
xx 0xx
−=



−=→=+
−=→=+
 
 
Qual é a solução do sistema? 
 
Retas coincidentes => infinitas soluções 
 
 
 
1 
2 
2 
1 
1 
2 
2 1 
 29
OBS: 
 






=
22
11
A => 022
22
11)Adet( =−== 
 






=
02
01
AI => 00002
01)Adet( I =−== 
 
Det(AI) => substitui-se a i-ésima coluna de A pelo vetor coluna dos termos independentes. 
 
Se o 0)Adet()Adet( I == , o sistema é possível e indeterminado 
 
Logo, o sistema é real, homogêneo, possível e indeterminado. 
 
 
Exemplo 3.3: Seja o sistema: 
 



−=→=+
−=→=+
2121
2121
x1x 1xx
xx 0xx
 
 
Qual é a solução do sistema? 
 
Retas paralelas => não têm ponto em comum 
 => não tem solução 
 
OBS: 






=
11
11
A => 011
11
11)Adet( =−== 
 






=
11
01
AI => 10111
01)Adet( I =−== 
 
Se o 0)Adet( = e o 0)Adet( I ≠ , o sistema é impossível. 
 
Logo, o sistema é real, heterogêneo e impossível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
2 1 
 30
3.3 – SISTEMA TRIANGULAR SUPERIOR 
 
 Um sistema é chamado triangular superior se é da forma 
 








=
=++
=+++
=++++
=
nnnn
3nn3333
2nn2323222
1nn1313212111
bxa 
 
bxa.........xa 
bxa.........xaxa 
bxa..........xaxaxa
s
M
 
 
e é chamada triangular inferior se é da forma 
 








=++++
=++
=+
=
=
nnnn33n22n11n
3333232131
2222121
1111
bxa.........xaxaxa
b xaxaxa
b xaxa
b xa
s
M
 
 
Exemplo 3.4: Resolver o sistema linear triangular abaixo: 
 







=
=−
−=−+
−=+−+
=
2 x2 
3 x5x4 
1 x2x x 
10x x5x4x3
s
4
43
432
4321
 � 












−
=
1 
2 
1
1 
x 
 
2x2 4 = 3x5x4 43 =− 1x2xx 432 −=−+ 10xx5x4x3 4321 −=+−+ 
1x4 = 3)1(5x4 3 =− 1)1(22x2 −=−+ 101)2(5)1(4x3 1 −=+−−+ 
 
2x3 = 1x2 −= 1x1 = 
 
Exemplo 3.5: 
 







=
=−
=−
−=+−+
=
2 x2 
3 x5x4 
0 x2x 
10x x5x4x3
s
4
43
43
4321
 � 














α
α+
−
=
1
2
3
41
x 
 
2x2 4 = 3x5x4 43 =− 0x2xx0 432 =−+ 10xx5x4x3 4321 −=+−+ 
1x4 = 3)1(5x4 3 =− 0)1(22x0 2 =−+ 101)2(54x3 1 −=+−α+ 
 
2x3 = α=→= 22 x0x0 3
41
x1
α+
−= 
 
Obs: x2 pode assumir qualquer valor. É uma variável livre (ou independente) 
Exemplo 3.6: 
 31
 







=
=−
−=−
−=+−+
=
2 x2 
3 x5x4 
1 x2x 
10x x5x4x3
s
4
43
43
4321
 
 
2x2 4 = 3x5x4 43 =− 1x2xx0 432 −=−+ 
1x4 = 3)1(5x4 3 =− 1)1(22x0 2 −=−+ 
 
2x3 = →−= 1x0 2 Nenhum valor de x2 satisfaz a equação 
 
 O sistema é impossível (ou incompatível). 
 
 
3.4 – SISTEMA INSTÁVEL 
 
 Em um sistema instável, uma pequena alteração em um dos coeficientes provoca uma 
grande alteração na soluçãodo sistema. 
 



=+
=+
=
01,2x.01,1x
2xx
S
21
21
 



=+
=+
=
01,2x.01,1x
2xx.99,0
S
21
21
 
 
 





=
1
1
x 




−
=
101
100
x 
 
 Para verificar se um sistema é instável, calcula-se a grandeza do determinante da matriz A.
 O sistema será instável se 0))A(normdet( ≅ . 
 
 
n21 ......
)Adet())A(normdet(
ααα
= 
 
onde, 
 
 
2
in
2
2i
2
1ii )a(.....)a()a( +++=α n,...,2,1i/p = 
 
 Para o exemplo anterior: 
 
 211)a()a( 222122111 =+=+=α 
 0201,201,11)a()a( 2222122212 =+=+=α 
 
 
005,0
01,2
01,0
0201,2.2
11101,1))A(normdet( ≅=×−×=
 
 
 Logo, o sistema é instável, pois, comparando este resultado com a unidade, 
0))A(normdet( ≅ 
3.5 – RESTOS OU RESÍDUOS 
 32
 
 Restos ou Resíduos da solução de Sistemas Lineares é definido como: 
 
 X.ABR −= 
 
 












×












−












=












=
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
n
2
1
x
x
x
aaa
aaa
aaa
b
b
b
r
r
r
R
M
L
MMMM
L
L
MM
 
 
 Se todas as componentes forem nulas, o vetor solução será a solução exata do sistema. 
 Se todas forem aproximadamente zero, tem-se que a solução corresponde a uma boa 
aproximação da solução exata (em sistemas estáveis) 
 
 
3.6 – SISTEMAS EQUIVALENTES 
 
 Dois sistemas são equivalentes se possuem a mesma solução, ou seja, 
 
'xx 'ss ≈⇒≈ 
 
 Dado um sistema s, pode-se obter um sistema equivalente s’ realizando sobre s uma ou 
mais das operações abaixo: 
 
 - Trocar a ordem de duas equações do sistema. 
 - Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula. 
 - Substituir uma equação pela combinação linear desta com outra equação do sistema. 
 
 s → compatível s’ → compatível 
 s → determinado s’ → determinado 
 s → indeterminado s’ → indeterminado 
 
 
3.7 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SELA’s 
 
 
 DIRETOS Eliminação Gaussiana Permitem a solução de um sistema a 
 Pivotação partir de um número finito de 
 operações aritméticas elementares. 
 
 ITERATIVOS Jacobi Partem de uma aproximação inicial 
 Gauss-Seidel utilizam sucessões infinitas de aproximações 
 Através da aplicação de um algoritmo. 
 
 
 
 
 
3.8 – ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 33
 
 Consiste em operar com transformações elementares sobre as equações do sistema, a fim 
de anular certos coeficientes, até que obtenha um sistema triangular superior equivalente. Em 
seguida, resolve-se o sistema triangular por substituições retroativas cuja solução também é 
solução do sistema dado. 
 
Exemplo 3.7: Resolver o sistema abaixo pelo método da eliminação de Gauss. Verifique o 
resultado. 
 





−=+−
=−+
=−+
=
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
s
321
321
321
 
 
1a etapa: escrever a matriz aumentada do sistema. 
 










−
−
−
−
=
1
3 
5 
1 
3
1
3
4 
3 
2
4
2
AoA 
 
2a etapa: Montar um sistema triangular equivalente, ou seja, eliminar todos os coeficientes 
abaixo da diagonal principal. 
 
OBS: É impossível realizar uma eliminação quando o pivô for nulo (trocar linhas de posição 
para evitar o pivô nulo) 
Multiplicador: o pivô é o termo 2ao11 = 
 
 2
2
4
a
aM
o
11
o
21o
21 −=−=−= 
 1
2
2
a
aM
o
11
o
31o
31 −=−=−= 
 
Faz-se as seguintes transformações elementares sobre as linhas de AA 
 
 
o
1
1
1 LL = 
 
o
1
o
2
o
1
o
21
o
2
1
2 L2LLMLL ×−=×+= 
 
o
1
o
3
o
1
o
31
o
3
1
3 L1LLMLL ×−=×+= 
 
O novo pivô é o termo 2a122 −= 
 
 3
2
6
a
aM 1
22
1
321
32 −=
−
−
−=−= 
 
 
1
1
2
1 LL = 
 
1
2
2
2 LL = 
 
1
2
1
3
1
2
1
32
1
3
2
3 L3LLMLL ×−=×+= 










−
−−
−
−
−=
6
7
5 
2 
1
1
6
2
3 
0
0
2
A1A 










−−
−
−=
15
7
5 
5 
1
1
0 
2
3 
0
0
2
A2A 
 34
 Como o 020522Adet ≠−=×−×= (produto dos coeficientes da diagonal principal), o 
sistema é possível e determinado 
 
s 
15x5 
7xx2 
5xx3x2
's
3
32
321
≈





=
−=−−
=−+
=
 
 
3x3 = 73x2 2 −=−− 5323x2 1 =−×+ 
 4x2 2 −=− 53x2 1 =+ 
 2x2 = 2x2 1 = 
 1x1 = 
 
 Logo, a solução do sistema será 










=
3
2
1
x
 
 Verificação: 
 





−=+×−×
=×−×+×
=−×+×
132312
3332414
532312
 � 





−=−
=
=
11
33
55
 � OK 
 
3.9 – MÉTODO DA PIVOTAÇÃO 
 
 Parte de x1 e em cada etapa seleciona-se como linha pivotal aquela cujo coeficiente da 
incógnita que se elimina tenha módulo máximo. 
 
 - Evita pivô nulo 
 - Minimiza erros de arredondamento 
 
Exemplo 3.8: resolver o sistema abaixo usando o método da Pivotação. Verificar o resultado. 
 





=++
=−+
=+−
=
6xx3x4
2xxx4
16x3xx
s
321
321
321
 
 










−
−
=
6
2
16
1 
1
3 
3 
1 
1
4
4
1
AoA 









 −
−=
6
16
2
1 
3 
1
3 
1
1 
4
1
4
AoA 
 
4
1
a
aM
o
11
o
21o
21 −=−= 14
4
a
aM
o
11
o
31o
31 −=−=−= 
 
 35
o
1
1
1 LL = 
o
1
o
2
o
1
o
21
o
2
1
2 L4
1LLMLL ×−=×+= 
o
1
o
3
o
1
o
31
o
3
1
3 L1LLMLL ×−=×+= 
 
 












−
−
=
4
31
4
2
4
13
2 
1
4
5
2 
1 
0
0
4
A1A 
 
8
5
2
1
4
5
a
aM 1
22
1
321
32 =×=−= 
 
1
1L2L = 
1
2
2
2 LL = 
1
2
1
3
1
2
1
32
1
3
2
3 L8
5LLMLL ×+=×+= 
 
 
 Logo a solução deste sistema equivalente, que é a mesma solução do sistema original é: 
 










−=
4 
2
2 
x
 
 Verificação: 
 





=+−×+×
=−−×
=×+−−
64)2(324
24224
1643)2(2
 � 





=
=
=
66
22
1616
 � OK 
 
3.10 – MÉTODO DE JACOBI 
 
 Os métodos iterativos consistem de algoritmos que a partir de um vetor aproximação inicial 
xo produzem uma série de aproximações (x1, x2, ....., xn) da solução exata do sistema. 
 
 Para garantir a convergência do método de Jacobi, a matriz deve ser estritamente 
diagonalmente dominante, ou seja, 
 
n1,2,...,i ,aa
n
ij
1j
ijii =>∑
≠
=
 
 












−
=
18
4 
2 
2
9
 
2 
1
0
2
1
0
0
4
A2A 
 
 36
Exemplo 3.9: Resolver o sistema abaixo, pelo método de Jacobi, com 110−≤ε ou 5k > (k é o 
número de iterações) e 





=
0
0
x
o
. Verificar o resultado. 
 



=+
=−
=
3x2x
1xx2
s
21
21
 




 −
=
2 1
12
A => 514Adet =+= (única solução) 
 
 Gerar as equações iterativas explicitando x1 na 1a equação, x2 na 2a equação e assim por 
diante. 
 







−
=
+
=
+
+
2
x3
x
2
x1
x
k
11k
2
k
21k
1
 p/ k = 0, 1, 2, .... 
 
Para k = 0, tem-se: 
 





=
−
=
=
+
=
5,1
2
03
x
5,0
2
01
x
1
2
1
1
 � 





=
5,1
5,0
x
1
 
 
Para k = 1, tem-se: 
 






=
−
=
=
+
=
25,1
2
5,03
x
25,1
2
5,11
x
2
2
2
1
 � 





=
25,1
25,1
x
2
 
 
Para, k = 2 tem-se: 
 






=
−
=
=
+
=
88,0
2
25,13
x
13,1
2
25,11
x
3
2
3
1
 � 





=
88,0
13,1
x
3
 
 
k k
1x 
k
2x 
k
1
1k
1 xx −≥ε
+
 
k
2
1k
2 xx −≥ε
+
 
0 0,00 0,00 --- --- 
1 0,50 1,50 0,50 1,50 
 2 1,25 1,25 0,75 0,25 
3 1,13 0,88 0,12 0,37 
4 0,94 0,94 0,19 0,06 
5 0,97 1,03 0,03 0,09 
 
A solução será: 





=
03,1
97,0
x 
 
110−≤ 
 37
 Verificação: 
 



=×+
=−×
303,1297,0
103,197,02
 � 



≅
≅
303,3
191,0
 � OK 
 
3.11 – MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 - Possui convergência mais rápida. O método de converge se a matriz for estritamente 
diagonalmente dominante. 
 - Para calcular kix , utiliza-se todos os valores que já foram calculados na iteração atual, 
mais os valores calculados na iteração anterior. 
 - Critério de parada é o mesmo do método de Jacobi => ki
1k
i xx −≥ε
+
 
 
Exemplo 3.10: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel. Verificar o resultado. 
 



=+
=−
=
3x2x
1xx2
s
21
21
, com 





=
0
0
x
o
 e 110−≤ε 
 
 As equações iterativas são: 
 







−
=
+
=
+
+
+
2
x3
x
2
x1
x
1k
11k
2
k
21k
1
 p/ k = 0, 1, 2, .... 
 
1a iteração: 






=
−
=
=
+
=
25,1
2
5,03
x
5,0
2
01
x
1
2
1
1
 
 
 
 
A solução será: 





=
00,1
01,1
x 
 Verificação: 
 



=×+
=−×
300,1201,1
100,101,12
 � 



≅
≅
301,3
102,1
 � OK 
k k
1x 
k
2x 
k
1
1k
1 xx −≥ε
+
 
k
2
1k
2 xx −≥ε
+
 
0 0,00 0,00 --- --- 
1 0,50 1,25 0,50 1,25 
 2 1,13 0,94 0,63 0,31 
3 0,97 1,02 0,16 0,08 
4 1,01 1,00 0,04 0,02 110−≤
 
 38
EXERCÍCIOS 
 
1) Classificar os sistemas abaixo e resolvê-los por substituições retroativas ou progressivas: 
 
a)







=+−+
=+−
=+
=
2xxx4x2
0x2xx
2x3x
4x2
4321
321
21
1
 b)







=
=−
−=−
−=+−+
2x2
3x5x4
1x2x
10xx5x4x3
4
43
43
4321
 
 
2) Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo: 
 
a)







=+++
=++
−=+
=
3xxxx
3xxx
1xx
1x
4321
321
21
1
 b)








=+−+−
−=++
=++
−=+
=
3xxxxx
1xxx
0x3xx2
1xx
1x
54321
321
321
21
1
 
 
3) Determinar o vetor solução do sistema linear através do método de eliminação de Gauss: 
 
a) 







=+++
=+++
=+++
=+++
72,20xx2x6x4
90,14x2xx5x2
02,12x6x5xx
12,7x4x2xx
4321
4321
4321
4321
 
 
4) Resolver pelo método da Pivotação os sistemas: 
 
 a)





−=−−
=−−
=++
1xxx
0xxx2
4x2xx
321
321
321
 b) 







=+++
=+++
=+++
=+++
5xx2x3x4
6x2xx2x3
7x3x2xx2
10x4x3x2x
4321
4321
4321
4321
 
 
5) Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi, com 
no máximo 10 iterações: 
 
a ) Com [ ]x T( )0 0 0 0 0= e E ≤ −10 2 
 
 







=+−
=−+−
=−+−
=−−
25,0xx25,0
25,0x25,0xx25,0
0x25,0xx25,0
0x25,0x25,0x
42
431
421
321
 
 
 
 39
b) Com [ ]x T( )0 1 3 1 3= e E ≤ −10 2 
 
 







=+−+−
−=+−
=+−+
=−+−
33x10x3x2x2
7x2x7x3
26x4x3x9x
5xx2xx5
4321
432
4321
4321
 
 
6) Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel, 
com no máximo 10 iterações: 
 
a) Com [ ]x T( )0 0 0 0 0= e E ≤ −10 2 
 
 







=+−
=−+−
=−+−
=−−
25,0xx25,0
25.0x25,0xx25,0
0x25,0xx25,0
0x25,0x25,0x
42
431
421
321
 
 
b) Com [ ]x T( )0 0 0 0 0 0= e E ≤ −10 2 
 
 








=−+−−
=+−−+−
=+−
=−+−−
=+−+
7x7xxxx2
4x2x10x3x2x
13x7x4x2
5x3xx2x8
2x3xx4x10
54321
54321
321
5432
4321
 
 
 40
CAPÍTULO 4 
INTERPOLAÇÃO 
 
4.1 – INTRODUÇÃO 
 
 Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito de pontos de um intervalo 
[ ]b,a e não se dispõe de sua forma analítica. 
 
xi oxa = x1 x2 x3 ...... xn 
( )ixf ( )oxf ( )1xf ( )2xf ( )3xf ...... 
 
 A interpolação consiste em, a partir desses dados tabelados, aproximar f(x) para qualquer 
[ ]b,ax ∈ por meio de outra função g(x) que satisfaça a condição: 
 
)x(g)x(f ii = para todo n,...,3,2,1,0i = 
 
 As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como: 
exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial. Estudaremos as funções polinomiais. 
 
 Por exemplo, para 3n = , indicamos graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A necessidade de se obter a função interpoladora g(x) surge pelas situações: 
 
1) Quando a expressão analítica de f(x) é muito complicada e exige muito esforço no seu 
manuseio (ex: operações de integração e diferenciação); 
 
2) Quando realmente só se conhecem os valores de f(x) para o conjunto de n pontos e é 
necessário calcular o valor aproximado desta função em qualquer outro ponto ixx ≠ 
com [ ]b,ax ∈ (ex: tabela de pontos obtida a partir de resultados experimentais). 
 
 Seja a função )x(fy = . Deseja-se determinar )x(f onde, 
 
a) [ ]3o x,xx ∈ e ixx ≠ para 3,2,1,0i = 
Devemos fazer uma interpolação, ou seja, determinar um polinômio interpolador que é 
uma aproximação da função tabelada. 
 
b) [ ]3o x,xx ∉ 
 
Devemos realizar uma extrapolação, ou seja, a função interpoladora não garante boa 
aproximação. 
 
( )nxf
x 
f(x) 
g(x) 
 
 
 
 
 41
4.2 – INTERPOLAÇÃO LINEAR 
 
 Dados dois pontos distintos de uma função )x(fy = : ( )oo y,x e ( )11 y,x . Deseja-se calcular 
o valor de y para um determinado valor de x entre ox e 1x . 
 O grau do polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos 
conhecidos. Neste caso, o polinômio interpolador tem grau 1 (dados 2 pontos). 
 
xaa)x(p 1o1 += 
 
onde ao e a1 devem ser calculados de forma que se tenha: 
 
ooo1 y)x(f)x(p == 
1111 y)x(f)x(p == 
 



=+
=+
111o
oo1o
yxaa
yxaa
 � ao e a1 são incógnitas 
 






=
1
o
x1
x1
A
 � matriz dos coeficientes 
 
 O 0Adet ≠ , pois 1o xx ≠ (pontos distintos) � solução única 
 
Exemplo 4.1: Seja a função )x(fy = definida pelos pontos ( )35,1 ;0 e ( )94,2 ;1 , determine 
aproximadamente o valor de ( )73,0f . 
 
35,10.aa)x(p 1oo1 =+= � 35,1ao = 
94,21.aa)x(p 1o12 =+= � 94,2a35,1 1 =+ � 59,1a1 = 
 
Logo, x59,135,1)x(p1 += 
 
Então, 51,2)73,0(p1 = 
 
4.3 – INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA 
 
 Se, de uma função são conhecidos 3 pontos distintos, o polinômio interpolador será: 
 
2
21o2 xaxaa)x(P ++= 
 







=++
=++
=++
2
2
2221o
1
2
1211o
o
2
o2o1o
yxaxaa
yxaxaa
yxaxaa
 � 












=
2
22
2
11
2
oo
xx1
xx1
xx1
A � 0DetA ≠ (pontos distintos)42
Exemplo 4.2: Determine o polinômio que interpola os pontos da tabela dada a seguir. Calcule 
)5,0(f . Verifique o resultado. 
 
xi -2 0 2 
f(xi) 18 4 6 
 
 Expressão do polinômio interpolador: 221o2 xaxaa)x(P ++= 
 
18)2(a)2(aa)x(P 221oo2 =−+−+= 
4)0(a)0(aa)x(P 221o12 =++= 
6)2(a)2(aa)x(P 221o22 =++= 
 





=++
=
=+−
6a4a2a
4a
18a4a2a
21o
o
21o
 � 



=++
=+−
6a4a24
18a4a24
21
21
 � 
16a8
2a4a2
14a4a2
2
21
21
=



=++
=+−
 
 
 
224a2 1 =×+ � 2
82
a1
−
= � 
 
 Logo, 22 x2x34)x(P +−= 
 Então, 3)5,0(P2 = 
 
 Verificação: 
 
Para 1818 18)2(2)2(34)2(P 2x 22 =→=−×+−×−=−→−= 
Para 44 4)0(2)0(34)0(P 0x 22 =→=×+×−=→= � OK 
Para 66 6)2(2)2(34)2(P 2x 22 =→=×+×−=→= 
 
 
4.4 – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
 As interpolações lineares e quadráticas são casos particulares da interpolação polinomial. 
Sendo dados 1n + pontos distintos, será determinado o polinômio interpolador de grau menor 
ou igual a n. 
 
n
n
2
21on xa.....xaxaa)x(p ++++= ou ∑
=
=
n
0i
i
in xa)x(p 
 
 
 
 
 
2a2 = 
3a1 −= 
 43
Logo, 







=++++
=++++
=++++
=
n
n
nn
2
n2n1o
1
n
1n
2
1211o
o
n
on
2
o2o1o
yxa.....xaxaa
yxa.....xaxaa
yxa.....xaxaa
s
M
 
 
onde, ao, a1, a2, ......, an são as incógnitas. Resolvendo o sistema, tem-se o polinômio pn(x). 
 
 
4.5 – ERRO DE TRUNCAMENTO PARA A INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
( ) ( ) ( ) )!1n(
)x(f
 xx ..... xx xx)x(E
)1n(
n1oT +
−−−=
+
 
ou 
 
)x(p)x(f)x(E nT −= 
 
 Na interpolação linear, xaa)x(p 1o += , aproxima a função f(x) para uma reta que passa 
pelos pontos )y,x( oo e )y,x( 11 , como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O erro de truncamento no ponto x depende de sua localização. Se x coincidir com ox ou 
1x o erro é nulo, pois, 
 
( ) ( ) ( ) )!1n(
)x(f
 xx ..... xx xx)x(E
)1n(
n1ooT +
−−−=
+
 
 
Exemplo 4.3: Seja a função )x(sen)x(f = , calcule )2/(p1 pi e )2/(Et pi pelas duas fórmulas. 
 
Dados: x07,077,0)x(p1 += 
 88,0)2/(p1 =pi 
 
 
1) )x(p)x(fEt 1−= � 12,088,01)2/(p)2/(fEt 1 =−=pi−pi= 
 
 
 
 
 
 
Et 
p(x) 
f(x) 
0 
xi yi 
1 0,84 
2 0,91 
 
 44
2) ( )( )
!2
)x(''f
 xx xx)x(Et 1o −−= 
 






−−=
pi−






−
pi






−
pi
=




 pi
2
1).43,0).(57,0(
2
))2/(sen(2
2
1
22
Et � 12,0)x(Et = 
 
 
4.6 – INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 
 
 Com o intuito de evitar resolução do sistema de equações lineares durante a determinação 
do polinômio interpolador, pode-se representar pn(x) da seguinte maneira: 
 
)x(L y.......)x(L y)x(L y)x(p nn11oon +++= 
ou 
∑
=
=
n
0i
iin )x(L y)x(p 
 
Onde, Li(x) é um polinômio qualquer de grau menor ou igual a n com 1n + pontos distintos 
conhecidos (alguns coeficientes podem se anular). 
 
)xx)......(xx).(xx)......(xx).(xx).(xx(
)xx)......(xx).(xx)......(xx).(xx).(xx()x(L
ni1ii1ii2i1ioi
n1i1i21o
i
−−−−−−
−−−−−−
=
+−
+−
 
ou 
∏
∏
≠=
≠=
−
−
=
n
ij,0j
ji
n
ij,0j
j
i
)xx(
)xx(
)x(L
 
 
logo 
 
 
 
 
 
 
∏∑
≠
==
−
−
=
n
ij
0j ji
jn
0i
in )xx(
)xx(
 y)x(p 
 45
Exemplo 4.4: Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos 
pontos tabelados abaixo e calcule )5,1(p . Verificar o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
)xx).(xx).(xx(
)xx).(xx).(xx(
 y)xx).(xx).(xx(
)xx).(xx).(xx(
 y 
)xx).(xx).(xx(
)xx).(xx).(xx(
 y)xx).(xx).(xx(
)xx).(xx).(xx(
 y)x(p
2313o3
21o
3
3212o2
31o
2
3121o1
32o
1
3o2o1o
321
o3
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
 
 
)1( )2( )3(
)2x).(1x).(0x(
 60)2( )1( )1(
)3x).(2x).(0x(
 2)3( )2( )1(
)3x).(2x).(1x(
 4)x(p3
−−−
−+
−−
−−−
+
−−−
−−−
= 
 
)2x3x(x)6x5x(x)3x)(2x3x(
6
4)x(p 2223 +−−+−+−+−−= 
 
x2x3xx6x5x)6x2x9x3x3x(
6
4)x(p 23232233 −+−+−+−++−−−= 
 
x4x2)6x11x6x(
3
2)x(p 2233 +−−+−−= 
 
x4x24x
3
22
x4x
3
2)x(p 2233 +−+−+−= 
 
 
 
 
 
25,1)5,1(p3 = 
 
 Verificação: 
 
44 440
3
10020
3
2)0(p 233 =→=+×−×+×−= 
22 241
3
10121
3
2)1(p 233 =→=+×−×+×−= � OK 
00 042
3
10222
3
2)2(p 233 =→=+×−×+×−= 
66 643
3
10323
3
2)3(p 233 −=−→−=+×−×+×−= 
xi yi 
0 4 
1 2 
2 0 
3 -
6 
∏∑
≠
==
−
−
=
3
ij
0j ji
j3
0i
i3 )xx(
)xx(
 y)x(p 
4x
3
10
x2x
3
2)x(p 233 +−+−= 
 46
4.7 - INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS (FÓRMULA DE NEWTON) 
 
 O polinômio )x(pn de grau menor ou igual a n que interpola f(x) em 1n + pontos distintos 
pode ser obtido através da expressão: 
 
)xx).....(xx)(xx(d.......)xx)(xx(d)xx(dd)x(p 1n1on1o2o1on −−−−++−−+−+= 
 
 Os coeficientes dk, com n,....,2,1,0k = são as diferenças divididas. 
 
 Tem-se que: 
 
]x[fd oo = 
 
]x,x[fd 1o1 = 
 M 
 
]x,x,......,x,x,x[fd n1n21on −= 
 







==
==
==
⇒
nnn
111
ooo
y)x(f]f[x
y)x(f]f[x
y)x(f]f[x
 0 ORDEM
M
 
 











−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇒
−
−
1nn
1nn
n1-n
12
12
21
o1
o1
1o
xx
)x(f)x(f]x,f[x
xx
)x(f)x(f]x,f[x
xx
)x(f)x(f]x,f[x
 1 ORDEM
M
 
 











−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇒
−
−−−
2nn
1n2nn1n
n1-n2-n
13
2132
321
o2
1o21
21o
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,f[x
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,f[x
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,f[x
 2 ORDEM
M
 
 
on
1n1on21
n1n1o
xx
]x,....,x,x[f]x,...,x,x[f]x,x,.....,x,f[x :N ORDEM
−
−
=
−
−
 
 
 
 
 
 
 47
Assim, 
x ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 ORDEM 3 
ox )x(f o [ ]
o1
o1
1o
xx
)x(f)x(f
x,xf
−
−
= [ ]
o2
1o21
21o
xx
]x,x[f]x,x[f
x,x,xf
−
−
= 
[ ]
o3
21o321
321o
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f
x,x,x,xf
−
−
=
 
1x )x(f 1 [ ]
12
12
21
xx
)x(f)x(f
x,xf
−
−
= 
[ ]
13
2132
321
xx
]x,x[f]x,x[f
x,x,xf
−
−
= 
2x )x(f 2 
[ ]
23
23
32
xx
)x(f)x(f
x,xf
−
−
= 
3x )x(f 3 
 
Exemplo 4.5: Construir a tabela das diferenças divididas e obter, pela fórmula de Newton, o 
polinômio interpolador dos pontos dados na tabela abaixo. Verifique o polinômio encontrado. 
 
xi -2 0 2 
f(xi) 18 4 6 
 
 Na tabela tem-se 31n =+ pontos conhecidos, logo 2n = . O polinômio interpolador de 
f(x), pela fórmula de Newton será dado por: 
 
)xx)(xx(d)xx(dd)x(p 1o2o1o2 −−+−+= 
 
)0x)(2x(d)2x(dd)x(p 21o2 −++++= 
 
)x2x(d)2x(dd)x(p 221o2 ++++= 
 
 Quando se tem 1n + pontos conhecidos, pode-se calcular n diferenças divididas de 1ª 
ordem, 1n − de 2ª ordem e assim sucessivamente, até uma diferença dividida de ordem n. 
 
31n =+ 2 dd de 1ª ordem 
2n = 1 dd de 2ª ordem 
 
x ORDEM 0 ORDEM 1 ORDEM 2 
2xo −= 18)2(fdo =−= [ ] 7
2
184
x,xfd 1o1 −=
−
== 
[ ]21o2 x,x,xfd = 
2
4
8
22
)7(1d2 ==
+
−−
= 
0x1 = 4)0(f = 
2x2 = 6)2(f = [ ] 1
2
46
x,xf 21 =
−
= 
 
 O polinômio será: x4x214x718)x2x(2)2x(718)x(p 222 ++−−=+++−= 
 
 
 
Verificação: 
1818 184)2(3)2(2)2(p 22 =→=+−−−=− 
44 44)0(3)0(2)0(p 22 =→=+−= � OK 
6664)2(3)2(2)2(p 22 =→=+−= 
4x3x2)x(p 22 +−= 
 48
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975 usando os valores 
dados pela tabela abaixo para os anos de 1970 e 1980. 
 
Número de habitantes de Belo Horizonte nos censos de 1950, 1960, 1970 e 1980: 
 
ANO 1950 1960 1970 1980 
Habitantes 352.724 683.908 1.235.030 1.814.990 
 
2) Dada a tabela abaixo: 
 
xi 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 
f(xi) 0,00 0,33 0,56 0,74 0,78 
 
 a) Determine uma função quadrática interpoladora e ache f(pi/5). 
 b) Determine f(11pi/18). 
 
3) Utilizando os valores da função 1x3x)x(f 2 +−= , dados na tabela abaixo: 
 
xi 0,5 1,0 1,5 
f(xi) 25,0− 1− 25,1− 
 
a) Determinar f(1,2) usando interpolação linear e calcular o erro de truncamento. 
b) Determinar f(1,2) usando interpolação quadrática e calcular o erro de truncamento. 
 
4) Calcular um valor aproximado de 25,0e usando os valores abaixo e calcular o erro de 
truncamento. 
 
x 0,1 0,2 0,3 0,4 
xe 1,105 1,221 1,350 1,492 
 
 a) usando interpolação linear. 
 b) usando interpolação quadrática 
 
5) Obtenha o polinômio interpolador da função dada pela tabela. 
 
xi 0 1 2 3 
yi 4 2 0 -6 
 
6) Determine o polinômio interpolador de Lagrange de acordo com a tabela. 
 
xi 1 2 3 
f(xi) 1 2 3 
 
7) Determine o polinômio interpolador de Lagrange de acordo com a tabela. 
 
xi -2 0 2 
f(xi) 18 4 6 
 49
8) Construa a tabela de diferenças divididas e obtenha o polinômio interpolador da função dada na 
tabela. 
 
xi 0 1 2 3 
f(xi) 4 2 0 -6 
 
9) Calcule pelo método de Newton o valor interpolado de f(1,26), usando um polinômio de grau 2 e a 
tabela abaixo. 
 
xi 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 
f(xi) 4,0 3,0 4,5 3,5 5,0 
 
10) Ajuste os pontos da tabela abaixo a uma parábola. 
 
xk -2 -1 0 1 2 3 
yk -3 -2 0 4 8 11 
 50
CAPÍTULO 5 
AJUSTE DE CURVA 
 
5.1 – INTRODUÇÃO 
 
 O Ajuste de curva consiste no traçado de uma curva )x(c mais próxima quanto possível do 
sistema de pontos )y,x( ii com n,...,3,2,1i = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A obtenção de uma função )x(c , que seja uma “boa aproximação” para os valores tabelados 
e que permita extrapolar com certa margem de segurança, é conhecida como função de ajuste. 
 
 Interpolação: a função interpoladora tem que coincidir com os pontos tabelados. 
 
 Ajuste: não é necessário que os pontos tabelados coincidam com a função ajuste, mas que 
a diferença entre o valor de ajuste e o tabelado seja pequena. 
 
5.2 – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - MMQ 
 
 Defini-se como resíduo do ajuste para cada ponto: 
 
)x(f)x(cR kkk −= n,1,2,3,....k /p = 
 
 O MMQ determina que a função que melhor se ajusta aos m pontos dados é aquela para a 
qual a soma dos quadrados dos resíduos seja mínima: 
 
[ ] 0 )x(f)x(cR m
1k
2
kk →−= ∑
=
 
 
5.3 – AJUSTE A UM POLINÔMIO DE GRAU N 
 
 Para ajustar f(x) por um polinômio de grau 1n ≥ , a função de ajuste deverá ter a seguinte 
expressão: 
 
n
n
2
21o xa....xaxaa)x(f ++++= 
 
 Os coeficientes n21o a ,....,a ,a ,a podem ser obtidos a partir da resolução do seguinte 
sistema: 
 
c(x) 
y 
x 
x1 x2 x3 xn 
y1 
y2 
y3 
yn 
 51
















=
































∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
++
+
+
k
n
k
k
2
k
kk
k
n
2
1
o
n2
k
2n
k
1n
k
n
k
2n
k
4
k
3
k
2
k
1n
k
3
k
2
kk
n
k
2
kk
y.x
y.x
y.x
y
 
a
a
a
a
 . 
xxxx
xxxx
xxxx
xxxm
MM
L
MMMM
L
L
L
 
 
 Onde m é o número de pontos da tabela dada. 
 
5.3.1 – Ajuste Linear 
 
Exemplo 5.1: A tabela abaixo mostra o desempenho de um torno de parafusos em função de 
sua idade. Faça a projeção anual de 5 até 8 anos. 
 
t (anos) 1 2 3 4 
p (parafusos/dia) 240 200 180 150 
 
 Fazendo um diagrama com os pontos dados, verifica-se que uma reta é um bom ajuste para 
a função tabelada. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para determinar a função xaa)x(f 1ok += , devemos montar o sistema a partir da equação 
matricial: 
 
















=
































∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
++
+
+
k
n
k
k
2
k
kk
k
n
2
1
o
n2
k
2n
k
1n
k
n
k
2n
k
4
k
3
k
2
k
1n
k
3
k
2
kk
n
k
2
kk
y.x
y.x
y.x
y
 
a
a
a
a
 . 
xxxx
xxxx
xxxx
xxxm
MM
L
MMMM
L
L
L
 
 
Construir a tabela: 
 
k kx 2kx ky kk y.x 
1 1 1 240 240 
2 2 4 200 400 
3 3 9 180 540 
4 4 16 150 600 
∑ 10 30 770 1780 
y 
x 
1
 
2
 
3
 
4
 
50
 
100
 
150
 
200
 
250
 
xaa)x(f 1ok += 
 52
Resolver o sistema: 
 






=











∑
∑
∑∑
∑
kk
k
1
o
2
kk
k
y.x
y
a
a
 . 
xx
xm
 � 





=











1780
770
a
a
 . 
3010
104
1
o
 
 



=+
=+
1780a30a10
770a10a4
1o
1o
 
 
1o a3178a −= 
770a10)a3178(4 11 =+− � 770a10a12712 11 =+− � 58a2 1 =− 
 
29a1 −= 
)29(3178ao −−= � 265ao = 
 
 Projetar a produção: 
 
t (anos) 5 6 7 8 
p (parafusos/dia) 120 91 62 33 
 
 
5.3.2 – Ajuste Para Casos Não Lineares 
 
 Em alguns casos, a função escolhida para ajuste pode não ser a polinomial. Para se aplicar 
o método dos mínimos quadrados é necessário efetuar uma linearização através de algumas 
transformações convenientes (substituição de uma ou mais variáveis por funções destas 
variáveis). 
 
Exemplo 5.2: Ajuste Exponencial 
 
 
bxe.ay = sendo 0y > 
 
 
bxelnalnyln += � bxalnyln += 
 
 
Fazendo: ylnz = , alnao = , ba1 = e xt = 
 
Tem-se a função linearizada: taaz 1o += 
 
 
Ajustar uma curva para os pontos da tabela 
 
xk -1 0,1 1,5 3,3 4,5 
yk 3,8 5,9 8,8 12 19,8 
 
 
 
-1 1 2 3 4 5 x 
y 
5 
10 
15 
20 
 53
 O gráfico sugere um ajuste exponencial bx* e.ay)x(f == . 
 Linearizando o modelo tem-se: 
 
bxalnyln += � taaz 1o += 
 
t = xk -1 0,1 1,5 3,3 4,5 
kylnz = 1,34 1,77 2,17 2,48 2,99 
 
 Para obter ao e a1, tem-se: 
 
 





=











∑
∑
∑∑
∑
kk
k
1
o
2
kk
k
y.x
y
a
a
 . 
xx
xm
 � 





=











∑
∑
∑∑
∑
kk
k
1
o
2
kk
k
z.t
z
a
a
 . 
tt
tm
 
 
k tk 2kt zk kk z.t 
1 -1 1 1,34 -1,34 
2 0,1 0,01 1,77 0,18 
3 1,5 2,25 2,17 3,26 
4 3,3 10,89 2,48 8,18 
5 4,5 20,25 2,99 13,46 
∑ 8,4 34,40 10,75 23,74 
 






=





×





74,23
75,10
a
a
40,344,8
4,85
1
o
 
 



=+
=+
74,23a40,34a4,8
75,10a4,8a5
1o
1o
 � 



=
=
28,0a
68,1a
1
o
 
 
 Levando estes valores nas expressões deduzidas para o caso linear tem-se: 
 
37,5a ea 68,1alna 68,1o =→=→== 
28,0ba1 == 
 
Logo, 0,28x* e 37,5)x(f = 
 
Exemplo 5.3: bxc.ay = sendo 0y > , 0c > e 1c ≠ 
Obs: c é uma constante qualquer 
 
 )c.a(logylog bxcc = � bxccc clogalogylog += 
 
 
bxalogylog cc+= � 







=
=
=
=
xt
ba
aloga
ylogz
1
co
c
 
 Função linearizada: taaz 1o += 
 54
Exemplo 5.4: xb.ay = sendo 0y > 
 
 )b.aln(yln x= � xblnalnyln += 
 
 bln.xalnyln += � 







=
=
=
=
xt
blna
alna
ylnz
1
o
 
 
 Função linearizada: taaz 1o += 
 
Exemplo 5.5: bx.ay = sendo 0y > e 0x > 
 
 )x.aln(yln b= � bxlnalnyln += 
 
 xln.balnyln += � 







=
=
=
=
xlnt
ba
alna
ylnz
1
o
 
 
 Função linearizada: taaz 1o += 
 
Exemplo 5.6: 
bxa
1y
+
= 
 
bxa
y
1
+= � 








=
=
=
=
xt
ba
aa
y
1
z
1
o 
 
 Função linearizada: taaz 1o += 
 
Exemplo 5.7: xcos.bay += 
 
xcos.bay += � 







=
=
=
=
xcost
ba
aa
yz
1
o
 
 
 Função linearizada: taaz 1o += 
 55
EXERCÍCIOS 
 
1) Ajuste os dados da tabela ao modelo bx10.ay = . 
 
xk -1 0.1 1.5 3.3 4.5 
yk 3.8 5.9 8.8 12 19.8 
 
2) O número de bactérias (Y) por unidade de volume em cultura após (X) horas é apresentado 
na tabela a seguir. 
 
xi 2 3.5 6 8 
yi 8.4 13 19 24 
 
Ajuste os dados à curva bx.ay = e determine a quantidade de bactérias para x=10 horas. 
 
3) Para a tabela abaixo, ajuste pelo método dos mínimos quadrados uma fórmula do tipo 
kxe.ay = . 
 
xk 1 2 3 4 5 
yk 7 11 17 27 41 
 
4) Para os dados da tabela abaixo, ajustar pelo método dos mínimos quadrados uma fórmula do 
tipo bx.ay = . 
 
xi 2 3 3.5 4 
yi 65 60 55 50 
 
5) Ache a curva trigonométrica do tipo )xcos(bay += pelo métodos dos mínimos quadrados 
para a tabela abaixo. 
 
xk 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 1.3 
yk 2.31 2.29 2.24 2.17 2.10 1.95 
 
 
 
 
 
 56
CAPÍTULO 6 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
6.1 – INTRODUÇÃO 
 
 Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é conhecida, então 
a integral definida desta função neste intervalo é dada por: 
 
 ∫ −=
b
a
F(a)F(b) dx )x(f , onde )x(f)x('F = 
 
 Por exemplo: 
 
 ∫ =
3
0
2 9 dx x , pois, 
3
x)x(F
3
=
 é uma função cuja derivada é 2x)x(f = 
 
 Assim, ∫ =−==
3
0
33
2 9 
3
0
3
3F(0)-F(3) dx x 
 
 Em alguns casos o valor dessa primitiva F(x) não é conhecido ou é de difícil obtenção e, 
em situações práticas, nem sempre se tem a função a ser integrada definida por uma fórmula 
analítica (mas definida por tabela de pontos). Assim é necessária a utilização de métodos 
numéricos para calcular o valor da integral definida f(x). 
 
 A ideia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que 
a aproxime razoavelmente no intervalo [a,b]. Assim o problema fica resolvido pela integração 
de polinômios, o que é trivial de fazer. 
 
 A seguir estudaremos duas fórmulas numéricas de integração: Regra dos Trapézios e Regra 
de Simpson. 
 
6.2 – REGRA DOS TRAPÉZIOS 
 
 Consiste em substituir a função integrando f(x) por um polinômio interpolador de grau 1 
que a interpole nos extremos do intervalo de integração [a,b]. 
 
6.2.1 – Interpretação Geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 57
 
 [ ] )yy(
2
h)x(f)x(f
2
hdx )x(PI 1o
xb
xa
1o1T
1
o
+=+== ∫
=
=
 � área do trapézio da geometria 
 
 A integral do polinômio interpolador é a área do trapézio de altura o1 xxh −= e bases f(xo) 
e f(x1). 
 
6.2.2 – Erro de Truncamento 
 
 A diferença entre a integral exata de f(x) e a integral aproximada (trapézio) é o erro de 
integração: 
 
 
)c("f
12
hE
3
T −= , bca ≤≤ 
 
OBS: 
 
a) )c("f deve ser o maior valor de )x("f , no intervalo [a,b]. 
b) Se 0)c("f > o erro na integração é por excesso e se 0)c("f < o erro na integração é por 
falta. 
 
6.2.3 – A Integral pela Regra dos Trapézios 
 
 A integral resultante da Regra dos Trapézios será dada pela expressão: 
 
[ ] )c("f
12
h)x(f)x(f
2
hEII
3
1oTT −+=+= 
 
Exemplo 6.1: Calcular, pela Regra dos trapézios o valor de ∫=
6,3
0,3 x
dxI 
1o) cálculo de IT: 
 
x
1)x(f = 
 
6,00,36,3xxh o1 =−=−= 
 
[ ] 18333,0]2778,03333,0[
2
6,0)x(f)x(f
2
hI 1oT =+=+= 
 
2o) cálculo de ET: 
 
1x)x(f −= � 2x)x('f −−= � 3x2)x(''f −= 
 
xi f(xi) 
3,0 
3,6 
0,3333 
0,2778 
 
xi f’’(xi) 
3,0 
3,6 
0,074 
0,043 
 
 58
3
3
3
33
T 10333,127
2
.
12
6,0
x
2
.
12
h)c("f
12
hE −×−=−=−=−= 
3o) cálculo de I: 
 
1820,010333,11833,0EII 3TT =×−=+=
−
 
 
 Pelo cálculo integral (analiticamente): 
 
18232,0)0,3ln()6,3ln(
x
dxI
6,3
0,3
=−== ∫ 
 
 
6.3 – REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA OU FÓRMULA COMPOSTA DOS 
TRAPÉZIOS 
 
 Podemos constatar que quanto maior for o intervalo de integração, maior será o erro 
cometido pela Regra dos Trapézios. Uma forma de se melhorar o resultado obtido (minimizar 
o erro) é subdividir o intervalo [a,b] em n intervalos de amplitude h (partes iguais) e a cada 
subintervalo aplica-se a Regra dos Trapézios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Somando a área dos n trapézios temos: 
 
 [ ])x(f)x(f2...)x(f2)x(f2)x(f
2
hI n1n21oTR +++++= − 
 
 O erro total cometido é a soma dos erros cometidos na aplicação da Regra dos trapézios a 
cada subintervalo. 
 
 n21TR E...EEE +++= 
 
 )c("f
n.12
)ab()c(''f
12
h
nE 2
33
TR
−
−=−= 
 
 Assim: TRTR EII += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
OBS: Quanto maior o número de subintervalos, menor será o erro. 
 
Exemplo 6.2: Calcular a integral abaixo utilizando a Regra dos Trapézios dividindo o intervalo 
[a,b] em 6 subintervalos. 
 
 ∫=
6,3
0,3 x
dxI � 1,0
6
0,36,3
n
abh =−=−= 
 
1o) cálculo de ITR: 
 
x
1)x(f = � 2x
1)x('f −= � 3x
12)x(''f = 
 
[ ])x(f)x(f2)x(f2)x(f2)x(f2)x(f2)x(f
2
hI 654321oTR ++++++= 
 
18235,0]2778,02857,0.22941,0.23030,0.23125,0.23226,0.23333,0[
2
0,1ITR =++++++= 
 
2o) cálculo de ETR: 
 
5
33
TR 10704,327
2
12
1,06)c(''f
12
h
nE −×−=×−=−=
 ou 
 
5
2
3
2
3
TR 10704,327
2
612
)0,36,3()c("f
n.12
)ab(E −×−=×
×
−
−=
−
−= 
 
3o) cálculo de I: 
 
182313,010704,318235,0EII 5TRTR =×−=+= − 
 
OBS: A precisão deste resultado é superior ao do método anterior. 
 
6.4 – REGRA DE SIMPSON 
 
 Consiste em substituir a função integrando f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 
(parábola), que a interpole em 3 pontos igualmente espaçados xo, x1 e x2, onde, axo = , 
hax1 += e bh2ax2 =+= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi f(xi) 
3,0 
3,1 
3,2 
3,3 
3,4 
3,5 
3,6 
0,3333 
0,3226 
0,3125 
0,3030 
0,2941 
0,2857 
0,2778 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60
 
 
[ ])x(f)x(f4)x(f
3
hI 21os ++= e )c(''''f90
hE
5
s −= 
 
ss EII += 
 
Exemplo 6.3: Calcular pela Regra de Simpson o valor de ∫=
6,3
0,3 x
dxI . 
 
3,0
2
abh =−= 
 
 
[ ] [ ] 18232323,02778,03030,043333,0
3
3,0)x(f)x(f4)x(f
3
hI 21oS =+×+=++= 
 
x
1)x(f = � 2x
1)x('f −= � 3x
2)x(''f = � 4x
6)x('''f −= � 5x
24)x(''''f = 
 
6
5
55
S 106667,2
3
24
90
3,0)c(''''f
90
hE −×−=×−=−= 
 
1823206,0106667,218232323,0EII 6SS =×−=+=
−
 
 
6.5 – REGRA DE SIMPSON REPETIDA 
 
 Deve-se substituir o intervalo de integração [a,b] em n subintervalos (n par) iguais de 
amplitude h e a cada par de subintervalos aplicar a Regra