Relatório5Fisica - Movimento de Projéteis

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FÍSICA EXPERIMENTAL I 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ANA CLARA PEDRAS BUENO 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVELO 
2017 
INTRODUÇÃO: 
 
 Uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial �⃗�0 e com 
aceleração constante, igual à aceleração em queda livre �⃗�, dirigida para baixo é 
denominada projétil. Denomina-se então de movimento dos projéteis o movimento livre 
de um corpo lançado em um campo gravitacional uniforme, onde a aceleração da 
gravidade é constante vertical, sendo desprezível a resistência do ar. Este movimento é 
também chamado de movimento balístico. 
 No experimento em questão, será estudado o caso particular em que o projétil é 
lançado horizontalmente, onde a partir de um ponto situado a uma altura ℎ ,acima do solo, 
o móvel é lançado e percorre uma trajetória parabólica. 
 
(Figura 1: Trajetória parabólica de um móvel lançado horizontalmente.) 
 O movimento de um projétil pode ser sempre decomposto em dois movimentos, 
sendo um horizontal e outro vertical, onde cada um destes movimentos podem ser tratados 
separadamente, já que são independentes. Para um lançamento horizontal, tem-se: 
 Movimento Horizontal: desprezando-se qualquer força de arrasto do ar, o 
movimento horizontal é uniforme. Uma vez que não existe aceleração com 
componente horizontal o projétil se desenvolve com velocidade constante. Logo, 
em um lançamento que se dá na horizontal, tem-se: 
 
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 𝑣0 (1) 
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 (2) 
 
Onde, 𝑥 e 𝑥0 são a posição horizontal final e inicial, respectivamente, do projétil 
e 𝑡 é o tempo. 
 Movimento Vertical: o movimento na vertical é uniformemente variado com uma 
aceleração igual à da gravidade (�⃗�). Considerando-se que a velocidade vertical do 
móvel é inicialmente nula (𝑣0𝑦 = 0), o movimento na direção vertical pode ser 
descrito pelas seguintes equações: 
 
𝑣𝑦 = 𝑔𝑡 (3) 
𝑦 = 𝑦0 + 
𝑔𝑡2
2
 (4) 
 
Onde, 𝑦 e 𝑦0 são a posição vertical final e inicial, respectivamente, do projétil, 𝑔 
é a aceleração da gravidade e 𝑡 é o tempo. 
 Para efeitos de simplificação, considera-se que 𝑥0 e 𝑦0 serão nulos. Ao isolar o 
tempo na equação (2) e substituir na equação (4), obtém-se a equação que descreve a 
trajetória da partícula, dada por: 
𝑦 =
𝑔
2
(
𝑥
𝑣0
)
2
= (
𝑔
2𝑣0
2) 𝑥
2 (5) 
 
 
OBJETIVO: 
 
 O experimento teve por objetivo determinar graficamente a velocidade de uma 
esfera ao abandonar uma calha. Além de se obter uma segunda expressão para velocidade 
a partir do princípio da conservação de energia mecânica. Por fim, comparar os dois 
valores da velocidade obtidos. 
 
 
MATERIAIS E MÉTODOS: 
 
 Os materiais utilizados para realização da prática são listados abaixo: 
 Suporte com haste; 
 Canaleta; 
 Esfera metálica; 
 Prumo; 
 Trena; 
 Papel carbono; 
 Fita crepe; 
 Papel A4; 
 Software Origin 8.5 ®. 
 
 Inicialmente ajustou-se a canaleta na posição mais alta possível na haste. Em seguida 
com a ajuda do prumo localizou-se no chão o ponto diretamente abaixo da extremidade 
da calha, com o auxílio de uma fita crepe demarcou-se este ponto no solo. 
 A partir da maior altura da canaleta (ℎ), liberou-se a esfera metálica e localizou no 
chão a região onde a esfera caiu. Nesta região, mais uma vez com o auxílio da fita crepe, 
prendeu-se uma folha de papel branco sob uma folha de papel carbono. 
 O esquema a seguir representa a montagem final, para execução do procedimento 
experimental: 
 
(Figura 2: Esquema da montagem experimental.) 
 
 Dividiu-se a haste em cinco intervalos, e para cada uma das alturas correspondentes 
a estes intervalos liberou-se a esfera metálica na posição A, e então localizou-se na folha 
branca o local onde a esfera tocou o solo, posição C. Para cada um dos lançamentos 
feitos, mensurou-se o valor de 𝑦 e o valor de 𝑥 . Repetiu-se este procedimento três vezes 
para cada uma das alturas, os valores obtidos foram devidamente anotados. Os dados 
foram lançados no software Origin 8.5 ® e o gráfico foi plotado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 
 Os resultados obtidos ao mensurar os valores de 𝑥 e os valores de 𝑦 para cada um 
dos lançamentos horizontais, são mostrados na tabela a seguir: 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦 (𝑚) 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥 (𝑚) 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥2(𝑚2) 
 
𝑦1 = 0,8240 ± 0,0005 
 
 
𝑥1 = 0,459 ± 0,003 
 
𝑥1
2 = 0,210681 ± 0,000009 
 
𝑦2 = 0,6850 ± 0,0005 
 
 
𝑥2 = 0,427 ± 0,002 
 
𝑥2
2 = 0,182329 ± 0,000004 
 
𝑦3 = 0,5170 ± 0,0005 
 
 
𝑥3 = 0,3660 ± 0,0005 
𝑥3
2 = 0,1339560 
± 0,0000003 
 
𝑦4 = 0,3550 ± 0,0005 
 
 
𝑥4 = 0,306 ± 0,001 
 
𝑥4
2 = 0,093636 ± 0,000001 
 
𝑦5 = 0,1890 ± 0,0005 
 
 
𝑥5 = 0,2250 ± 0,0005 
𝑥5
2 = 0,0506250 
± 0,0000003 
 
(Tabela 1: Resultados experimentais das medições de y e das medições de x.) 
Obs.: Para possível verificação das incertezas dos dados apresentados na Tabela 1, o 
rascunho dos cálculos foi anexado ao final deste relatório. 
 Os dados apresentados na Tabela 1 foram inseridos em um software de análises 
gráficas, e obteve-se o seguinte gráfico de 𝑦 em função de 𝑥2: 
 
(Figura 3: Gráfico experimental de y em função de x2.) 
 
(Figura 4: Dados referentes ao gráfico experimental apresentado na Figura 3.) 
 
 O gráfico apresentado na Figura 3, é uma função linear e expressa a relação dada 
pela equação (5): 
𝑦 = (
𝑔
2𝑣0
2) 𝑥
2 
Onde, 𝑦 é a posição vertical final da esfera metálica, 𝑥 é a posição horizontal final da 
esfera metálica, 𝑔 é a aceleração da gravidade dada por 𝑔 = (9,78 ± 0,01)𝑚/𝑠2 e 𝑣0 é a 
velocidade da esfera ao deixar a calha. 
 Dessa forma, conclui-se que o valor da velocidade da esfera ao deixar a calha (𝑣0) 
pode ser estimado graficamente a partir da inclinação da função linear (5). Sendo assim, 
a partir dos dados expressos na Figura 4, tem-se que: 
(
𝑔
2𝑣0
2) = 3,92925 ± 0,09513 
 Que pode ser mais corretamente escrito na forma: 
(
𝑔
2𝑣0
2) = 3,9 ± 0,1 
 Ao rearranjar os termos, obtém-se: 
𝑣0
2 =
𝑔
2(3,9 ± 0,1)
 
 Substituindo o valor de 𝑔: 
𝑣0 = (1,11975 ± 𝜎) 𝑚/𝑠 
Onde, 𝜎 é a incerteza do valor obtido para 𝑣0. Que após ser calculado, é dado por: 
𝑣0 = (1,12 ± 0,01)
𝑚
𝑠
 (6) 
 
Obs.: O valor da incerteza de 𝑣0 está apresentado no rascunho dos cálculos, anexado ao 
final deste relatório. 
 Vale observar ainda o valor obtido para interceptação da função linear com o eixo 
das ordenadas. Como apresentado na Figura 4, tem-se que: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = −0,01 ± 0,01 
 Este valor expressa um ótimo resultado experimental, tendo em vista que o valor 
obtido se aproxima muito do valor ideal, que seria: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = 0 ± 𝜎 
Onde, 𝜎 expressaria a incerteza deste valor. 
 Já que um valor nulo de 𝑥 resultaria de um valor nulo de 𝑦. 
 
 Como parte do objetivo proposto, faz-se necessário obter uma expressão de 𝑣0 a 
partir do princípio de conservação da energia mecânica , que possibilite estimar um 
segundo valor de 𝑣0 e consequentemente um critério de comparação. Para tal, analisou-
se a seguinte situação: 
 
(Figura 5: Esquema situação inicial do procedimento experimental.) 
 O esquema apresentado acima representa a situação inicial do procedimento 
experimental, onde a esferametálica sai da posição A e segue até posição B, quando deixa 
a calha. 
 Tomando o eixo dado por 0 como o eixo de referência, e aplicando os princípios da 
conservação de energia mecânica, tem-se a seguinte relação: 
𝑚𝑔ℎ = 
𝑚𝑣0
2
2
 (7) 
Onde, 𝑚 é a massa da esfera metálica, 𝑔 é a aceleração da gravidade, ℎ é a altura referente 
a posição inicial da esfera e 𝑣0 é a velocidade da esfera ao deixar a calha. 
 A equação (7) pode ser simplificada e reescrita na forma: 
𝑣0
2 = 2𝑔ℎ 
𝑣0 = √2𝑔ℎ 
 Substituindo os valores 𝑔 = (9,78 ± 0,01)𝑚/𝑠2 e ℎ = (0,1800 ± 0,0005)𝑚/𝑠2 
,tem-se: 
𝑣0 = 1,8764 ± 𝜎 
Onde, 𝜎 é a incerteza do valor obtido para 𝑣0. Que após ser calculado, é dado por: 
𝑣0 = (1,876 ± 0,003)
𝑚
𝑠
 (8) 
 
Obs.: O valor da incerteza de 𝑣0 está apresentado no rascunho dos cálculos, anexado ao 
final deste relatório. 
 Comparando os dois valores obtidos para 𝑣0, dados pelas equações (6) e (8), 
respectivamente: 
𝑣0 = (1,12 ± 0,01)
𝑚
𝑠
 
𝑣0 = (1,876 ± 0,003)
𝑚
𝑠
 
 Verifica-se uma certa divergência entre os valores apresentados. Não é possível 
afirmar com veemência qual dos resultados obtidos se aproximou mais do valor real. No 
entanto, é possível e necessário observar quais dos resultados foi o mais passível de erros 
experimentais. 
 Para plotagem do gráfico da função linear 𝑦 em função de 𝑥2, fez-se necessário 
mensurar vários valores de 𝑦 e vários valores 𝑥. Embora a repetição da medição de uma 
mesma medida diminua sua incerteza, realizar tantas medições diretas propícia eventuais 
erros experimentais como a subjetividade de interpretação das medidas ou falta de ideal 
horizontalidade da trena ao realizar as medições. Destacando-se ainda que, os valores 
inseridos no software de análises gráficas foram calculados e arredondados sem nenhum 
cuidado ou técnica quanto ao número de algarismos significativos e suas devidas 
incertezas (a incerteza só foi calculada ao final de todo o procedimento experimental). 
 Já ao se estimar o valor de 𝑣0 através do princípio da conservação de energia 
mecânica, fez-se necessário apenas mensurar o valor da altura ℎ, fato que também foi 
passível de erros experimentais. No entanto, neste caso, verifica-se uma menor 
dependência de 𝑣0 com as grandezas medidas diretamente, e consequentemente um 
menor efeito da propagação da incerteza quando comparado à estimativa anterior. 
 Por conseguinte, espera-se que valor de 𝑣0 dado pela equação (8) se aproxime mais 
do valor experimental ideal. 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 Finalizado o experimento, foi possível se estimar a velocidade de uma esfera 
metálica ao abandonar uma calha de duas maneiras distintas: graficamente e com o auxílio 
dos princípios da conservação de energia. Onde, o valor obtido a partir da equação da 
conservação de energia apresentou uma provável melhor estimativa da velocidade. 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 Roteiro Física Experimental I. 
 Alfa Connection. Disponível em: 
<http://www.alfaconnection.pro.br/fisica/movimentos/decomposicao-e-
composicao/movimento-dos-projeteis/> .Acesso em: 13 de setembro de 2017. 
 Colégio Web. Disponível em: <https://www.colegioweb.com.br/composicao-
dos-movimentos/movimentos-de-projeteis.html> .Acesso em: 13 de setembro de 
2017.