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- -1 Conjuntos - elementos e classificações Introdução Entender a história da Matemática é compreender como essa disciplina é tão importante. Nascida da necessidade do homem de fazer cálculos, medir espaços e terrenos, a Matemática é útil em nosso dia a dia e uma poderosa forma de linguagem, já que ajuda com que compreendamos melhor o mundo que nos cerca. Aqui, iremos estudar os conjuntos números, seus elementos e classificações. Ao final desta aula, você será capaz de: • identificar e classificar os conjuntos numéricos; • resolver problemas envolvendo conjuntos. Números A evolução da Matemática acompanha o progresso da humanidade. No começo, o homem só utilizava os números naturais, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, mas, com o passar do tempo, foi percebendo que algumas situações não podiam ser representadas apenas com esses números, como, por exemplo, dívidas, temperaturas muito baixas, prejuízos financeiros. Sendo assim, apareceram os números inteiros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mais problemas foram surgindo, muitos deles relacionados a construções e, com eles, a ideia de divisão por dois números inteiros, formando as frações e decimais, chegando então aos números racionais (Q). E assim foi por um longo período de tempo. Até que descobriram que existiam medidas incomensuráveis, como a diagonal de um quadrado, por exemplo. Surgiu, assim, a necessidade de ampliar os conjuntos já conhecidos. Reunindo todos esses números, formamos conjuntos numéricos distintos, em que cada um deles apresenta características próprias. É o que veremos a seguir! Conjuntos numéricos Chamamos de conjunto toda coleção ou reunião de elementos que possuem características comuns. Podem ser objetos, letras, números, figuras. O conjunto que apresenta somente números como elementos chamamos de conjuntos numéricos. De forma geral, segundo Silva e Abad (2014), utilizamos letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto e letra maiúscula para representar o conjunto. Veja no exemplo a seguir: A = {a, b, c, d}, em que A é o conjunto, a, b, c, d são seus elementos. Para representar conjunto, podermos utilizar tanto a linguagem matemática quanto diagramas. Nesse exemplo, vamos utilizar a linguagem matemática. Acompanhe: • • - -2 Temos ainda algumas relações entre elemento e conjunto. Observe: a é um elemento que pertence ao conjunto A. Na linguagem matemática, a A. O símbolo representa pertence, e o símbolo representa não pertence (relações entre elemento e conjunto). O primeiro conjunto que surgiu foi o conjunto dos números naturais (N), representado por: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…} Com a necessidade de utilizar números negativos, o conjunto dos números naturais foi ampliado, surgindo, assim, o conjunto dos números inteiros (Z), que é representado por: Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} E as frações? Estas representam divisões que pertencem ao conjunto dos números racionais (Q), desde que a divisão representada por a/b, tenha a como número inteiro e b inteiro e diferente de zero. Na linguagem matemática, temos: São considerados números racionais: os números naturais, inteiros, decimais exatos, dízimas periódicas. Ainda encontramos um conjunto numérico em que seus elementos são números que não podem ser escritos na forma de fração, chamado de conjunto dos números irracionais (I). Como SAIBA MAIS O sinal * indica que o elemento zero de determinado conjunto está excluído. FIQUE ATENTO Dízimas periódicas são números decimais não exatos que apresentam um ou mais algarismos que se repetem indefinidamente. Esses algarismos que se repetem formam o período da dízima. Exemplos: 0,7777...; 45,232323...; 0,358888...; 1,2616161...} - -3 exemplos, temos as dízimas não periódicas (3,65789012...), o número π (lê-se: pi, que é aproximadamente 3,141516...) e a √2 (1,4142135…). Por fim, ao conjunto formado pela união de todos os conjuntos (naturais, inteiros, racionais, irracionais) chamamos de conjunto dos números reais (R). Uma das formas de representatividade do conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I): Veja, na figura a seguir, o diagrama que representa essa relação. Figura 1 - Representação do conjunto dos números reais Fonte: Elaborada pela autora (2014) Com esse diagrama, verificamos outra relação existente em conjuntos, que acontece entre os próprios conjuntos e não entre elementos e conjuntos. Atenção! Utilizaremos o seguinte símbolo: (está contido). Assim, temos a seguinte relação definida pelo diagrama representado na figura anterior: NZQR Esta relação nos leva ao conceito de subconjunto. Acompanhe! NZQR Vamos utilizar o diagrama representado na figura vista anteriormente, representação do conjunto dos números reais, para entender o que é subconjunto. Ao dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, dizemos que N é subconjunto de Z, uma vez que todos os elementos de N também são elementos de Z. FIQUE ATENTO Perceba que todo número natural também é considerado número inteiro, todo número inteiro também é considerado número racional, e todo número racional é considerado número real, portanto, N está contido em Z que está contido em Q que está contido em R. - -4 Fechamento Até aqui vimos a definição de números e conjuntos numéricos. Vimos também dizimas periódicas e classificações desses conjuntos. Em nossa próxima aula veremos as linguagens dos conjuntos e como podemos fazer operações entre eles. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Compreender o que é conjunto e identificar seus elementos • Identificar e classificar conjuntos numéricos Referências DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013Matemática IEZZI, G.Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011. MORI, I.; ONAGA, D. S. : idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,Matemática 2007. SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S.Coleção Pré-Vestibular Extensivo.São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014. FIQUE ATENTO Se todos os elementos do conjunto M pertencerem ao conjunto N, dizemos que M é subconjunto de N, ou M é parte de N. • • - -1 Conjuntos: linguagem e operações Introdução Entender a Matemática é compreender o progresso da humanidade em sua evolução. Os números e seus linguagens foram essenciais para a evolução humana e das tecnologias. Os conjuntos, por mais simples que pareçam, são importantes para compreender e entender a Matemática e sua metodologia. Ao final desta aula, você será capaz de: • estabelecer as relações existentes entre conjuntos; • resolver problemas envolvendo conjuntos. Linguagem dos conjuntos Para conversamos sobre conjuntos, precisamos primeiro compreender a sua linguagem. Observe a seguinte situação: • Uma Instituição de Ensino realizou uma pesquisa entre seus docentes para verificar quantos professores utilizam os aplicativos Facebook, Twitter e Skype. O resultado apresentado foi o seguinte: 90 docentes usam Facebook, 70 usam Skype, 60 usam Twitter, 50 usam Facebook e Skype, 41 usam Facebook e Twitter, 25 usam Skype e Twitter, 12 usam Facebook, Skype e Twitter e 34 não usam nenhum dos três aplicativos. O diretor dessa instituição precisou organizar as informações dadas e lançou um desafio aos alunos do curso de Gestão. Determinem: a) quantos professores responderam à pesquisa, b) quantos professores têm apenas Facebook. Complicado? Nem um pouco, mas, para resolver esse problema, precisamos conhecer algumas relações entre conjuntos e suas operações que facilitam sua solução. Vamos lá? Operações entre conjuntos – União, intersecção, diferença Ao citar o termo operação, logo nos lembramos das operações básicas com as quais estamos acostumados a lidar. No estudo de conjuntos, essas operações apresentam-sede formas diferentes, recebem nomes diferentes e utilizam símbolos diferentes. São elas: união entre conjuntos, interseção entre conjuntos e diferença entre conjuntos. Vamos analisar cada uma delas utilizando exemplos. Acompanhe! I - Seja o conjunto A = {2,4,6,8,10} e o conjunto B = {2,6,9,10,11,12}. Quando juntamos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, sem repetir, estamos realizando a união entre os conjuntos. Para isso, utilizamos o símbolo . Veja como: A B={2,4,6,8,9,10,11,12} • • • - -2 II - Utilizando o mesmo exemplo dado, para fazer a interseção entre o conjunto A e o conjunto B, escrevemos o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos, utilizando o símbolo . Veja: A B={2,6,10} III - Na diferença entre conjuntos, o resultado é representado por um novo conjunto, chamado de conjunto diferença. Utilizamos a seguinte representação: A – B, em que o conjunto diferença (A – B) é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao . Veja no exemplo.conjunto B A-B={4,8} Na diferença, a ordem precisa ser respeitada. Se fosse feito B – A, teríamos o conjunto formado pelos elementos que .pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A B-A={9,11,12} Ainda temos uma relação importante entre elementos de conjuntos, utilizada em suas operações para calcular o número de elementos, que pode ser representada da seguinte forma: • No caso de situações que envolvem dois conjuntos A e B, temos: Dados os conjuntos A e B, chamamos de n(A), o número de elementos de A; n(B), o número de elementos de B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B. Assim, n(A B)= n(A)+ n(B)-n(A B) • No caso de três conjuntos A, B e C, temos: n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC) Para compreender melhor os conceitos estudados até aqui, vamos resolver a situação- problema apresentada no início deste tópico. Sendo assim, utilizaremos duas estratégias para facilitar e ajudar na resolução. Acompanhe! 1ª estratégia: FIQUE ATENTO Assim, o conjunto união entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA ou xB} FIQUE ATENTO Assim, o conjunto interseção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a . Na linguagem matemática, temos: A B=A e B {x|xA e xB} SAIBA MAIS O conectivo está relacionado à união (U) e o conectivo está relacionado à OU E interseção () • • - -3 Utilizar o recurso chamado de Diagrama de Venn. Nesse diagrama, são utilizados círculos para representar cada conjunto e suas relações. Observe que, na situação apresentada, temos três conjuntos – conjunto dos usuários de Facebook (F), conjunto dos usuários de Twitter (T) e conjunto dos usuários de Skype (S). Três conjuntos, três círculos. Como há situações de união e interseção, os círculos precisam ser desenhados da seguinte maneira: Figura 1 - Imagem 1 -Diagrama de Venn Fonte: Elaborado pela autora (2014) Figura 2 - Figura 2 - Diagrama de Venn Fonte: Elaborado pela autora (2014) Figura 3 - Figura 3 - Diagrama de Venn Fonte: Elaborado pela autora (2014) - -4 Figura 4 - Figura 4 - Diagrama de Venn Fonte: Elaborado pela autora (2014) Os resultados são: a) 150 professores foram entrevistados (11+7+6+38+29+13+12+34). b) 11 professores utilizam apenas Facebook. 2ª estratégia Analisar e interpretar as informações dadas e substituir na relação: n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC) Vamos chamar de F (conjunto dos usuários do Facebook); S (conjunto dos usuários do Skype) e T (conjunto dos usuários do Twitter). Assim, temos: n(F)=90; n(S)=70; n(T)=60; n(FS)=50; n(FT)=41; n(TS)=25; n(FST)=12 34 não utilizam nenhum dos três. Respondendo as alternativas: a) Número total de professores que responderam à entrevista: n(FST)= n(F)+ n(S)+n(T)-n(FS)-n(FT)-n(TS)+n(FST) Substituindo os valores: n(FST)= 90+ 70+60-50-41-25+12 = 116 Agora, só falta somar com 34 (número de professores que não responderam) que encontraremos o valor procurado nessa alternativa. Logo, temos: 116 + 34 = 150 professores. b) Número de professores que usam apenas Facebook. Chamaremos de x. - -5 Devemos calcular o número de elementos do conjunto de usuários de Facebook n(F), subtraindo n(FS)\,n(FT) e n(FST). Para encontrar o valor dos usuários que Facebook e Skype, é preciso utilizam apenas subtrair o valor dado n(FS)=50 do valor dado pela interseção dos três conjuntos n(FST)=12. Assim: 50 – 12 = 38. De forma análoga, calcula-se o valor dos usuários que Facebook e Twitter.utilizam apenas Veja: n(FT)=41, menos o valor de n(FST)=12. Assim: 41 – 12 = 29. Agora é só substituir os valores em x: x=n(F)-n(FS)- n(FT)-(FST)=90-38-29-12=11 Logo, 11 professores utilizam apenas Facebook. Agora é sua vez, procure resolver os problemas a seguir utilizando a estratégia que achar mais fácil. 1. Na empresa Soko Mono, o setor de RH resolveu oferecer curso de inglês ou espanhol aos seus 220 funcionários. O gerente desse setor precisava saber quantos funcionários não se inscreveram em nenhum dos dois cursos. Com isso, fez um levantamento e constatou que, dos 220 funcionários, 100 fizeram inscrição em inglês, 80 fizeram inscrição em espanhol e 30 se inscreveram em inglês e espanhol. Ajude o gerente a descobrir quantos funcionários não fizeram inscrição. 2. Uma loja que vende diferentes marcas de celulares contratou uma empresa de marketing para realizar uma pesquisa acerca de suas preferências em relação a duas marcas de celulares: X, Y. Sabendo que 160 preferem a marca X, 95 preferem a marca Y, 50 preferem as duas e 80 não responderam, determine a quantidade de clientes que foram entrevistados. 3. Um grupo de pessoas prestou concurso para determinado cargo público. Desse grupo, 70 pessoas acharam a prova A fácil; 45 acharam somente a prova B fácil; 38 acharam ambas as provas fáceis; e 26 não acharam nenhuma das provas fáceis. Com base nessas informações, quantas pessoas faziam parte desse grupo? 4. Uma indústria fabrica dois tipos de tecidos: A e B. Das 630 máquinas que essa indústria possui, 350 produzem o tecido A; 210 produzem o tecido B e 90 máquinas produzem os dois tipos de tecidos. Determine: a) quantas máquinas produzem apenas o tecido A? b) quantas máquinas produzem apenas o tecido B? c) quantas máquinas produzem o tecido A ou B? d) quantas máquinas não produzem nenhum dos dois tipos de tecidos? Fechamento Nessa aula estudamos os elementos do conjuntos e também as operações entre eles. Relembrando: união entre conjuntos (); interseção entre conjuntos (); diferença entre conjuntos. Também vimos dois recursos na solução de problemas que envolvem união, interseção e diferença entre conjuntos e outras fórmulas. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Entender as operações entre conjuntos; • Compreender o Diagrama de Venn; Referências DANTE, L. R contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.. Matemática: IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática • • - -6 MORI, I.; ONAGA, D. S. . 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,Matemática: idéias e desafios 2007. SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema deColeção Pré-Vestibular Extensivo Ensino Abril Educação S.A., 2014. - -1 Função: conceito, lei de formação e representação geométrica Introdução Função é um dos conceitos mais importante da Matemática. Ela pode ser percebida quando observamos situações como “o tempo gasto por uma carro para completar um determinado percurso é dado em fundão da sua velocidade”, ou “o número de metros de tecido gastos para fazer uma roupa depende do tamanho da roupa”, ou ainda “a área de uma sala depende de suas dimensões, ou seja, é dada em função destas dimensões:largura e comprimento”. Nessa aula veremos a ideia geral de função. Ao final desta aula, você será capaz de: • compreender o que é função; • identificar suas variáveis e escrever sua lei de formação a partir de situações- problema. Função e seus conceitos Para iniciar o seu estudo sobre função, veja o que aconteceu com Felipe: Mara, mãe de Felipe, costumava buscá-lo na escola toda quinta-feira. Neste dia, ele geralmente saía mais pensativo do que nos outros dias, pois sua última aula era de Matemática. Toda quinta-feira, Mara costumava passar em um posto de gasolina para abastecer seu carro e nesta não foi diferente. Sendo assim, completou o tanque e gastou R$ 96,00.Felipe prestou atenção em tudo e atento como estava olhava bem fixo para os números que giravam no marcador da bomba de combustível.De repente, teve um estalo e toda a sua aula de Matemática passou a fazer sentido. !Ali estava um exemplo de função Felipe foi associando os números e mentalmente montou o seguinte quadro: Figura 1 - Quadro 1 - Preço a pagar em função do número de litros Fonte: Elaborado pela autora (2014) • • - -2 Na verdade, Felipe queria mostrar o seguinte: Em um veículo, dentre vários fatores, o consumo de combustível da suadepende velocidade. Neste caso, o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros adquirida, ou seja, o preço a pagar do número de litros comprados. Assim, podemos escrever umadepende fórmula que representa esta relação. Chamando de P, o preço a pagar, e de x, o número de litros comprados, temos: P = 2,40 x No exemplo dado, temos duas variáveis: o preço a pagar P e o número de litros comprados x. Como o preço a pagar (P) (x), P á a variável depende da quantidade de litros comprados . E, como a quantidade de litros comprados (x) é de livre escolha, x é chamado de dependente .variável independente Perceba que Felipe estava analisando uma grandeza (preço do litro da gasolina) em função de outra grandeza (quantidade de litros de gasolina). Assim, a correspondência entre a quantidade de litros de gasolina adquirida e o preço a pagar é um exemplo de função, já que o preço a pagar varia em função da quantidade de litros adquirida. Para cada quantidade de litros há um e somente um preço determinado a pagar. Assim, a fórmula P = 2,40x é chamada de lei da função ou lei de formação da função ou .fórmula matemática da função O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado da função. Adomínio variável x é chamada .variável independente O valor y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado de x pelaimagem função e é representado por f(x). A variável y é chamada , porque y assumevariável dependente valores que dependem dos correspondentes valores de x. O conjunto (f) formado pelos valores que y assume, em correspondência aos valores deIm x, é chamado conjunto imagem da função. Veja o esquema a seguir que ilustra estes conceitos: FIQUE ATENTO Deste modo, em toda função temos: para cada valor de uma grandeza analisada (y) há um e somente um valor correspondente a outra grandeza (x). FIQUE ATENTO Portanto, em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função em x. Logo, temos: y = f(x) - Lê-se: y é igual a f de x - -3 Figura 2 - Figura 1 -Domínio e Conjunto Imagem de uma função f Fonte: Elaborado pela autora (2014) Utilizando o exemplo dado como modelo, vamos construir dois conjuntos, A e B, de forma que A é igual aos valores atribuídos a determinada quantidade de litros comprados: A = {1,3,40}, B é igual a valores em reais: B = {2,40; 7,20; 11, 30; 15; 96} e a função P = 2,40x. Assim, temos: Figura 3 - Figura 2 -Relação entre os conjuntos A e B Fonte: Elaborado pela autora (2014) De acordo com Dante (2013, p. 47), “para caracterizar uma função é necessário conhecer : o (A), o (B) e uma regra que associa cada elementotrês componentes domínio contradomínio de A a um único elemento y = f(x) de B ( ).”. Nesse exemplo, o domínio é A = {1,conjunto imagem 3, 40}, o contradomínio é B = {2,40; 7,20; 11,30; 15; 96}, a regra é dada por P = 2,40x, tendo como conjunto imagem Im(f) = {2,40; 7,20; 96}. Os dados do quadro anterior também podem ser representados, geometricamente, por meio de um gráfico, ajudando a perceber como uma grandeza varia dependendo da outra. Observe: - -4 Figura 4 - Gráfico 2 - Função que representa o preço a pagar (em reais) por determinada quantidade de combustível (em litros). Fonte: Elaborado pela autora (2014) Agora é com você. Resolva os exercícios a seguir. 1) (DANTE, 2014, p. 44). Escreva a fórmula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir: Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas. A Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 m^2 de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes. 2) Considere uma função de A em B em que A = {1, 5, 8}, B = {4, 20, 32} e f(x) é o quádruplo de x para todo x A . Construa o diagrama de flechas desta função; Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio desta função, ou seja, D(x), Im (x) e CD(x). Fechamento Neste tema vimos os conceitos básicos da função e a sua lei de formação. Também conheceu três componentes da função: domínio, contradomínio e conjunto imagem. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Entender o que é função. Referências BRASIL Escola. . [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.comPlano Cartesiano /matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014. DANTE, Luiz Roberto. contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014. Matemática: IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. .Coleção Pré-Vestibular Extensivo São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014. • - -1 Funções: construção de gráficos e classificações Introdução O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A função pode ser associada a tabelas, fórmulas e gráficos. Essas representações podem ser feitas por meio da lei de formação e de gráficos. Nessa aula veremos essas demonstrações e como elas podem e devem ser usadas, assim como exemplos teóricos e práticos. Também nesse conteúdo iremos abordar os tipos de funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Ao final desta aula, você será capaz de: • descrever função por meio de tabelas e gráficos; • identificar os tipos de funções; • resolver problemas que envolvam o conceito de função. Representação geométrica de uma função Para construir o gráfico de uma função, precisamos conhecer sua lei de formação y=f(x). Depois, seguiremos as seguintes etapas: • construir uma tabela na qual aparecem os valores de x (variável independente) e os valores de y, calculados a partir da lei y=f(x); • representar cada par ordenado (x,y) da tabela, por um ponto do plano cartesiano; • • • • • SAIBA MAIS Plano cartesiano é definido por duas retas perpendiculares (chamadas de eixos), em que a reta horizontal é denominada eixo das abscissas (x) e a vertical, denominada eixo das ordenadas (y). Onde as duas retas (ou eixos) se encontram (0) é chamado de origem. Podemos traçar pontos (x,y) no plano que chamamos de par ordenado, em que x representa a abscissa e y a ordenada. Perceba, na figura a seguir, que estas retas (eixos) formam quatro quadrantes. - -2 Figura 1 - Figura 1 -Plano cartesiano e representação de par ordenado no plano Fonte: Adaptada de Brasil Escola (2015) • ligar os pontos traçados na etapa 2 por meio de uma curva, que é o própriográfico da função y=f(x). Vamos utilizar um exemplo para aprender cada etapa na construção de um gráfico. Acompanhe! Seja a função y = x + 3 com domínio em R. 1ª etapa – Construir uma tabela estabelecendo valores para x. Depois, substituir esses valores na lei y = x + 3, para encontrar os valores correspondentes de y, como apresentado na tabela a seguir: Figura 2 - Tabela 1 - Valores de x e y na função y = x + 3 Fonte: Elaborado pela autora (2014) • - -3 2ª etapa e 3ª etapa– A partir da tabela anterior, temos os seguintes pares ordenados: (–2,1); (–1,2); (0,3); (1,4); (2,5). Agora é preciso representá-los no plano cartesiano e depois unir os pontos traçados, que neste exemplo, formam uma reta. Veja: Figura 3 - Figura 2 - Gráfico da função y = x + 3 Fonte: Elaborado pela autora (2014) Quando analisamos o gráfico de uma função, observamos algumas propriedades, ou seja, como a função se comporta. - Uma função é positiva quando f(x)>0, negativa quando f(x)<0, e quando se anula f(x)=0; - Uma função é crescente, se x1< x2,então f(x1 )<f(x2 ); - Uma função é decrescente, se x1> x2,então f(x1 )>f(x2 ). No exemplo dado, a função f definida por y = x + 3 é crescente, pois quanto maior for o valor de x, maior será o valor do correspondente y = x + 3. Que tal treinar um pouco? Pegue uma régua e papel quadriculado para ajudar e construa os gráficos das funções dos exercícios 1a e 1b apresentados no final de 1.1. Depois analise o comportamento de cada uma, informando se é função crescente ou decrescente. FIQUE ATENTO São chamados de zero (s) ou raiz (es) de uma função f, os valores de x que anulam a função f. - -4 A seguir, estudaremos três tipos de funções. Vamos lá? Funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva Nesta seção vamos conhecer três tipos de funções: sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Iniciamos definindo uma função f com domínio A e contradomínio B e x1 e x2 dois elementos de A. Uma função f é sobrejetiva se e somente se: Im(f)=B, sendo Im(f) o conjunto imagem da função f. Ou seja, uma função f é dita sobrejetiva quando todo elemento de seu contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio. Confira nos exemplos a seguir. Dadas duas funções f e g, definidas pelos conjuntos A e B, temos: Figura 4 - Figura 3 - Diagramas de flechas S Fonte: Elaborado pela autora (2014) Perceba que no diagrama da função f, todos os elementos do contradomínio B recebem, pelo menos, uma flecha, o que indica que a função é sobrejetiva (Im(f) = {1,3,5} = B). Agora, verifique que na função g, existe um elemento de B (3) que não recebe flecha, ou seja, não é imagem de nenhum elemento de A. Assim, a função g não é sobrejetiva (Im(f) = {1,5} B). Uma função f é injetiva se e somente se x1 x2 f(x1 )f(x2 ). Assim, uma função é dita injetiva quando valores diferentes do domínio estiverem associados a imagens diferentes no contradomínio, ou seja, um elemento de B não pode ser imagem de mais de um elemento de A . Acompanhe os seguintes exemplos: Figura 5 - Figura 4 - Diagramas de flechas I Fonte: Elaborado pela autora (2014) - -5 Repare, no exemplo dado na figura 8, função f, que para cada valor do conjunto A, corresponde a valores diferentes em B, o que define uma função injetiva. Já na função g, dois valores de A (0 e 2) se associam a um mesmo valor de B (1), não sendo g, uma função injetiva. Uma função f de A em B é dita bijetiva se, e somente se, ela for sobrejetiva e injetiva. Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que todo y B seja imagem de exatamente um x A.Veja o esquema as seguir que ilustra este caso: Figura 6 - Figura 5 - Diagramas de flechas II Fonte: Elaborado pela autora (2014) No diagrama de flechas da figura anterior, a imagem de f, que é o conjunto {1,3,5}, coincide com o contradomínio B, o que caracteriza uma função sobrejetiva. Além disso, elementos diferentes do domínio A estão associados a imagens distintas em B, fazendo com que f seja uma função injetiva. Assim, f é uma função bijetiva. Verifique que todo elemento do contradomínio é imagem de exatamente um elemento do domínio da função f. Para verificar se compreendeu os conceitos estudados neste tema, faça a atividade a seguir: • A tabela a seguir relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros) percorrida nesse tempo, por um carro que mantém velocidade constante de 100 km/h numa rodovia. Figura 7 - Quadro 2 – Relação entre tempo e distância Fonte: Elaborado pela autora (2014) De acordo com a situação exposta, :faça o que se pede a) Complete a tabela. b) Que grandeza foi calculada em função da outra? c) A cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida? Explique. d) Qual é a variável dependente? Por quê? e) Escreva a lei de formação dessa função. f) Classifique esta função em injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Fechamento - -6 Nesta aula vimos como se dá a construção de gráficos e como traça-los a partir de uma tabela. Vimos também os tipos de função e estudamos suas nomenclaturas e características. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Entender gráficos de função; • Compreender o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Referências BRASIL Escola. . [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.comPlano Cartesiano /matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014. DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014. Matemática IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. .Coleção Pré-Vestibular Extensivo São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014. • • - -1 Funções – afins e modulares Introdução Antes de partirmos para o conteúdo dessa aula, vamos pensar na seguinte situação: Vanessa está atrasada para o trabalho e decide ir de táxi, mas ela está com pouco dinheiro, pois está acostumada a ir de ônibus. Sabendo que numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado, ajude Vanessa a calcular qual o valor que pagará por uma corrida até o seu trabalho que fica a 15 km partindo de onde ela está. No exemplo, o preço a pagar (x) depende da distância percorrida (y). Logo, a lei de formação dessa função é a seguinte: y =1,50x + 5. Portanto, nessa vamos estudar a função definida por situações semelhantes à apresentada: função afim e a função modular, além de resolver algumas situações- problema que envolvem estes conceitos. Vamos lá? Ao final desta aula, você será capaz de: • compreender função afim e modular; • resolver problemas que envolvam o conceito de função afim. Função afim De acordo com o exemplo dado na introdução deste material, vimos que a função definida por y=1,50x+5 é uma função que chamamos de .função afim Deste modo, dados dois números reais a e b,com a0, chama-se função afim ou função do 1o grau àquela dada por f(x)= ax+b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular, enquanto b é chamado de coeficiente linear. Retomando o problema apresentado, vamos construir uma tabela a partir da função y=1, 50x+5 para depois a representarmos geometricamente por meio de um gráfico. Veja: Figura 1 - Tabela 1 - Relação entre distância percorrida (km) x valor a ser pago (R$) Fonte: Elaborada pela autora (2014) • • - -2 A seguir, observe o gráfico que representa essa função: Figura 2 - Gráfico 1 - Gráfico da função y = 1,50x + 5 Fonte: Elaborada pela autora (2014) Assim, podemos concluir que: O valor desta raiz representa a do ponto de interseção da reta que representa aabscissa função com o eixo Ox. No exemplo dado em que y = 1,50x + 5, vamos encontrar para qual valor de x esta função é nula. Assim, para calcular a raiz da função y = 1,50x + 5, utilizamos x=-b/a e substituímos a = 1,50 e b = 5. Logo, temos: - -3 O ponto (-3,3;0) é oponto de interseção da reta no eixo Ox, como pode ser visualizado no gráfico traçado para essa função. Como vimos que o coeficiente a é chamado de coeficiente angular, e b é chamado de coeficiente linear da função afim, vamos entender um pouco mais sobre isto. Acompanhe! O número chama-se taxa de variação da função , mas também é conhecido como a f ou da reta em relação ao eixo horizontal Oxdeclividade coeficiente angular . Já o número chama-se valor inicial da função ou da reta. Para x = 0,b f coeficiente linear temos . Assim, o coeficiente linear ( ) é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixoy = b b Oy. No exemplo, você pode observar no gráfico da figura anterior esse ponto de interseção com o eixo Oy, que no caso é (0,5). Agora, que tal ajudar Vanessa com a questão da corrida de táxi? Verificando na tabela 1, constatamos que o valor que ela pagará por uma corrida até o seu trabalho, que fica a 15 km de onde estava, é de R$27,50. Entretanto, no fim do dia ela resolveu, também, voltar para casa de táxi, pagando no trecho percorrido R$33,50. Qual será a distância do trabalho de Vanessa até sua casa? Bem, se Vanessa pagou R$33,50, temos que y = 33,50 ou f(x) = 33,50 e, assim, devemos encontrar a distância percorrida, que é o valor de x, utilizando a fórmula y = 1,50x + 5. Logo: Portanto, a distância da casa da Vanessa até o seu trabalho é de 19 quilômetros. Para verificar se compreendeu este conceito, resolva os exercícios a seguir: 1 - Assinale a seguir as funções afim e identifique os coeficientes angular e linear a e b. a) y = 25x + 4,5 b) y = x2 + 3 c) y = 5x + 1/5 d) y = 2x/7 + 43 2 - Dada a função afim y = 2x - 5, determine a raiz desta função e trace seu gráfico. Vamos estudar na próxima seção uma outra função, a função modular. Confira! Função modular Para estudar a função modular, iniciaremos conceituando o que é módulo e como calcular o módulo de um número: Módulo é a distância entre um número até o zero e é representado pelo símbolo | |. O módulo de 9 é representado por |9| = 9, pois a distância do número 9 até o zero, tem 9 unidades. Com o número – 9 é o mesmo. O módulo de – 9 é representado por |– 9|, que indica também, 9 unidades até o zero. Portanto, |– 9| = 9. Observe a representação destes módulos na reta numerada. - -4 Figura 3 - Figura 1 - Representando distância Fonte: Elaborada pela autora (2014) Acompanhe um exemplo! Seja a função f(x)=|x-2|-1, construa o seu gráfico. Utilizando a definição de módulo, vamos primeiro escrever f(x) usando sentenças sem módulo. Assim, para: • x2 x-2 0 f(x)=|x-2|-1=x-2-1=x-3 • x<2 x-2 <0 f(x)=|x-2|-1=-(x-2)-1=-x+1 Logo, Agora, devemos construir uma tabela para cada função e assim obter o gráfico de f(x). x2 x<2 • • - -5 Figura 4 - Tabela 2 - Função y = x-3 Fonte: Elaborada pela autora (2014) Figura 5 - Tabela 3 - Função y = -x+1 Fonte: Elaborada pela autora (2014) Traçando o gráfico da função f(x)=|x-2|-1, temos: Figura 6 - Gráfico 2 - Função f(x)=|x-2|-1 Fonte: Elaborada pela autora (2014) Confira se está aprendendo, resolvendo a seguinte atividade: Para cada função modular a seguir, escreva f(x) usando sentenças sem módulo e trace seu gráfico. • f(x)=|3-x|+4 • f(x)=|2x-8| Não podia faltar situações-problema que envolvem o conceito de função, não é mesmo? Vamos lá! • • - -6 Situações-problema envolvendo função afim • Paulo é segurança de uma casa noturna e recebe um salário fixo de R$840,00. Para aumentar sua renda, ele resolveu fazer plantões noturnos em uma boate, recebendo R$90,00 por noite de trabalho. Sabendo que no mês passado Paulo fez 4 plantões, calcule qual foi o salário que Paulo recebeu após fazer esses plantões. Resposta comentada: Para sabermos o salário que o segurança receberá após 5 plantões, vamos escrever a lei de formação da função que representa esta situação. Como o valor a ser pago depende do número de horas trabalhadas, podemos concluir que a grandeza salário (y) e tempo (x) definem a lei de formação: y =90x + 840. Substituindo a quantidade de plantões feitos (5) em x, temos: y=90x+840 y=904+840 y=1200 Portanto, .Paulo recebeu R$1.200,00 • Uma empresa que conserta impressoras cobra uma taxa fixa de R$30,00 pela visita e mais R$15,00 por hora de mão de obra. Marcos precisou contratar os serviços desta empresa e gastou R$105,00. Quanto tempo essa empresa ficou na casa de Marcos? Resposta comentada: Para sabermos o tempo que a empresa gastou para consertar a impressora de Marcos vamos escrever a lei de formação da função, que representa esta situação. Como o valor a ser cobrado depende do número de horas trabalhadas, temos duas grandezas: valor cobrado e tempo - variáveis dependente e independente, respectivamente. Denotando por x a variável independente (tempo) e por y a variável dependente x (valor a ser cobrado) podemos chegar à seguinte lei de formação: y = 15x + 30. Substituindo o valor de 105 em y, temos: 105 = 150x + 30 15x = 105 - 30 15x = 75 x = 75/15 x = 5 Portanto, .um funcionário desta empresa ficou 5 horas na casa de Marcos Agora chegou a sua vez! Resolva as atividades que estão listadas a seguir: 1 - Uma determinada indústria que produz parafusos os vende por R$ 1,20 cada um. Um lote deste mesmo parafuso apresenta um custo total formado por uma taxa fixa de R$ 50,00 mais o custo de produção por R$ 0,45 por parafuso. Com isto: a) Escreva a lei de formação da função que representa o custo total y de um lote em função do número x de parafusos. b) Calcule o custo da produção de um lote com 1500 parafusos. c) Qual o valor, em reais, que um comerciante ganharia com a venda de um lote de 1500 parafusos? d) Para que um determinado comerciante não tenha nem lucro nem prejuízo, calcule a quantidade de parafusos para a venda de um lote. e) Caso o fabricante venda um lote com 300 parafusos, ele terá lucro ou prejuízo? De quanto seria? 2 - Rose é representante de vendas e recebe um salário mensal fixo de R$ 1300,00 mais uma parte que depende da comissão de 12% sobre o total de vendas que faz ao longo do mês. Sabendo que y representa o salário mensal e x o total de vendas, determine: a) A lei de formação da função representada por y em função de x. b) O salário que Rose receberá no mês de julho, caso tenha feito uma venda no valor de R$ 25.000,00. Fechamento • • - -7 Neste conteúdo estudamos o que é função afim, que é representada por f(x)= ax+b, suas propriedades e gráfico. Em seguida, vimos a função modular e suas características. Por fim, aplicamos os conceitos estudados em situações-problema. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Identificar funções afins e modulares; • Compreender os seus gráficos; • Resolver problemas desses tipos de funções. Referências DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, Gelso. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. : ideias e desafios. 14. ed. São Paulo:Matemática Saraiva, 2007. ABAD, Luis Felipe Silva. . São Paulo: Sistema de EnsinoColeção Pré-Vestibular Extensivo Abril Educação S.A., 2014. • • • - -1 Funções – quadrática e exponencial Introdução Neste material, iremos estudar as parábolas. Esta curva define uma função chamada função quadrática. Além disso, vamos estudar também a função exponencial. Vai ser interessante! Confira! Ao final desta aula, você será capaz de: • compreender a função quadrática; • resolver problemas que envolvam o conceito de função quadrática; • compreender a função exponencial; • resolver problemas que envolvam o conceito de função exponencial. Função quadrática Para iniciar nosso estudo sobre função quadrática, veja o seguinte problema: • Na festa de confraternização de uma empresa, havia x pessoas. Cada pessoa cumprimentou todas as outras uma única vez. Chamandode y o número total de saudações, determine a função que representa a situação apresentada. (IEZZI, 2011, p. 60). Observe que a expressão y em função de x que representa o problema é: Este é um exemplo de função quadrática ou função do 2ºgrau. O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características • • • • • - -2 O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características estudaremos a seguir. Acompanhe! A parábola pode apresentar a concavidade para baixo ou para cima, dependendo do sinal do coeficiente . Veja:a Figura 1 - Figura 1 -Concavidade Fonte: Elaborada pela autora (2015) Ao fazer x = 0, temos o . Veja: f(x)=ax^2+bx+c. Como f(x)=y,temos: y=ponto de interseção com o eixo Oy ax^2+bx+c. Logo, substituindo x = 0, teremos: y= a〖×0〗^2+b×0+c. Assim, y=c. Ao fazer f(x) = 0, temos o . Logo, ax^2+bx+c=0. Neste caso (f(x) = 0), temos oponto de interseção com o eixo Ox zero da função, ou seja, as raízes que representam a solução da equação do 2o grau ax^2+bx+c=0. Com isto, dependendo do sinal que ∆ assume, temos uma quantidade de raízes definidas da seguinte forma: • Se ∆ <0, não existem raízes reais. Logo, o gráfico não corta o eixo Ox. Figura 2 - Figura 2 - Gráfico não corta eixo Ox. Fonte: Elaborada pela autora (2015) • Se ∆ =0, existem 2 raízes reais e idênticas. Logo, o gráfico tangencia o eixo Ox em um único ponto. Figura 3 - Figura 3 -Gráfico corta eixo Ox em um único ponto • • - -3 Fonte: Elaborada pela autora (2015) • Se ∆ >0, existem 2 raízes reais e distintas. Logo, o gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos. Figura 4 - Figura 4 -Gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos. Fonte: Elaborada pela autora (2015) Também podemos calcular o valor máximo e mínimo em uma função quadrática. Basta determinarmos o vértice (V) da parábola (V (x_v,y_v), ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo). Ilustrando na parábola, temos: Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola • - -4 Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola Fonte: Elaborada pela autora (2015) Podemos encontrar a aplicação destes conceitos nas mais diversas áreas do conhecimento, como: Física, Biologia, Matemática Financeira e Administração, quando tratamos de lançamento de projéteis, em processos de fotossíntese, lucros, prejuízos, entre outros. Retomando o problema apresentado no início do tópico, vamos calcular quantos cumprimentos são dados, se tivermos 70 pessoas na confraternização. Veja que a função que expressa esta situação é: Substituindo x = 70, teremos: Portanto, 70 pessoas farão 2415 saudações. Confira outra situação em que usamos a função quadrática. - Marcos e Felipe adoram jogar futebol. Participando do campeonato patrocinado pela empresa em que trabalham, Marcos e Felipe empataram na artilharia deste campeonato com 3 gols cada um. Sabendo que um dos gols feito por Marcos foi julgado o mais técnico, e que a trajetória desta bola, após o chute, foi descrita por uma parábola definida pela função: y= -x^2+6x, (sendo y a altura, em metros, e x o tempo, em segundos), calcule o instante em que a bola, no chute a gol julgado o mais técnico, atinge sua altura máxima e também qual altura máxima esta bola atingiu. Resposta comentada Vamos utilizar o conceito de valor máximo da função, definido pelas expressões: - -5 x_v=-b/2a e y_v=-∆/4a e a função dada por: y= -x^2+6x Temos que . Substituindo nos pontos do vértice em que a função apresenta valor máximo, temosa= -1,b=6 e c=0 que: Para calcular o instante (em segundos) em que a bola atinge sua altura máxima, utilizamos: x_v=-b/2a x_v=-6/(2×(-1) )=3 Para calcular a altura máxima (em metros) que bola atinge, utilizamos: y_v=-∆/4a ⇒ y_v=-36/(4×(-1))=9 Portanto, a bola atinge a altura máxima de 9 metros em 3 segundos após o chute. Os exercícios a seguir lhe ajudam a conferir se está entendendo o conceito apresentado. Tente resolvê-los! 1) Assinale as funções que são quadráticas: a) y= 2x^2+1 b) y= -7x+4 c) y= x^2-6x+9 d) y= -5x^2+2x+5 2) Para cada função quadrática identificada no exercício 1: a) Determine os coeficientes a, b e c. b) Faça o estudo das raízes. c) Determine os pontos máximo e mínimo, se existirem. d) Trace os gráficos. Na próxima seção estudaremos a função exponencial. Este tipo de função pode ser encontrada em problemas que tratam do crescimento e decrescimento de fenômenos da natureza, assim como, situações que envolvem juro composto. Confira! Função exponencial Para iniciar nosso estudo sobre função exponencial, observe a seguinte situação: • Uma maionese malconservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: n(t)=200×2at, em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. É possível calcular o número inicial de bactérias? (IEZZI, 2011, p. 103). Em alguns seres vivos microscópicos, como as bactérias, o crescimento acontece de forma exponencial. Por isso, é utilizada a função exponencial em problemas desse tipo. O gráfico de uma função exponencial pode ser representado pela seguinte curva, chamada de curva exponencial : Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x • - -6 Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x Fonte: Elaborada pela autora (2015) Vamos resolver o problema da bactéria? Como é pedido o número inicial de bactérias, o tempo é zero. Assim, substituindo na função n(t)=200×2at em que t=0, temos: n(t0 )=200×2^(a×0) n(t0 )=200×2^0 =200×1=200 Portanto, o número inicial de bactérias é 200. A seguir mais exercícios para checar seu aprendizado. Confira! 1) Identifique qual das funções dadas representam funções exponenciais. a) f(x)= 9x b) f(x)= x2 c) f(x)= y(1/5) d) f(x)= 〖1/2〗x 2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão n(t)= 〖1200 × 2〗0,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? (DANTE, 2014, p. 170). Fechamento Neste tema você pode estudou que toda função do tipo f(x)=ax2+bx+c é chamada de função quadrática. E, toda função f(x)=ax é chamada de função exponencial. Estudou também como os gráficos de cada função são representados. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Aprender como resolver problemas que envolvem os conceitos matemáticos estudados. Referências DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.Matemática IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. : ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.Matemática SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. o. São Paulo: Sistema deColeção Pré-Vestibular Extensiv Ensino Abril Educação S.A., 2014. • - -1 Progressão Aritmética - PA Introdução As eleições para presidente no Brasil ocorrem de 4 em 4 anos. Vamos iniciar nossa contagem a partir de 1994. Desse modo, temos a seguinte sequência de anos eleitorais. Veja: 1994 – 1998 – 2002 – 2006 – 2010 – 2014 Perceba que esses números formam uma sequência numérica, pois possuem uma lei de formação bem definida, ou seja, sempre ocorrem de 4 em 4 anos. Esse exemplo pode ser representado por progressão aritmética, também conhecida como PA. A PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Ao final desta aula, você será capaz de: • identificar progressão aritmética (PA) e suas características; • aplicar os conhecimentos de PA em situações-problema. Sequência numérica Chamamos de sequência a todo conjunto em que seus elementos estão dispostos em determinada ordem. Quando todos os elementos de uma sequênciasão números reais ), a sequência é denominada sequência numérica, podendo ser finita ou infinita. Uma sequência de n elementos é indicada por: com Todos elementos de uma sequência pertencem ao conjunto dos números reais. São exemplos de sequências numéricas: anos em que acontecem a Copa do Mundo e as Olimpíadas, anos bissextos, entre outros. Progressão aritmética (PA) Observe a sequência 5, 10, 15, 20, 25, ... A diferença entre quaisquer dos termos consecutivos dessa sequência é sempre igual a 5 (10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5; 20 – 15 = 5). Dessa forma, chamamos de progressão aritmética (PA) toda sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada razão da PA e indicada por r. Podemos classificar uma progressão aritmética em crescente, decrescente ou constante. Veja alguns exemplos para ajudá-lo a entender como classificamos uma PA. Acompanhe! • (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...) PA crescente, pois a razão dessa PA é igual a 1, logo r > 0. Toda PA cuja razão é maior que zero (r > 0) é classificada como PA crescente. (9 – 8 = 1; 8 – 7 = 1; 7 – 6 = 1 e assim sucessivamente) • (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é • • • • - -2 • (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é menor que zero (r < 0) é classificada como PA decrescente. (4 – 6 = – 2 ; 6 – 8 = – 2 ; 10 – 12 = –2 e assim sucessivamente) • ( 7, 7, 7, 7, 7,...) PA constante, pois a razão é igual a zero (r = 0). Toda PA cuja razão é igual a 0 (r = 0) é classificada com PA constante. (7 – 7 = 0; 7 – 7 = 0 e assim sucessivamente) Toda PA apresenta uma fórmula geral que é utilizada na resolução de problemas que envolvem esse conceito, que é dada por: Em que: Veja a seguinte situação: • A empresa X observou que o recebimento de currículos para análise em seu departamento de RH aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 30. Se, em janeiro, recebeu 120 currículos, quantos currículos a empresa recebeu em março daquele ano? Vamos resolver? O recebimento mensal desse currículo forma uma PA com uma razão igual a 30 (, e primeiro termo igual a 120 (). Sendo assim, temos que descobrir o terceiro elemento () dessa PA, pois março é o terceiro mês do ano. Utilizando a fórmula geral da PA, temos: . Logo, substituindo os valores dados, ficamos com: • • • - -3 Assim, essa empresa recebeu, em março daquele ano, 180 currículos. Aproveitando a mesma situação, vamos analisar o seguinte: essa empresa precisa fazer um levantamento de quantos currículos receberá ao longo de 1 ano. Para ajudá-la nessa segunda questão, precisamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA. Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos. - -4 Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos. Ainda podemos determinar uma PA quando conhecemos seus elementos. A partir da definição de PA já apresentada anteriormente, escrevemos uma representação que ajuda na resolução de problemas. Observe: Uma PA com três termos pode ter a seguinte representação: Para uma PA com cinco termos, escrevemos: Veja um exercício para entender melhor. • Os salários de 5 empregados em uma determinada empresa estão em PA. Se o segundo e quinto funcionários recebem, respectivamente, R$ 2.500,00 e R$ 4.000,00, quanto recebe o primeiro funcionário? Podemos escrever essa PA da seguinte forma:.O primeiro termo dessa PA é 2.500, o quinto é 4.000, que também .é igual a Assim, temos: . Com isso, podemos calcular a razão dessa PA. Veja: Para calcular o salário do primeiro funcionário, utilizamos como sendo o primeiro termo desta PA. Dessa forma, temos: Portanto, o salário do primeiro funcionário é R$ 2.000,00. Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo. 1) Fabrício trabalha para seu João entregando panfletos na rua. Resolveu fazer uma proposta para seu empregador tentando ganhar um salário diferente do quem vem ganhando em alguns meses. O salário que João paga para Fabrício é de R$ 300,00 por mês. A proposta foi a seguinte: Fabrício disse a João que gostaria de receber um pouco do salário por dia. R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia subsequente, receberia R$ 1,00 a mais do que no dia anterior. O empregador concordou, mas, depois de um tempo, verificou que saiu no prejuízo. Com base na proposta de Fabrício, calcule quanto Fabrício receberá a mais do que receberia com o salário de R$ 300,00, levando em conta um mês com 30 dias. 2) Breno parou em um estacionamento por 5 horas. Calcule quanto ele gastará sabendo que os valores, a partir da segunda hora, seguem uma progressão aritmética com o estabelecimento cobrando R$ 6,00 na primeira hora, R$ 4,00 na segunda hora e R$ 0,50 na sétima hora. Fechamento Neste aula aprendemos o que é sequência numérica e também o que é progressão aritmética. Vimos como resolver problemas de PA utilizando-se de uma fórmula. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Conhecer a fórmula do termo geral de uma PA; • Entender a fórmula geral da soma dos termos de uma PA; • Compreender como as classificações de PA. Referências DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo 2014. • • • • - -1 Progressão Geométrica - PG Introdução Nesta aula estudaremos a progressão geométrica, também conhecida como PG. Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. Parece complicado, mas não é! Vamos lá! Ao final desta aula, você será capaz de: • identificar a progressão geométrica (PG) e suas características; • aplicar os conhecimentos de PG em situações-problema. PG Veja a situação: • Um professor titular da Universidade Indústria do Saber recebia R$ 2.000,00 por mês de salário no ano de 2010. O acordo feito de reajuste salarial entre as partes foi o seguinte: o valor do salário seria reajustado em 10% ao ano, nos 4 anos subsequentes sobre o salário do ano anterior. Vejamos uma tabela que representa o reajuste do salário do professor: Figura 1 - Tabela 1 - Salário x Ano de recebimento Fonte: Elaborada pela autora (2014) Vamos primeiro dividir os valores de dois termos consecutivos dessa sequência. Observe, a seguir, que os quocientes das divisões efetuadas serão todos iguais. • • • - -2 Figura 2 - Tabela 2 - Encontrando a razão da PG Fonte: Elaborada pela autora (2014) Os salários correspondentes a cada ano representam uma sequência numérica que obedecem a uma lei de formação, em que cada termo (a partir do segundo) é obtido por meio da multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q). Chamamos essa sequência de progressão geométrica (PG). Uma progressão geométrica pode ser classificada em crescente, decrescente ou alternada (oscilante). Veja os seguintes exemplos: Agora, retornaremos ao problema do professor universitário, pois ele deseja saber qual será seu salário em 2020. Vamos ajudá-lo? Para isso, precisamos conhecer a fórmula do termo geral da PG. FIQUE ATENTO Define-se progressão geométrica (PG) como uma sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q. - -3 No exemplo dado, temos que: Para calcular o salário do professor no ano de 2020, devemos calcular o décimo primeiro termo dessa PG(), uma vez que 2020 ocupa a décima primeira posição, a partir do termo inicial (2010). Para isso, utilizamos a fórmula do termo geral da PG. Acompanhe! Podemos concluir, então, que o salário desse professor em 2020 será de R$ 5.180,00. Entretanto, esse professor é muito curioso. Sendo assim, ele quer saber a soma dos seus vencimentos nos anos de 2010, inclusive, até 2014, sem precisar fazer muitos cálculos. Será possível? Claro! - -4 Para ajudar o professor a encontrar a soma desejada, primeiro precisamos calcular o que representa a soma (uma parcela de cada ano) dos salários recebidos de 2010 até 2014. Mas não terminamos ainda! Considerando que ele recebeu 12 meses de salário, é preciso multiplicar o valor encontrado em por 12. Logo, temos que: Assim, a soma de todos os salários mensais recebido por esse professor de 2010 até 2014 é aproximadamente R$ 146.400,00. Que tal mais uma atividade para você verificar se está aprendendo? • Luiz Marcelo comprou um carro e pagou em 7 parcelas crescentes. A primeira prestação foi de R$ 1.000,00 e cada parcela subsequente o dobro da anterior. Determine qual foi o valor total do carro pago por Luiz Marcelo. Temos que encontrar o .Veja: Sabemos que: = 1.000 e q = 2 • - -5 Portanto, o carro custou R$ 127.000,00. Agora é sua vez! Tente resolver os exercícios de PG a seguir, ok? 1)Marta foi contratada por uma empresa e seu salário inicial é de R$ 1.200,00. Supondo que Marta receberá um aumento de 5% a cada mês, qual será seu salário daqui a 6 meses? 2)Na época de Natal, Lohana foi contratada para trabalhar em uma loja de roupas de segunda a sábado. A proprietária da loja ofereceu um salário um pouco diferente. No primeiro dia, o salário seria de R$ 1,00 e, nos dias subsequentes, seria o dobro do que recebeu no dia anterior. Calcule quanto Lohana recebeu em 12 dias de trabalho. Fechamento Neste aula estudamos a progressão geométrica, seu conceito e sua fórmula. Também vimos problemas e como resolve-los a partir da aplicação de fórmulas. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Entender o termo geral de uma PG; • Aplicar a fórmula geral da soma dos termos de uma PG; • Compreender as classificações da PG. Referências DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo 2014. • • • - -1 Porcentagem - percentuais, acréscimos e decréscimos Introdução Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. Essas expressões são parte do estudo da porcentagem, que pode ser aplicada por meio de percentuais, acréscimos e decréscimos, temas dessa aula. Ao final desta aula, você será capaz de: • identificar os números percentuais; • aplicar as operações com porcentagem em situações-problema. Conceito Vamos iniciar este tema apresentando as diversas maneiras de escrever um número na forma de porcentagem. Podemos representar a porcentagem na forma de número decimal e, ainda, na forma de fração irredutível, quando possível. Acompanhe os seguintes exemplos: Veja, a seguir, situações em que ocorre a porcentagem. Deveria começar por percentual de um valor, exemplo, quanto é 30% de 80 m? Resposta: 30% x 80 = 0,3x80 = 24 • • FIQUE ATENTO Todo número escrito na forma de porcentagem pode ser representado por uma razão com denominador 100, recebendo, dessa forma, o nome de razão centesimal. - -2 Percentual de uma quantidade Marcos precisa ler 120 relatórios. Já leu 20%. Quantos relatórios ainda faltam para ler? Primeiro, vamos calcular quanto representa 20% de 120. Veja: - Dessa forma, Marcos já leu 24 relatórios e ainda faltam ler 96. Acréscimos/aumentos Agora, suponha a seguinte situação: todo ano, os salários dos professores sofrem um acréscimo com base na inflação anual. Caso a inflação tenha sido de 4,5% naquele ano, qual será o valor reajustado do salário de um professor que ganha por mês R$ 1.850,00? Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 4,5% sobre o salário de 1.850 reais. E depois, adicionar os valores. Veja: ou Logo, o salário do professor após o reajuste será de 1.850 + 83,25 = .R$ 1.933,25 Como se trata de acréscimo, podemos calcular de uma forma mais rápida. Observe: O salário do professor representa 100% e o percentual de reajuste (acréscimo que o salário sofrerá) é de 4,5%. Vamos escrever 100% e 4,5% na forma de fração ou de número decimal: Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato. Veja: Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato. Veja: Descontos/Decréscimos Suponha que, por conta do início da safra, o preço do tomate sofreu um decréscimo de 28% no mês de setembro em um determinado ano. Sabendo que, em fevereiro, o valor do quilo do tomate era de R$ 6,00, calcule qual o valor do quilo do tomate após sofrer esse decréscimo. FIQUE ATENTO Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado. - -3 Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 28% de 6 reais. E depois, subtrair os valores. Veja: ou Para calcular o valor do quilo do tomate após o decréscimo, basta subtrair 6 – 1,68 = 4,32. Logo, o valor do quilo do tomate em setembro de um determinado ano é de .R$ 4,32 De forma análoga ao feito em III, utilizamos o mesmo raciocínio para calcular rapidamente o decréscimo /desconto sobre o valor de algo. Veja como ficaria neste exemplo: Fechamento Neste tema, você aprendeu que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração centesimal, em que o denominador é sempre 100 e o numerador o valor do percentual. Também viu as situações em que a porcentagem representa acréscimo ou desconto. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Aprender o que são números percentuais; • Resolver operações de porcentagem. Referências CRESPO, A. A. . 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.Matemática Financeira Fácil DANTE, L. R. . 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.Matemática ______. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática FIQUE ATENTO Como se trata de decréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é subtraído. SAIBA MAIS Desse modo, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculos de acréscimos/aumentos e decréscimos/descontos sobre determinada quantidade ou determinado valor. Veja: e Em que P representa a quantidade/valor final, x representa a taxa percentual e representa a quantidade/valor inicial. • • - -4 IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo 2014. SOUZA, P. S. . Dissertação de Mestrado.Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011. - -1 Porcentagem – Acréscimos, decréscimos sucessivos e cálculos de juros Introdução Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. A porcentagem está presente em diversas situações do nosso cotidiano. Nesta aula veremos acréscimos e decréscimos sucessivos e a fazer cálculos de juros! Ao final desta aula, você será capaz de: • aplicar as operações com porcentagem em situações-problema; • empregar o conceito de juro em situações-problema.• compreender o que acréscimos e decréscimos sucessivos; Acréscimos e decréscimos sucessivos Para entender este item, vamos levar em conta a seguinte situação: • Antônio comprou um carro novo por R$ 45.000,00. Após dois anos e meio, precisou vendê-lo e, para isso, foi pesquisar qual o valor do seu automóvel depois desse tempo. Descobriu que o valor do carro sofreu depreciação de 10% e 7% nos 2 primeiros anos, respectivamente. Qual foi o valor desse veículo após a depreciação? No caso de acréscimos/decréscimos sucessivos, vamos utilizar a seguinte fórmula: Sendo assim, temos que: (preço inicial) = 45.000. A primeira taxa é de 10%, ou seja, 0,1 e a segunda taxa é de 7%, ou seja, 0,07. Logo, utilizando a fórmula , temos que: 37.665 Acompanhe a situação a seguir: • Um salão de beleza reajusta o preço de seus produtos semestralmente. Por conta desses valores reajustados, o preço de um determinado serviço sofreu acréscimos sucessivos de 5% e 8,5% ao longo de um ano. Determine o valor final desse serviço, que, anteriormente, custava R$ 150,00. Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos: • • • • FIQUE ATENTO No exemplo dado, utilizamos o conceito de decréscimo sucessivo. Para situações em que ocorrem acréscimos sucessivos, a resolução é análoga à apresentada, só que os valores são somados. Fique atento! • - -2 Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos: Em que(preço inicial) = 150. A primeira taxa é de 5%, ou seja, 0,05 e a segunda taxa é de 8,5%, ou seja, 0,085. Substituindo os valores, temos: 170,89 .Portanto, o valor final desse serviço é de R$ 170,89 Uso de porcentagem no cálculo de juro O juro simples é sempre calculado em relação ao capital inicial, período a período. Assim, o valor do juro é constante a cada período de tempo, ou seja, não se altera. Veja a seguinte situação: • Ana foi ao banco e aplicou R$ 5.000,00 com juro simples de 4% ao mês. Qual será o valor total que receberá ao final de 7 meses de aplicação? Para resolver essa situação, podemos calcular o percentual de 4% sobre o valor de 5.000 e depois multiplicar pelo tempo de aplicação. Acompanhe: Agora multiplicamos o valor do juro encontrado por 7, que foi o tempo que o seu dinheiro ficou aplicado. Veja: Para saber o valor total que Ana receberá, basta adicionar o valor do juro encontrado durante o tempo de aplicação com juro simples ao valor inicial aplicado. Observe: .Portanto, Ana receberá R$ 6.400,00 Portanto, • A dívida que uma pessoa contrai ou a quantia que uma pessoa investe chama-se capital. • A soma do capital com os juros, por sua vez, é chamada de montante (capital + juros). • E, por fim, a taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama-se taxa de juros. • FIQUE ATENTO Juro simples é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. Nesse caso, ao final de cada período de aplicação, o juro não é incorporado ao capital, mesmo que o dinheiro continue aplicado. • • • FIQUE ATENTO Lembre-se de que a taxa percentual pode ser escrita na forma decimal ou fracionária. - -3 No caso de juro composto, a lógica é a mesma dos aumentos sucessivos, ou seja, o juro é somado ao capital para o cálculo de juros nos períodos seguintes. Utilizando a situação-problema a seguir, podemos entender melhor. Veja: • Fernando aplicou R$ 4.000,00 em um banco que paga juro composto de 2% ao mês. Qual será seu montante depois de 3 meses de investimento? Vamos aos cálculos? Como se trata de juros compostos, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos sucessivos. Acompanhe: Em que(preço inicial) = 4.000. A taxa é de 2% ao mês, ou seja, 0,02. Substituindo os valores, temos: 4244,83 Decorridos 3 meses, .Fernando terá um montante de R$ 4.244,83 Chegou a vez de você verificar se está compreendendo os conceitos de porcentagem abordados. Assim, procure resolver os exercícios a seguir: 1) Laura ganha R$ 2.500,00 por mês. Utiliza 35% do seu salário para pagar o aluguel do seu imóvel. Quanto sobra do salário de Laura? 2) Em certa cidade com 150 mil habitantes, 35% têm mais de 60 anos. Qual o número de habitantes que tem mais de 60 anos? 3) Sérgio irá vender seu automóvel, que sofreu 25% de depreciação ao longo de um ano. Qual o valor atual desse automóvel se o preço pago foi de R$ 38.450,00 na época da compra? 4) Um item sofre acréscimos sucessivos de 8% e 10% ao longo de certo período. Se o preço inicial desse item era de R$ 4.800,00, qual o seu valor final? 5) Ana aplicou, a juro simples, R$ 108.000,00 em 180 dias a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor que resgatou após esse tempo? 6) Se um determinado equipamento custava R$ 3.500,00 e passou a custar R$ 2.520,00, qual foi o percentual de desconto dado? 7) Certa carta de investimento rende 3,5% ao mês a juros compostos. Se Deise aplicar R$ 120.000,00 por um período de 5 meses, quanto obterá de rendimento? 8) Celma fez um empréstimo de R$ 6.000,00 a juros compostos de 2,6% ao mês. Após 4 meses, qual é o valor devido por Celma? SAIBA MAIS A taxa percentual e o período de tempo devem sempre estar na mesma unidade. • SAIBA MAIS Juro é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. No caso de juros compostos, ao final de cada período de aplicação, o juro é incorporado ao capital. - -4 Fechamento Nesta aula estudamos acréscimo e decréscimo sucessivos e também vimos como calcular juro. Lembrando que juro é o valor que se paga ou recebe por um capital (C), emprestado ou aplicado, a uma taxa combinada por um período de tempo determinado, e que este pode ser calculado como juro simples ou como juros compostos, dependendo da situação. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Aplicar acréscimo e decréscimo em um problema-solução; • Resolver questões de cálculos de juros. Referências CRESPO, A. A. . 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.Matemática Financeira Fácil DANTE, L. R. . 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.Matemática ______. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo 2014. SOUZA, P. S. . Dissertação de Mestrado.Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011. • • - -1 Razão e proporção – conceitos Introdução A proporcionalidade pode se apresentar em tamanhos diferentes, razões e situações diversas. Esse será o assunto dessa aula e nela você ainda estudará assuntos como conceitos de razão, proporção e grandes diretamente proporcionais. Vamos lá? Ao final desta aula, você será capaz de: • definir razões e proporções matematicamente; • desenvolver os conceitos de razão e proporção em situações-problema. Entendendo a razão Observe a seguinte situação: Numa certa empresa no setor X, há 15 homens e 20 mulheres. Uma das maneiras de comparar esses números é calcular a razão entre eles, estando atento à ordem considerada. Veja: a razão entre o número de homens e o número de mulheres pode ser representada por: 15:20 = 0,75 = 75% Note que podemos escrever a razão entre dois números na forma de fração (), na forma de fração irredutível, quando possível, ( ), na forma de número decimal (0,75) ou na forma de porcentagem (75%). Portanto, A razão entre dois números a e b, com b diferente de 0, é o quociente de , que pode ser indicado por ou qualquer outra forma equivalente. Destaca-se aqui que a ordem dos números no cálculo de uma razão é importante. Por isso, cada número recebe um nome. Retornando à situação apresentada no início deste tópico, vamos analisar outros dois setores (Y e Z) desta mesma empresa. Temos, assim, que a razão entre o númerode homens e o número de mulheres: • no setor Y, que tem 14 homens e 18 mulheres, é , pois • no setor Z, que tem 12 homens e 16 mulheres, é , pois Observe que a razão entre o número de homens e o de mulheres é o mesmo no setor X e no setor Z. Em casos como esse, as duas razões formam uma proporção . Entendendo a proporção A proporcionalidade está presente no dia a dia de muitas pessoas. Não só aparece na ampliação e na redução de fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio, • • • • FIQUE ATENTO Quando temos uma igualdade entre duas razões, formamos uma proporção. - -2 fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio, a leitura de uma receita, entre muitas outras. Nessas situações, a noção de razão é fundamental para o desenvolvimento da ideia de proporcionalidade e dos cálculos nela presentes. Utilizando o exemplo anterior, indicamos a proporção da seguinte maneira: e lemos “15 está para 20 assim como 12 está para 16”. De modo geral, podemos escrever: Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b é igual à razão entre os números c e d, dizemos que a razão é uma proporção. Assim, temos que a leitura da proporção é: a está para b assim como c está para d. O primeiro e o último termos citados na leitura são os extremos da proporção (a e d). Os outros dois termos são os meios da proporção (b e c). Para facilitar alguns cálculos que envolvem proporção em situações-problema, é preciso aprender a propriedade da proporção. Vamos lá? Aprendendo a propriedade fundamental da proporção Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Veja simbolicamente: ---> Ainda existem outras propriedades das proporções. Vamos conhecê-las? • Adição entre seus termos: • Subtração entre seus termos: No exemplo dado no início deste material, verificamos que uma empresa possui setores X, Y e Z contendo quantidades distintas de homens e mulheres. Nas razões especiais, estudamos a relação entre comprimento, tempo e área. Estas quantidades representam grandezas. Fechamento Nesta aula você aprendeu que razão é o quociente de a:b, com b diferente pode ser indicada por ou qualquer outra forma equivalente Você estudou também que, se duas razões são iguais, elas foram uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b for igual à razão entre os números c e d, dizemos que é uma proporção. Proporção foi o segundo assunto que abordamos neste tema, afirmando que em toda proporção direta o produto dos meios é igual ao produto dos extremos – propriedade fundamental das proporções. Nesta aula, você teve a oportunidade de: • Compreender os conceitos de razão e proporção matematicamente; • Resolver razão e proporção em situações-problema. Referências DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática SOUZA, P. de S. . Dissertação deMatemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011. • • • • - -1 Razão e Proporção – Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Introdução Nessa aula, estudaremos as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Vamos também aprender a identificá-las e como aplicá-las e resolvê-las em problemas. Vamos lá! Ao final desta aula, você será capaz de: • aplicar grandezas diretamente proporcionais em situações-problema. Entendendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais A seguir, estudaremos as grandezas direta e inversamente proporcionais. Vamos lá? Grandezas diretamente proporcionais Observe a seguinte situação: • Marcos, conversando com sua mãe, perguntou o seguinte: “Quando a gente compra café, o preço depende da quantidade comprada?” Repare no quadro a seguir o que acontece com o preço do café em relação à quantidade comprada: Figura 1 - Tabela 1 – tabela de preço x quantidade de café Fonte: Marques (2014) Se comprarmos 1 quilo de café, pagamos 4 reais; se comprarmos metade da quantidade, ½ quilo, pagamos 2 reais, a metade do primeiro preço. E se comprarmos o dobro de café, 2 quilos, o preço também dobra (2 x 4), ficando 8 reais. Assim, podemos concluir que peso e preço são, então, grandezas que variam de modo proporcional. É fácil perceber que quanto maior a quantidade de café comprada maior é o preço pago por ele. Grandezas que apresentam esse tipo de comportamento são diretamente proporcionais. Desta forma, podemos concluir: • • - -2 concluir: Quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica metade, o valor de outra grandeza também dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. Dizemos, então, que as duas grandezas envolvidas nessa situação são diretamente proporcionais ou apenas que são proporcionais. No exemplo dado, conforme afirmamos, as grandezas são diretamente proporcionais, assim as razões entre preço e quantidade de café formam a seguinte proporção: . Simplificando cada uma dessas razões, temos: , e Perceba que todas obtiveram como resultado da simplificação. Logo, a =razão de proporcionalidade Mas e quando as grandezas variam de modo inverso? Acompanhe! Grandezas inversamente proporcionais Para estudar as grandezas, observe a seguinte situação: • Inês gosta muito de ler. Se ela consegue ler 8 páginas de determinado livro por hora, ela lerá este livro em 12 horas. Entretanto, ela resolveu ser mais rápida na leitura e conseguiu ler 16 páginas por hora levando 6 horas para terminar de ler o mesmo livro. Perceba que ao aumentar a quantidade de páginas lidas em uma hora, o tempo que Inês levou para ler o livro diminuiu. Por quê? Neste caso, quando a grandeza (número de páginas) aumenta o dobro (8 páginas para 16 páginas) a outra (tempo) diminui pela metade (12 horas para 6 horas). Vamos complicar um pouco mais? • Mara, Raphael e Luiza fizerem um mesmo percurso de três formas diferentes: de bicicleta, de calhambeque e de carro veloz. Mara, de bicicleta, fez esse percurso com uma velocidade média de 15 km /h e gastou 120 minutos (2h). Em seu Calhambeque, Raphael fez o mesmo percurso com uma velocidade média de 30 km/h e gastou 60 minutos (1h). Já a Luiza, em seu carro novo, andou a uma velocidade média de 90 km/h e gastou 20 minutos. Observe que quem gastou mais tempo foi Mara, em seu veículo de velocidade menor. Além disso, pode-se perceber que a velocidade e o tempo não são grandezas diretamente proporcionais, pois a velocidade dobrou (15 para 30) e o tempo não dobrou (120 para 60). Agora, vamos analisar o quadro a seguir, com os valores dessa situação envolvendo duas grandezas: velocidade (em km/h) e tempo (em min). Figura 2 - Tabela 2 – Tabela velocidade x tempo de um mesmo percurso Fonte: Marques (2014) Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na SAIBA MAIS • Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde ao aumento (ou diminuição) da outra na mesma razão; • Quando duas grandezas A e B são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão. • • • • - -3 Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na segunda coluna, se reduz pela metade (120 para 60). Depois, a velocidade de 30 km/h passa para 90 km/h, ou seja, a velocidade triplicou. E o tempo? Nesse caso o tempo reduziu a terça parte (60 para 20). Assim, dobrando a velocidade, o tempo reduz-se
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