calculo numerico-metodo-ponto-fixo-metodo-newton-raphson

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Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0
determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta
intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre
eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1)
será:
CÁLCULO NUMÉRICO
 CCE0117_A3_201802473157_V1 
Lupa Calc.
 
 
Vídeo
 
PPT
 
MP3
 
Aluno: Matr.:
Disc.: CÁLCULO NUMÉRICO 2019.2 (G) / EX
 
Prezado (a) Aluno(a),
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
Método de Newton-Raphson
Método de Pégasus
Método do ponto fixo
Método da bisseção
Método das secantes
 
 
 
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação
gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
 
 
 
 
2.
1,143
3,243
2,443
1,243
2,143
 
 
 
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Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem,
respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa
correta.
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
 
 
 
 
3.
É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
É verdade que f(0) = 1,254
O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 =
0,003 < 0,01.
O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003
< 0,01.
 
 
 
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior
e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é
menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
 
 
 
 
4.
Gauss Jacobi
Gauss Jordan
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Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize
1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
Newton Raphson 
Ponto fixo
Bisseção 
 
 
 
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação
gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
 
 
 
 
5.
-1
2
1
1.75
-2
 
 
 
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
 
 
 
 
6.
1,77
1,70
1,17
1,67
1,87
 
 
 
Explicação:
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .)
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 = - 6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 = - 2,546
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771
 
 
 
 
7.
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Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o grá�ico
que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
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Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o grá�ico
que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
 
 
 
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através
da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
 
 
 
 
8.
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Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação
gráfica da derivada da função como a tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na
segunda figura.
 
 
 
 
 
 
 
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
 
 
Exercício inciado em 12/11/2019 00:46:38.