Teste de conhecimento Aula 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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1. 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42∫24 ∫21∫12 (x²x² + y²y²) dydx 
 
 
70/11 
 
 
70/15 
 
 
70/9 
 
 
70/3 
 
 
70/13 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a única resposta correta para a equação 
paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao 
vetor v = i + j + k. 
 
 
x=tx=t; y=−ty=-t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=3+tx=3+t; y=4+ty=4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=1−tz=1-t 
 
 
x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=−3+tx=-3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
 
Explicação: 
Na questão usamos um ponto P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0) e um vetor vv que 
dá a direção e a equação 
vetorial x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
 
no centro do círculo. 
 
 
na reta y = x. 
 
 
no raio do círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x - 3y) 
 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à 
superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
 
 z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre dwdtdwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da 
derivada em t = 0? 
 
 
 
0 
 
 
-1 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente 
da função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-
z no ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 
 
∇f=<-e,-e, e> 
 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
 
∇f=<-e,-e,-e> 
 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções exponenciais. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = 
(t.cost)i + (t.sent)j + tk ? 
 
 
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k 
 
 
(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k 
 
 
(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k 
 
 
(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 
 
Explicação: 
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais 
em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória 
circular com velocidade angular constanteww tem vetor 
posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique 
a única resposta correta que determina a 
aceleração a(t)a(t) em um tempo t qualquer. 
Observação: bb> 0. 
 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
 
 
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 
 
 
Explicação: 
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que 
se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t 
, pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento 
no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como 
o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira 
ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0
) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
 
Explicação: 
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a opção 
correta 
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz 
 
 
 
0 
 
 
2-2z 
 
 
2 
 
 
1-z 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória 
circular com velocidade angular constante ww tem vetor 
posição dado 
por r(t)=(acoswt,asenwt)r(t)=(acoswt,asenwt). Indique 
a única resposta correta que determina a velocidade em um 
tempo tt qualquer. 
Observação: aa > 0. 
 
 
 
(−a²wsenwt,−a²wcoswt)(−a²wsenwt,−a²wcoswt) 
 
 
(awsenwt,awcoswt)(awsenwt,awcoswt) 
 
 
(−awsent,awcoswt)(−awsent,awcoswt) 
 
 
(−aw²sent,aw²coswt)(−aw²sent,aw²coswt) 
 
 
(asenwt,acoswt)(asenwt,acoswt) 
 
 
 
Explicação: 
A velocidade é determinada pela 1ª derivada de r(t)r(t)ou 
seja, v(t)=drdtv(t)=drdt 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i 
+(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que 
se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t 
, pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangenteà curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento 
no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como 
o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
xy cos xy + sen xy 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo 
do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = ΠΠ/2? 
 
 
 
-1 
 
 
-2 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . 
Calcule a aceleração em t =1 segundo. 
 
 
6i + 2j 
 
 
6i - 2j 
 
 
6i + j 
 
 
i - 2j 
 
 
i + j 
 
 
 
Explicação: 
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), calcula-se 
a aceleração solicitada. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros 
quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 
metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a 
área mínima na qual possa ser construído este galpão. 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62) 
 
 
n.r.a 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição 
igual a: r(t)=(t²,et,tet)r(t)=(t²,et,tet). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(t,t²,t³)(t,t²,t³) 
 
 
(2t,−et,(1−t)et)(2t,−et,(1−t)et) 
 
 
(1,et,tet)(1,et,tet) 
 
 
(1,t,et)(1,t,et) 
 
 
(2,et,(2+t)et)(2,et,(2+t)et) 
 
 
 
Explicação: 
Use a(t)=d²rdt²a(t)=d²rdt², ou seja a aceleração é igual à segunda 
derivada do vetor posição 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na 
direção do vetor U = (0,-1) 
 
 
-3 
 
 
-1 
 
 
-5 
 
 
-2 
 
 
-4 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única 
resposta correta se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 
 
r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
 
 
r'(t) = v(t) = 32i - j 
 
 
r'(t) = v(t) = 12i - j 
 
 
 
Explicação: 
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada e 
substituir t=1. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera `x² 
+ y² + z² = 50 no ponto P(3,4,5)P(3,4,5). 
 
 
 3x−4y+5z=183x-4y+5z=18 
 
 6x+8y−5z=06x+8y-5z=0 
 
 
 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100 
 
 
 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0 
 
 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0 
 
 
 
Explicação: 
Plano tangente da curva z = f(x,y): 
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy 
 
 
 
 
 
1. 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+(l
ntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 
 e3i+j+5k 
 
 3i+5k3i+5k 
 
 e3 i + 5ke3 i + 5k 
 
 e3 i+je3 i+j 
 
 3i+j+5k3i+j+5k 
 
 
 
Explicação: 
Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois as indeterminações que 
aparecem são da formas 1 elevado a infinito e infinito/infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a acelaração da 
curva r(t)=(cost,sent,t²)r(t)=(cost,sent,t²), indicando a 
única resposta correta, em t=π2t=π2. 
 
 
 
(0,−1,2)(0,−1,2) 
 
 
(0,0,0)(0,0,0) 
 
 
(1,1,0)(1,1,0) 
 
 
(2,−1,0)(2,−1,0) 
 
 
(π,π,−π)(π,π,−π) 
 
 
 
Explicação: 
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição em t=π2t=π2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
 
na reta y = x. 
 
 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
 
no raio do círculo. 
 
 
no centro do círculo. 
 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42∫24 ∫21∫12 (x²x² + y²y²) dydx 
 
 
70/11 
 
 
70/9 
 
 
70/13 
 
 
70/15 
 
 
70/3 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x∂f∂x 
 
 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x - 3y) 
 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à 
superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
 
 z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente 
da função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-
z no ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
 
∇f=<-e,-e,-e> 
 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 
 
∇f=<-e,-e, e> 
 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções exponenciais. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a única resposta correta para a equação paramética 
para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao 
vetor v = i + j + k. 
 
 
 
x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=−3+tx=-3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=3+tx=3+t; y=4+ty=4+t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=tx=t; y=−ty=-t; z=−1+tz=-1+t 
 
 
x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=1−tz=1-t 
 
 
 
Explicação: 
Na questão usamos um ponto P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0) e um vetor vv que 
dá a direção e a equação 
vetorial x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre dwdtdwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da 
derivada em t = 0? 
 
 
 
2 
 
 
-1 
 
 
-2 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = 
(t.cost)i + (t.sent)j + tk ? 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k 
 
 
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k 
 
 
(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k 
 
 
(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k 
 
 
 
Explicação: 
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais 
em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que 
se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t 
, pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento 
no instante t. 
 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como 
o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e III 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória 
circular com velocidade angular constanteww tem vetor 
posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique 
a única resposta correta que determina a 
aceleração a(t)a(t) em um tempo t qualquer. 
Observação: bb> 0. 
 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 
 
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 
 
 
Explicação: 
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que 
se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t 
, pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento 
no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como 
o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e III 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i 
+(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz 
 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
1-z 
 
 
2-2z 
 
 
0