Propriedades dos logaritmos

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Matemática 
 
 
 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS 
LOGARITMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Propriedades operatórias dos logaritmos ........................................................................... 2 
1.1. Relembrando alguns conceitos ....................................................................................... 2 
1.2. Outras propriedades dos logaritmos ............................................................................... 2 
1.3. Exemplo utilizando as três propriedades ........................................................................ 4 
1.4. Logaritmos e os terremotos ............................................................................................. 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre Sistemas Logarítmicos, vimos as consequências da definição 
de logaritmos e sistemas logarítmicos. Conhecemos os sistemas logaritmos de base 
a, os sistemas logaritmos decimais e os sistemas logaritmos neperianos. 
Para a aula de hoje, veremos as propriedades operatórias dos logaritmos, 
definindo seus conceitos e analisando exercícios aplicados. 
Vamos recordar algumas propriedades já aprendidas e introduzir novas para 
que possamos avançar nos estudos de logaritmos. 
Objetivo 
• Definir as propriedades operatórias dos logaritmos; 
• Conceituar as propriedades operatórias dos logaritmos. 
 
1. Propriedades operatórias dos logaritmos 
1.1. Relembrando alguns conceitos 
As propriedades dos logaritmos podem simplificar e tornar mais fáceis os 
cálculos que envolvem essa operação matemática. 
 Para que possamos introduzir as propriedades operatórias dos logaritmos, 
vamos relembrar: 
loga 1 = 0, pois a0 = 1, qualquer que seja a > 0 e a≠ 1. 
loga a = 1, pois a1 = a para todo a > 0 e a≠ 1. 
loga an = n, pois an = an para todo a > 0 e a≠ 1 e para todo n. 
 𝑎log𝑎 𝑁 = N, com N > 0, a > 0 e a≠ 1. 
loga x = loga y ←→ x = y, com x > 0, y > 0, a > 0 e a≠ 1. 
 
1.2. Outras propriedades dos logaritmos 
A primeira propriedade é o logaritmo de um produto, onde numa mesma base, 
o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de 
cada um desses números. 
Sendo a, b e c números reais positivos, com b ≠ 1, temos: 
logb ac = logb a + logb c. 
Demonstrando a propriedade acima, sejam logb a = x, logo bx = a. 
 
3 
 
logb c = y, logo by = c . 
Assim podemos escrever bxby = ac ←→ bx + y = ac. 
Pela definição de logaritmo: 
bx + y = ac, logo x + y = logb ac 
logb ac = logb a + logb c 
Exemplos: 
a)log2 (4 . 2) = log2 4 + log2 2 
b) log5 (625 + 125) = log5 625 + log5 125 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
 
A segunda propriedade, logaritmo de um quociente, diz que numa base, o 
logaritmo de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses 
números. 
logb 
𝑎
𝑐
= logb a – logb c 
Sejam logb a = x ←→ bx = a e logb c = y ←→ by = c. 
Assim podemos escrever bx / by = a / c ←→ bx – y =
𝑎
𝑐
 
Pela definição de logaritmo: 
bx – y =
𝑎
𝑐
 ←→ x – y = logb 
𝑎
𝑐
 
logb a – logb c = logb 
𝑎
𝑐
 
Exemplos: 
a)log2 
8
2
= log2 8 – log2 2 
b)log5 
625
125
= log5 625 – log5 125 
O (log 5) . 2 é diferente log(5.2). 
Tome cuidado com esta situação! 
Em (log 5 ).2 precisamos resolver o log 5 e depois 
multiplicar por 2. 
Em log (5.2) fazemos utilizamos a propriedade 
fazendo log 5 + log 2. 
 
 
4 
 
A terceira propriedade, logaritmo de uma potência, esclarece que numa 
mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do 
expoente pelo logaritmo da base da potência. 
loga Mn = n.loga M 
Exemplos: 
a)log3 84 = 4.log3 8 
b)log7 53 = 3.log7 5 
 c)log 102 = 2.log 10 = 2.1 = 2 
 
1.3. Exemplo utilizando as três propriedades 
No exemplo abaixo, vamos utilizar as três propriedades de logaritmos: 
log ( 
𝑎√𝑏 
𝑐3
) 
Tudo que está dentro dos parênteses faz parte do logaritmando. 
Observe que temos multiplicação, divisão e potência no mesmo exercício. 
Repare que na base não aparece nada, ou seja, a base a ser considerada é 10. 
Vamos iniciar a resolução utilizando propriedade do quociente: 
log (𝑎√𝑏) − log 𝑐3 
Agora vamos utilizar a propriedade do logaritmo de um produto, pois a está 
multiplicando √𝑏. 
log a + log √𝑏 - log 𝑐3 
Sabemos que b está dentro de uma raiz quadrada e que seu expoente é 1, ou 
seja, temos √𝑏1
2
. Então vamos utilizar a propriedade de potência, onde o índice da raiz 
é o denominador. 
log a + log b1/2 – log c3 
Vamos agora utilizar a propriedade do expoente, onde o expoente do 
logaritmando passa para frente do logaritmo, multiplicando. 
log a + log b1/2 – log c3 
log a + ½ log b – 3log c 
Assim utilizamos as propriedades para resolução de um mesmo exercício. 
 
 
5 
 
1.4. Logaritmos e os terremotos 
Ao abandonarmos um pequeno dado sobre a superfície terrestre, ocorrerá 
uma liberação de energia que a fará vibrar levemente. Se, no lugar do dado, for 
abandonado um tijolo, a energia liberada fará vibrar mais intensamente essa 
superfície. Vamos então, imaginar um cubo de granito com 2km de aresta 
abandonado de uma altura de 280km; a energia liberada será equivalente a 20 trilhões 
de kwh (quilowatt-hora). Essa foi a medida da energia liberada pelo terremoto 
ocorrido em São Francisco, Califórnia, em 1906. Mais violento ainda foi o terremoto 
que arrasou Lisboa em 1755, liberando energia equivalente a 350 trilhões de kwh. 
Os logaritmos são aplicados na medida da intensidade de um terremoto. Na 
escala Richter, a intensidade I de um terremoto é definida por 𝐼 =
2
3
log
𝐸
𝐸𝑜
 , em que E 
é a energia liberada pelo terremoto, em kwh, e E0 = 10-3 kwh. 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Sabendo que o log6 5 = 0,898 e log6 2 = 0,386, calcular: 
a) log6 10 
b) log6 2,5 
c) log6 20 
d)log3 
5
12
 
e) log6 √5 
 
2. (Paiva, 1999) Sabendo que log 2 = m e log 3 = k, calcular log (8 5√9 ) em 
função de m e k. 
 
3. (Paiva, 1999) Sabendo que log15 9 = a, calcular log15 5 em função de a. 
 
4. (UFSCAR-SP, 2016)A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que 
se destina à produção de madeira evolui desde que é plantada, segundo o 
seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3 (t +1), com h(t) em metros e t 
em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 
metros de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da 
plantação até a do corte foi de: 
 
 
6 
 
a) 9 anos 
b) 8 anos 
c) 5 anos 
d) 4 anos 
e) 2 anos 
Gabarito 
1. Resposta: 
a) log6 10 
log6 (5.2) 
log6 5 + log6 2 
0,898 + 0,386 = 1,284. 
 
b) log6 2,5 
log6 
5
2
= log6 5 – log6 2 
0,898 – 0,386 = 0,512 
 
c)log620 
log6 (22.5) 
log6 22 + log6 5 
2log6 2 + log6 5 
2.0,386 + 0,898 = 1,67 
 
d)log6 
5
12
 
log6 5 - log6 12 
log6 5 - log6 (6.2) 
log6 5 – (log6 6 + log6 2) 
0,898 – (1 + 0,386) = -0,488. 
 
 
7 
 
e) log6 √5 
log6 51/2 
1
2
 log6 5 
1
2
 .0,898 = 0,449 
 
2. Resposta: 
log (8 5√9 ) 
log (23 . 32/5) 
log 23 + log 32/5 
3log 2 + 
2
5
log 3 
3m + 
2𝑘
5
 
15𝑚+2𝑘
5
 . Portanto, log (8 5√9 ) = 
15𝑚+2𝑘
5
 
3. Resposta: 
log15 9 = a 
log15 32 = a 
2log15 3 = a 
log15 3 = 
𝑎
2
 
Sabemos que 
15
3
= 5, então fazemos log15 5 = log15 
15
3
 
log15 
15
3
 = log15 15 – log15 3 
1 - 
𝑎
2
=
2−𝑎
2
 
 
4. B – 8 anos 
h(t) = 1,5 log3 (t + 1) 
h(t) = 3,5 m 
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1) 
3,5 – 1,5 = log3 (t + 1) 
2 = log3 (t + 1) 
log3 (t + 1) = 2 
 
8 
 
32 = (t + 1) 
9 = t + 1 
t = 9 – 1 
t = 8 
Resumo 
Bem, nesta aula, aprendemos as propriedades dos logaritmos. 
Já vimos anteriormente, que sejam a e b números positivos e b ≠ 1. Chama-se 
logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a, ou seja, logb a = x, então bx = a. 
Talvez você ache muito repetitivo estar falando novamente do conceito de 
logaritmo, mas ele é muito importante na resolução de diversos exercícios. 
 
 a, b e c є R*+ e b ≠ 1 
1ª propriedade: logaritmo do produto 
 logb ac = logb a + logb c 
 
 
 a, b e c є R*+ e b ≠ 1 
2ª propriedade: logaritmo do quociente 
 logb 
𝒂
𝒄
= logb a – logb c 
 
 a є R*+ , M > 0 e N є R 
 3ª propriedade: logaritmo da potência 
 loga Mn = N.loga M 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
http://no-mundo-da-matemagica.blogspot.com/2013/07/problemas-de-logaritmos-envolvendo-o.html - 
Acessado em: 22/04/2019 às 08h57 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999