Aula calculo 2

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Máximos e 
Mínimos de 
FVV
Cálculo II
Professor Nilmar Luís Arenhardt
Objetivos de 
Aprendizagem
▪ Compreender as definições de máximos e mínimos locais
e globais de funções de várias variáveis;
▪ Calcular pontos críticos de uma função de várias variáveis;
▪ Aplicar o Teste da Segunda Derivada para determinação
dos máximos e mínimos locais;
▪ Determinar máximos e mínimos globais de funções de
várias variáveis. 2
Valores Máximo e 
Mínimo
Funções de Várias Variáveis
Contexto
▪ Perceba os picos e vales no gráfico de
mostrado na figura. Existem dois
pontos nos quais tem um
máximo local, ou seja, onde é
maior que os valores próximos de
. O maior destes dois valores é
o máximo absoluto. Do mesmo
modo, tem dois mínimos locais
onde é menor que os valores
próximos. O maior destes dois valores
é o mínimo absoluto.
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Como encontrar estes pontos?
▪ 1º Determinar os pontos críticos;
𝑓௫ 𝑥, 𝑦 = 0 e 𝑓௬ 𝑥, 𝑦 = 0
Podemos chamar 𝑥௖ e 𝑦௖
▪ 2º Encontrar a matriz ou determinante dos pontos críticos (2ª derivada);
𝐻௖ 𝑥௖, 𝑦௖ =
𝑓௫௫ 𝑓௫௬
𝑓௬௫ 𝑓௬௬
= 𝑓௫௫𝑓௬௬ − 𝑓௫௬
ଶ
Podemos chamar este determinante de 𝐻 (ou 𝐷)
▪ 3º Realizar o teste;
𝐻 < 0 → ponto de sela
𝐻 > 0 → ቊ𝑓௫௫ > 0 → ponto de mínimo𝑓௫௫ < 0 → ponto de máximo 5
Se 𝐻 = 0
NPA
Valores Máximo e Mínimo
▪ Exemplo 1: Determine e classifique os pontos críticos da
função ସ ଷ ଶ ଶ
𝑃ଵ 0, −1 → ponto de sela
𝑃ଶ −3, −1 → ponto de mínimo
𝑃ଷ 1, −1 → ponto de mínimo
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Valores Máximo e Mínimo
▪ Exemplo 2: Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita
com ଶ de papelão. Determine o volume máximo dessa
caixa.
Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros) 
como mostrado na figura. Então, o volume da caixa é 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
𝑥 = 2
𝑦 = 2
𝑧 = 1
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Valores Máximo e 
Mínimo Absoluto
Funções de Várias Variáveis
Como encontrar estes pontos?
▪ Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função
contínua 𝑓 em um conjunto fechado e limitado 𝐷:
▪ 1º Determinar os valores de 𝑓 nos pontos críticos de 𝑓 em 𝐷;
Podemos chamar 𝑥௖ e 𝑦௖
▪ 2º Determinar os valores extremos de 𝑓 na fronteira de 𝐷;
▪ 3º O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto, o
menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
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Valores Máximo e Mínimo Absoluto
▪ Exemplo 3: Determine os valores máximo e mínimo
absolutos da função ଶ no retângulo
𝑓 3, 0 = 9
𝑓 0, 0 = 𝑓 2, 2 = 0
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ଵ ponto de sela
ଶ
ଷ
ଶ
ଽ
ସ
ponto de mínimo
Exercício 1
Determine e classifique os 
pontos críticos da função 
ଷ ଶ
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5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 29 e 33
Exercícios
Cálculo – Volume 2 
(Stewart – 7ª ed.) -
Seção 14.7
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Bibliografia
- FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian 
Buss. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2007
- STEWART, James. Cálculo – Volume 2, 7ªed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2013
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