AP2_metdet_ii_2019_2_tutor

Prévia do material em texto

Me´todos Determin´ısticos II Gabarito da AP2 2a/2019
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 2a/2019
Questa˜o 1 [3,0 pontos]: Calcule: a) a derivada de h(x) = x2 + 3
x
+ 103x2 +
1
2
√
x
; b) a integral de
(1− t)(2 + t2).
Soluc¸a˜o: a) Calculando a derivada temos
h′(x) = − 203x3 −
3
x2
+ 2x+ 14
√
x
.
b) Antes de integrar veja que (1− t)(2 + t2) = 2− 2t+ t2 + t3, da´ı
∫
(1− t)(2 + t2) dt =
∫ (
t3 + t2 − 2t+ 2
)
dt = t
4
4 +
t3
3 − t
2 + 2t+K.
Questa˜o 2 [1,5 pontos]: Considere a func¸a˜o f(x) = x2+11−x2 . Calcule: (a) o dom´ınio de f(x); (b)
f ′(x) e (c) As assintotas.
Soluc¸a˜o: a) Basta excluir os valores de x tais que 1−x2 = 0⇒ x = ±1. Logo o dom´ınio de f(x)
e´
{x ∈ R : x ̸= ±1}
b) Derivando temos
f ′(x) = 2x(1− x
2)− (−2x)(x2 + 1)
(x2 − 1)2 =
4x
(x2 − 1)2
c) Precisamos calcular 6 limites
lim
x→±∞
x2 + 1
1− x2 = limx→±∞
(
x2
x2
)(
1 + 1/x2
1/x2 − 1
)
= −1−
lim
x→−1−
x2 + 1
1− x2 = −∞, limx→−1+
x2 + 1
1− x2 = +∞
lim
x→1−
x2 + 1
1− x2 = +∞, limx→1+
x2 + 1
1− x2 = −∞
Portanto, y = −1 e´ uma assintota horizontal e x = −1 e x = 1 sa˜o assintotas verticais.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos II Gabarito da AP2 2a/2019
Questa˜o 3 [1,5 pontos]: Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 2. Fac¸a a ana´lise do sinal
de f ′(x) e calcule f ′′(x) depois fac¸a a ana´lise do seu sinal.
Soluc¸a˜o: Como o denominador de f ′ e´ (x2 − 1)2, ele sera´ sempre positivo. Logo quem controla
o sinal de f ′ e´ o seu numerador. Logo se x ≥ 0, f ′(x) ≥ 0 e se x < 0 enta˜o f(x) < 0. Derivando
mais uma vez temos
f ′′(x) = 4(1− x
2)2 − (4x)2(1− x2)(−2x)
(1− x2)4
= (1− x
2)(4(1− x2) + 16x)
(1− x2)4
= 4− 4x
2 + 16x2
(1− x2)3 =
4(3x2 + 1)
(1− x2)3
Para f ′′ que controla o sinal e´ o denominador e este e´ o mesmo que o sinal de x2 − 1. Logo, se
x < −1 ou x > 1 f ′′(x) < 0 e se −1 < x < 1 temos f ′′(x) > 0.
Questa˜o 4 [1,0 pontos]: Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 2. Explique o comportamento
de f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Marque as treˆs ass´ıntotas. Observe que quando x→ −∞ e x→ +∞ a f(x)→ −1 com
valores inferiores a −1. Quando x→ −1− e x→ 1+ a f(x)→ −∞ e por fim quando x→ −1+ e
x→ 1− a f(x)→ +∞.
Observando o gra´fico da esquerda para a direita vemos que ate´ x = −1 a func¸a˜o e´ decrescente com
a concavidade para baixo. Entre −1 < x < 1 a concavidade esta voltada para cima e f e´ decrescente
ate´ 0 e depois fica crescente.
Por fim, para x > 1, a f e´ crescente e tem concavidade voltada para baixo. Com estas observac¸o˜es
e o calculo de f(0) = 1 e´ poss´ıvel fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos II Gabarito da AP2 2a/2019
Questa˜o 5 [3,0 pontos]: Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas curvas y = x2 + 1,
y = 3− x2, no intervalo −2 ≤ x ≤ 2. Calcule a a´rea compreendida entre as curvas neste intervalo.
Soluc¸a˜o: Inicialmente veja que ambas as curvas sa˜o parb´olas. Mas y = x2 + 1 na˜o tem ra´ızes e
tem boca voltada para cima e passa em (0, 1). Ja´ a para´bola y = 3 − x3 tem boca voltada para
baixo e ra´ızes x = ±√3 e passa por (0, 3). Igualdando as duas temos x2 + 1 = 3− x2 ⇒ x = ±1.
Mas a a´rea solicitada e´ a a´rea entre as curvas no intervalo −2 ≤ x ≤ 2.
Pelo gra´fico queremos a a´rea “da balinha”, logo sera´ dado por
A =
∫ −1
−2
(x2 + 1)− (3− x2) dx+
∫ 1
−1
(3− x2)− (x2 + 1) dx+
∫ 2
1
(x2 + 1)− (3− x2) dx
=
[
2
(
x3
3 − x
)]−1
−2
+
[
2x− 2x
3
3
]1
−1
+
[
2
(
x3
3 − x
)]2
1
= 83 +
8
3 +
8
3 = 8
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ