Cap1_-_ME_-_Amostragem__e_DiIstribuições_Amostrais[1]

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Métodos Estatísticos 
1 –Amostragem e Distribuições Amostrais 
Professor Luciano Barboza da Silva 
Problema Introdutório 
• A Oxford Cereais abastece milhares de caixas de cereais 
durante um turno de oito horas. Como gerente de operações 
da unidade de produção, você é responsável por monitorar a 
quantidade de cereal colocada em cada caixa. Para manter 
coerência com o conteúdo especificado na embalagem, as 
caixas devem conter uma média aritmética de 368 gramas 
2 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Problema Introdutório 
 de cereal. Em razão da velocidade do processo, o peso do 
cereal varia de caixa para caixa, fazendo com que algumas 
caixas fiquem subabastecidas (menos de 368 gramas) 
enquanto outras superabastecidas (mais de 368 gramas). Se 
o processo não estiver funcionando de maneira apropriada, 
o peso médio das caixas pode se desviar demasiadamente 
3 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Problema Introdutório 
 do peso especificado no rótulo e se tornar inaceitável. 
Uma vez que a pesagem de cada caixa individual 
consome uma quantidade demasiadamente grande de 
tempo, é dispendiosa e ineficiente, você deve extrair 
uma amostra de caixas. Para cada amostra selecionada 
você planeja pesar as caixas individuais e calcular uma 
4 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Problema Introdutório 
 média aritmética para a amostra. Você precisa 
determinar a probabilidade de que essa média aritmética 
amostral tenha sido aleatoriamente extraída de uma 
população cuja média aritmética populacional é 369 
gramas. Com sua análise você deverá decidir entre 
manter, alterar o interromper o processo. 
5 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostra: Uma parcela da população selecionada para 
fins de análise; 
6 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Razões para amostrar: 
– Demora menos que selecionar toda a população; 
– É menos dispendioso do que selecionar toda a população; 
– Análise menos complexa que a da população. 
7 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• As amostras são escolhidas de grades de dados; 
• As grades de dados são listas que compõem a 
população; 
• As grades devem incluir todos os indivíduos da 
população; 
8 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostragem: Processo de geração de amostras. 
9 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostras Não Probabilísticas: 
– Por Conveniência: os itens da amostra são selecionados com 
base na facilidade de acesso; 
– Por Julgamento: Coleta-se a opinião de peritos pré-
selecionados em relação ao objeto de estudo; 
10 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Aleatória Simples 
– Todos os indivíduos da grade populacional têm a mesma 
probabilidade de ser escolhidos; 
– Em uma população com N indivíduos, cada um deles 
apresenta uma probabilidade de seleção de 1/N 
11 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostra Aleatória Simples : com reposição 
– Cada item selecionado retorna á grade e pode ser selecionado 
novamente com a mesma probabilidade; 
– Assim independentemente de já haver sido selecionado, cada 
indivíduo de uma população de N indivíduos, a cada 
momento, tem probabilidade 1/N de ser selecionado; 
12 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostra Aleatória Simples: sem reposição 
– O item selecionado não retorna à grade populacional, sendo 
impossível selecioná-lo novamente; 
– A chance de cada indivíduo ser sorteado na primeira rodada, 
numa população de N indivíduos, é 1/N. Na segunda rodada 
1/(N-1), e assim sucessivamente, até que a amostra esteja 
completa; 
13 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• OBS: 
– O método acima pressupõe um ótimo processo de 
“embaralhamento” dos dados; 
– Uma forma de manter o “embaralhamento” necessário é a 
utilização de uma Tabela de Números Aleatórios 
14 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Exemplo: Uma empresa deseja selecionar uma amostra 
de 32 trabalhadores de horário integral a partir de uma 
população de 800 empregados de horário integral, no 
intuito de coletar informações sobre gastos com plano 
odontológico patrocinado pela empresa. Como você 
selecionaria uma amostra aleatória simples? 
15 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Suponha eu a empresa resolva solicitar a informação 
por meio eletrônico e imagine que somente 80% dos 
empregados responderão à solicitação, encaminhando 
os dados. Neste caso devemos encaminha mais de 32 
questionário, digamos n. Temos: 
16 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
40
8,0
32
328,0  nn
Introdução à Amostragem 
 Uma vez que sabemos o tamanho da amostra, 
precisamos selecioná-la dentre a grade de 800 
ocorrências; 
 Para tanto: 
– Numeramos as ocorrências de 001 a 800; 
 
17 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
– Utilizamos uma tabela de número aleatórios 
 
18 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
– Procedimento: 
• Escolha um ponto de partida arbitrário (digamos o indicado em 
vermelho na tabela anterior); 
• Segue escolhendo trios (número de três dígitos) válidos (entre 000 e 
800) descartando os demais que ocorrerem (por exemplo, na 
sequência marcada 884); 
 
19 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
– No nosso exemplo a amostra selecionada iniciaria com os 
indivíduos da grade número: 
 
20 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
705470592109363
463433720364003
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Sistemática 
– Numera-se os indivíduos da grade; 
– Divide-se a grade de N indivíduos em k classes onde: 
21 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 







n
N
arredk
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Sistemática 
– Escolhe-se aleatoriamente um indivíduo da primeira classe, 
digamos o j-ésimo termo; 
– A partir daí seleciona-se o j-ésimo termo de cada uma das 
classes subsequentes; 
22 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Exemplo: Suponha que nossa grade possua N = 1000 
indivíduos e desejo uma amostra sistemática de n = 50 
indivíduos. Temos: 
 
• Fazendo j = 2, temos 
 23 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
20
50
1000






 arredk
Introdução à Amostragem 
24 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 Classes 
Indivíduo 
1 2 ... 20 
1 1 51 101 
2 2 52 102 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
50 50 100 150 
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Estratificada 
– Subdivide-se os N elemento da grade em j estratos de 
tamanho Nj, j = 1,2,3,...,k:– OBS: Estratos são, em geral, divisões arbitrárias definidos 
pelo interesse do pesquisador (Ex. Sexo, Escolaridade, etc.) 
25 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 



k
j
jNN
1
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Estratificada 
– Seleciona-se uma Amostra Aleatória Simples de cada extrato 
j de tamanho: 
26 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 






 n
N
N
arredn
j
j
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra Estratificada 
– Ao final teremos uma amostra de tamanho n, tal que 
27 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 



k
j
jnn
1
Introdução à Amostragem 
• Exemplo: Suponha que queiramos extrair uma amostra 
de 32 empregados, de uma população de 800 
empregados, para estimar o gasto com planos 
odontológicos. Dos empregados de tempo integral, 25% 
ocupam cargo de gerência e 75% ocupam cargos não 
gerenciais. Como você estabeleceria uma amostra 
28 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Estratificada para esse caso? Considere uma taxa de 
resposta de 80%. 
– Estratos: (CG) Cargos Gerenciais (25%) e (CNG) Cargos 
Não Gerenciais (75%). Assim: 
29 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
60080075,020080025,0  CNGCG NN
Introdução à Amostragem 
• Considerando que a taxa de retorno é de 80%, 
definimos n: 
 
• Aplicando a proporção dos extratos temos: 
30 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
403280,0  nn
304075,0104025,0  CNGCG nn
Introdução à Amostragem 
• Uma vez definida a amostra dos estratos procede-se 
uma amostragem aleatória simples. 
 
31 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Amostras Probabilísticas: Amostra por Conglomerado 
– A principal diferença entre Estrato e Conglomerado é que o 
segundo é uma divisão natural (Exe. Municípios, Distritos 
Eleitorais, Bairros, etc.), enquanto o segundo, como vimos, 
depende do interesse do pesquisador; 
– O procedimento é idêntico ao caso de estratos; 
32 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Erros de Pesquisa: 
– Erro de Cobertura: Exclusão de parte da população de modo 
que não tenham chance de ser selecionados. Isso implica o 
Viés de Seleção; 
– Erro por Falta de Resposta:Devido à negativa por parte dos 
entrevistados em responder certas questões; 
33 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Introdução à Amostragem 
• Erros de Pesquisa: 
– Erro de Amostragem: Reflete a possível variação amostral, que 
pode trazer problemas de representatividade; 
– Erro de Medição: Fontes 
• Formulação ambígua; 
• Efeito Hawthorne – O entrevistado busca agradar o entrevistador; 
• Erro do Respondente: Ocorre por falta de zelo por parte do entrevistado. 
34 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais 
• Grandezas que são calculadas em uma amostra têm 
valores que oscilam de uma amostra para outra; 
• Entender como se manifesta essa aleatoriedade é o 
objetivo dessa seção. 
35 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Ausência de Viés da Média Aritmética 
– Viés: Erro sistemático ou tendência média a se afastar da 
média real; 
– Assim dizer que a média aritmética é uma medida sem viés é 
dizer que sua média é igual a média da população que a 
gerou; 
36 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Exemplo: Suponha que a quatro assistentes 
administrativos foi solicitado que digitassem um mesmo 
documento. Seja X o número de erros cometidos pelo 
auxiliar: 
37 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Auxiliar X Auxiliar X 
Anne 3 Carla 1 
Bob 2 Dave 4 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Medidas populacionais: 
– Média 
 
– Desvio Padrão 
38 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
erros 5,2
4
4
1


j
jX

 
erro 12,1
4
4
1
2




j
j XX

Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Se retirássemos dessa população uma amostra de dois 
indivíduos (com reposição) e calculássemos a média da 
amostra teríamos 16 resultados possíveis, cada um com 
uma certa probabilidade (vide quadro); 
39 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
40 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Note que a média das médias aritméticas amostrais é 
2,5, exatamente igual a média aritmética populacional 
(ausência de viés); 
• Note ainda que na prática, em geral, não sabemos a 
média populacional, portanto nunca saberemos quão 
próxima nossa média amostral estará da mesma; 
41 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Média Amostral 
• Note adicionalmente que apesar de não sabermos a 
média populacional, sabemos que em média estamos 
calculando a média populacional corretamente; 
42 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Erro Padrão da Média 
• Façamos uma tabela de frequência dos valores médios 
das amostrar retiradas. Temos: 
43 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Erro Padrão da Média 
• Como a média aritmética amostral é uma variável 
aleatória tem sua própria média e seu desvio padrão. 
Pode-se mostrar que para uma amostra de tamanho n: 
44 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
n
X

 
Distribuições Amostrais: Erro Padrão da Média 
• Exemplo: Retornando ao processo de abastecimento do 
problema original do nosso capítulo. Se selecionarmos 
25 caixas de cereais diante de milhares produzidas por 
dia e considerando que o desvio padrão populacional é 
de 15, o desvio padrão da média aritmética será: 
45 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
3
25
15

X

Distribuições Amostrais: Erro Padrão da Média 
• As medias aritmética amostrais são variáveis mais 
estáveis que as variáveis originais do problema. E serão 
tão mais estáveis quanto maio a amostra; 
• Não só sabemos que a média das médias é a média 
populacional, como também sabemos que para amostras 
de tamanho razoável a variabilidade é muito baixa; 
46 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: População Normal 
• Resultados: para uma população qualquer de média μ e 
desvio padrão σ: 
• Caso a população seja Normalmente Distribuída 
teremos: 
47 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
n
XX
 






n
NX

,~
Distribuições Amostrais: População Normal 
• Dessa forma temos: 
48 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 1,0~ N
X
n 




 


Distribuições Amostrais: Proporção 
• Exemplo: A quantidade de tempo que um caixa, em uma 
agência bancária, gasta com cada cliente apresenta uma 
média aritmética da população, μ, igual a 3,10 ,minutos 
e um desvio padrão, σ, de 0,40 minuto (considere a 
distribuição populacional normal). Se você selecionar 
uma amostra aleatória de16 clientes: 
49 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
– a) Qual a probabilidade de que a média aritmética do tempo 
gasto por cliente seja de 3 minutos? 
– b) Existe uma chance de 85% de que a média amostral seja 
menor do que quantos minutos? 
50 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
– a) Temos: 
51 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
  










 





 

40,0
10,33
163 
X
nPXP
    8413,013  ZPXP
Distribuições Amostrais: Proporção 
– b) Temos: 
52 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
  85,0
40,0
10,3
1685,0 










 





 

tX
nPtXP 

  




 

40,0
10,3
1685,0
t
zzZP
min 20,3
4
04,140,0
10,304,1 

 tz
Distribuições Amostrais: População Não Normal 
• Teorema Limite Central (TLC): Independentemente da 
distribuição da população, com média μ e desvio padrão 
σ, para amostras de tamanho (n) grande, temos: 
 
• OBS: Em termos práticos o TLC vale para n ≥ 30. 
53 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 1,0~ N
X
n 




 


Distribuições Amostrais: População Não Normal 
54 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
• Consideremos agora que você esteja interessado em 
saber a proporção de sues clientes que consomem 
determinado produto. Você seleciona uma amostra. A 
proporção da amostra é dada por: 
55 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 

n
Y
p
Y é o número de clientes da amostra que consomem o produto 
n é o número de clientes da amostra 
Distribuições Amostrais: Proporção 
• Note: 
– p é um número entre 0 e 1; 
– p é uma VA amostral, depende da amostra 
• Podemos utilizar p para estimar o verdadeiro valor da 
proporção populacional (π) 
56 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
• Temos que: 
 
• Pelo TLC temos: 
57 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 
n
Xp
  1
 
 1,0~
1
N
n
p




Distribuições Amostrais: Proporção 
• Exemplo: Um instituto de pesquisa sobre intenções de 
votos está conduzindo uma análise sobre os resultados 
de amostras com o objetivo de realizar previsões na 
noite das eleições. Pressupondo uma eleição entre duas 
candidatas, se uma candidata específica receber pelo 
menos 55% dos na amostra ela será dada como 
58 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
 vencedora da eleição. Se você selecionar uma amostra 
aleatória de 100 eleitores, qual a probabilidade de que 
uma candidata será dada como vencedora quando: 
– Quando o verdadeiro percentual de seus votos for 51,5%; 
– Quando o verdadeiro valor de seus votos for 60%; 
59 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
Distribuições Amostrais: Proporção 
• Resolução: 
– a) Temos: 
60 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 
    













100501,01501,0
501,055,0
1
55,0
n
p
PpP 

    1635,098,0
05,0
049,0
55,0 





 ZPZPpP
Distribuições Amostrais: Proporção 
• Resolução: 
– b) Temos: 
61 Estatística 2 Prof. Luciano Barboza da Silva 
 
    













10060,0160,0
60,055,0
1
55,0
n
p
PpP 

    8461,00206,1
049,0
05,0
55,0 




 
 ZPZPpP