8 3 - Cálculo Integral

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Análise Matemática I
Cálculo Integral
(continuação)
Joana PeresJoana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
Funções definidas através de integrais
ƒ Se permitirmos que o limite superior do integral seja variável, mantendo 
o limite inferior com um valor fixo, o valor do integral será uma função do 
seu limite superior, geralmente designada por A(x), e definida da seguinte 
forma
O integral como função do seu limite superior
∫= xa dttfxA )()(
ƒ Da definição de A(x), conclui-se facilmente quais são os valores que esta 
função assume nos extremos do intervalo [a, b]:
0 )()( == ∫aa dttfaA ∫∫ ≡= baba dxxfdttfbA )( )()(
FEUP / MIEQ 2Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ Duas propriedades muito importantes da função A(x):
ƒ 1ª propriedade: a função A(x), é sempre mais “bem comportada”, em 
termos gráficos, do que a correspondente função f (x) que a originou.
ƒ Exemplos típicos da relação entre as funções f (x) e A(x)
O integral como função do seu limite superior
Teorema [ ] [ ]baxAbaxf , em contínua )(, em integrável )( ⇒
FEUP / MIEQ 3Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ 2ª propriedade: Se f (x) for contínua, a correspondente função A(x) é uma 
primitiva de f (x) em [a, b] (é a primitiva cujo valor é zero quando x = a, pois A(a) = 0). 
Teorema fundamental do Cálculo 
=−+≡′ → h
xAhxAxA
h
def )()(lim)(
0
⎞⎛1
Demonstração:
(def. de derivada)
Teorema fundamental do Cálculo 
[ ] [ ] com ,, em derivável )(, em contínua )( baxAbaxf ⇒
[ ]baxxfxA ,),()( ∈∀=′
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∫∫ +→ xahxah dttfdttfh )()(1lim0
== → )(lim0 cfh
== → )(lim cfxc
)(xf=
(def. de A(x))
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∫ +→ hxxh dttfh )(1lim0 (Teor. da dec. do int. de integ.)
(Teor. da média do Cálc. Integral)
(h→ 0 implica que c→ x)
( f (x) é contínua)
FEUP / MIEQ 4Joana Peres / Análise Matemática I
Teorema fundamental do Cálculo 
)()()( xfdttf
dx
ddttf
x
a
x
a
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫∫
ƒ Uma forma mais sugestiva de escrever que A′ (x) = f (x) é a seguinte:
Corolário do teorema fundamental do Cálculo
[ ]baba xFaFbFdxxf )()()( )(
def≡−=∫
Se f (x) for contínua em [a, b], o integral de f (x) em [a, b] é dado por:
F ( ) é i iti l d f ( ) [ b]
Demonstração
[ ]baxxfxF ,),()( ∈∀=′
em que F (x) é uma primitiva qualquer de f (x) em [a, b]:
)()()()()()( aFxFxAaFCCaFaA −=⇒−=⇒+=
CxFxAxFxA +=⇒′=′ )()()()(
)()( )( )()()()( aFbFdxxfdttfaFbFbA
b
a
b
a
−=≡⇒−= ∫∫
( x = a )
(F (x) e A(x) primit. de f (x))
( x = b )
FEUP / MIEQ 5Joana Peres / Análise Matemática I
Teorema fundamental do Cálculo 
∫ −=′xa aFxFdttF )()( )(
ƒ Este corolário pode ser escrito de forma mais sugestiva:
desde que a função F′ (t) seja contínua em [a, x].
ƒ Este resultado significa que, se derivarmos a função F, e em seguida 
integrarmos esse resultado entre a e x vamos obter novamente a mesmaintegrarmos esse resultado entre a e x, vamos obter novamente a mesma 
função F, a menos duma constante F(a). 
FEUP / MIEQ 6Joana Peres / Análise Matemática I
Funções definidas através de integrais
ƒ Se fixarmos o limite superior do integral e deixarmos que o limite inferior 
seja variável, o valor do integral será uma função do seu limite inferior, função 
essa que é geralmente designada por B(x), e é definida da seguinte forma:
O l t f ã t d i t l [ b] ã
O integral como função do seu limite inferior
∫= bx dttfxB )()(
ƒ Os valores que esta função assume nos extremos do intervalo [a, b] são:
∫∫ ≡= baba dxxfdttfaB )( )()( 0 )()( == ∫bb dttfbB
ƒ A relação existente entre A(x) e B(x) é evidente da figura:
∫∫∫ =+=+ babxxa dttfdttfdttfxBxA )( )( )()()( [ ]baxCxBxA ,,)()( ∈∀=+
Teorema [ ] [ ] com ,, em derivável )(, em contínua )( baxBbaxf ⇒
[ ]baxxfxB ,),()( ∈∀−=′
FEUP / MIEQ 7Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ Seja u(x) uma função qualquer definida por meio de um integral, cujos 
limites são eles próprios funções conhecidas da variável x; este integral pode 
sempre ser escrito em termos das funções A(x) e B(x) acima definidas:
Derivação de funções definidas por meio de integrais
== ∫ )( )( )()( xh xg dttfxu
=++= ∫∫∫ )()( )( )( )( xhaabb xg dttfdttfdttf
))(()())(( xhAdttfxgB
b +−= ∫
(decompondo o intervalo de integração)
ƒ Pelo teorema da derivada de funções compostas :
))(()())(( xhAdttfxgB
a
+∫
⇒′′+−′=′ )())((0)('))(()( xhxhAxgxgBxu
)())(()())(( )()(
)(
)(
xgxgfxhxhfdttf
dx
dxu
xh
xg
′−′=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′⇒ ∫
(A′ (x) = f (x) e B′ (x) = - f (x) )
FEUP / MIEQ 8Joana Peres / Análise Matemática I
O integral como função do seu limite superior
Exemplo
Calcule a derivada de
por dois processos.
∫= xx dttxu arcsen ln cos)(
FEUP / MIEQ 9Joana Peres / Análise Matemática I
Integrais impróprios
Ao calcular um integral, supusemos sempre que:
ƒ o intervalo de integração [a, b] tinha dimensão finita
ƒ a função integranda não apresentava descontinuidades infinitas (isto é, 
era limitada) em [a, b].
Integrais impróprios do 1º tipo:
ƒ o intervalo de integração tem dimensão infinita.
ƒ Exemplos:
∫ ∞ )(a dxxf ∫ ∞−b dxxf )( ∫ ∞∞− )( dxxf
Integrais impróprios do 2º tipo
ƒ função integranda apresenta descontinuidades infinitas no intervalo de 
integração.
Integrais impróprios do tipo misto
ƒ o intervalo de integração tem dimensão infinita
ƒ função integranda apresenta descontinuidades infinitas no intervalo de 
integração.
FEUP / MIEQ 10Joana Peres / Análise Matemática I
∫a ∫ ∞ ∫ ∞
Integrais impróprios do 1º tipo
ƒ Em cada caso a definição do integral impróprio é feita em termos de 
um (ou mais) limite(s).
ƒ Tipos de intervalo de integração infinitos :
[a, ∞ [ ]-∞, b] ] -∞, ∞ [ 
Caso esse(s) limite(s) exista(m)
integral impróprio existe
ou
é convergente
Caso esse(s) limite(s) não exista(m)
integral impróprio não existe
ou
é divergente
FEUP / MIEQ 11Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em [a, ∞ [
ƒ Se f (x) for uma função contínua em [a, ∞ [, o integral impróprio de f (x) neste 
intervalo é definido em dois passos:
atdxxftA
t
a
≥∀≡ ∫ , )()( def
)(lim )(
def 
tAdxxf
ta ∞→
∞ ≡∫
ƒ Interpretação geométrica de um integral impróprio do 1º tipo convergente:
ƒ Se f (x) ≥ 0 em [a, ∞ [, este integral é igual à área da região ilimitada 
situada entre o gráfico de y = f (x) e o eixo Ox, à direita do ponto x = a.
ƒ Se contudo f (x) assumir valores 
positivos e negativos em [a, ∞ [, o 
valor do integral impróprio do 1º 
tipo será a diferença das áreas 
situadas acima do eixo Ox (+) e das 
áreas situadas abaixo do mesmo eixo 
(–):
FEUP / MIEQ 12Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em [a, ∞ [
ƒ Condição necessária (mas não suficiente!) de convergência deste integral impróprio:
ƒ Conclui-se que:
0)(lim converge )(
 =⇒ ∞→
∞∫ xfdxxf xa
Teorema
 diverge )(0)(lim
 ∫ ∞∞→ ⇒≠ ax dxxfxf
Exemplo
Analise a convergência dos integrais impróprios do 1º tipo
∫∞1 1.1 1 dxx
∫∞1 9.0 1 dxx
10 11lim10 10lim 1lim 1.0
1
1.01 1.1
def =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=≡ ∞→∞→∞→ ∫ txdxx t
t
t
t
t
[ ] ( ) ∞=−==≡ ∞→∞→∞→ ∫ 1lim10 10lim 1lim 1.0 1 1.01 9.0def txdxx ttttt
FEUP / MIEQ 13Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em [a, ∞ [
ƒ Graficamente é impossível detectar se 
um integral impróprio do 1º tipo é 
convergente ou divergente
ƒ excepto quando for evidente que 
lim f (x) ≠ 0 quando x →∞
ƒ No caso geral:
1 quando converge só , e 0 com ,
 >∈>∫ ∞ pIRpaxdxa p
FEUP / MIEQ 14Joana Peres / Análise Matemática I
Estratégia de demonstração: estudar separadamente os casos p = 1, p < 1 e p > 1
Integral impróprio do 1º tipo em ]-∞, b]
A i t t ã ét i d t i t l i ó i dt
ƒ Se f (x) for uma função contínua em ]-∞, b], o integral impróprio de f (x) neste intervalo 
é definido em dois passos:
btdxxftB
b
t
≤∀≡ ∫ , )()( def
)(lim )(
def 
tBdxxf
t
b
−∞→∞− ≡∫
ƒ A interpretação geométrica deste integral impróprio, quando convergente, 
é análoga ao do integral impróprio em [a, ∞ [. 
ƒ Condição necessária (mas não suficiente!) de convergência deste integral impróprio:
0)(lim converge )(
 =⇒ −∞→∞−∫ xfdxxf xb
Teorema
FEUP / MIEQ 15Joana Peres / Análise Matemática I
Integral impróprio do 1º tipo em ]-∞, ∞ [
ƒ Se f (x) for uma função contínua em todo o eixo real, o integral impróprio de 
f (x) em ]-∞, ∞ [, é definido da seguinte forma:
1. Escolhe-se um número c arbitrário (em geral escolhe-se c = 0, por 
conveniência de cálculo);
2. Calculam-se os integrais impróprios do 1º tipo em ]– ∞, c] e em [c, ∞[;
3. Se estes dois integrais forem ambos convergentes, independentemente 
um do outro, o integral impróprio em ] -∞, ∞ [ é, por definição, a soma 
desses dois integrais:
ƒ A interpretação geométrica deste integral em termos de áreas, quando 
convergente, é análoga à que foi dada nos dois casos anteriores. 
ƒ O integral impróprio em ]-∞, ∞ [ é divergente se um dos dois integrais que 
aparecem no 2º membro for divergente.
Definição ∫∫∫ ∞∞−∞∞− +≡ cc dxxfdxxfdxxf )( )( )( def 
desses dois integrais:
FEUP / MIEQ 16Joana Peres / Análise Matemática I
Exemplo
Calcule a área delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo Ox, caso essa área seja finita.
4
)( 2 += x
xxf
Integral impróprio do 1º tipo em ]-∞, ∞ [
FEUP / MIEQ 17Joana Peres / Análise Matemática I
[ [batdxxftA t
a
, , )( )(
 def ∈∀≡ ∫
)(lim )(
def 
tAdxxf
bt
b
a −→
≡∫
ƒ Se f (x) for uma função contínua em [a, b [, com 
o integral impróprio de f (x) neste intervalo é definido em dois passos:
∞±=−→ )(lim xfbx
Integral impróprio do 2º tipo em [a, b[, com ∞±=−→ )(lim xfbx
ƒ Se f (x) ≥ 0 em [a, b [, este integral impróprio, caso seja convergente, é igual à área 
da região ilimitada situada entre o gráfico de y = f (x) e o eixo Ox, no intervalo [a, b].
ƒ Se contudo f (x) assumir valores positivos e 
negativos em [a, b[, o valor deste integral 
impróprio, caso seja convergente , será a 
diferença das áreas situadas acima do eixo Ox
e das áreas situadas abaixo do mesmo eixo, no 
intervalo [a, b]:
FEUP / MIEQ 18Joana Peres / Análise Matemática I
] ]batdxxftB b
t
, , )( )(
 def ∈∀≡ ∫
)(lim )(
def 
tBdxxf
at
b
a +→
≡∫
Integral impróprio do 2º tipo em ]a, b], com ∞±=+→ )(lim xfax
ƒ Se f (x) for uma função contínua em ]a, b], com 
o integral impróprio de f (x) neste intervalo é definido em dois passos:
∞±=+→ )(lim xfax
Exemplo
Analise a convergência dos integrais impróprios do 2º tipo
∫10 1.1 1 dxx
∫10 9.0 1 dxx
∞=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=≡ +++ →→→ ∫ 11lim10 10lim 1lim 1.00
1
1.00
1
1.10
def
tx
dx
x ttttt
[ ] ( ) 10 1lim10 10lim 1lim 1.0
0
1 
 
1.0
0
1
9.00
def =−==≡ +++ →→→ ∫ txdxx ttttt
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ƒ Neste caso, também é impossível 
“detectar graficamente” se um integral 
impróprio do 2º tipo é convergente ou 
divergente:
Integral impróprio do 2º tipo em ]a, b], com ∞±=+→ )(lim xfax
10 quando converge só , e 0 com ,
 
0
<<∈> +∫ pIRpbxdx
b
p
FEUP / MIEQ 20Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ No caso geral:
ƒ isto é, quando p > 0
ƒ Nota: se p ≤ 0, o integral não é impróprio!)
Estratégia de demonstração: estudar separadamente os casos 0 < p < 1, p = 1 e p > 1
1. Calculam-se os integrais impróprios do 2º tipo 
em [a, c[ e em ]c, b];
2. Se estes dois integrais forem ambos 
convergentes, independentemente um do 
outro, o integral impróprio do 2º tipo em [a, b] 
é, por definição, a soma desses dois integrais:
ƒ Este integral impróprio é definido 
em termos dos dois casos anteriores:
Integral impróprio do 2º tipo em [a, b], com e
sendo a < c < b
∞±=+→ )(lim xfcx∞±=−→ )(lim xfcx
Definição ∫∫∫ +≡ bccaba dxxfdxxfdxxf )( )( )( def 
FEUP / MIEQ 21Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ O integral impróprio em [a, b] é divergente se um dos dois integrais 
que aparecem no 2º membro for divergente.
ƒ Se ocorrerem várias descontinuidades infinitas no intervalo [a, b], incluindo 
possivelmente nos pontos x = a e/ou x = b, temos de dividir o intervalo [a, b] em 
sub-intervalos, cada um com uma única descontinuidade infinita.
ƒ O integral impróprio será então dado por uma soma de integrais impróprios 
do 2º tipo, e só se estes integrais forem todos convergentes, independentemente 
uns dos outros, é que podemos concluir que o integral impróprio é convergente.
Integral impróprio do 2º tipo em [a, b] 
Exemplo
Calcule o integral
∫− −
2
2 2
 
1
2 dx
x
x
FEUP / MIEQ 22Joana Peres / Análise Matemática I
ƒ Seja y = f (x) uma função positiva injectiva em [0, ∞ [
Transformações de integrais impróprios 
for convergente∫ ∞ 0 )( dxxf =∫ −(0) 0 1 )(f dyyf
Exemplo
Mostre que dyydxe x ∫∫ −=∞ − 100 ln 
e utilize este resultado para calcular 
o valor do 2º integral.
FEUP / MIEQ 23Joana Peres / Análise Matemática I
se ∫ ∞ 0 )( dxxf
yxey x ln−=⇒= −
ƒ Por vezes, é possível encontrar substituições que transformam
ƒ integrais impróprios do 1º tipo em integrais impróprios do 2º tipo, ou 
vice-versa
ƒ ou então que transformam integrais impróprios do 1º tipo ou do 2º tipo 
em integrais “normais”.
ƒ Os métodos básicos de integração por partes e integração por substituição 
podem evidentemente ser aplicados para calcular integrais impróprios do 1º tipo 
ou do 2º tipo, caso esses integrais sejam convergentes.
Transformações de integrais impróprios 
Exemplo
Utilize uma substituição inversa para calcular o integral 
impróprio do 2º tipo 
∫− ++
2
1
 
1)10(
 
xx
dx
FEUP / MIEQ 24Joana Peres / Análise Matemática I
Como se calculam?
ƒ o integral que se pretende calcular deve ser dividido numa soma de integrais 
impróprios convenientemente escolhidos
ƒ isto é, aos quais se possam aplicar sem ambiguidade as definições 
anteriormente apresentadas.
ƒ o integral impróprio misto é convergente se esses integrais forem todos 
convergentes independentemente uns dos outros
Integrais impróprios do tipo misto 
Integrais impróprios do tipo misto
ƒ o intervalo de integração tem dimensão infinita
ƒ função integranda apresenta descontinuidades infinitas no intervalo de 
integração.
convergentes, independentemente uns dos outros.
ƒ Por exemplo, se quisermos calcular
defdef 
 )( )( )( ≡+≡ ∫∫∫ ∞∞ ccaa dxxfdxxfdxxf
 )(
 ∫ ∞a dxxf , e se )(lim ∞=+→ xfax virá:
∫∫ ∞→→ +≡ + ucuctat dxxfdxxf )( lim )( lim 
def
o valor de c deve ser escolhido de forma a ser mais conveniente em termos 
de cálculo.
FEUP / MIEQ 25Joana Peres / Análise Matemática I
Integrais impróprios do tipo misto 
Exemplo
Calcule o valor do integral impróprio do tipo misto dx
x
e x∫∞ −0 
FEUP / MIEQ 26Joana Peres / Análise Matemática I