Slides unidade III

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Unidade III
MATEMÁTICA
Prof. Antônio Palmeira
Conteúdo da Unidade III
 Regra de três simples.
 Regra de três composta.
 Porcentagem.
Conceito de grandeza
 Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado, 
como massa, volume, capacidade, velocidade, tempo etc.
 Uma grandeza está sempre relacionada com alguma unidade: 
metro, quilo, horas etc.
Grandezas diretamente proporcionais
 Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais 
quando, ao dobrarmos uma delas, a outra também dobrar; ao 
triplicarmos uma delas, a outra também triplica e assim 
sucessivamente. 
Por exemplo:
Fonte: Livro-texto.
Grandezas diretamente proporcionais
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: quantidade 
e preço. Observe que:
 ao dobrar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago 
também dobra;
 ao triplicar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago 
também triplica.
Fonte: Livro-texto.
Grandezas diretamente proporcionais
Toda grandeza proporcional está associada a uma razão de 
proporcionalidade que se mantém constante em todas as 
relações das grandezas. Verifique os exemplos a seguir:
Fonte: Livro-texto.
Grandezas inversamente proporcionais
 Duas grandezas são consideradas inversamente 
proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, a outra se 
reduzir pela metade; ao triplicamos uma delas, a outra se 
reduzir a uma terça parte e assim sucessivamente. 
Grandezas inversamente proporcionais
Por exemplo: 
 Todas as sextas-feiras, Antônio, um homem muito caridoso, 
distribui pães aos moradores de rua do centro de São Paulo, 
no início da noite. 
 Ele sempre leva 120 pães para serem distribuídos. 
 Ao chegar ao local, ele verifica o número de pessoas e divide 
os pães igualmente entre eles. 
Grandezas inversamente proporcionais
Na tabela a seguir, podemos verificar a quantidade de pães que 
cada pessoa recebe:
Fonte: Livro-texto.
Grandezas inversamente proporcionais
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: pessoas 
e pães. Observe que:
 Ao dobrar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por 
pessoa cai pela metade;
 Ao triplicar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães 
por pessoa cai para a terça parte.
Grandezas inversamente proporcionais
Portanto, as grandezas pessoas e pães são inversamente 
proporcionais. Veja o exemplo a seguir:
Fonte: Livro-texto.
Regra de três simples
 A regra de três simples possibilita relacionar duas grandezas 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
 A ideia principal dessa regra é, a partir de uma relação, obter 
um dos valores com base em três valores já conhecidos.
Regra de três simples (Exemplo 1)
Exemplo 1
 Na quitanda do Sr. Manoel três quilos de batata custam R$ 
5,00. Assim, quanto custaria 6,5 quilos de batata?
Fonte: Livro-texto.
Regra de três simples (Exemplo 1)
Note que as grandezas são diretamente proporcionais e, assim, 
ao transferir a relação para a notação de razão, temos que:
 Desse modo, 6,5 quilos de batatas na quitanda do Sr. Manoel 
custam R$ 10,83.
Fonte: Livro-texto.
Regra de três simples (Exemplo 1)
 As setas representam o sentido da proporcionalidade: setas 
de mesmo sentido indicam que as relações são diretamente 
proporcionais e setas de sentido contrário indicam que as 
relações são inversamente proporcionais.
Interatividade
Todas as vezes que Pedro estuda em casa para as provas, ele 
tira uma nota boa. Ele, então constatou que ao estudar 2 horas 
por dia durante um mês a sua nota aumentaria em 1 ponto. 
Sabendo que este mês ele estudou 5 horas, em quanto 
aumentará a sua nota?
a) 1,5 pontos.
b) 2,0 pontos.
c) 2,5 pontos.
d) 3,0 pontos.
e) 3,5 pontos.
Regra de três simples (Exemplo 2)
Exemplo 2
 O professor Isaac ministra aulas de Matemática e adora 
seus alunos. 
 Para incentivá-los, costuma distribuir, de vez em quando, 
bombons aos alunos que realizam as tarefas de casa. 
 Em sua última aula, o professor levou 24 bombons para 
distribuir igualmente entre seus alunos. 
 Ao chegar à sala de aula, ele constatou que apenas 
3 alunos realizaram toda a tarefa de casa.
Regra de três simples (Exemplo 2)
 Nesse caso, cada aluno receberia 8 bombons, no entanto, 
o professor mudou de ideia e resolveu dividir os bombons 
também para os 3 alunos que fizeram a metade da tarefa. 
Assim, quantos bombons cada aluno receberá?
Fonte: Livro-texto.
Regra de três simples (Exemplo 2)
Note que as grandezas são inversamente proporcionais, assim, 
ao transferir a relação para a notação de razão, temos que:
 Logo, cada aluno receberá 4 bombons.
Fonte: Livro-texto.
Regra de três composta
 A regra de três composta possibilita relacionar mais do que 
duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Regra de três composta (Exemplo 1)
Exemplo 1
 Na padaria onde o Sr. Antônio compra pães para doar nas 
noites de sexta-feira, trabalham 8 homens que produzem 
300 pães em 6 horas. 
 Nos meses de julho de cada ano, 3 desses funcionários 
recebem férias, assim, permanecem trabalhando apenas 
5 homens na padaria. 
Regra de três composta (Exemplo 1)
 Dessa forma, quantos pães são produzidos em 10 horas 
no mês de julho? 
Observe:
 as grandezas horas e pães são diretamente proporcionais, 
já que, ao aumentar o número de horas, aumenta-se o número 
de pães produzidos;
 as grandezas homens e pães também são diretamente 
proporcionais, já que, ao aumentar o número de homens, 
aumenta-se o número de pães produzidos.
Fonte: Livro-texto.
Regra de três composta (Exemplo 1)
Como as grandezas são diretamente proporcionais, vamos 
transferir a relação para a notação de razão:
 Portanto, no mês de julho, os cinco homens produzirão 
aproximadamente 313 pães em 10 horas.
Fonte: Livro-texto.
Regra de três composta (Exemplo 2)
Em uma marcenaria, sabe-se que 3 marceneiros fabricam 2 
mesas em 11 dias. Assim, quantos dias levarão para 5 
marceneiros fabricarem 4 mesas?
Fonte: Livro-texto.
Regra de três composta (Exemplo 2)
Observe que:
 as grandezas mesas e dias são diretamente proporcionais 
já que, ao aumentar o número de mesas, leva-se mais dias 
para fabricá-las;
 as grandezas marceneiros e dias são inversamente 
proporcionais já que, ao aumentar o número de marceneiros, 
diminui-se o número de dias para fabricar as mesas.
Regra de três composta (Exemplo 2)
Assim, temos uma mistura de grandezas diretamente 
e inversamente proporcionais. Transferindo a relação 
para a notação de razão, temos:
 Portanto, os 5 marceneiros levarão aproximadamente 
13 dias para fabricar 4 mesas.
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem
 Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal, 
ou seja, é uma fração cujo denominador é 100.
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: 
 na forma de fração com denominador 100 (percentual);
 na forma decimal. 
Porcentagem
 A ilustração a seguir representa a transformação da forma 
percentual para a unitária e vice-versa.
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem
 O símbolo % indica que o valor está sendo dividido por 100.
A passagem da forma percentual para a unitária (ou decimal) 
é feita como demonstrado a seguir:
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem
A passagem da forma unitária para a percentual, por sua vez, é 
como segue:
Fonte: Livro-texto.
Interatividade
No transporte escolar, 4 vans transportam um total de 32 
crianças em 3 horas. Sabendo que uma das vans está quebrada 
e 2 crianças não vieram para a escola, em quantas horas 
transcorrerá o transporte de todas as crianças?
a) 1 hora.
b) 1,5 horas.
c) 2horas.
d) 3 horas.
e) 3,75 horas.
Porcentagem (Exemplo 1)
Exemplo 1
Quanto é 15,5% de R$ 2.500,00?
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem (Exemplo 2)
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um acréscimo 
de 15,5%. Qual é o valor final do produto?
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem (Exemplo 3)
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um desconto 
de 15,5%. Qual é o valor final do produto?
Fonte: Livro-texto.
Porcentagem (Exemplo 4)
Num lote de 87 lâmpadas, 13 delas apresentaram defeito. A 
razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de 
lâmpadas é dada por:
 O que significaria se o lote tivesse 100 lâmpadas e 
aproximadamente 15 delas estivessem com defeito?
Fonte: Livro-texto.
Fonte: Livro-texto.
Fator multiplicativo
A fórmula geral do fator multiplicado é expressa por:
 fator multiplicativo de aumento: Valor . (1 + p);
 fator multiplicativo de desconto: Valor . (1 - p).
Fator multiplicativo (Aumento)
Se uma bolsa inicialmente vendida a R$ 32,00 tiver seu preço 
aumentado em 20%, ela passaria a custar R$ 38,40, como nos 
mostram os cálculos:
 um aumento de 20% sobre 32 é igual a 0,2 . 32 = 6,4;
 assim, o novo preço passaria a ser de 32 + 6,4 = 38,4.
Fator multiplicativo (Aumento)
Frente ao exposto, poderíamos simplesmente fazer:
 Perceba que o preço inicial foi multiplicado por 1,2. 
 Esse é o fator multiplicativo de aumento.
Poderíamos ainda ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo 
direto:
 Valor . (1 + p) 
 32 . (1 + 0,2) = 32 . 1,2 = 38,4
Fonte: Livro-texto.
Fator multiplicativo (Aumento)
Assim, se tivéssemos um aumento de:
 30%: multiplicaríamos o preço original por 1,3.
 16%: multiplicaríamos o preço original por 1,16.
 5%: multiplicaríamos o preço original por 1,05.
Fator multiplicativo (Desconto)
Se, por outro lado, houvesse uma liquidação na qual fosse 
anunciado um desconto de 20% sobre o preço original da bolsa, 
o cálculo seria:
 Note que o preço inicial foi multiplicado por 0,8. 
 Esse é o fator multiplicativo de desconto.
Fonte: Livro-texto.
Fator multiplicativo (Desconto)
Também poderíamos ter aplicado a fórmula do fator 
multiplicativo direto. Veja:
 Valor . (1 – p) 32 . (1 – 0,2)=32 . 0,8 = 25,6
Assim, se tivéssemos um desconto de:
 30%: multiplicaríamos o preço original por 0,7.
 16%: multiplicaríamos o preço original por 0,84.
 5%: multiplicaríamos o preço original por 0,95.
Fator multiplicativo (Exemplo 1)
 Um carro modelo Prisma 1.4 com motor flex , ar-condicionado, 
direção elétrica, controle de velocidade e bluetooth custa 
R$ 58.000,00. 
Devido à redução do IPI (Imposto sobre Produtos 
Industrializados) de 2,0%, qual será o valor a ser 
pago pelo carro?
Fator multiplicativo (Exemplo 1)
Inicialmente, devemos calcular o fator de multiplicação 
para desconto:
 Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto IPI 
(forma decimal)
 Fator de multiplicação = 1 – 0,02
 Fator de multiplicação = 0,98
 Para sabermos o valor do Prisma, já com desconto de 2%, 
basta multiplicar o valor do carro pelo fator de multiplicação.
 R$ 58.000,00 x 0,98 = R$ 56.840,00
 O Prisma irá custar R$ 56.840,00.
Interatividade
Uma mercadoria que sofreu um desconto de 20% no seu valor 
de venda, tem um fator multiplicativo igual a:
a) 1,2.
b) 0,8.
c) 0,2.
d) 20.
e) 120.
Fator multiplicativo (Exemplo 2)
 O salário mínimo de um trabalhador no ano de 2016 
sofreu um aumento de 11,68%. 
Sabendo que, no ano de 2015, o salário mínimo 
era de R$ 788,00, qual será o valor para 2016?
Fator multiplicativo (Exemplo 2)
Inicialmente, devemos calcular o fator de multiplicação 
para aumento:
 Fator de multiplicação = 1 + taxa de aumento (forma decimal)
 Fator de multiplicação = 1 + 0,1168
 Fator de multiplicação = 1,1168
 O valor em reais do salário mínimo, em 2016, será dado pelo 
produto do fator de multiplicação por R$ 788,00.
 R$ 788,00 x 1,1168 = R$ 880,00
 O valor do salário mínimo, em 2016, será R$ 880,00.
Taxa percentual de variação
A taxa percentual de variação entre dois valores pode ser 
calculada usando a seguinte fórmula:
 Nela, a diferença de valores é a subtração do maior valor pelo 
menor dividido pelo valor mais antigo no tempo.
 Observação: quando o exercício pede a taxa percentual não 
se pode esquecer de multiplicar o resultado por 100.
Fonte: Livro-texto.
Taxa percentual de variação (Exemplo 1)
Um livro que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. 
Qual foi a taxa percentual de aumento?
Para efetuarmos esse cálculo:
 Portanto, a taxa percentual de aumento foi de 25%.
Fonte: Livro-texto.
Taxa percentual de variação (Exemplo 2)
Após dois meses, o livro que estava custando R$ 30,00 voltou 
a ser vendido por R$ 24,00. Qual foi a taxa percentual 
de desconto?
Para realizarmos esse cálculo:
 Desse modo, a taxa percentual de desconto foi de 20%.
Fonte: Livro-texto.
Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda
 Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e 
venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
 Lucro = preço de venda – preço de custo
 Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada 
de prejuízo.
Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda
Podemos expressar de duas formas o lucro na forma 
de porcentagem:
Fonte: Livro-texto.
Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço 
de venda (Exemplo 1)
 Uma loja compra determinado artigo à vista 
por R$ 540,00 e o revende por R$ 594,00.
a) Qual o percentual do lucro calculado sobre o preço 
de custo?
Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço 
de venda (Exemplo 1)
Lembrando que lucro = preço de venda – preço de custo:
 O percentual do lucro sobre o preço de custo é de 10%.
Fonte: Livro-texto.
Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço 
de venda (Exemplo 1)
b) Qual o percentual do lucro sobre o preço de venda?
Utilizando o mesmo raciocínio da letra a, temos:
 Logo, o percentual do lucro sobre o preço de venda 
é de 9,09%.
Fonte: Livro-texto.
Custo / Lucro / Preço de Venda
 Custo é o valor bruto do produto e/ou serviço, ou seja, 
é o valor do produto sem adicionar qualquer ganho.
 Lucro é o valor adicionado ao valor bruto do produto e ele 
representa o ganho pela fabricação e/ ou comercialização 
do produto.
 Preço de venda é o valor final do produto a ser oferecido 
ao consumidor.
 Preço de venda = custo + lucro
 O preço de venda pode ser calculado com um lucro sobre 
o custo ou sobre o valor de venda.
Custo / Lucro / Preço de Venda (Exemplo)
 Uma loja de equipamentos de informática comprou 
um notebook básico por R$ 1.500,00. 
Se o lucro for de 25% sobre o preço de custo desse 
equipamento, por quanto ele deverá ser vendido?
Para realizar esse cálculo, adote: 
 V = C + L, 
 onde V é o preço de venda, C é o preço de custo e L é o lucro.
Custo / Lucro / Preço de Venda (Exemplo)
Após substituir os valores dados, teremos:
 V = C + 25% sobre o custo
 V = 1.500 + 0,25 x 1.500
 V = 1.500 + 375 = 1.875
 Portanto, o preço de venda será de R$ 1.875,00, calculado 
com base no lucro sobre o custo.
Entretanto, se o lucro for sobre o preço de venda, por quanto 
o notebook deverá ser vendido?
Custo / Lucro / Preço de Venda (Exemplo)
Nesse caso, temos que o preço de venda será:
 V = C + 25% sobre o preço de venda
 V = C + 0,25.V
 V - 0,25.V = C
 V(1- 0,25) = C
 V(0,75) = C
 V = C/0,75
Após substituir os valores dados, teremos:
 V= 1500/0,75 = 2000
Custo / Lucro / Preço de Venda (Exemplo)
 Portanto, se calculadocom base no lucro sobre o preço 
de venda, este será de R$ 2.000,00.
 Note que existe uma diferença de R$ 125 entre os lucros, 
já que 2.000 – 1.875 = 125.
Revisão geral
 Números reais
 Expressões algébricas
 Equações
 Inequações
 Funções
 Sistema de equações
 Regra de três simples e composta
 Porcentagem
Interatividade
A mensalidade de uma escola teve o seu preço reajustado de 
R$ 2.000,00 para R$ 2.500. Qual é a taxa de variação percentual?
a) 10%.
b) 15%.
c) 20%.
d) 25%.
e) 30%.
ATÉ A PRÓXIMA!