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Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Ele´trica
Curso de Graduac¸a˜o em
Engenharia Ele´trica
INTRODUC¸A˜O AOS SISTEMAS DE
ENERGIA ELE´TRICA
Prof. R. S. Salgado
Floriano´polis - SC
2012.
Suma´rio
1 Sistemas Trifa´sicos 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conexa˜o Balanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia 13
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Diagrama Unifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 O Sistema Por Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Selec¸a˜o dos valores base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Base em Termos de Valores Trifa´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Ma´quinas S´ıncronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Circuitos Equivalentes e Diagramas Fasoriais . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Controle de Poteˆncia da Ma´quina S´ıncrona . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Curva de Capabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.4 Controle de Tensa˜o do Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 Transformadores Trifa´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.4 Transformadores de Treˆs Enrolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.5 Transformadores Com Tap Varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.2 Modelo Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Operac¸a˜o das Linhas de Transmissa˜o 61
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Paraˆmetros das linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Representac¸a˜o das linhas de transmissa˜o por um quadripolo . . . . . . . . 62
3.4 Equac¸o˜es diferenciais da linha de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Transfereˆncia de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Curvas PV e QV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Linhas de transmissa˜o com perdas desprez´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . 76
ii SUMA´RIO
3.8 Fluxo de Poteˆncia em Linhas de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.9 Compensac¸a˜o de Linhas de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.10 Desempenho das linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Fluxo de Poteˆncia 101
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Equac¸o˜es Esta´ticas da Rede Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Formulac¸a˜o do Problema de Fluxo de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Me´todos de Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Ajustes e Controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5 Ana´lise de Curto Circuito 137
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Curto-Circuito em Sistemas de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 Ma´quina S´ıncrona sob Curto-Circuito Trifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4 Curto-Circuito Trifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Capacidade de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6 Componentes Sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7 Representac¸a˜o no Domı´nio de Sequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8 Faltas Assime´tricas num Gerador a` Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.9 Ana´lise de Faltas Assime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Cap´ıtulo 1
Sistemas Trifa´sicos
1.1 Introduc¸a˜o
A teoria de sistemas trifa´sicos e´ usada no estudo da operac¸a˜o das redes de energia ele´trica
em regime permanente. Os equipamentos utilizados na operac¸a˜o desses sistemas sa˜o na
sua maioria trifa´sicos, o que facilita em muitos casos a aplicac¸a˜o da teoria apresentada
neste cap´ıtulo. Sob condic¸o˜es de curto circuito assime´trico ou mesmo quando uma carga
desequilibrada e´ suprida, as correntes e tenso˜es fasoriais sa˜o desbalanceadas, o que requer
um esforc¸o computacional maior na sua determinac¸a˜o. As sec¸o˜es subsequ¨entes mostram
os me´todos de soluc¸a˜o dos circuitos trifa´sicos, com eˆnfase na representac¸a˜o desses sistemas
atrave´s da sua decomposic¸a˜o em Componentes Sime´tricos. 1
1.2 Conexa˜o Balanceada
Carga conectada em Y
A figura 1.1 mostra uma fonte de tensa˜o trifa´sica, conectada em Y , alimentando uma carga
trifa´sica balanceada (ou equilibrada, sime´trica) conectada em Y . A fonte e´ suposta ideal
e portanto a sua impedaˆncia e´ desprezada. As tenso˜es fase-neutro sa˜o balanceadas, ou
seja, iguais em magnitude e defasadas de 1200. Considerando a sequ¨eˆncia de fase positiva
(ou abc) e tomando o fasor Van como refereˆncia, as tenso˜es complexas sa˜o expressas por
Van = Van∠00 = Vf∠00
Vbn = Vbn∠− 1200 = Vf∠− 1200
Vcn = Vcn∠1200 = Vf∠1200
onde Vf e´ a magnitude da tensa˜o fase-neutro.
1Alguns dos exerc´ıcios propostos no final deste cap´ıtulo foram baseados em [1] e [2].
2 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
+
-
Vcn
+
-
Van
-
+
Vbn
Ic
Ia
Ib
ZY ZY
ZY
n N
Figura 1.1: Carga trifa´sica balanceada conectada em Y
Do circuito da figura 1.1, as tenso˜es de linha (ou fase-fase) sa˜o dadas por
Vab = Van −Vbn
= Vf∠00 − Vf∠− 1200
= Vf (1∠00 − 1∠− 1200)
=
√
3Vf∠300
Vbc = Vbn −Vcn
= Vf∠− 1200 − Vf∠1200
= Vf (1∠− 1200 − 1∠1200)
=
√
3Vf∠− 900
Vca = Vcn −Van
= Vf∠1200 − Vf∠00
= Vf (1∠1200 − 1∠00)
=
√
3Vf∠1500
Portanto, em sistemas trifa´sicos, balanceados, conectados em Y e com sequ¨eˆncia de
fase positiva,
Vab =
√
3Van∠300
Vbc =
√
3Vbn∠300
Vca =
√
3Vcn∠300
(1.1)
isto e´,
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 3
• os fasores tensa˜o de linha possuem mo´dulo igual a √3 vezes a magnitude dos fasores
tensa˜o fase-neutro (VL =
√
3Vf );
• os fasores tensa˜o de linha sa˜o adiantados de 300 em relac¸a˜o aos correspondentes
fasores tensa˜o fase-neutro.
Desde que as tenso˜es fase-fase formam um triaˆngulo que representa um caminho
fechado, a sua soma e´ zero, mesmo para sistemas desbalanceados; isto e´,
Vab +Vbc +Vca = 0
e de maneira ana´loga,
Van +Vbn +Vcn = 0
A diferenc¸a de potencial entre os pontos neutros do gerador e da carga (figura 1.1) e´
Vn −VN = VnN = 0.
As correntes de linha podem ser obtidas aplicando-se a lei da tenso˜esde Kirchhoff e
supondo que a impedaˆncia de cada ramo da carga conectada em Y e´ ZY = ZY∠θ, o que
resulta em
Ia =
Van
ZY
=
Vf∠00
ZY∠θ
= IL∠− θ
Ib =
Vbn
ZY
=
Vf∠− 1200
ZY∠θ
= IL∠− 1200 − θ
Ic =
Vcn
ZY
=
Vf∠+ 1200
ZY∠θ
= IL∠+ 1200 − θ
onde IL =
Vf
ZY
e´ a magnitude da corrente de linha.
As correntes de linha do sistema trifa´sico mostrado na figura 1.1 sa˜o iguais em mag-
nitude e defasadas de 1200 e por isso tambe´m sa˜o balanceadas. A corrente no neutro e´
dada por
In = Ia + Ib + Ic
e e´ nula para o circuito trifa´sico em questa˜o. Se o sistema e´ balanceado, a corrente no
neutro e´ zero para qualquer valor de impedaˆncia variando desde curto-circuito ate´ circuito
aberto. Se o sistema na˜o e´ balanceado, as correntes de linha na˜o sera˜o balanceadas e uma
corrente na˜o nula flui entre os pontos n e N .
4 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
A poteˆncia complexa em cada ramo da carga e´ dada por
Sa = VanI
∗
a
= VfIL∠θ
Sb = VbnI
∗
b
= Vf∠− 1200IL∠1200 + θ
= VfIL∠θ
Sc = VcnI
∗
c
= Vf∠+ 1200IL∠− 1200 + θ
= VfIL∠θ
e a poteˆncia complexa trifa´sica e´ expressa como
S3φ = Sa + Sb + Sc
= 3VfIL∠θ
= 3
VL√
3
IL∠θ
e portanto
S3φ =
√
3VLIL∠θ (1.2)
Carga conectada em ∆
A figura 1.2 mostra um sistema trifa´sico, com a fonte conectada em Y e a carga conectada
em ∆. A carga e´ representada por uma impedaˆncia Z∆ = Z∆∠θ. Adotando-se a mesma
sequ¨eˆncia de fases (positiva) e o mesmo fasor de refereˆncia angular (Van) do caso anterior,
as correntes em cada ramo da conexa˜o ∆ sa˜o dadas por
Iab =
Vab
Z∆
=
√
3Vf∠300
Z∆∠θ
Ibc =
Vbc
Z∆
=
√
3Vf∠− 900
Z∆∠θ
Ica =
Vca
Z∆
=
√
3Vf∠1500
Z∆∠θ
Essas correntes sa˜o balanceadas para qualquer valor do aˆngulo da impedaˆncia Z∆ e
possuem magnitude igual a If =
√
3Vf
Z∆
.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 5
+
-
Vcn
+
-
Van
-
+
Vbn
Ic
Ia
Ib
Z∆
Z∆ Z∆
Figura 1.2: Carga trifa´sica balanceada conectada em ∆
As correntes de linha sa˜o equilibradas e podem ser determinadas atrave´s da aplicac¸a˜o
da lei das correntes de Kirchhoff; isto e´,
Ia = Iab − Ica =
√
3If∠− θ
Ib = Ibc − Iab =
√
3If∠− θ − 1200
Ic = Ica − Ibc =
√
3If∠− θ − 2400
ou, alternativamente,
Ia =
√
3Iab∠− 300
Ib =
√
3Ibc∠− 300
Ic =
√
3Ica∠− 300
(1.3)
Portanto, para uma carga balanceada conectada em ∆ e suprida com tenso˜es trifa´sicas
balanceadas em sequ¨eˆncia de fase positiva,
• a magnitude das correntes de linha e´ igual a √3 vezes a magnitude das correntes
nos ramos da conexa˜o ∆;
• os fasores correntes de linha esta˜o atrasados de 300 em relac¸a˜o aos fasores corre-
spondentes a`s correntes nas fases do ∆.
No caso da carga equilibrada conectada em ∆, a poteˆncia complexa em cada fase e´
6 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
dada por
Sab = VabI
∗
ab
= VL∠300If∠− 300 + θ
= VLIf∠θ
Sbc = VbcI
∗
bc
= VL∠− 900If∠+ 900 + θ
= VLIf∠θ
Sca = VcaI
∗
ca
= VL∠1500If∠− 1500 + θ
= VLIf∠θ
e a poteˆncia complexa trifa´sica e´ expressa como
S3φ = Sa + Sb + Sc
= 3VfIL∠θ
= 3
VL√
3
IL∠θ
e portanto
S3φ =
√
3VLIL∠θ
que e´ a mesma representada pela Eq. (1.2).
Das equac¸o˜es deduzidas anteriormente, o mo´dulo da impedaˆncia da carga conectada
em Y e´ dada por
ZY =
Vf√
3If
e da carga conectada em ∆ e´ expressa como
Z∆ =
√
3Vf
If
Se as cargas conectadas em Y e ∆ sa˜o equivalentes, a combinac¸a˜o dessas equac¸o˜es
fornece a relac¸a˜o
ZY =
Z∆
3
Na soluc¸a˜o de circuitos trifa´sicos balanceados, apenas uma fase precisa ser analisada.
As conexo˜es ∆ sa˜o convertidas em Y , com o neutro das cargas e dos geradores aterrados
por um condutor de impedaˆncia infinita. Com este artif´ıcio, o circuito correspondente a
uma fase e´ resolvido e as correntes e tenso˜es nas outras fases sa˜o iguais em magnitude a
da fase em ana´lise e defasadas de 1200.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 7
Ex. 1.1 Um alimentador trifa´sico, operando na tensa˜o de 380 V, supre uma carga bal-
anceada conectada em ∆, constitu´ıda por treˆs impedaˆncias iguais a 24 + j18 Ω/fase. A
linha que conecta a fonte e a carga tem uma impedaˆncia igual a Zl = 0, 087 + j0, 996
Ω/fase. Adote o fasor tensa˜o Vab como refereˆncia, a sequ¨eˆncia de fases positiva (abc) e
determine:
1. os fasores corrente de linha e em cada fase do ∆;
2. as tenso˜es complexas nos terminais da carga e a queda de tensa˜o na linha de trans-
missa˜o;
3. as poteˆncias complexas absorvida pela carga e fornecida pela fonte, a perda de
poteˆncia ativa e reativa no sistema de transmissa˜o;
4. os fatores de poteˆncia com que operam a fonte e a carga;
5. o balanc¸o de poteˆncia do sistema trifa´sico;
6. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es;
7. o rendimento e a regulac¸a˜o do sistema de transmissa˜o;
8. a compensac¸a˜o reativa necessa´ria para tornar o fator de poteˆncia da carga 0,9
atrasado;
9. o valor da impedaˆncia por fase correspondente a compensac¸a˜o calculada no item
anterior, supondo que a magnitude da tensa˜o na carga e´ mantida constante.
1.3 Exerc´ıcios
1.1 Um alternador trifa´sico com valores de placa 25 kVA, 380 volts, 60 Hz opera sob
condic¸o˜es balanceadas, suprindo uma corrente de linha de 20A por fase, com fator de
poteˆncia 0,8 atrasado e tensa˜o nominal.
1. Determinar o triaˆngulo de poteˆncias nesta condic¸a˜o de operac¸a˜o.
2. Determinar a impedaˆncia da carga por fase:
• se a carga esta´ conectada em Y ;
• se a carga esta´ conectada em ∆.
1.2 Considere duas cargas balanceadas, ambas conectadas em Y , uma absorvendo 10 kW
a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a outra absorvendo 15 kW a um fator de poteˆncia
0,9 atrasado. Estas cargas sa˜o conectadas em paralelo e supridas por uma fonte trifa´sica
balanceada numa tensa˜o de 480 V.
1. Determine os fasores corrente na fonte.
2. Qual o fator de poteˆncia da carga total e da fonte sob essa condic¸a˜o de operac¸a˜o?
8 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
3. Se o neutro da carga e´ conectado ao neutro da fonte por um condutor de impedaˆncia
nula, qual a corrente neste condutor?
1.3 Treˆs impedaˆncias iguais a 30∠300 Ω, conectadas em ∆, sa˜o supridas por uma
fonte de tensa˜o trifa´sica balanceada de 220 V, atrave´s de treˆs condutores ideˆnticos com
impedaˆncia 0,8+j0,6 Ω por fase.
1. Calcule a tensa˜o fase-fase nos terminais da carga;
2. Calcule a poteˆncia complexa total fornecida pela fonte e as perdas de poteˆncia nas
linhas de transmissa˜o;
3. Repita os itens anteriores supondo que um banco de capacitores em ∆ com impedaˆncia
de -60j S/fase esta´ conectado em paralelo com a carga. Quais as vantagens desta
condic¸a˜o em termos de magnitude da tensa˜o na carga, correntes na rede trifa´sica e
perdas no sistema de transmissa˜o?
1.4 Num sistema trifa´sico balanceado, dois geradores suprem uma carga atrave´s de duas
linhas de transmissa˜o. A carga absorve 30 kW a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado.
As impedaˆncias das linhas de transmissa˜o entre os geradores G1 e G2 e a carga sa˜o
respectivamente 1,4+j1,6 Ω/fase e 0,8+j1,0 Ω/fase. Se o gerador G1 supre 15 Kw a um
fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a uma tensa˜o de 460 V, determine:
1. a tensa˜o nos terminais da carga e nos terminais do gerador G2;
2. as poteˆncias ativa e reativa suprida pelo gerador G2;
3. as perdas de poteˆncia ativa e reativa nas linhas de transmissa˜o.
1.5 Os terminais de uma fonte trifa´sica sa˜o denotados por a, b e c. Entre qualquer
par de terminais um volt´ımetro mede 115 V. Um resistor de 100 Ω e uma reataˆncia
capacitiva de 100 Ω na frequ¨eˆncia da fonte esta˜o conectados em se´rie de a para b, com
o resistor conectado em a. O ponto de conexa˜o desses elementos entre si e´ denotado
por n. Determine geometricamente a leitura do volt´ımetro entre os terminais c e n, nas
sequ¨encias de fasepositiva (abc) e negativa (acb).
1.6 Determine a corrente fornecida por uma linha de transmissa˜o trifa´sica, com impedaˆncia
igual a 0,3+j1,0 Ω/fase, a um motor trifa´sico de 15 HP, operando a plena carga, com
90 % de rendimento, fator de poteˆncia de 80 % em atraso e tensa˜o de 440 V. Calcule
a magnitude da tensa˜o e a poteˆncia complexa na entrada da linha de transmissa˜o, e a
poteˆncia complexa absorvida pela mesma. (1 HP(horse power) = 745,7 watts.)
1.7 Uma carga ∆ equilibrada, composta de resisteˆncias de 15 Ω/fase, esta´ em paralelo
com uma carga Y equilibrada com impedaˆncia de 8+j6 Ω/fase. O sistema de transmissa˜o
que conecta as cargas a uma fonte trifa´sica de 110 V e´ constitu´ıdo por linhas de trans-
missa˜o com impedaˆncia de 2+j5 Ω/fase. Determinar a corrente absorvida da fonte, a
tensa˜o de linha no ponto correspondente a combinac¸a˜o das cargas e a poteˆncia complexa
total (com o respectivo fator de poteˆncia) fornecida pelo gerador.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 9
1.8 Uma planta industrial necessita instalar um compressor para recalcar a´gua de um
poc¸o semi-artesiano. O compressor e´ alimentado por uma linha trifa´sica, conectada no
secunda´rio do transformador da subestac¸a˜o de suprimento local. A tensa˜o no secunda´rio
do transformador trifa´sico e´ de 220 V, a corrente absorvida pelo motor do compressor e´
de 100 A, com fator de poteˆncia 0,7 indutivo, e a linha trifa´sica tem uma impedaˆncia de
0,1 +j 0,05 Ω/fase. Determine:
1. os fasores das tenso˜es de fase e de linha no motor e no secunda´rio do transformador;
2. as poteˆncias ativa e reativa absorvidas pelo motor do compressor e fornecidas pelo
secunda´rio do transformador;
3. a capacidade de um banco trifa´sico de capacitores que deve ser ligado em paralelo
com o motor do compressor a fim de que o conjunto trabalhe com fator de poteˆncia
0,9 indutivo;
4. as poteˆncias ativa e reativa fornecidas pelo secunda´rio do transformador, nas condic¸o˜es
de operac¸a˜o do item anterior, supondo que tensa˜o no conjunto compensac¸a˜o-carga
permanece constante.
1.9 Uma carga trifa´sica absorve 250 kW com um fator de poteˆncia de 0,707 em atraso
atrave´s de uma linha de transmissa˜o trifa´sica de 400 V. Esta carga esta´ conectada em
paralelo com um banco trifa´sico de capacitores de 60 kVar. Determinar a corrente total
fornecida pela fonte e o fator de poteˆncia resultante. Repita estes ca´lculos excluindo o
banco de capacitores e compare os valores da corrente fornecida pela fonte.
1.10 Um motor trifa´sico absorve 20 kVA com fator de poteˆncia de 0,707 em atraso, de
uma fonte de 220 V. Especifique os valores nominais (em kVar) de um banco trifa´sico de
capacitores, necessa´rio para elevar o fator de poteˆncia do conjunto carga-banco a 0,90 em
atraso. Determine a corrente de linha antes e depois da adic¸a˜o do banco de capacitores,
supondo que a magnitude da tensa˜o da fonte permanece constante.
1.11 Um motor de induc¸a˜o trifa´sico requer 6 kW com o fator de poteˆncia 0,8 em atraso.
Determinar os valores de um banco de capacitores conectados em Y de forma a produzir
um fator de poteˆncia unita´rio no sistema, quando colocado em paralelo com o motor, num
sistema balanceado de 250 V e frequ¨eˆncia de 60 Hz.
1.12 Um sistema trifa´sico balanceado de 450 V alimenta duas cargas conectadas em
paralelo. A primeira esta´ conectada em Y e possui uma impedaˆncia de 20-j10 Ω/fase
enquanto a segunda esta´ ligada em ∆ e possui impedaˆncia de 15+j30 Ω/fase. Determinar
a corrente de linha, a poteˆncia fornecida a` cada carga e os fatores de poteˆncia individual
e do conjunto de cargas.
1.13 Uma carga balanceada em ∆ e´ alimentada por um sistema trifa´sico de 240 V. A
corrente de linha e´ 10 A. Um watt´ımetro com sua bobina de corrente em uma linha e sua
bobina de tensa˜o entre as outras duas linhas registra a poteˆncia de 1500 W. Determinar
a impedaˆncia da carga.
10 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
1.14 Duas cargas trifa´sicas associadas em paralelo sa˜o supridas por uma fonte atrave´s
de um sistema de transmissa˜o de impedaˆncia igual a 0,1+j1,0 Ω/fase. A primeira carga
e´ um motor de 7,5 kW, fornecendo a sua poteˆncia nominal, numa tensa˜o de 440 V, com
rendimento de 90% e fator de poteˆncia 0,8 em atraso. A segunda carga e´ representada
por treˆs impedaˆncias de 20,0+j50,0 Ω, conectadas em ∆. Calcular:
1. a corrente de linha qua alimenta a carga total;
2. o valor da tensa˜o na fonte;
3. as perdas de poteˆncia ativa e reativa (por fase) na linha de transmissa˜o;
4. a poteˆncia complexa fornecida pela fonte com o correspondente fator de poteˆncia;
5. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es na carga total.
1.15 Um gerador trifa´sico operando na tensa˜o de 380 volts supre, atrave´s de uma linha
de transmissa˜o com impedaˆncia 0,1 + j1,0 Ω/fase, uma carga trifa´sica que absorve uma
corrente de 50 Ampe´res com fator de poteˆncia 0,8 em atraso. Supondo sequ¨eˆncia de
fases positiva e tomando o fasor tensa˜o fase-neutro na fase a da carga como refereˆncia,
determinar:
1. os fasores tensa˜o de fase e de linha na carga e no gerador;
2. as poteˆncias ativa e reativa na carga e no gerador;
3. a impedaˆncia por fase de uma conexa˜o ∆, que associada em paralelo com a carga
torna unita´rio o fator de poteˆncia desta;
4. a magnitude da corrente fornecida pelo gerador apo´s a adic¸a˜o da compensac¸a˜o
reativa, supondo constante a magnitude da tensa˜o do gerador.
1.16 Duas cargas trifa´sicas conectadas em paralelo sa˜o supridas por um gerador s´ıncrono,
com bobinas da armadura conectadas em Y e reataˆncia s´ıncrona de 0,5 Ω/fase, atrave´s de
uma linha de transmissa˜o de impedaˆncia 0,5 + j0,5 Ω/fase. A tensa˜o interna do gerador e´
380 V. A carga 1 consiste de treˆs impedaˆncias de 6,0 + j9,0 Ω conectadas em ∆ e a carga
2 e´ composta de treˆs admitaˆncias de 0,12+j0,16 S conectadas em Y. Supondo sequ¨eˆncia
de fases positiva e adotando o fasor tensa˜o Vab como refereˆncia, determinar:
1. os fasores corrente na linha de transmissa˜o;
2. a poteˆncia complexa suprida a` carga;
3. a perda de poteˆncia complexa na linha de transmissa˜o;
4. o fator de poteˆncia com que opera cada uma das cargas, a carga total e o gerador
s´ıncrono;
5. os fasores corrente em cada fase da carga conectada em ∆.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 11
1.17 Num sistema trifa´sico, um gerador s´ıncrono com valores de placa: 200 MVA, 16
kV, bobinas da armadura conectadas em Y com reataˆncia s´ıncrona de 3 Ω/fase e fator
de poteˆncia 0,8 atrasado, supre uma carga trifa´sica, na tensa˜o nominal, atrave´s de um
sistema de transmissa˜o de impedaˆncia desprez´ıvel. A carga consome 100 MVA com fator
de poteˆncia 0,8 em avanc¸o. Adotando a sequ¨eˆncia de fases positiva e o fasor Van como
refereˆncia, calcular:
1. o triaˆngulo de poteˆncia da carga;
2. os fasores corrente de linha que suprem a carga;
3. a impedaˆncia por fase correspondente a` carga, supondo esta conectada em ∆;
4. a poteˆncia complexa fornecida pelo gerador com o correspondente fator de poteˆncia;
5. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es trifa´sicas na sa´ıda do gerador s´ıncrono;
6. a compensac¸a˜o reativa necessa´ria pata tornar o fator de poteˆncia da carga compen-
sada igual a 0,95 adiantado.
12 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
Cap´ıtulo 2
Representac¸a˜o dos Sistemas de
Poteˆncia
2.1 Introduc¸a˜o
Em estudos de redes ele´tricas em regime permanente, os sistemas trifa´sicos equilibrados
sa˜o modelados analiticamente pelo diagrama de impedaˆncias de uma fase do circuito Y
equivalente. Cada elemento constituinte do diagrama unifilar e´ representado por um cir-
cuito monofa´sico de sequ¨eˆncia positiva, com os paraˆmetros e varia´veis da rede ele´trica
expressos no sistema por unidade. Este cap´ıtulo mostra como este circuito e´ determi-
nado. Para esta finalidade, treˆs aspectos fundamentais sa˜o apresentados.O primeiro e´ o
diagrama unifilar, que fornece uma ide´ia sobre a estrutura e a conexa˜o dos componentes
do sistema, e a` partir do qual e´ poss´ıvel determinar o diagrama de impedaˆncias. O se-
gundo e´ a representac¸a˜o do diagrama de impedaˆncias no sistema por unidade, o qual tem
por objetivo facilitar os ca´lculos de correntes e tenso˜es no circuito ele´trico. O terceiro
e´ a modelagem anal´ıtica dos componentes da rede ele´trica em termos de elementos de
circuitos. Isto permite obter um modelo do sistema de poteˆncia em termos de equac¸o˜es
obtidas aplicando-se as leis de circuitos ele´tricos, cuja soluc¸a˜o fornece os subs´ıdios para a
ana´lise da rede ele´trica.
2.2 Diagrama Unifilar
O diagrama unifilar e´ um tipo de representac¸a˜o dos sistemas de poteˆncia que fornece de
maneira concisa as informac¸o˜es significativas sobre o mesmo. Os padro˜es utilizados para
este tipo de representac¸a˜o foram institu´ıdos pela ANSI (American National Standards
Institute) e pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers). Alguns dos
principais s´ımbolos utilizados para construir o diagrama unifilar sa˜o mostrados na tabela
2.1.
A figura 2.2 apresenta um exemplo de diagrama unifilar no qual os ı´ndices 1 e 2 situados
sobre as linhas verticais indicam as duas barras do sistema. As bobinas da armadura
dos geradores G1, G2 e G3 esta˜o conectadas em Y com o neutro aterrado atrave´s das
impedaˆncias Zng1 , Zng2 e Zng3 . Os geradores G1 e G2 e a carga 1 esta˜o conectados ao
mesmo barramento e portanto sujeitos a mesma tensa˜o. De maneira ana´loga, o gerador
14 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
Maquina rotativa
Transformador de
dois enrolamentos
Transformador de
treˆs enrolamentos
Disjuntor
Transformador de
corrente
ou Transformador de
potencial
A
V
Fus´ıvel
Disjuntor a ar
Conexa˜o Delta
Conexa˜o Y
sem aterramento
Conexa˜o Y
Zn aterrado com Zn
Conexao Y
solidamente aterrado
Amper´ımetro
Volt´ımetro
Figura 2.1: Diagrama unifilar - Principais s´ımbolos
1 2
Carga 1
G2
G1 T1
LT
T2 G3
Carga 2
Zng2
Zng1 Zng3
Figura 2.2: Diagrama unifilar - Exemplo
G3 impo˜e a tensa˜o na barra 2, a` qual esta´ conectada a carga 2. Supondo que a linha
de transmissa˜o que conecta os transformadores T1 e T2 e´ de comprimento me´dio, o
circuito monofa´sico equivalente ao diagrama unifilar mostrado na figura 2.2 e´ determinado
lembrando que a magnitude da corrente de magnetizac¸a˜o dos transformadores de grande
porte e´ insignificante em relac¸a˜o a` magnitude da corrente nominal (em geral menor do
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 15
que 5 %) e portanto o ramo transversal do transformador e´ desprezado. Ale´m disso,
a impedaˆncia de aterramento dos geradores conectados em Y na˜o e´ inclu´ıda, pois sob
condic¸o˜es de operac¸a˜o balanceada em regime permanente a corrente que flui do neutro
dos geradores para a terra e´ nula.
2.3 O Sistema Por Unidade
Uma quantidade no sistema por unidade (pu) e´ definida como a raza˜o entre o valor real
da grandeza e o valor base da mesma grandeza selecionado como refereˆncia; isto e´
Quantidade em p.u. =
V alor real (volts, amps, ohms, watts, ...)
V alor base (volts, amps, ohms, volt− ampe`re, ...)
Com relac¸a˜o a esta definic¸a˜o, os seguintes aspectos devem ser observados:
• a quantidade em pu e´ adimensional;
• o valor base e´ sempre um nu´mero real;
• o aˆngulo de uma quantidade em pu e´ sempre o mesmo da quantidade verdadeira;
• valor percentual = Valor p.u.× 100.
2.3.1 Selec¸a˜o dos valores base
A escolha dos valores base e´ feita considerando um elemento gene´rico de circuito, no qual
quatro quantidades inter-relacionadas (tensa˜o, corrente, impedaˆncia e poteˆncia) definem
a referida especificac¸a˜o. O seguinte procedimento e´ adotado:
1. dois valores base (entre tensa˜o, corrente, impedaˆncia e poteˆncia) sa˜o arbitrariamente
selecionados num determinado ponto do sistema;
2. os outros dois valores base sa˜o calculados utilizando-se as relac¸o˜es entre tensa˜o,
corrente, impedaˆncia e poteˆncia num circuito monofa´sico. Por exemplo, se a tensa˜o
e a poteˆncia sa˜o escolhidas como grandezas base (Vb e Sb), enta˜o os valores de
corrente base e impedaˆncia base sa˜o calculados por
Ib =
Sb
Vb
Zb =
Vb
Ib
ou Zb =
V 2b
Sb
Isto permite interpretar a impedaˆncia base Zb como um elemento de circuito monofa´sico,
o qual submetido a uma tensa˜o base de valor Vb fornecera´ uma corrente base de valor Ib
e uma poteˆncia base igual a Sb.
E´ importante ressaltar que a quantidade adotada como base para o ca´lculo de ambas,
poteˆncias ativa e reativa, no sistema por unidade e´ a poteˆncia aparente base, isto e´,
Pb1φ = Qb1φ = Sb1φ
expressa em volt-ampe`re (VA).
16 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
De maneira ana´loga, a quantidade adotada como base para o ca´lculo de ambas, re-
sisteˆncia e reataˆncia, no sistema por unidade e´ a impedaˆncia base, isto e´,
Rb = Xb = Zb
expressa em ohms (Ω); e a admitaˆncia base e´ dada por
Yb =
1
Zb
e expressa em Siemens (S).
2.3.2 Base em Termos de Valores Trifa´sicos
Em sistemas trifa´sicos, os valores base sa˜o expressos geralmente em termos de quantidades
trifa´sicas, isto e´, poteˆncia trifa´sica, tensa˜o de linha e corrente de linha. Ale´m disso, as
impedaˆncias conectadas em ∆ sa˜o convertidas para a conexa˜o Y equivalente. Denotando
• Sb1φ: a poteˆncia base do circuito monofa´sico;
• Vbf : a tensa˜o base do circuito monofa´sico (fase-neutro);
• Sb3φ: a poteˆncia base do circuito trifa´sico;
• VbL: a tensa˜o base do circuito trifa´sico (fase-fase ou de linha);
e lembrando que em sistemas trifa´sicos equilibrados
Sb3φ = 3Sb1φ VbL =
√
3Vbf
as seguintes relac¸o˜es podem ser estabelecidas:
Ib =
Sb1φ
Vbf
=
Sb3φ/3
VbL/
√
3
=
Sb3φ√
3VbL
Zb =
Vbf
Ib
=
VbL/
√
3
Sb3φ/
√
3VbL
=
V 2bL
Sb3φ
Num sistema de poteˆncia trifa´sico, as seguintes regras sa˜o adotadas para a especificac¸a˜o
das quantidades base:
1. o valor de poteˆncia aparente trifa´sica base Sb3φ e´ o mesmo ao longo de todo o sistema;
2. a relac¸a˜o entre as tenso˜es de linha base nos lados do transformador e´ igual aquela
entre os valores nominais da tensa˜o do transformador, ou seja, a tensa˜o de linha base
passa atrave´s do transformador trifa´sico segundo a sua relac¸a˜o nominal de tenso˜es
de linha.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 17
Ex. 2.1 Considere dois geradores trifa´sicos suprindo, atrave´s de linhas de transmissa˜o
trifa´sicas separadas, duas cargas trifa´sicas balanceadas conectadas no mesmo ponto. A
carga 1, conectada em Y, absorve 20 kW operando com fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a
carga 2, conectada em ∆, absorve 12 kVA operando com fator de poteˆncia 0,9 adiantado.
Ha´ ainda uma terceira carga de 15 kW, resistiva e ligada em Y, conectada diretamente
aos terminais do gerador 2. A impedaˆncia da linha de transmissa˜o entre o gerador 1 e
a carga e´ 1,4 +j1,6 Ω/fase, e da linha de transmissa˜o entre o gerador 2 e a carga e´ 0,8
+j1,0 Ω/fase. O gerador 1 supre 20 kW a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado, numa tensa˜o
terminal de 460 V. Suponha que a poteˆncia das treˆs cargas seja independente da tensa˜o
de alimentac¸a˜o. Empregando o sistema por unidade e tomando como valores base 25 kVA
e 460 V no gerador 1, determinar:
1. o diagrama de impedaˆncias no sistema por unidade na base mencionada;
2. a corrente da carga 1, em pu e em ampe´res;
3. a tensa˜o nos terminais do gerador 2, em pu e em volts;
4. a poteˆncia aparente suprida pelo gerador 2, em pu e em kVA;
5. o valor da reataˆncia em pu e em Ω/fase de uma carga de compensac¸a˜o reativa
necessa´ria para tornar unita´rio o fator de poteˆncia do equivalente das cargas 1 e 2.
2.3.3 Mudanc¸a de Base
Em geral, os equipamentos dos sistemas de poteˆncia apresentamna sua placa o valor per-
centual da impedaˆncia, calculada com base nos valores nominais do pro´prio equipamento.
Desde que os componentes do sistema de energia ele´trica possuem valores nominais difer-
entes, para se fazer ca´lculos no sistema por unidade e´ necessa´rio referir todas as grandezas
a uma base comum. Para efetuar esta mudanc¸a de base, suponha que a impedaˆncia do
equipamento (em pu) seja expressa como
Zpub antiga =
Zreal
Zb antiga
= Zreal
Sb antiga
V 2b antiga
e que e´ necessa´rio referir este valor a uma nova base, tal que
Zpub nova = Z
realSb nova
V 2b nova
A combinac¸a˜o dessas duas u´ltimas equac¸o˜es fornece
Zpub nova = Z
pu
b antiga
(
Sb nova
Sb antiga
)(
Vb antiga
Vb nova
)2
que e´ a relac¸a˜o utilizada para efetuar a mudanc¸a de base requerida.
Observe que, no caso dos transformadores a relac¸a˜o
(
Vb antiga
Vb nova
)
deve ser calculada
com valores base correspondentes a um mesmo lado do transformador.
Ex. 2.2 A placa de um transformador monofa´sico de dois enrolamentos apresenta os
seguintes valores: 50 MVA; 13,8/69 kV; 20 %. Calcular a reataˆncia deste equipamento
no sistema por unidade, na base de 100 MVA e 13,2 kV no lado de BT.
18 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
2.4 Ma´quinas S´ıncronas
2.4.1 Circuitos Equivalentes e Diagramas Fasoriais
Gerador S´ıncrono
Estes equipamentos podem absorver ou gerar poteˆncia reativa, funcionando como ger-
adores (Pg > 0), motores (Pg < 0) ou compensadores (Pg ≈ 0), superexcitados (Qg > 0)
ou subexcitados (Qg < O). Os limites de gerac¸a˜o e absorc¸a˜o de poteˆncia reativa sa˜o
determinados com aux´ılio da curva de capabilidade da ma´quina. A capacidade de suprir
poteˆncia reativa e´ determinada atrave´s da raza˜o de curto-circuito do equipamento (igual
ao inverso da reataˆncia s´ıncrona). O circuito monofa´sico equivalente da ma´quina s´ıncrona
funcionando como um gerador e´ mostrado na figura 2.3.
G
Zs = jXs
+
E
-
+
V
-
I
Figura 2.3: Circuito equivalente do gerador s´ıncrono
As equac¸o˜es que representam a gerac¸a˜o de poteˆncia sa˜o obtidas supondo-se as tenso˜es
terminal V = V ∠00 e de excitac¸a˜o E = E∠δ, e separando-se as partes real e imagina´ria
do produto S = VI∗. Isto fornece as poteˆncias ativa e reativa liberadas pelo gerador, as
quais sa˜o expressas respectivamente por
Pg =
V E
Xs
sen δ
Qg =
V
Xs
(E cos δ − V )
onde δ e´ denominado aˆngulo de carga da ma´quina s´ıncrona.
Os diagramas fasoriais do gerador s´ıncrono sub-excitado e sobre-excitado sa˜o mostra-
dos nas figuras 2.4 e 2.5.
Motor S´ıncrono
O circuito equivalente do motor s´ıncrono e´ mostrado na figura 2.6, e os correspondentes
diagramas fasoriais para os casos de sub-excitac¸a˜o e sobre-excitac¸a˜o sa˜o representados nas
figuras 2.7 e 2.8.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 19
φ
δ
E
IjXd
V
I
Figura 2.4: Gerador s´ıncrono superexcitado - diagrama fasorial
E
IjXd
V
δ
φ
I
Figura 2.5: Gerador s´ıncrono subexcitado - diagrama fasorial
G
Zs = jXs
+
E
-
+
V
-
I
Figura 2.6: Circuito equivalente do motor s´ıncrono
Compensadores S´ıncronos
Quando a ma´quina s´ıncrona opera como um Compensador S´ıncrono, a poteˆncia ativa
suprida e´ aproximadamente zero (em raza˜o das perdas internas), sendo fornecida apenas
poteˆncia reativa (capacitiva ou indutiva). Este modo de funcionamento e´ o mesmo de
um motor s´ıncrono operando sem carga mecaˆnica. Dependendo da corrente de excitac¸a˜o,
o dispositivo pode gerar ou absorver poteˆncia reativa. Desde que as perdas neste tipo
de dispositivo sa˜o considera´veis, se comparadas a`s dos Capacitores Esta´ticos, o fator de
20 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
φ
δ
V
IjXd
E
I
Figura 2.7: Motor s´ıncrono subexcitado - diagrama fasorial
V
IjXd
E
δ
φ
I
Figura 2.8: Motor s´ıncrono superexcitado - diagrama fasorial
poteˆncia com que operam os compensadores s´ıncronos na˜o e´ exatamente igual a zero. No
caso da operac¸a˜o em conjunto com os reguladores de tensa˜o, os compensadores s´ıncronos
podem automaticamente funcionar superexcitados (sob condic¸a˜o de carga pesada) ou
subexcitados (sob condic¸o˜es de carga leve).
I
φ
E
jXdI
V
Figura 2.9: Compensador s´ıncrono subexcitado
Os diagramas fasoriais da ma´quina s´ıncrona operando como compensador sa˜o mostra-
dos nas figuras 2.9 e 2.10. A principal vantagem do compensador s´ıncrono e´ a sua flexi-
bilidade de operac¸a˜o. A gerac¸a˜o de poteˆncia reativa pode variar continuamente de uma
maneira simples (pore´m mais lenta do que a dos Compensadores Esta´ticos), modificando-
se a tensa˜o de excitac¸a˜o da ma´quina s´ıncrona. A desvantagem deste tipo de operac¸a˜o
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 21
jXdIφ
I
V E
Figura 2.10: Compensador s´ıncrono superexcitado
e´ que em geral o equipamento esta´ situado longe dos pontos de consumo e necessita de
elementos de transporte para atingir a demanda, ocasionando perda de poteˆncia.
2.4.2 Controle de Poteˆncia da Ma´quina S´ıncrona
Sistemas de controle automa´tico sa˜o frequ¨entemente utilizados na monitorac¸a˜o da operac¸a˜o
das redes ele´tricas. A figura 2.11 mostra os dois controles ba´sicos de um gerador com
turbina a vapor; isto e´, o regulador de tensa˜o e o governador de velocidade.
Valvula de vapor
Do gerador
de vapor
Para o
condensador
Turbina
a vapor
Pm
ωm
Governador
de velocidade
Pref
Excita-
triz
If
+
-
Efd
Gerador
tensao
Regula-
dor de
Filtro
Retificador
Transformador
de potencial
Pe, Vt
Figura 2.11: Controles Pf e QV
O governador de velocidade da turbina ajusta a posic¸a˜o da va´lvula de vapor para
controlar a poteˆncia mecaˆnica de sa´ıda da turbina (Pm). Quando o n´ıvel da poteˆncia de
refereˆncia (Pref ) aumenta (ou diminui) o governador de velocidade abre (ou fecha) mais a
va´lvula que controla a injec¸a˜o de poteˆncia mecaˆnica no eixo da turbina. O governador de
velocidade tambe´m monitora a velocidade angular do rotor ωm, a qual e´ utilizada como
22 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
sinal de realimentac¸a˜o para controlar a poteˆncia mecaˆnica de entrada e ele´trica de sa´ıda.
Considerando-se as perdas desprez´ıveis,
• se Pm > Pe, a velocidade angular ωm aumenta e o governador de velocidade fecha
mais a va´lvula para reduzir a poteˆncia mecaˆnica de entrada;
• se Pm < Pe, a velocidade angular ωm decresce e o governador de velocidade abre
mais a va´lvula para aumentar a poteˆncia mecaˆnica de entrada;
O regulador de tensa˜o ajusta a poteˆncia ele´trica de sa´ıda do sistema de excitac¸a˜o,
visando controlar a magnitude da tensa˜o terminal do gerador (Vt). Quando a tensa˜o
de refereˆncia (Vref ) aumenta (ou diminui), a tensa˜o de sa´ıda do gerador deve se elevar
(ou decrescer) por efeito da tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) aplicada nas bobinas de campo do
gerador s´ıncrono. Um transformador de potencial e um retificador monitoram a tensa˜o
terminal (Vt), a qual e´ utilizada como sinal de realimentac¸a˜o no regulador de tensa˜o. Se
a tensa˜o terminal decresce, o regulador de tensa˜o aumenta a sua tensa˜o (Vr), de forma a
elevar a tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) e a tensa˜o terminal (Vt).
1 Conforme mencionado anteriormente, quando a ma´quina s´ıncrona esta´ conectada
a uma barra infinita a sua tensa˜o terminal e a sua frequ¨eˆncia permanecem inalteradas.
Entretanto, duas das suas varia´veis, a corrente de excitac¸a˜o e o torque de entrada no eixo,
podem ainda ser controladas. A variac¸a˜o da corrente de campo, referida como controle
do sistema de excitac¸a˜o, e´ utilizada no funcionamento da ma´quina tanto como gerador
quanto como motor, para controlar a poteˆncia reativa da mesma. Por outro lado, desde
que a velocidade angular do eixo da ma´quinae´ constante, a u´nica maneira de variar a
poteˆncia ativa de sa´ıda e´ atrave´s do controle do torque imposto no eixo pela ma´quina
prima´ria no caso do gerador e pela carga mecaˆnica no caso do motor.
Controle de poteˆncia reativa
Considere um gerador suprindo poteˆncia ativa, tal que o aˆngulo entre a tensa˜o terminal
e a forc¸a eletromotriz interna da ma´quina e´ δ. Suponha ainda, que para a ana´lise do
controle de poteˆncia reativa mostrada a seguir, a resisteˆncia da armadura e´ desprezada.
A poteˆncia complexa liberada nos terminais do gerador e´ dada por
S = P + jQ
= VI∗a
= V Ia(cos θ + j sin θ)
tal que
P = V Ia cos θ
Q = V Ia sin θ
(2.1)
Note que, desde que o aˆngulo θ e´ numericamente positivo, a poteˆncia reativa liberada
pela ma´quina e´ positiva para cargas com fator de poteˆncia atrasado. Se a poteˆncia ativa
de sa´ıda (P ) e´ mantida constante a uma tensa˜o terminal (V ) constante, a ana´lise da Eq.
1O texto a seguir e´ baseado nas refereˆncias [1, 3, 4].
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 23
(2.1) mostra que a quantidade Ia cos θ tambe´m permanece constante. Nessas condic¸o˜es, a
magnitude da forc¸a eletromotriz interna (Ef ) varia proporcionalmente conforme a corrente
cont´ınua de excitac¸a˜o do campo (If ) se modifica, de forma a manter a quantidade Ia cos θ
constante.
LG de Ef constante
Ef
IaXd cos θ
LG de Ia cte
δ
θ
jIaXd
IaXd sin θ
Vt
Ia
Ia cos θ
Ef
IaXd sin θ
IaXd cos θ
jIaXd
Vt
Ia
θ
δ
o
Figura 2.12: Controle de poteˆncia reativa
A condic¸a˜o de excitac¸a˜o normal da ma´quina e´ definida como aquela na qual
Ef cos δ = V
e a ma´quina s´ıncrona e´ considerada estar superexcitada ou subexcitada conforme Ef cos δ >
V ou Ef cos δ < V , respectivamente. Quando a ma´quina esta´ superexcitada, ela supre
poteˆncia reativa atrave´s dos seus terminais, tal que sob o ponto de vista do sistema ela
age como um capacitor. A parte superior da figura 2.12 ilustra esta situac¸a˜o. Nesta figura
a sigla LG denota lugar geome´trico.
A parte inferior da figura 2.12 mostra o diagrama fasorial de um gerador subexcitado,
suprindo a mesma quantidade de poteˆncia ativa que a do caso anterior. Neste caso, o
gerador absorve poteˆncia ativa do sistema e portanto atua como um indutor.
Resumindo, geradores e motores s´ıncronos superexcitados suprem poteˆncia reativa,
agindo como capacitores sob o ponto de vista do sistema ao qual a ma´quina s´ıncrona esta´
24 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
conectada, enquanto que geradores e motores s´ıncronos subexcitados absorvem poteˆncia
reativa do sistema, atuando como indutores.
Controle da poteˆncia ativa
O controle de poteˆncia ativa e´ realizado atrave´s da va´lvula que monitora a quantidade
de vapor ou a´gua que entra na turbina (ma´quina prima´ria) acoplada ao eixo da ma´quina
s´ıncrona. O aumento da poteˆncia mecaˆnica de entrada no gerador resulta num correspon-
dente aumento da velocidade angular do rotor e, se a corrente de excitac¸a˜o do campo (If )
(e portanto a forc¸a eletromotriz interna (Ef )) for mantida constante, o aˆngulo de carga
ou poteˆncia (δ) entre a tensa˜o terminal (V ) e a forc¸a eletromotriz interna (Ef ) tambe´m
crescera´. O aumento do aˆngulo de carga implica numa quantidade maior da grandeza
V Ia cos θ, conforme pode ser observado na figura 2.12. Um gerador com maior aˆngulo de
poteˆncia requer um torque de entrada maior e naturalmente libera maior quantidade de
poteˆncia ativa ao sistema. Um racioc´ınio ana´logo se aplica ao funcionamento da ma´quina
s´ıncrona como motor.
Ex. 2.3 Considere um gerador s´ıncrono com valores nominais 635 MVA, fator de poteˆncia
0,90 atrasado, 3600 rpm, 24 kV e reataˆncia s´ıncrona 1,7241 pu conectado a uma barra
infinita. Se esta ma´quina esta´ suprindo uma corrente de 0,8 pu com fator de poteˆncia 0,9
atrasado a uma tensa˜o terminal de 1,0 pu, determine a magnitude e o aˆngulo da tensa˜o
interna do gerador e as poteˆncias ativa e reativa supridas a barra infinita. Se a poteˆncia
ativa de sa´ıda do gerador permanece constante, pore´m a sua excitac¸a˜o e´ (a) reduzida em
20 % e (b)aumentada em 20 %, determine o aˆngulo de carga e a poteˆncia reativa suprida
pelo gerador.
2.4.3 Curva de Capabilidade
A curva de capabilidade ou carta de poteˆncia e´ um diagrama que mostra todas as condic¸o˜es
de operac¸a˜o normal de uma ma´quina s´ıncrona de rotor cil´ındrico conectada a uma barra
infinita. Este diagrama e´ de extrema utilizada para operadores de sistema de poteˆncia
durante a fase de planejamento da operac¸a˜o da ma´quina s´ıncrona como gerador.
A curva de capabilidade e´ determinada supondo-se que o gerador opera com tensa˜o
terminal fixa e que a resisteˆncia da armadura e´ desprez´ıvel. A construc¸a˜o do diagrama
pode ser sumarizada nas etapas descritas a seguir.
• Determine o diagrama fasorial da ma´quina s´ıncrona tomando a tensa˜o terminal
como refereˆncia, conforme mostrado na parte superior da figura 2.12. A rotac¸a˜o
deste diagrama resulta no gra´fico apresentado na figura 2.13, o qual mostra cinco
lugares geome´tricos passando pelo ponto de operac¸a˜o m. Estes lugares geome´tricos,
correspondentes a cinco modos de operac¸a˜o poss´ıveis, em cada um dos quais um
paraˆmetro do gerador mantido constante, sa˜o descritos a seguir.
• Corrente de excitac¸a˜o constante: o c´ırculo representando a excitac¸a˜o constante e´
centrado no ponto n e possui raio n − m, igual a magnitude da tensa˜o interna
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 25
Q
(a) P = cte
(e) cos θ = cte
(b) Q = cte
IaXd cos θ
r
q
IaXd sin θ jIaXd
(c) Ef = cte
(d) Ia = cte
cos θatrasado
cos θadiantado
P
Ef
θ
θ
δ
Vt
o
n
m
p
Ia
Figura 2.13: Diagrama fasorial obtido pela rotac¸a˜o do diagrama da figura 2.12
da ma´quina. Esta pode ser mantida constante ajustando-se convenientemente a
corrente cont´ınua (If ) na bobina do campo, de acordo com a equac¸a˜o
Ef =
ωMfIf√
2
onde Mf representa o valor ma´ximo da func¸a˜o que relaciona a indutaˆncia mu´tua
entre a bobina de campo (f) e cada uma das bobinas do estator.
• Magnitude da corrente da armadura constante: o lugar geome´trico desses pontos e´
um c´ırculo centrado no ponto o e com raio o−m, proporcional a um valor fixo da
corrente de armadura. Desde que a tensa˜o terminal e´ suposta constante, os pontos
de operac¸a˜o representados neste c´ırculo correspondem a uma poteˆncia aparente de
sa´ıda com magnitude constante;
• Poteˆncia ativa de sa´ıda constante: a poteˆncia ativa de sa´ıda e´ expressa como P =
V Ia cos θ, e portanto o lugar geome´trico obtido com esta poteˆncia mantida constante
e´ o segmento de reta vertical m− p, com comprimento igual a XdIa cos θ. Note que
a poteˆncia de sa´ıda do gerador e´ sempre positiva, independentemente do seu fator
de poteˆncia;
• Fator de poteˆncia constante: a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ expressa como Q =
V Ia sin θ, sendo o aˆngulo θ positivo para a operac¸a˜o com o fator de poteˆncia
26 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
atrasado. De maneira ana´loga a` poteˆncia ativa de sa´ıda, o segmento de reta hori-
zontal q −m, com magnitude igual a XdIa sin θ representa o lugar geome´trico dos
pontos de operac¸a˜o para os quais a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ constante. No caso
da operac¸a˜o com fator de poteˆncia unita´rio, a poteˆncia reativa de sa´ıda do gerador e´
nula, correspondendo aos pontos no segmento de reta horizontal o−p. Para operac¸a˜o
com fator de poteˆncia atrasado (adiantado) a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ positiva
(negativa) e os pontos de operac¸a˜o esta˜o situados nos semi-planos localizados acima
(abaixo) da linha o− p;
• A linha radial o − m e´ o lugar geome´trico dos pontos de operac¸a˜o para os quais
o aˆngulo do fator de poteˆncia θ e´ constante. Na figura 2.13, o aˆngulo θ repre-
senta a condic¸a˜ona qual o gerador s´ıncrono supre uma carga com fator de poteˆncia
atrasado. No caso do fator de poteˆncia unita´rio (θ = 00), os pontos de operac¸a˜o
sa˜o representados ao longo do eixo horizontal o− p. O semi plano situado acima do
eixo horizontal corresponde a cargas com fator de poteˆncia adiantado.
O diagrama da figura 2.13 se torna mais u´til quando os eixos sa˜o escalonados para
indicar as poteˆncias ativa e reativa de sa´ıda do gerador. O re-arranjo das equac¸o˜es
Pg =
V Ef
Xd
sin δ
Qg =
V
Xd
(Ef cos δ − V )
fornece
Pg =
V Ef
Xd
sin δ
(
Qg +
V 2
Xd
)
=
EfV
Xd
cos δ
A soma dos quadrados das duas u´ltimas equac¸o˜es resulta na expressa˜o
P 2g +
(
Qg +
V 2
Xd
)2
=
(
V Ef
Xd
sin δ
)2
+
(
EfV
Xd
cos δ
)2
=
(
EfV
Xd
)2 (
sin2 δ + cos2 δ
)
=
(
EfV
Xd
)2
a qual representa geometricamente um c´ırculo de raio
(
EfV
Xd
)
centrado no ponto
(
0;−V
2
Xd
)
.
Este c´ırculo pode ser obtido multiplicando-se cada fasor da figura 2.13 pela raza˜o
(
V
Xd
)
,
o que significa o escalonamento dos eixos mostrado na figura 2.14.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 27
Q
(a) P = cte
(e) cos θ = cte
(b) Q = cte
V Ia cos θ
r
q
V Ia sin θ IaV
(c)
EfV
Xd
= cte
(d) IaV = cte
cos θ atrasado
cos θ adiantado
P
EfV
Xd
θ
θ
δ
V 2t
Xd
o
n
m
p
Ia
Figura 2.14: Diagrama fasorial obtido pelo escalonamento do diagrama da figura 2.13
O diagrama de carregamento da ma´quina s´ıncrona mostrado na figura 2.14 torna-
se mais pra´tico quando se considera a corrente ma´xima (perdas I2R) que pode circular
nas bobinas da armadura e do campo e tambe´m os limites da ma´quina prima´ria e o
aquecimento do nu´cleo da armadura. A figura 2.15 mostra a curva de capabilidade de um
gerador s´ıncrono com valores nominais 635 MVA, 24 kV, fator de poteˆncia 0,9 e reataˆncia
s´ıncrona 172,41 %.
Na figura 2.15, o ponto m corresponde ao valor nominal de poteˆncia aparente do
gerador com fator de poteˆncia nominal atrasado (635 MVA com cos θ = 0, 9 atrasado).
O projeto da ma´quina deve prever um valor de corrente de campo suficiente para que a
ma´quina s´ıncrona possa operar superexcitada no ponto m. O limite da corrente de campo
e´ determinado segundo o arcom−r. A capacidade do gerador para liberar poteˆncia reativa
ao sistema e´ portanto reduzida. Na verdade, a saturac¸a˜o da ma´quina faz decrescer o valor
da reataˆncia s´ıncrona e por esta raza˜o os fabricantes fornecem curvas que se iniciam nos
limites de aquecimento do campo teo´ricos descritos anteriormente.
A imagem do ponto m e´ o ponto m
′
, de operac¸a˜o na regia˜o de sub-excitac¸a˜o. Os ope-
radores do sistema de poteˆncia evitam operar a ma´quina s´ıncrona na regia˜o subexcitada
da curva de capabilidade por razo˜es de estabilidade do sistema em regime permanente e
de sobre-aquecimento da ma´quina.
Quando a ma´quina opera na regia˜o de sub-excitac¸a˜o, as correntes parasitas induzidas
pelo sistema no ferro da armadura e o aquecimento por efeito Joule aumentam. Para
28 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
0,8
r
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
n
limite de aquecimento do campo
cos θ = 0, 80
cos θ = 0, 90
cos θ = 0, 95
cos θ = 1, 0
cos θ = 0, 95
cos θ = 0, 90
limite de
subexcitac¸a˜o
circulo de 100 %
de excitac¸a˜o
m
′
m
MS superexcitada
MS subexcitada
limite de
aquecimento
da armadura
Poteˆncia reativa
Poteˆncia ativa
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
θ
δ
Figura 2.15: Curva de capabilidade do gerador do exemplo 2.3
limitar este aquecimento os fabricantes fornecem curvas espec´ıficas de capabilidade e re-
comendam os limites dentro dos quais se pode operar a ma´quina.
Para se obter os valores de poteˆncia ativa e poteˆncia reativa supridas pelo gerador num
ponto de operac¸a˜o atrave´s do uso da figura 2.15, os valores por unidade dessas grandezas
obtidos no diagrama devem ser multiplicados pelo valor base de poteˆncia aparente da
ma´quina, o qual no caso e´ o valor nominal de 635 MVA.
A distaˆncia n−m representa o valor por unidade da poteˆncia aparente expressa pela
quantidade
EfV
Xd
no ponto de operac¸a˜o m. Isto permite calcular o valor por unidade da
tensa˜o interna da ma´quina na base da sua tensa˜o nominal (no caso 24 kV) multiplicando
o comprimento n−m pela raza˜o Xd
V
expressa em pu. Note que a curva de capabilidade
e´ determinada segundo a condic¸a˜o de operac¸a˜o com a tensa˜o terminal mantida constante
no seu valor nominal; isto e´, V = 1, 0 pu e portanto o produto envolve apena a reataˆncia
s´ıncrona da ma´quina Xd.
Se a tensa˜o terminal da ma´quina na˜o e´ 1,0 pu, enta˜o o valor
1
Xd
, atribu´ıdo a` distaˆncia
0, 0−n na figura 2.15, deve ser corrigido para V
2
Xd
expresso no sistema por unidade. Esta
mudanc¸a altera o escalonamento da figura 2.15 pelo fator V 2, de tal forma que as poteˆncias
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 29
ativa e reativa obtidas atrave´s do diagrama devem ser primeiro multiplicadas pelo fator V 2
e posteriormente pela poteˆncia aparente base para fornecer os valores efetivos de poteˆncia
ativa e reativa da operac¸a˜o.
Ex. 2.4 Considere que o diagrama de capabilidade de um gerador s´ıncrono trifa´sico com
valores nominais 635 MVA, 24 kV, fator de poteˆncia 0,9 e reataˆncia s´ıncrona 172,41 %,
3600 rpm e´ aquele mostrado na figura 2.15. Se o gerador esta´ fornecendo 458,47 MW e
114,62 Mvar numa tensa˜o de 22,8 kV a uma barra infinita,
• calcular a tensa˜o interna da ma´quina utilizando o circuito equivalente;
• calcular a tensa˜o interna da ma´quina utilizando o diagrama de capabilidade.
2.4.4 Controle de Tensa˜o do Gerador
Numa unidade geradora, a excitatriz e´ o dispositivo que libera poteˆncia em corrente
cont´ınua para as bobinas de campo do rotor da ma´quina s´ıncrona. Nos geradores antigos
a excitatriz consistia de um gerador de corrente cont´ınua, tal que a poteˆncia em corrente
cont´ınua era transferida ao rotor atrave´s de ane´is de escorregamento e escovas coletoras.
Nos geradores modernos, excitatrizes esta´ticas ou sem escova sa˜o geralmente utilizadas.
Neste caso, a poteˆncia em corrente alternada e´ obtida diretamente dos terminais do ger-
ador ou de uma estac¸a˜o de servic¸o externa. Esta poteˆncia e´ enta˜o retificada via tiristores
e transferida ao rotor via ane´is de escorregamento e escovas coletoras.
No caso dos sistemas de excitac¸a˜o sem escova, a poteˆncia e´ obtida de um gerador
s´ıncrono invertido, cujas bobinas trifa´sicas da armadura esta˜o localizadas no rotor do
gerador principal e cujas bobinas de campo esta˜o localizadas no estator. A poteˆncia em
corrente alternada das bobinas da armadura e´ retificada atrave´s de diodos acoplados no
rotor e e´ transferida diretamente a`s bobinas de campo, sem a necessidade de ane´is ou
escovas coletoras.
A figura 2.16 apresenta um diagrama de blocos simplificado do controle de tensa˜o do
gerador. As na˜o linearidades devidas a saturac¸a˜o e os limites na sa´ıda da excitatriz na˜o
sa˜o considerados.
1
(1 + Trs)
Ke
(1 + Tes)
Kcs
(1 + Tcs)
Vref
-
Vt
+
∆V
Regulador
de tensao Excitatriz
Gerador
Compensador
Estabilizador
VtEfd
+
-
Vr
Figura 2.16: Controle de tensa˜o do gerador s´ıncrono
A tensa˜o terminal do gerador (Vt) e´ comparada com a tensa˜o de refereˆncia (Vref )
para fornecer o sinal de erro de magnitude da tensa˜o (∆V ), o qual e´ convenientemente
30 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
aplicado no regulador. O bloco
1
(1 + sTr)
representa o retardo de tempo, sendo Tr a sua
constante de tempo. Se um degrau unita´rio e´ aplicado na entrada deste bloco, a sa´ıda
tende exponencialmente a` unidade com uma constante de tempo Tr.
Desprezandoo efeito do estabilizador, a tensa˜o de sa´ıda do regulador de tensa˜o (Vr)
e´ aplicada na excitatriz, representada pelo bloco
Ke
(1 + sTe)
. A sa´ıda da excitatriz e´ a
tensa˜o de campo (Efd), aplicada nas bobinas de campo do gerador e atuando no sentido
de ajustar a sua tensa˜o terminal. As equac¸o˜es que representam o gerador, relacionando a
sua tensa˜o terminal (Vt) a`s variac¸o˜es na tensa˜o do enrolamento de campo (Efd), podem
ser derivadas das equac¸o˜es gerais das ma´quinas s´ıncronas.
O compensador estabilizador, utilizado para melhorar a resposta dinaˆmica do excitador
atrave´s da reduc¸a˜o do overshoot, e´ representado pelo bloco
Kcs
(1 + sTc)
, que funciona como
um filtro a` primeira derivada. A entrada deste bloco e´ a tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) e a sua
sa´ıda e´ o sinal (de realimentac¸a˜o) estabilizador, o qual e´ subtra´ıdo da tensa˜o do regulador
Vr.
Diagramas como o da figura 2.16 sa˜o utilizados para a simulac¸a˜o digital do controle
de tensa˜o do gerador em programas de estabilidade transito´ria. Na pra´tica, excitadores
de alto ganho e resposta ra´pida fornecem variac¸o˜es de elevada magnitude e ra´pidas na
tensa˜o de campo Efd durante a ocorreˆncia de curto circuito nos terminais do gerador, de
maneira a melhorar a estabilidade transito´ria apo´s a eliminac¸a˜o da falta. As equac¸o˜es
representadas no diagrama de blocos podem ser usadas para a determinac¸a˜o da resposta
transito´ria do controle de tensa˜o do gerador.
Ex. 2.5 Um gerador s´ıncrono trifa´sico de 30 MVA, 17,32 kV, fator de poteˆncia 0,8
atrasado, 60 Hz, resisteˆncia da armadura desprez´ıvel e reataˆncia s´ıncrona de 5 Ω/fase,
opera conectado diretamente a uma barra infinita. Determine:
• a tensa˜o de excitac¸a˜o por fase, em kV, e o aˆngulo de carga para a operac¸a˜o sob 90
% de sua capacidade nominal, com fator de poteˆncia 0,9 atrasado;
• a tensa˜o de excitac¸a˜o mı´nima, em kV, abaixo da qual o gerador perderia o sincro-
nismo operando sob poteˆncia ativa nominal.
2.5 Transformadores
As principais caracter´ısticas do transformador sa˜o:
1. os enrolamentos possuem resisteˆncia, a`s quais esta˜o associadas perdas de poteˆncia
ativa;
2. a permeabilidade do nu´cleo e´ finita e portanto uma corrente de magnetizac¸a˜o e´
necessa´ria para manter o fluxo magne´tico no nu´cleo;
3. o fluxo magne´tico na˜o esta´ inteiramente confinado ao nu´cleo;
4. existem perdas de poteˆncia ativa e de poteˆncia reativa no nu´cleo.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 31
permeabilidade µc
comprimento me´dio lc
sec¸a˜o transversal Ac
I1
V1
I2
V2
Bobina 1 Bobina 2
N1 N2
+
−
+
−
φc
Figura 2.17: Diagrama unifilar - Exemplo
Na figura 2.17, a forc¸a magnetomotriz que produz o fluxo magne´tico no nu´cleo e´ dada
por
N1I1 −N2I2 = <cφc
tal que re-agrupando os termos desta equac¸a˜o obte´m-se
I1 =
<cφc
N1
+
N2
N1
I2 (2.2)
O primeiro termo da Eq. (2.2) e´ denominado corrente de excitac¸a˜o e representa a
parcela da corrente I1 necessa´ria para produzir o fluxo φc no nu´cleo. Esta corrente existe
mesmo com os terminais do secunda´rio em circuito aberto, pois um fluxo magne´tico no
nu´cleo e´ necessa´rio para induzir a tensa˜o nas bobinas do secunda´rio.
O segundo termo e´ a componente da carga da corrente fornecida ao terminal prima´rio,
o qual e´ zero na operac¸a˜o do transformador a` vazio. Esta corrente cresce a` medida em que
a carga e´ adicionada ao terminal secunda´rio do transformador, tornando-se muito mais
elevada do que a corrente de excitac¸a˜o. Desta forma, mesmo para um transformador real
sob condic¸o˜es de carga pode-se escrever
I1
I2
≈ N2
N1
A corrente de excitac¸a˜o, denotada Iφ, e´ composta de duas componentes, uma repre-
sentando a parcela necessa´ria para a magnetizac¸a˜o do nu´cleo (denotada Im) e a outra
responsa´vel pelas perdas de poteˆncia ativa no nu´cleo (denotada Ic). Isto e´ expresso ana-
liticamente por
Iφ = Im + Ic
A corrente que supre as perdas no nu´cleo tambe´m e´ composta de duas parcelas, uma
relacionada a`s perdas por correntes parasitas (de Focault) e outra relacionada a`s perdas
por histerese.
32 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
A histerese ocorre porque uma variac¸a˜o c´ıclica do fluxo no interior do nu´cleo resulta
em energia dissipada em forma de calor. Este efeito pode ser reduzido utilizando-se ligas
de ac¸o para construir o nu´cleo.
As correntes parasitas sa˜o induzidas no interior do nu´cleo perpendicularmente ao fluxo
magne´tico. Elas podem ser reduzidas construindo-se o nu´cleo com laˆminas de uma liga
de ac¸o.
Conforme visto anteriormente, segundo a lei de Faraday,
E1 = N1(jω)φc (2.3)
isto e´, a tensa˜o E1 esta´ adiantada do fluxo magne´tico φc de 90
0.
Lembrando que Nφ = λ = Li, no nu´cleo
N1φc = LmIm
onde Lm e´ a indutaˆncia do nu´cleo e Im e´ a corrente que percorre a indutaˆncia do nu´cleo.
A Eq. (2.3) e´ re-escrita como
E1 = N1(jω)φc = jωLmIm = jXmIm
onde Im e´ a corrente de magnetizac¸a˜o que produz o fluxo no nu´cleo e Xm e´ a reataˆncia
de magnetizac¸a˜o do nu´cleo.
A u´ltima equac¸a˜o pode tambe´m ser obtida combinando as equac¸o˜es (2.2) e (2.3). Isto
fornece
I1 =
<c
N1
(−jE1
N1ω
)
+
N2
N1
I2
=
−j<cE1
N21ω
+
N2
N1
I2
= Im + I
′
2
onde Im e I
′
2 representam respectivamente as correntes de excitac¸a˜o e de carga, esta u´ltima
referida ao prime´rio.
A ana´lise da equac¸a˜o
Im = −j <c
N21ω
E1
revela que Im esta´ atrasada de 90
0 em relac¸a˜o a E1, sendo portanto a quantidade Bm =<c
N21ω
interpretada como uma susceptaˆncia que representa o efeito indutivo no nu´cleo.
As perdas por histerese e correntes parasitas sa˜o representadas por um ramo shunt
adicional contendo uma resisteˆncia (ou condutaˆncia) Rc =
1
Gc
, atrave´s da qual circula
uma corrente de perda Ic.
Essas considerac¸o˜es conduzem ao circuito equivalente mostrado na figura 2.18, o qual
inclui as correntes de magnetizac¸a˜o e de perdas no nu´cleo. Nesta figura, I
′
1 e´ a componente
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 33
da carga na corrente fornecida ao prima´rio do transformador e Rc e´ a resisteˆncia shunt que
representa as perdas por histerese e correntes parasitas. Os paraˆmetros R1, X1, R2 e X2
sa˜o denominados paraˆmetros longitudinais enquanto Rc e Xm sa˜o chamados paraˆmetros
transversais.
jX1
Rc jXm
R2jX2
+
−
E1
+
−
E2
a : 1
Transformador
ideal
Iφ
ImIc
+
−
V1
R1
+
V2
−
I2I1
I
′
1
Figura 2.18: Transformador monofa´sico de dois enrolamentos
Observe que o circuito equivalente e´ determinado de forma a satisfazer as leis de
Kirchhoff. As impedaˆncias de dispersa˜o dos enrolamentos R1, X1, R
′
2 e X
′
2 representam
as perdas Joule e a indutaˆncia pro´pria das bobinas do prima´rio e secunda´rio.
A admitaˆncia do nu´cleo
Ym =
1
Rc
+
1
jXm
= Gc − jBm
representa as perdas no nu´cleo e a poteˆncia reativa necessa´ria para magnetizar o nu´cleo.
Portanto, se uma tensa˜o alternada e´ aplicada nos terminais do enrolamento prima´rio
de um transformador real, com o terminal secunda´rio em circuito aberto, surge uma
pequena corrente de regime Iφ (corrente de excitac¸a˜o). Esta corrente e´ responsa´vel pelo
estabelecimento de um fluxo alternado no circuito magne´tico, pois neste caso a relutaˆncia
na˜o e´ zero, necessitando-se assim de uma forc¸a-magnetomotriz na˜o nula para estabelecer
este fluxo.
2.5.1 Circuito Equivalente
O circuito equivalente do transformador monofa´sico obtido eliminando-se o transformador
ideal e´ mostrado na figura 2.19. Neste caso, os paraˆmetros R2 e X2 esta˜o referidos ao
lado 1.
No que diz respeito aos transformadores utilizados em sistemas de poteˆncia, observa-se
que:
• em geral a corrente de excitac¸a˜o e´ aproximadamente 5 % da corrente nominal tal
que,a menos que a corrente de excitac¸a˜o seja de particular interesse, costuma-se
desprezar Iφ;
34 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
+
−
V1
I1 R1 jX1
Rc jXm
jX
′
2 R
′
2 I
′
2
+
V
′
2
−
Figura 2.19: Transformador monofa´sico de dois enrolamentos
• transformadores de grande porte, com poteˆncia aparente nominal maior do que 500
kVA, possuem enrolamentos com as resisteˆncias desprez´ıveis quando comparadas
com as reataˆncias de dispersa˜o, e portanto essas resisteˆncias podem ser desprezadas.
Isto possibilita utilizar os circuitos equivalentes mostrados nas figuras 2.20 e 2.21.
Nesses circuitos, os paraˆmetros do transformador referidos ao lado 1 sa˜o dados por
Req = R1 +
(
N1
N2
)2
R2
Xeq = X1 +
(
N1
N2
)2
X2
sem a inclusa˜o do ramo de magnetizac¸a˜o.
Ex. 2.6 Uma carga de 15 kW com fator de poteˆncia 0,8 atrasado, e´ suprida na tensa˜o
de 110 V por um transformador monofa´sico de dois enrolamentos com valores nominais
20 kVA, 480/120 V, 60 Hz e impedaˆncia equivalente referida ao lado de baixa tensa˜o de
0,0525 ∠78, 130 Ω. Determine:
• a tensa˜o, a corrente, a poteˆncia aparente e o fator de poteˆncia na entrada no trans-
formador;
• o rendimento e a regulac¸a˜o do transformador operando nesta condic¸a˜o.
Os valores base de tensa˜o e corrente nos dois lados do transformador monofa´sico esta˜o
relacionadas da mesma forma que os valores nominais dessas quantidades, isto e´,
VbAT
VbBT
=
VnomAT
VnomBT
IbAT
IbBT
=
InomAT
InomBT
Por esta raza˜o, o sistema por unidade apresenta as seguintes vantagens:
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 35
Req Xeq
+
−
V1
+
−
V
′
2
I1 I
′
2
Req = R1 +R
′
2
Xeq = X1 +X
′
2
Figura 2.20: Circuito equivalente do transformador para estudos em sistemas de poteˆncia
Xeq
+
−
V1
+
−
V
′
2
I1 I
′
2
Xeq = X1 +X
′
2
Figura 2.21: Circuito equivalente do transformador para estudos em sistemas de poteˆncia
1. as impedaˆncias e admitaˆncias do transformador expressas em pu na˜o se modificam
quando referidas aos lados de alta tensa˜o ou de baixa tensa˜o, evitando-se desta
forma os erros de ca´lculos provenientes de se referir as grandezas a um lado ou ao
outro do transformador;
2. os fabricantes de equipamentos especificam as impedaˆncias das ma´quinas e trans-
formadores nos sistemas por unidade ou percentual, adotando como base os valores
nominais do equipamento.
2.5.2 Autotransformadores
Conforme verificado previamente, num transformador convencional como aquele repre-
sentado na figura 2.22 as bobinas sa˜o acopladas apenas magneticamente, via fluxo mu´tuo
no nu´cleo.
O autotransformador e´ um dispositivo no qual as bobinas esta˜o acopladas ele´trica e
magneticamente. Isto representa a principal diferenc¸a entre este tipo de equipamento e o
36 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
+
−
V1
+
−
V2
a : 1
I1 I2
Figura 2.22: Transformador de dois enrolamentos
transformador convencional.
As figuras 2.23 e 2.24 ilustram duas poss´ıveis estruturas de um autotransformador
monofa´sico constru´ıdo a` partir do transformador convencional da figura 2.22.
Por causa da conexa˜o ele´trica entre os enrolamentos, o autotransformador possui uma
eficieˆncia maior do que a do transformador convencional. A corrente de excitac¸a˜o e´ mais
baixa e o seu custo e´ mais reduzido (se a relac¸a˜o de transformac¸a˜o na˜o e´ demasiadamente
elevada).
Uma desvantagem dos autotransformadores e´ que, devido a conexa˜o ele´trica dos en-
rolamentos, as sobretenso˜es transito´rias passam mais facilmente atrave´s do autotransfor-
mador.
A selec¸a˜o das quantidades base no autotransformador e´ feita da mesma forma que no
transformador convencional. A poteˆncia aparente base e´ a mesma em ambos os lados
do autotransformador e a relac¸a˜o entre as tenso˜es base e´ igual a`quela entre as tenso˜es
nominais.
O valor da impedaˆncia de um transformador convencional em unidades reais conectado
como autotransformador na˜o se modifica por efeito desta conexa˜o. Pore´m, desde que os
valores nominais do autotransformador e do transformador convencional sa˜o distintos,
as impedaˆncias destes equipamentos expressas em pu tambe´m sera˜o diferentes. O valor
da impedaˆncia de dispersa˜o (em unidades reais) a ser dividido pelo valor base deve ser
o mesmo em ambos os casos, ou seja, aquele que seria determinado no ensaio de curto
circuito em ambos os transformadores. Note que no caso do autotransformador, este
ensaio pode ser feito apenas atrave´s de um lado do equipamento, aquele que fornece o
mesmo valor de impedaˆncia que o ensaio do transformador convencional.
Ex. 2.7 No ensaio de curto circuito para um transformador monofa´sico de dois enrola-
mentos, com valores de placa 10 kVA, 2500/115 V, 60 Hz, foram medidas as seguintes
grandezas: 93 watts, 162 V e 4 A. Determine:
1. os valores de placa de um autotransformador com relac¸a˜o de transformac¸a˜o 2500/2615
V, constru´ıdo a` partir deste transformador monofa´sico.
2. o circuito equivalente do transformador e do autotransformador no sistema por
unidade, adotando como base os valores nominais desses equipamentos;
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 37
+
−
+
−
V1
V2
I1
I2
I1 + I2
+
−
V1 +V2
Figura 2.23: Estrutura ba´sica do autotransformador (a)
+
−
V1
V2I2
+
−
−
+
I1
I1 − I2
−V1 +V2
Figura 2.24: Estrutura ba´sica do autotransformador (b)
3. a tensa˜o, a corrente, a poteˆncia aparente na entrada e as perdas de poteˆncia ativa e
reativa (em pu e em unidades reais) quando cada um deste equipamentos supre uma
carga nominal com fator de poteˆncia 0,8 atrasado, na tensa˜o nominal nos respectivos
lados de alta tensa˜o.
2.5.3 Transformadores Trifa´sicos
Um banco trifa´sico de transformadores e´ constitu´ıdo alternativamente
• pela conexa˜o de treˆs transformadores monofa´sicos ideˆnticos;
• pela conexa˜o adequada de um mı´nimo de seis bobinas iguais dispostas num mesmo
38 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
nu´cleo.
Cada um dos lados do banco trifa´sico pode ser conectado em Y ou em ∆, conforme
ilustra as figuras 2.25 e 2.26.
a
b
c
b
′
a
′
c
′
n
A
B
C
A
′
B
′
C
′
Y Y
N
Figura 2.25: Conexo˜es do transformador trifa´sico (a)
A placa do banco trifa´sico deve apresentar os valores nominais de:
• poteˆncia aparente trifa´sica;
• valores nume´ricos das tenso˜es de linha com os correspondentes tipos de ligac¸a˜o (Y
ou ∆);
• valor da impedaˆncia (no sistema por unidade ou no sistema percentual).
O circuito equivalente de um transformador trifa´sico apresenta as seguintes caracte-
r´ısticas:
1. Nas conexo˜es ∆∆ e Y Y, as bobinas sa˜o rotuladas de tal maneira que na˜o ha´ de-
fasagem angular entre as grandezas dos lados de AT e BT . O circuito equivalente
e´ portanto semelhante ao do transformador monofa´sico convencional.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 39
a
b
c
b
′
a
′
c
′
n
A
B
C
A
′
B
′
C
′
Y ∆
Figura 2.26: Conexo˜es do transformador trifa´sico (b)
2. Nas conexo˜es ∆Y e Y∆, um deslocamento de fase e´ inclu´ıdo no diagrama de
sequ¨eˆncia positiva. De acordo com a Norma Te´cnica, as tenso˜es e correntes no lado
de AT de um transformador Y∆ (de sequ¨eˆncia positiva ou abc) esta˜o adiantadas
de 300 das suas correspondentes grandezas do lado de BT . No caso da sequ¨eˆncia
negativa (ou cba), as correntes e tenso˜es do lado de BT esta˜o adiantadas em relac¸a˜o
as correspondentes grandezas do lado de AT por 300.
O circuito equivalente (ou de sequ¨eˆncia positiva) dos transformadores trifa´sicos com
conexa˜o Y-∆ e´ mostrado na figura 2.27. Note que neste tipo de conexa˜o o deslocamento
angular de 300 deve ser levadoem considerac¸a˜o.
A selec¸a˜o de quantidades base para transformadores trifa´sicos e´ feita atrave´s do
seguinte procedimento:
1. Uma poteˆncia aparente trifa´sica base e´ selecionada para ambos os lados (alta tensa˜o
e baixa tensa˜o) do transformador;
2. A relac¸a˜o entre as tenso˜es-base nos dois lados do transformador e´ igual a relac¸a˜o
entre as tenso˜es nominais de linha.
Ex. 2.8 Treˆs transformadores monofa´sicos devem ser conectados para formar um banco
trifa´sico, com o lado de baixa tensa˜o em Y e o lado de alta tensa˜o em ∆. A placa de cada
40 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
Req Xeq
+
−
V1
I1
Req = R1 +R
′
2
Xeq = X1 +X
′
2
I
′
2
+
−
V
′
2
AT BT
ej30
0
: 1, 0
Transformador
Defasador
Figura 2.27: Circuito de sequ¨eˆncia positiva - conexa˜o Y-∆
transformador monofa´sico indica os valores 50 MVA, 13,8/138 kV, 0,381 Ω referida ao
lado de baixa tensa˜o. Determinar o circuito equivalente do banco trifa´sico no sistema por
unidade.
2.5.4 Transformadores de Treˆs Enrolamentos
O transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos consiste em treˆs bobinas dispostas sobre
um mesmo nu´cleo. Os terminais dessas bobinas sa˜o denotados por BT (baixa tensa˜o),
MT (me´dia tensa˜o) e AT (alta tensa˜o) (ou 1, 2 e 3 (prima´rio, secunda´rio e tercia´rio)), de
acordo com os seus valores nominais. Sua principal vantagem e´ a opc¸a˜o de dois valores
de tensa˜o na sua sa´ıda. Em geral, os valores nominais deste tipo de transformador sa˜o
dados individualmente para cada bobina; isto e´,
bobina 1 : Snom1 Vnom1
bobina 2 : Snom2 Vnom2
bobina 3 : Snom3 Vnom3
na˜o sendo os valores nominais de poteˆncia aparente necessariamente iguais.
O diagrama de um transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos e´ mostrado na
figura 2.28. Supondo ideal este transformador, as seguintes relac¸o˜es sa˜o estabelecidas:
N1I1 = N2I2 +N3I3
V1
N1
=
V2
N2
=
V3
N3
A figura 2.29 mostra o circuito monofa´sico equivalente do transformador de treˆs en-
rolamentos. Desde que as bobinas esta˜o dispostas sobre um mesmo nu´cleo, apenas um
ramo de magnetizac¸a˜o e´ inclu´ıdo na representac¸a˜o do circuito monofa´sico. Os paraˆmetros
deste ramo sa˜o determinados via ensaio de circuito aberto.
O circuito equivalente de um transformador de treˆs enrolamentos utilizado em estudos
de sistemas de poteˆncia e´ mostrado na figura 2.30. Neste circuito, sa˜o inclu´ıdos apenas os
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 41
+
−
V1
+
V2
−
+
V3−
I1
I2
I3N1
N2
N3
Figura 2.28: Transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos
R1 jX1
Rc jXm
R
′
2 jX
′
2
R
′
3 jX
′
3
+
V1
−
+
V
′
3
+
− −
V
′
2
Figura 2.29: Transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos = circuito equivalente (a)
42 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
Z1
+
V1
−
Z
′
2
Z
′
3
+
V3
− −
V2
+
Figura 2.30: Transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos circuito equivalente (b)
ramos correspondentes a`s impedaˆncias dos enrolamentos. Os paraˆmetros correspondentes
sa˜o calculados atrave´s do ensaio de curto-circuito, efetuando-se as seguintes medidas:
• Z12: impedaˆncia de dispersa˜o medida do enrolamento 1 com a bobina 2 curtocir-
cuitada e a bobina 3 em circuito aberto; da figura 2.30,
Z12 = Z1 + Z2
• Z13: impedaˆncia de dispersa˜o medida do enrolamento 1 com a bobina 3 curtocir-
cuitada e a bobina 2 em circuito aberto; da figura 2.30,
Z13 = Z1 + Z3
• Z23: impedaˆncia de dispersa˜o medida do enrolamento 2 com a bobina 3 curtocir-
cuitada e a bobina 1 em circuito aberto; da figura 2.30,
Z23 = Z2 + Z3
Das u´ltimas treˆs equac¸o˜es,
Z1 =
1
2
(Z12 + Z13 − Z23)
Z2 =
1
2
(Z12 + Z23 − Z13)
Z3 =
1
2
(Z13 + Z23 − Z12)
Estas equac¸o˜es sa˜o utilizadas para o ca´lculo das impedaˆncias Z1, Z2, e Z3, do circuito
equivalente do transformador de treˆs enrolamentos, a` partir das medidas obtidas nos testes
de curto-circuito, Z12, Z13, e Z23. Note que para efetuar a soma indicada nessas equac¸o˜es,
Z12, Z13, e Z23 devem estar referidas ao mesmo lado do transformador.
Transformadores monofa´sicos ideˆnticos de treˆs enrolamentos tambe´m podem ser conec-
tados para formar um banco trifa´sico. O circuito equivalente do bando trifa´sico e´ seme-
lhante ao do transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos. No caso das conexo˜es Y −∆,
o deslocamento de fase (de 300) deve ser inclu´ıdo no modelo.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 43
A selec¸a˜o das quantidades base para o transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos
e´ feita atrave´s do seguinte procedimento:
• uma base comum de poteˆncia aparente Sb e´ selecionada para todos os terminais;
• as tenso˜es VbAT , VbMT e VbBT sa˜o selecionadas de acordo com as relac¸o˜es nominais
de tensa˜o do transformador.
Ex. 2.9 Os valores nominais de um transformador monofa´sico de treˆs enrolamentos e os
resultados do ensaio de curto circuito neste transformador sa˜o mostrados nas tabelas 2.1
e 2.2.
Enrolamento Tensa˜o nominal Poteˆncia nominal
Prima´rio 79674 V 10000 kV A
Secunda´rio 24000 V 5000 kV A
Tercia´rio 6600 V 5000 kV A
Tabela 2.1: Transformador de 3 enrolamentos - valores nominais
Ensaio Enrolamento Enrolamento Tensa˜o Corrente no
No. excitado curto-circuitado aplicada enrolamento excitado
1 Prima´rio Secunda´rio 5000 V 125,52 A
2 Prima´rio Tercia´rio 15000 V 125,52 A
3 Secunda´rio Tercia´rio 2000 V 208,33 A
Tabela 2.2: Transformador de 3 enrolamentos - ensaio de curto circuito
1. Determine o circuito equivalente do transformador no sistema por unidade, na base
10 MVA e tenso˜es nominais;
2. Treˆs destes transformadores sa˜o conectados em Y(AT)/∆(MT)/∆(BT). Os termi-
nais de alta tensa˜o sa˜o ligados a um barramento de 138 kV. Calcule em pu e em
unidades reais a corrente de curto circuito e a tensa˜o de regime permanente nos
enrolamentos secunda´rios do banco trifa´sico, se um curto circuito trifa´sico so´lido
ocorre nos terminais dos enrolamentos tercia´rios, com 138 kV mantidos nos termi-
nais dos enrolamentos prima´rios;
3. Com relac¸a˜o ao item anterior, determine a tensa˜o nos terminais do enrolamento se-
cunda´rio e as correntes de linha nos terminais dos enrolamentos prima´rio e tercia´rio
em unidades reais.
44 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
2.5.5 Transformadores Com Tap Varia´vel
2 Os transformadores reguladores (ou com tap varia´vel) sa˜o geralmente utilizados para
controlar a magnitude (ajustes de ±10% e a fase (ajustes de ±3 graus) da tensa˜o. Sob
certas condic¸o˜es, esses transformadores tambe´m sa˜o utilizados para controlar os fluxos
de poteˆncia ativa e reativa. Para controlar a magnitude da tensa˜o, sa˜o utilizados basica-
mente os taps do transformador enquanto que para monitorar o fluxo de poteˆncia ativa e´
necessa´rio que conexo˜es adicionais sejam feitas, de forma a modificar a defasagem entre
os fasores tensa˜o nos terminais do equipamento.
No caso do controle da magnitude da tensa˜o, um dos lados do transformador possui
uma bobina com taps, utilizados para variar o nu´mero de espiras, o que permite modificar a
relac¸a˜o de transformac¸a˜o das tenso˜es. A figura 2.31 mostra o esquema de um equipamento
deste tipo, com relac¸a˜o nominal de tenso˜es 220 V/380 V. Os taps esta˜o no lado de 380 V,
para ajustar a magnitude da tensa˜o em ±10% do valor nominal, em passos de 5 %.
1,1
1,05
1,00
0,95
0,90
Taps
220 V 0, 9× 380V 380 V 1, 1× 380V
Figura 2.31: Transformadores com tap varia´vel - diagrama esquema´tico
Os Transformadores com Comutac¸a˜o sob Carga (Load Tap Changing (LTC) ou Tap
Changing Under Load (TCUL)) permitem o ajuste do tap enquanto o transformador
esta´ energizado. A variac¸a˜o do tap e´ operada por servo-motores comandados por rele´s
ajustados