387537400-Livro-Projeto-de-Ponte-Em-Concreto-Armado-Com-Duas-Longarinas

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ISBN 857274349-9 
FUNAPE __ __j , ~jljlll[l~ljiJ ll!!~ .....___ ~ _ 
Daniel de Lima Araújo 
Projeto de ponte em 
concreto armado com 
duas longarinas 
L 
Editora 
UFG 
Este livro, de maneira didática, detalha o projeto 
estrutural de uma ponte em concreto armado com 
duas longarinas. Este é um sistema estrutural típico 
para pontes utilizado em todo o Brasil e, em razão 
de sua simplicidade, normalmente é o primeiro a ser 
ensinado nos cursos de pontes. 
O projeto de ponte escolhido para ser apresenta-
do neste livro é um dentre os vários desenvolvidos 
pelo autor quando de sua atuação como projetista de 
pontes de concreto armado. Trata-se de uma ponte 
contínua com 64 metros de extensão distribuídos 
em três vãos. Apresentam-se, assim, o dimensio-
namento e o detalhamento de todos os elementos 
da superestrutura (longarinas, transversinas, laje, 
viga de fechamento e alas) e da mesoestrutura, bem 
como dos aparelhos de apoio típicos desse tipo de 
ponte (rótula de concreto e apoio elastomérico). 
O texto aqui apresentado incorpora as modifi-
cações realizadas nas normas brasileiras que afe-
tam o projeto desse tipo de estrutura: ABNT NBR 
6118, que trata de projeto de estruturas de concre-
to, e ABNT NBR 7187, sobre projeto de pontes de 
concreto armado e de concreto protendido, lança-
das em 2007 e 2003, respectivamente. 
Pela simplicidade do texto, este pode ser um li-
vro básico para consulta pelos alunos de Engenharia 
Civil que se interessarem por esse tema, bem como 
pelos profissionais que de alguma forma trabalham 
com projeto de pontes de concreto e queiram revi-
sar conceitos de projeto de pontes de concreto com 
duas longarinas. 
Projeto de ponte em concreto 
armado com duas longarinas 
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Conselho Fiscal 
Antônio Tavares Dias Lage (presidente), Edvânia Braz Teixeira Rodrigues, 
Ricardo Caetano Rezende, Wenismar Pereira de Lima 
Daniel de Lima Araújo 
Projeto de ponte em concreto 
armado com duas longarinas 
FUNAPE L Editora UFG 
Coleção Funape 
A Fundação de Apoio à Pesquisa da Universidade Federal de Goiás (Funape) 
ocupa hoje uma posição de destaque na execução de projetos e na consoli-
dação da infraestrutura e do desenvolvimento institucional da UFG. É tam-
bém uma parceira constante no desenvolvimento de programas de outras 
instituições científicas e tecnológicas de Goiás e do Brasil. 
Ao completar três décadas de contínuo trabalho em prol do desenvolvimen-
to da pesquisa em Goiás, a Funape tem o prazer de apresentar Projeto de ponte 
em concreto armado com duas longarinas, de Daniel de Lima Araújo, um dos dez 
livros selecionados no concurso Edital Funape no 01/2011, pertencentes a di-
versas áreas do conhecimento. A Fundação reafirma, assim, o compromisso 
com os pesquisadores de divulgar seu principal produto, o conhecimento. 
A coleção ora apresentada atesta que o livro é resultado de um trabalho 
que envolve uma complexa rede de interlocutores e atores. E a Funape se 
orgulha de ser partícipe desse processo como parceira da UFG, contribuindo 
para o desenvolvimento científico, social e cultural do estado de Goiás. 
FUNAPE 
Para Roberta, minha amada esposa, 
e Lucas, meu querido filho 
Sumário 
11 Prefácio 
13 1 Elementos para elaboração do projeto 
1.1 Elementos geométricos 
1.2 Elementos topográficos 
1.3 Elementos hidrológicos 
1.4 Elementos geotécnicos 
1.5 Elementos acessórios 
1.6 Elementos normativos 
1. 7 Algumas indicações para projeto de ponte sobre rios 
33 2 Superestrutura 
2.1 Características geométricas da superestrutura 
2 .2 Idealização para o cálculo das solicitações 
2.3 Dimensionamento da viga principal 
2.4 Laje do tabuleiro 
2.5 Transversinas 
2.6 Alas 
2. 7 Vigas de fechamento 
137 3 Mesoestrutura 
3.1 Esforços atuantes nos pilares 
3.2 S?licitaç~es nos pilares de pontes com sistema estrutural em 
vrga contmua 
3.3 Solicitações na fundação ao nível do terreno 
3.4 ~álculo dos esforços horizontais nos pilares da ponte sobre o 
no Pau Seco 
3.5 Dimensionamento dos pilares da ponte 
3.6 Aparelho de apoio 
203 Apêndice 
211 Referências 
Prefácio 
~· Este texto foi elaborado para servir como material didático aos alu-
nos da disciplina Projeto de Pontes do curso de Engenharia Civil. Ele 
tem por objetivo detalhar o projeto estrutural de uma ponte em con-
creto armado com duas longarinas. 
A primeira versão como apostila foi lançada em 1999 e, desde en-
tão, foi utilizada diversas vezes no curso de Engenharia Civil da Uni-
versidade Federal de Goiás - UFG. Esta versão, agora apresentada 
em forma de livro, incorpora as modificações realizadas nas normas 
brasileiras ABNT NBR 6118, que trata de projeto de estruturas de 
concreto, e ABNT NBR 7187, sobre projeto de pontes de concreto 
armado e de concreto protendido, lançadas em 2007 e 2003, respecti-
vamente, e que afetam o projeto desse tipo de estrutura. 
Foi escolhido para apresentação um dos projetos de ponte por mim 
realizado quando de minha atuação como projetista em escritórios de 
cálculo em Goiânia.Trata-se do projeto da ponte sobre o rio Pau Seco, 
12 localizada na T0-373, no trecho entre Alvorada (TO) e Araguaçu (TO), 
o qual foi encomendado pela Secretaria da Infraestrutura do Estado do 
Tocantins e foi desenvolvido pela GEOSERV- Serviços de Geotecilia e 
Construção Ltda - sob minha responsabilidade. 
Essa ponte possui um comprimento total de 64 m, distribuído em 
um vão central de 20 m, dois vãos adjacentes de 18 m e dois balanços 
de 4 m. A estrutura é simétrica, com duas vigas principais, e o tabu-
leiro tem uma largura total de 9 m. Os aparelhos de apoio são cons-
tituídos por rótulas de concreto e a fundação por tubulões encamisa-
dos executados com auxílio de ar comprimido. O projeto apresentado 
neste texto está de acordo com as atualizações das normas brasileiras 
e, por essa razão, difere ligeiramente do projeto original. 
O autor 
1 Elementos para elaboração do projeto1 
~ O projeto de uma ponte inicia-se, naturalmente, pelo conhecimento 
de sua finalidade, da qual decorrem os elementos geométricos definido-res do estrado, como, por exemplo, a seção transversal e o carregamen-
to do qual será realizado o dimensionamento da estrutura. Além dessas 
informações, a execução do projeto de uma ponte exige, ainda, levan-
tamentos topográficos, hidrológicos e geotécnicos. Outras informações 
acessórias- processo construtivo, capacidade técnica das empresas res-
ponsáveis pela execução e aspectos econômicos- podem influir na es-
colha do tipo de obra, contudo não serão abordadas neste livro. 
O autor agradece especialmente aos amigos Magid Elie Khouri e Sylvia Regina 
Mesquita de Almeida, com quem trabalhou na empresa GEOSERV na época do 
desenvolvimento do projeto original da ponte sobre o rio Pau Seco. Dessa convi-
vência surgiram vários dos roteiros de cálculo aqui apresentados. 
Primeiramente serão apresentados alguns dos elementos indispen-
sáveis para a elaboração de um projeto de ponte que devem estar dis-
poníveis antes do início do projeto definitivo da estrutura. 
1.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 
Os elementos geométricos aos quais o projeto de uma ponte deve 
atender derivam das características da via e de seu próprio estrado. 
Os elementos geométricos das vias dependem de condições técnicas 
especificadas pelos órgãos públicos responsáveis pela construção e 
manutenção dessas vias. No caso das rodovias federais, o Departa-
mento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT) estabelece 
as condições técnicas para o projeto geométrico das estradas e das 
pontes, já as rodovias estaduais de Goiás estão sob a responsabilida-
de da Agência Goiana de Transportes e Obras (AGETOP). Segundo 0 
DNIT, as estradas federais são divididas em (Brasil, 1996): 
• classe I; 
• classe II; 
• classe III; 
• classe IV. 
As velocidades diretrizes, utilizadas para a determinação das ca-
racterísticas do projeto de uma estrada, são definidas em função da 
classe da rodovia e do relevo da região (Quadro 1.1). 
Quadro 1.1 - Velocidades diretrizes (Krn/h) em rodovias federais (Brasil, 1996) 
Região Classe I I Classe 11 . I · .· Classe III I Classe IV ·I 
Plana 100 8o 70 6o 
Ondulada 8o 70 50 40 
Montanhosa 6o 50 40 30 
O desenvolvimento planimétrico e altimétrico de uma ponte é, na 
maior parte dos casos, definido pelo projeto da estrada, especialmente 
quando os cursos de água a ser transpostos são pequenos. No caso de 
grandes rios, o projeto da estrada deve ser elaborado considerando-
-se a melhor localização para a ponte. Dessa forma, deve-se procurar 
cruzar o eixo dos cursos d'água em um ângulo reto com o eixo da 
rodovia. Além disso, deve-se procurar cruzar na seção mais estreita 
do rio de forma a minimizar o comprimento da ponte. 
Para as rodovias federais, os raios mínimos de curvatura horizontal 
são fixados com a finalidade de limitar a força centrífuga que atuará no 
veículo viajando com a velocidade diretriz (Quadro 1.2). 
Quadro 1.2 -Raios mínimos de curvatura horizontal (m) em rodovias federais (e = 6%) 
(Brasil, 1996) 
Região Classe I I Classe Il I Classe III I Classe IV I 
Plana 415 230 185 135 
Ondulada 250 185 135 55 
Montanhosa 135 90 55 25 
As rampas máximas admissíveis, até a altitude de mil metros acima 
do nível do mar, são mostradas na Tabela 1.1. Esses valores poderão ser 
acrescidos de 1% para extensões até 900 metros em regiões planas, 300 
metros em regiões onduladas e 150 metros em regiões montanhosas, e 
deverão ser reduzidos de 0,5% para altitudes superiores a mil metros. 
No caso corrente de estradas com pista simples e duas faixas . de 
tráfego, as normas do DNIT adotam as seguintes larguras da faixa de 
rolamento em regiões planas (Brasil, 1996): 
• classes I e II: 3,6 m; 
• classe III: 3,5 m; 
Pro jet o de p on te em concre t o armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
• classe IV: 3 m. 
Nas estradas com duas pistas independentes, com duas faixas de trá-
fego cada uma, a largura da faixa de rolamento utilizada em região pla-
na é de 3,6 m. Os acostamentos têm largura mínima variável conforme 
a classe da estrada e a região atravessada. Nas estradas de classe I, em 
região plana, adotam-se acostamentos de 3 m de largura, o que resulta 
em 13,2 m de largura total do terrapleno, com a soma de 3 + 7,2 + 3. 
Tabela 1.1- Rampas máximas(%) em rodovias federais (Brasil, 1996) 
Região Classe I . I Classe 11 I Classe III I Classe IV ! 
Plana 3 3 3 4 
Ondulada 4-5 5 5 6 
Montanhosa 6 7 7 6 
1.1.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DAS PONTES 
1.1.1.1 Largura das pontes rodoviárias 
As pontes rodoviárias podem ser divididas, quanto à localização, 
em urbanas e rurais. As pontes urbanas possuem faixas de rolamento 
com largura igual a da via e passeios com largura igual a das calça-
das. As pontes rurais são constituídas com finalidade de escoar o trá-
fego nas rodovias e possuem faixas de rolamento e acostamentos. 
Durante muitos anos, as pontes rodoviárias federais de classe I fo-
ram construídas com pista de 8,2 me guarda-rodas laterais de 0,9 m 
de largura em cada lado, perfazendo a largura total de 10 m (Figura 
1.1a). Havia, portanto, um estrangulamento da plataforma da estra-
da que provocava uma obstrução psicológica nos motoristas e, con-
sequentemente, causava acidentes. Nos últimos anos, o DNIT passou 
a adotar para a largura das pontes rurais a largura total da estrada 
(pista+ acostamento ) e guarda-rodas mais eficientes (Figura 1.1b). 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas 
Em regiões com pouco tráfego, alguns órgãos públicos ainda reco-
mendam a redução da largura da ponte para 9 m, conforme mostrado 
na Figura 1.2. 
1---------10m-----'-----
--1 0,9 m \-------8,2 m------0,9 m f--t:':l[_____----'Í~ 
a) Padrão antigo 
~-- ___ ----12,Bm 
• --------- 12 m -----------fl-41 
-f.41-~U--~L___-_-_-_-____.-? 
b) Padrão DNIT para rodovias classe I 
Figura 1 .1 - Exemplos de seções transversais de pontes rodoviárias federais 
~-------9m-------~ 
--jo.41----------8,2 m------~10.4\--
Ll rJ 
Figura 1 .2 _ Exemplo de seção transversal de ponte rodoviária com largura reduzida 
1.1.1 .2 Gabarito das pontes 
Denomina-se gabarito o conjunto de espaços livres que deve apre-
sentar 0 projeto de uma ponte de modo a permitir o escoamento do 
fluxo . As larguras das pontes indicadas na Figura 1.1 e na Figura 1.2 
são exemplos de gabaritos das pistas . de pontes de modo a permitir o 
fluxo de veículos sobre elas. 
[Daniel de Lima Araújo] 
As pontes localizadas sobre rodovias devem respeitar espaços li-
vres necessários para o tráfego de caminhões sob elas (Figura 1.3). 
As pontes construídas sobre vias navegáveis também devem .atender 
aos gabaritos de navegação dessas vias. Por exemplo, em vias nave-
gáveis a chatas e rebocadores, é comum prever-se a altura livre de 3,5 
ma 5 m acima do nível máximo a que pode atingir o curso d'água. A 
largura deve atender a, pelo menos, duas vezes a largura máxima das 
embarcações mais um metro. 
l-------___!_12,2m. ______ __., 
6m 
1----- 2,5 u_l-----~7,2 m'--------11--L·S fn__..j 
Acostamento Pista Acostamento 
Figura 1.3- Gabarito para pontes sobre rodovias federais classe I em região ondulada 
Nas pontes construídas sobre rios não navegáveis, adota-se, normal-
mente, uma altura livre acima do nível máximo d'água de acordo com 
as recomendações do órgão oficial responsável pela obra. No estado do 
Tocantins, por exemplo, a altura livre recomendada era de 1,5 m. 
1.2 ELEMENTOS TOPOGRÁFICOS 
O levantamento topográfico, necessário ao estudo de implantação de 
uma ponte, deve constar dos seguintes elementos: 
• planta, em escala de 1:1.000 ou 1:2.000; perfil em escala ho-
rizontal de 1:1.000 ou 1:2.000 e escala vertical de 1:100 ou 
Projeto de ponte em concre to armado com duas longarinas 
1:200 do trecho da rodovia em que ocorrerá a implantação da 
obra em uma extensão tal que ultrapasse seus extremos prová-
veisem, pelo menos, 1.000 metros para cada lado; 
• planta do terreno no qual será implarltada a ponte, em uma 
extensão tal que exceda 50 metros, em cada extremidade, seu 
comprimento provável e largura de 30 metros, desenhada na 
escala de 1:100 ou 1:200, com curvas de nível de metro em 
metro, contendo a posição do eixo locado e a indicação de 
• 
• 
sua esconsidade; 
perfil ao longo do eixo locado na escala de 1:100 ou 1:200 e 
numa extensão tal que exceda 50 metros, em cada extremida-
de, o comprimento provável da obra; 
quando se tratar de transposição de curso d'água, seção do rio 
segundo o eixo locado, na escala 1:100 ou 1:200, com as cotas 
de fundo do rio em pontos distanciados entre si cerca de cin-
co metros. 
1.3 ELEMENTOS HIDROLÓGICOS 
Os elementos hidrológicos recomendados para um projeto conveniente 
de uma ponte, admitindo o período de recorrência de cem anos, são 
os seguintes: 
• cotas de cheia e estiagem máximas observadas, com indicação 
• 
das épocas, da frequência e do período dessas ocorrências; 
dimensões e medidas físicas suficientes para a solução dos pro-
blemas de vazão do curso d'água sob a ponte e erosão do leito, 
quais sejam: 
área em km2 da bacia hidrográfica a montante da obra 
até a cabeceira, 
19 
[Daniel de Lima Araújo] 
20 
• 
• 
• 
• 
extensão do talvegue em km, desde o eixo da obra até 
a cabeceira, 
altura média anual das chuvas, em milímetros, 
declividade média do espelho d'água em um trecho pró-
ximo da obra, de extensão suficiente para caracterizá-la, 
bem como indicações concernentes à permeabilidade do 
solo, à existência de vegetações e retenções evaporativas 
na bacia hidrográfica, ao aspecto das margens, à rugo si-
dade e às depressões do leito no local da obra; 
notícias acerca de mobilidade do leito do curso d'água e, caso 
exista, indicação da tendência ou do ciclo e amplitude da diva-
gação; álveos secundários, periódicos ou abandonados, zonas 
de aluviões, bem como de avulsões e erosões, cíclicos ou cons-
tantes; notícias sobre a descarga sólida do curso d'água e sua 
natureza, no local da obra, e sobre material flutuante eventual-
mente transportado; 
se a região for de baixada ou influenciada por marés, a indica-
ção dos níveis máximo e mínimo das águas, velocidades máxi-
mas de fluxo e de refluxo, na superfície, na seção em estudo; 
informações sobre obras de arte existentes na bacia, com indi-
cações de comprimento, vazão, tipo de fundação etc.; 
notícia sobre serviços de regularização, dragagem, retificações 
ou proteção das margens. 
De posse dessas informações, procede-se ao cálculo da cota de má-
xima cheia que definirá a altura livre e a cota da face superior do 
tabuleiro da ponte. Nesse momento, o projetista pode se defrontar 
com duas situações. Numa primeira situação, ele já possui a cota 
da face superior do tabuleiro definida pelo projetista da estrada. 
Pro jet o de po nte em co n cre t o armado com duas longarinas 
Normalmente essa cota situa-se, aproximadamente, a 40 em acima da 
cota de terraplanagem; contudo, deve ser verificada para cada proje-
to, com o projetista da estrada. Neste caso, após a definição da cota 
de máxima cheia calculada e depois de adicionado o valor da altura 
livre, o projetista da ponte obtém a altura disponível para a constru-
ção. Num procedimento inverso, ele pode definir a altura de constru-
ção - em função do sistema estrutural da superestrutura - e, em se-
guida, verificar se a altura livre disponível é superior ao valor mínimo 
requerido pelo gabarito da ponte. Numa segunda situação, o projetis-
ta da ponte calcula a cota de máxima cheia e, depois de adicionadas 
as alturas livre e de construção, obtém a cota superior do tabuleiro, 
a qual é repassada para o projetista da estrada. Essa situação é, sem 
dúvida, a mais cômoda para o projetista da ponte. 
A cota de máxima cheia calculada pode ser obtida por diversos 
métodos da engenharia hidráulica. Quando a ponte for construída 
sobre rios com grandes vazões, deve-se tomar o cuidado de evitar o 
refluxo a montante da ponte em razão do estrangulamento da seção 
de escoamento pela construção do aterro da estrada (Figura 1.4). Em 
alguns casos, esse refluxo pode atingir grandes distâncias e diminuir a 
altura livre sob a ponte. 
No caso de pequenos rios- aqueles que possuem pequenas vazões 
- é possível calcular a cota de máxima cheia pela conhecida fórmula 
de Manning empregada em canais abertos. Para tanto, é admitida a 
existência de um canal regular com seção transversal igual à seção de 
escoamento sob a ponte e, por um processo de tentativas, é calculada 
a área necessária para escoar a vazão máxima de projeto do curso 
d'água. A fórmula de Manning é expressa por: 
21 
[Daniel de Lima Araújo] 
22 
V: velocidade média de escoamento (rnls); 
n: rugosidade do canal; 
A 
RH = - raio hidráulico; p 
A: área da seção de escoamento (m2); 
P: perímetro molhado (m); 
I: declividade média do leito. 
A vazão de escoamento é dada por: Q =V A (m3/s) . 
Início do refluxo Eixo da estrutura 
' ·~~ · u .. , ~~:;:n:e.l .UJ . ./~-·:·_··---N~-ív-e l-o-rig-in_a_::l ~= 
- ' 
' 
Jus ante 
7// . 1// I// I// /;; /// I~/ 
' lii:_lii=ll/=1/l=l/1.== 
Região alagada 
' 
a) Eixo do curso d'água 
Máxima cheia calculada (MCC) 
Seção de escoamento 
(reduzida) 
b) Perfil longitudinal da estrada 
Figura 1.4- Refluxo a montante da ponte em razão do estrangulamento da seção de 
escoamento do rio 
Na fórmula de Manning, a área da seção de escoamento emprega-
da é uma simplificação da seção real. Para ilustrar o procedimento de 
cálculo, apresenta-se a determinação da cota de máxima cheia do rio 
Pau Seco (Figura 1.5 e Quadro 1.3). Nesse caso, a cota superior do 
Projeto de ponte em concreto arma d o com duas longarinas 
tabuleiro já era conhecida do projeto de terraplanagem. A altura de 
construção foi obtida pelo pré-dimensionamento da estrutura lançada. 
A cota de máxima cheia foi calculada pela fórmula de Manning e a 
altura livre assim obtida foi comparada com o valor mínimo (1,5 m) 
exigido pelo órgão contratante do projeto. 
Dados do projeto: 
Q = 691,02 m3/s, 
n = 0,035 (canal com vegetação), 
I= 0,0016 (obtido da topografia), 
cota de fundo: 208,68 (m). 
Cota superior do tabuleiro ( 220,00) 
v= 17 ~J[=====-------4i~AI~tur~a~de~~~n~stru~ç~ão~(1~.s~~L_----,~~~mn _____ _v 
_ -~li~(2.::t_2_m)__ -~CC ~6·~ __ _ 
Figura 1.5 - Seção transversal do rio Pau Seco empregada no cálculo da máxima cheia 
Quadro 1.3 - Dados da seção transversal do rio Pau Seco 
Lado esquerdo Lado direito 
Mastamento (m) Cota (m) Mastamento (m) Cota (m) 
10,23 209,00 10,00 209,00 
10,80 210,00 10,60 210,00 
12,60 211,00 11,00 211,00 
15.90 212,00 11,70 212,00 
18,70 213,00 13,60 213,00 
21,80 214,00 17,50 214,00 
29,00 214.40 2 4 ,00 214,20 
34.40 218,oo 29,00 213.40 
35.90 218,oo 
23 
[Daniel de Lima Araújo] 
Quadro 1.4 - Cálculo da máxima cheia do rio Pau Seco pela fórmula de Manning 
Cota (m) Área(m2) Perímetro (m) RH(m) V(rn!s) Q(m%) 
209,08 4.859 20,425 0,238 0
.439 . 2,133 
209,68 17,264 21,816 0 ,791 0,977 16,875 
210,08 25.771 22,808 1,130 1,240 31.953 
211,08 48.453 26,067 1,859 1,728 83.721 
212,08 74.375 30.772 2,417 2,058 153,086 
213,08 104,708 36,o65 2,903 2,326 243.521 
214,08 142,999 52.340 2,732 2,233 319,383 
215,08 201,915 65.798 3,069 2,414 487.332 
216,o8 264.955 69.404 3,818 2,792 739.698 
Do Quadro 1.4 obtém-se para a máxima cheia calculada a cota de 
216,08, a qual fornece uma altura livre de 2,12 m, maior que a altura 
mínima exigida de 1,5 m. 
1.4 ELEMENTOS GEOTÉCNICOS 
Os elementos geotécnicos necessários à elaboração do projeto de uma 
. ponte são (Pfeil, 1990): 
• 
• 
relatório da prospecção de geologia aplicada no local de pro-
vável implantação da obra,considerando seu esboço estrutural 
e realçando peculiaridades geológicas porventura existentes; 
relatório de sondagem de reconhecimento do subsolo compreen-
dendo os seguintes elementos: 
planta de locação das sondagens, referida ao eixo da via, 
descrição do equipamento empregado: peso, altura etc., 
perfis em separado de todas as sondagens, nos quais se 
indiquem a natureza e a espessura das diversas cama-
das atravessadas, suas profundidades em relação a uma 
referência de nível, índices de resistência à penetração e 
Proj eto de ponte em concreto armado com duas longarinas 
nível d'água, inicial e 24 horas após a conclusão da son-
dagem. A referência de nível da sondagem deve relacio-
nar a cota da boca do furo à referência de nível da obra. 
As sondagens de reconhecimento do subsolo devem ser realiza-
das em toda a extensão provável da futura obra de arte, ao longo 
de duas linhas paralelas ao eixo locado da via, uma de cada lado, e 
distantes deste, aproximadamente, três metros . Elas devem ser em 
número suficiente para permitir uma definição precisa quanto à na-
tureza e distribuição das camadas constituintes do subsolo, e nunca 
em número inferior a quatro. Devem, ainda, atingir uma profundi-
dade que permita a garantia de não haver, abaixo dela, camadas de 
menor resistência. Conforme a importância da obra, certo número 
de sondagens, ou mesmo sua totalidade, deverá atingir a rocha, que 
deverá ser investigada por meio de sondagens rotativas em uma es-
pessura de, pelo menos, três metros . 
Quando já existir o anteprojeto da obra, deverão ser realizadas 
duas sondagens em cada linha transversal de apoio, um furo para 
cada fundação. Serão realizadas sondagens rotativas ou mistas- son-
dagem a percussão na parte em solo e rotativas na parte em rocha -, 
no caso de fundações em rocha ou eril terreno que apresente matacão. 
A fixação das profundidades das sondagens poderá ser feita com 
critérios alternativos a ser obedecidos no campo como, por exem-
plo, os enunciados a seguir: 
• sondagem de percussão: prossegmr até resistências à pe-
netração iguais ou superiores a N golpes/30 em em cinco 
cravações consecutivas, ou até atingir material impenetrá-
vel à peça de lavagem, ou até Z m de profundidade máxi-
ma. Os valores de N e Z poderão ser fixados, em cada caso, 
25 
[Daniel de Lima Araújo) 
conforme a natureza do solo e o tipo da obra. Em uma obra 
média, pode-se adotar, por exemplo, N = 40 golpes por 
30 em e Z = 40 m; 
• sondagens rotativas: prosseguir até a recuperação igual ou su-
perior a Xl% em três avanços consecutivos, ou recuperação 
igual ou superior a X2% após penetrar cinco metros em rocha 
parcialmente alterada, ou, ainda, recuperação média igual ou 
superior a X3% após penetrar dez metros em rocha alterada. 
Se nenhuma das condições anteriores for satisfeita, a sondagem 
deve ser interrompida a uma profundidade máxima Z. Os v a-
lores de Xl, X2, X3 e Z poderão ser fixados em cada caso con-
forme o tipo de obra. 
Estudos geotécnicos especiais que permitam a elaboração de proje-
to do conjunto terreno-aterro-obra de arte devem ser realizados sem-
pre que a estabilidade dos terrenos contíguos à obra possa ser amea-
çada pelas solicitações dos aterros de acesso. 
Na Figura 1.6 ilustra-se um relatório típico de sondagem, determi-
nado em um dos eixos da ponte sobre o rio Pau Seco. 
1.5 ELEMENTOS ACESSÓRIOS 
1.5.1 EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS AGRESSIVOS 
Informações de caráter tecnológico especial podem ser de grande inte-
resse para o projeto ou a construção de uma ponte, quando constatada 
sua ocorrência: 
• agressividade da água, referida ao pH ou ao teor de substân-
cias agressivas aos materiais de construção (água do mar ou 
acentuadamente salobra, águas sulfatadas ou sulfídricas); 
• materiais de ação destrutiva sobre o concreto; 
Projet,o de ponte em concreto arm ado com duas longarinas 
RELATÓRIO DE SONDAGEM 
Responsável: GEOSERV- Serviços de Geotecnia e Construção Ltda 
Cliente: Secretaria da Infraestrutura do Estado do Tocantins 
Obra: Ponte sobre o rio Pau Seco 
Local: T0-373: Trecho Alvorada-Araguaçu - Estaca: 1413 + 7,50 ... 
Diâmetro do furo D = 2 !~:!" Diâmetro da haste D = 1 5/8" 
Profundidade N' NA 12 + 22 211 + 3o. Número de golpes 
(m) amostra 24 h 15 15 
10 20 30 40 50 
00 
1.00 
-
' I/ 01 26 38/26 
' 
' 2.00 
l-/ ' ' 02 - 16 27/23 I 
' 
---
3.00 
< 03 12 12 4.00 ' I~ 04 20 25 
5.00 
05 29 36/28 ~--':-- -~ -- -- -
6.00 
06 40/9 40/0 
7.00 
---
----
---
07 24 33/27 
~-
', 
' 8.00 ' 
' 
' 
' 
' 
-
> 08 37/24 40/9 
-
-
-9.00 --
-
-
31/28 ....:: ----09 16 
---
-----
-10.00 
10 40/11 40/0 
11.00 
11 40/8 40/0 
12.00 
12.00 ~ 12 22 14.08 1----
14.08 
20 13 
14.45 
14.45 
15.45 14 
- (4: 
Recuperação(%) 20 40 60 80 100 
Fragmentos por metro (N) 
Cota do furo : 
Nível de Sondagem: 15,45 m 
Furo: 01 
Data: 15-10-93 
d = 1 3/8" 
Amestrador Terzaghi 
Descrição do solo 
Arg ila pouco arenosa com 
presença de matéria org ân ica 
Areia fi na pouco si ltosa cinza com 
presença de matéria orgânica 
Silte arenoso variegado com 
presença de matéria orgânica 
Argila arenosa variegada 
Si lte arenoso variegado 
Silte arenoso micáceo variegado 
Areia grossa pouco siltosa 
variegada 
Silte pouco arenoso micáceo 
variegado 
Gnaisse com quartzo e micaxisto 
variegado 
100 
Nível d'água: 2,50 m 
Data do NA: 17-1 0-93 
27 
Figura 1.6 - Relatório de sondagem do terreno - eixo 1 do rio Pau Seco 
[Daniel de Lima Araújo) 
28 • gases tóxicos de terrenos pantanosos, possíveis em cavas 
de fundação. 
A existência, no leito do rio, de moluscos capazes de perfurar as 
madeiras de escoramento poderá ser razão determinante da escolha 
do método construtivo a ser adotado no projeto. 
Nas regiões marinhas, a biologia das águas pode influir nos méto-
dos construtivos adotados, limitando, por exemplo, o tempo de per-
manência de armaduras dentro d'água antes de uma concretagem por 
processo submerso. 
1. 5 .2 INFORMAÇÕES D E I NTE RESSE CONS T RUTIVO OU ECONÔMICO 
Algumas informações acerca do processo construtivo que podem in-
fluenciar no projeto de uma ponte: 
• condições de acesso ao local da obra; 
• procedência dos materiais de construção, custo e confiabilida-
de do transporte; 
• 
• 
• 
épocas favoráveis para a execução dos serviços, considerando 
os períodos chuvosos e o regime do rio; 
possível interferência de serviços de terraplanagem ou desmon-
te de rocha nas proximidades da obra; 
condições de obtenção de água potável. 
1.6 E LEME NTOS N O RMAT IVO S 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é a entidade ofi-
cial encarregada de elaborar e editar os regulamentos técnicos adotados 
no Brasil. As principais normas que devem ser consultadas quando da 
elaboração de pontes rodoviárias em concreto armado são: 
Pro je t o de p onte em concreto armado com d uas longarinas 
• NBR 7187 - Projeto de pontes de concreto armado e de con-
creto protendido (ABNT, 2003a) ; 
• N BR 71 88 - Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de 
pedestre (ABNT, 1984); 
• NBR 6118- Projeto de estruturas de concreto (ABNT, 2007) . 
1. 7 ALGUMAS INDICAÇÕES PARA PROJETO DE PONTE SOBRE RIOS 
Como citado anteriormente, a localização de pontes sobre pequenos 
rios é definida pelo projetista de estrada quando da elaboração do 
traçado da via . Contudo, quando a via cruza médios ou grandes rios, 
a posição da ponte pode determinar o traçado da via. Neste caso, al-
gumas recomendações sobre como escolher a melhor posição para a 
ponte podem ser úteis (Troitsky, 1994 ): 
• transpor o canal principal ou o vale no ponto ma1s estreito 
possível e não muito distante do traçado original da via; 
• o canal principal ou o vale deve ser transposto,de preferên-
cia, perpendicularmente à direção de escoamento, o que per-
mite que se obtenha o menor comprimento possível para a 
ponte. No caso de ela ser esconsa, os pilares em contato com 
o flu xo d'água devem ter sua menor dimensão perpendicular 
a esse fluxo, de forma a evitar ou diminuir a erosão localiza-
da na base do pilar (Figura 1. 7). Deve-se também evitar eixos 
localizados no meio do rio onde a velocidade de escoamento 
d'água é maior; 
• deve-se evitar transpor um rio logo após a região onde deságua 
um afluente de modo a evitar a deposição de sedimentos sob a 
ponte (seção I-I da Figura 1.8). Também se deve evitar transpor 
29 
[Daniel de Lima Araújo] 
30 a montante dessa região, uma vez que nesse caso haveria a ne-
cessidade de duas pontes (seção 11-11 da Figura 1.8), o que acar-
retaria em aumento do custo da obra. A melhor posição para 
transposição do rio é um pouco a jusante da região onde deságua 
seu afluente; 
• deve-se evitar transpor em regiões onde possa haver, ao longo 
da vida útil da ponte, mudanças na seção transversal do rio. 
Essas mudanças normalmente ocorrem em função das caracte-
rísticas geológicas da região. Um exemplo são rios em regiões 
sedimentares onde, em razão da acumulação de detritos no seu 
leito, ocorre uma alteração na seção de escoamento; Figura 1.8- Transposição de rio com afluente 
• quando do cruzamento de rios de pequena vazão, é recomen-
dável evitar curvas para transposição desses rios. Em alguns 
casos, como os mostrados na Figura 1.9, pode ser realizada 
uma alteração no curso natural do rio com a construção de 
um canal devidamente dimensionado. Essa solução, entretan-
to, deve ser evitada, sempre que possível, no sentido de mitigar 
possíveis impactos ambientais. 
Vista lateral da erosão na base de um pilar Vista superior de uma ponte esconsa 
Figura 1.7- Erosão localizada na base de um pilar em contato com a água 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longar ina s 
Figura 1.9 - Correção do leito de rios de pequena vazão 
31 
Canal artificial 
[Daniel de Lima Araújo] 
2 Superestrutura 
~ No capítulo anterior foram apresentadas as principais informações 
que o projetista deve conhecer antes de iniciar um projeto de ponte. De 
posse dessas informações, ele deve definir o tipo de ponte a ser empre-
gado- ponte em viga contínua, ponte em vigas biapoiadas, ponte em 
pórtico, ponte estaiada etc. - e fazer um pré-dimensionamento dos prin-
cipais elementos estruturais, baseado em sua experiência ou em projetos 
de pontes semelhantes. Neste capítulo apresenta-se, inicialmente, o siste-
ma estrutural e as dimensões - definidas pelo autor - da ponte sobre o 
rio Pau Seco e, em seguida, descreve-se de forma detalhada o dimensio-
namento dos principais elementos estruturais da superestrutura. 
2.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SUPERESTRUTURA 
O sistema estrutural empregado na ponte sobre o rio Pau Seco é o de 
viga contínua com balanços. O comprimento total da ponte é de 64 m 
distribuídos em dois balanços de 4 m, dois vão extremos de 18 m e 
34 um vão central de 20 m. A seção transversal é em viga com duas lon 
garinas e a sua altura foi pré-dimensionada em 1,8 m, o que atende à 
exigência das normas do DNIT de que a altura das longarinas devt 
ser maior que f/14, sendo f o comprimento do vão. Nas figuras 2.1a t 
2.1 b são mostradas as principais dimensões da ponte. 
~-------90o,-------------,i-
<D.f--------820---------,t<a 
Seção transversal no meio do vão 
-1'----------•oo----------,r 
"'f---------820--------,/401'-
Seção transversal no apoio 
Cor-te AA 
Ala e viga de fechamento 
Figura 2.1a- Principais dimensões da ponte sobre o rio Pau Seco (em em) 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas 
TI 
~ ~ 
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t 8 o 
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1111/ 35 
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o > ~ 
8 
"' 
Figura 2.1b - Principais dimensões da ponte sobre o rio Pau Seco (em em) 
[Daniel de Lima Araújo] 
Para o pré-dimensionamento do comprimento do balanço, no caso É prática comum nos projetos de pontes com duas longarinas, exe-
de pontes com sistema estrutural em viga contínua, devem ser con- cutadas com concreto moldado no local, o engrossamento da alma na 
sideradas algumas recomendações dos manuais de projeto do DNIT região do apoio. Dessa forma, foi prevista uma mísula horizontal para 
(Brasil, 1996): garantir uma variação gradual da espessura da longarina do apoio até 
• o aterro de acesso deve ter a sua altura limitada em oito me- 0 meio do vão. Normalmente, a mísula estende-se da seção do apoio 
tros, ou menos; até a transversina de vão mais próxima (Figura 2.2). Esse engrossamen-
• o aterro de acesso deve ser executado antes da obra de arte; to da alma tem a função de diminuir as tensões de compressão na seção 
• 
• 
o balanço deve ter comprimento máximo de 7,5 me a sua flecha do apoio em razão dos elevados valores da força cortante, não sendo 
deve ser menor que dois centímetros; considerada a variação de inércia obtida para o cálculo dos momentos 
deve-se usar laje de transição com comprimento mínimo de fletores da viga. Além disso, o engrossamento da alma aumenta a área 
quatro metros. 
Outras recomendações devem ser consideradas, quando do pré-di-
mensionamento da seção transversal de pontes com duas longarinas 
(Brasil, 1996): 
• 
• 
a largura da longarina deve ser maior que 25 em; 
o comprimento do balanço na seção transversal (Figura 2.1b) 
deve estar no intervalo entre .€vf3 e fv 12, sendo fv o vão da laj e, 
definido pela distância entre as longarinas; 
de contato das longarinas com os aparelhos de apoio. 
7 20 570 
440 620 
c-----
------' i 
l 20L7 f---
Figura 2.2 -Vista inferior com detalhe da mísula horizontal (em em) 
A espessura da laje pode ser pré-dimensionada em função do vão da 
laje (fv) seguindo a recomendação do Quadro 2.1 (Brasil, 1996). 
Quadro 2.1- Pré-dimensionamento da espessura da laje em pontes com duas longarinas 
Vão da laje (m) 
2,0 
3.0 
5.0 
6,0 
Espessura da laje (em) 
15 
18 
20 
22 
25 
Observa-se, também, que tanto as transversinas de apoio quanto 
as transversinas de vão são separadas da laje. Esta solução é adotada 
para uniformizar a armadura de flexão - longitudinal e transversal - da 
laje do tabuleiro, a qual passa a comportar-se como apoiada apenas em 
dois lados, ou seja, apenas sobre as longarinas. O espaçamento entre 
transversinas é tomado, aproximadamente, igual ao espaçamento entre 
as longarinas. Sua função é promover o travamento das longarinas e 
impedir a rotação delas em torno de seu eixo longitudinal. 
37 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
Neste projeto foi empregada a solução de alas fechadas, ou seja, 
orientadas na direção longitudinal. Todavia, frequentemente são en-
contrados projetos com alas perpendiculares ao eixo da ponte, tam-
bém conhecidas como alas abertas (Figura 2.3). A função das alas é 
conter o aterro junto às extremidades da superestrutura. As alas fe-
chadas têm a vantagem de diminuir o comprimento da saia do aterro 
na direção do eixo da ponte, mas possuem a desvantagem de neces-
sitar ser dimensionadas também ao empuxo de terra provocado pela 
carga móvel sobre o aterro de acesso. 
r-
r-
7 
-
-
Alas abertas 
11 goo 
\' 
: !\:las fechadas 
/ I 
I 
I 
I 
"I I 
I 
li Figura 2.3 - Posição das alas na 
extremidade da ponte 
Para cálculo do peso da própria estrutura é necessário conhecer as 
dimensões da seção transversal e as dimensões e pesos dos elementos 
acessóriosque estarão sobre a ponte, isto é: 
• área da seção transversal no meio do vão: 3,495 m2; 
• área da seção transversal no apoio: 4,135 m2; 
• área da seção transversal do guarda-rodas: 0,23 m2; 
• peso do guarda-corpo: 0,1 kN/m; 
• espessura média do pavimento: 0,08 m. 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarin as 
A espessura média do pavimento foi estimada admitindo-se uma 
espessura mínima de quatro centímetros para o pavimento asfálti-
co junto ao guarda-rodas e uma inclinação de 2% do pavimento, de 
modo a permitir o escoamento da água pluvial. 
2.2 IDEALIZAÇÃO PARA O CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES 
As estruturas das pontes em vigas são formadas por elementos verti-
cais (vigas) e horizontais (lajes) ligados monoliticamente. A análise da 
estrutura espacial é possível e requer programas computacionais que 
estão disponíveis no mercado. Para esse texto, a superestrutura foi de-
composta em elementos lineares (as vigas) e de superfície (as lajes), de 
modo a permitir o seu cálculo manual. 
O cálculo do quinhão das cargas móveis que cada viga recebe é 
feito de forma aproximada. Colocam-se as cargas móveis numa seção 
próxima ao meio do vão, na posição transversal mais desfavorável 
para a viga estudada, e obtém-se o seu trem-tipo. Para as seções pró-
ximas aos apoios, o quinhão de carga da viga -para a mesma posi-
ção da carga móvel na seção transversal- sofre alterações. Para maior 
simplicidade, contudo, admite-se que o trem-tipo calculado próximo 
ao meio do vão não se altera ao longo da viga. 
As ações em razão do peso próprio são mais fáceis de distribuir 
entre as vigas. No caso de seção transversal com duas vigas, cada uma 
recebe metade do peso próprio da superestrutura. 
Os esforços decorrentes do peso próprio e da carga móvel são cal-
culados em diversas seções de cálculo ao longo da viga. O número de 
seções adotadas em cada tramo varia com o seu vão, podendo-se ado-
tar cinco seções para vãos pequenos (da ordem de 10m a 15m) e dez 
seções para vãos médios (da ordem de 25m a 30m). 
39 
[Daniel de Lima Araújo] 
40 2 . 3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA PRINCIPAL 
2 .3.1 SOLICITAÇÕES DECORRENTES DO PESO PRÓPRIO 
A seguir são mostrados os cálculos para determinação do carrega-
mento decorrente do peso próprio sobre cada viga principal (ou lon-
garina). Adotaram-se pesos específicos (Yconcl de 25 kN/m3 e (Ypav) 
de 22 kN/m3 para o concreto armado e para o pavimento asfálti-
co, respectivamente. 
a) Carregamento uniformemente distribuído: 
a.1) seção transversal 
(meio do vão): 
a.2) guarda-rodas: 
a.3) pavimento: 
a.4) guarda-corpo: 
Total: 
3495 q1 = -'- x 25 = 43,69 kN/ m 2 
q2 = 0,23 x 25 = 5,75 kN/ m 
820 q3 =~X 0,08 X 22 = 7,216 kN/m 
q4 = 0,10 kN/m 
q = 56,8 kN/m. 
Calculam-se, a segmr, as forças concentradas constituídas pelo 
peso próprio dos alargamentos da alma das longarinas, transversinas, 
alas e viga de fechamento. 
b.1) Alargamento da alma das longarinas: o peso próprio dos alar-
gamentos da alma das longarinas junto aos apoios pode ser assimilado 
a um carregamento triangular com uma extensão de quatro metros nos 
balanços, seis metros nos vãos 1 e 3, e 6,5 m no vão 2 (Figura 2.4). 
Esse carregamento pode ser substituído por forças concentradas apli-
cadas no centro de gravidade da área triangular: 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas 
-balanços: 
p = 0,2 X 4 
2 
'-
X (1,8- 0,2) X 25 = 16 kN 
4 
a= 3 = 1,33 m do apoio; ponto de aplicação: 
- vãos 1 e 3 (.e = 18 m): 
p = Ü, 2 X 6 X (1,8- 0,2) X 25 = 24 kN 
2 
ponto de aplicação: a =_§_= 2 m do apoio; 
3 
- vão 2 (.e = 20 m): 
p = Ü,2 X 6•5 X (18 - Ü 2) X 25 = 26 kN 
2 ' ' 
d 1. 6 5 d . ponto e ap 1eação: a=-'-= 2,17 m o apo1o. 
3 
0,2 m 
Figura 2.4- Dimensões do alargamento da alma da longarina 
b.2) Transversinas: as transversinas de vão têm 20 em de largura e 
120 em de altura, logo: 
48 P = (0,2x 1,2)x -'- x 25 = 14,4 kN 
2 
As transversinas de apoio têm 40 em de largura e 120 em de altu-
ra, logo: 
44 P= (0,4 x 1,2)x -'- x 25 = 26,4 kN 
2 
41 
[Daniel de Lima Araújo] 
42 b.3) Viga de fechamento: a viga de fechamento aplica na ponta 
balanço uma força de: 
9 p = (0,2x 1,8 +0,2 x 0,3) X- X 25 = 47,25 kN 
2 
b.4) Alas: o peso de cada ala, incluindo guarda-rodas e guarda-cor- Quadro 2.3 _Reação de apoio, em uma longarina, decorrente do peso próprio 
po colocados sobre ela, vale: 
p1 = ( 2,25 X 0,5 + (
2
,
25 
+ ~'3 ) X 1,3 -0,3 X 0,2) X 0,2 X 25 = 13,61kN 
P2 = (0,23 + 0,2 X 0,2) X 2,25 X 25 = 15,19 kN 
P3 = 0,1x2,25 = 0,225 kN 1s--~,!L-
:. P = 29,025 kN. z ~ z ~ ~ z ~ z ~ 3 ' z po:;:~~ ~:;::::::: ~:~: ::~rior da viga de fechamento aplica n~:»; L liL i~ li:L; ~ ;IJ :l":kttl'l~l·l~kl~; MJ 
8 6 TI] q - 56.8 kN/m 
P = ( 0,3 X 1,6) X -t X 18 = 3 7, 2 kN Figura 2.5 - Seções de cálculo e carregamento decorrente do peso próprio em uma 
longarina (dimensões em metro) 
Logo, a força total aplicada na ponta do balanço, para cada longa; 
rina, vale: p1 = 47,25 + 29,025 + 37,2 = 113,5 kN. 2.3.2 SOLICITAÇÕES DECORRENTES DA CARGA MÓVEL 
Na Figura 2.5 são mostrados as seções de cálculo e o carregamento 2.3.2.1 Determinação do trem-tipo 
decorrente do peso próprio em uma longarina. Os momentos fletore~ As cargas móveis podem ocupar qualquer posição sobre o tabulei-
e as forças cortantes resultantes desse carregamento são mostrados noc ro da ponte. Assim, para cada longarina, é necessário procurar a po-
Quadro 2.2, e no Quadro 2.3 são mostradas as reações de apoio d~ sição do carregamento que provoque a máxima solicitação em cada 
superestrutura sobre a mesoestrutura. uma das seções de cálculo. Esse procedimento é por demais trabalho-
Quadro 2.2 - Momento fletor e força cortante, em uma longarina, decorrentes 
peso próprio 
-204 -288 -356 492 390 42 
----------------------------------------------~· 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas 
so e inviável de ser realizado manualmente. Dessa forma, utiliza-se do 
conceito de trem-tipo, o qual simplifica o carregamento sobre as lon-
garinas e torna o processo de cálculo dos esforços menos trabalhoso. 
Denomina-se trem-tipo de uma longarina o quinhão de carga pro-
duzido nela pelas cargas móveis de cálculo, colocadas na largura do 
tabuleiro, na posição mais desfavorável para a longarina em estudo. 
[Daniel de Lima Araújo] 
44 
I 
I 
: f------------1 
:CD 
Seção transversal carregada 
+-----19 n----,j'------ 5.2 n-----t---- 19 n------+ 
[[ 
Esquema estrutural 
Linha de influência da reação de apoio na longarina 1 
= f= 
'6'f6' 
~ 
= t= 
q 
Vista superior da laje carregada 
Veículo-tipo classe 45 (NBR 7188): 
][ 
Nessas condições, o trem-tipo é o carregamento de cálculo de uma 
longarina levando-se em consideração a geometria da seção transver-
sal da ponte, como, por exemplo, o número e o espaçamento das lon-
garinas e a posição da laje do tabuleiro. 
O trem-tipo, suposto constante ao longo da ponte, pode ocupar 
qualquer posição na direção longitudinal. Assim, para cada seção da 
viga estudada é necessário determinar as posições do trem-tipo que 
produzem valores extremos das solicitações. Nos casos mais gerais, 
empregam-se as linhas de influência, diagramas que permitem definir 
as posições mais desfavoráveis do trem-tipo e calcular as respectivas 
solicitações. Com os valores extremos das solicitações, calculados nas 
diversas seções de cálculo da viga, é possível traçar as envoltórias de 
solicitações da carga móvel. Como os valores das envoltórias são de-
terminados para as situações mais desfavoráveis das cargas, quaisquer 
outras posições do carregamento produzirão solicitações menores. As-
sim, se a longarina for dimensionada para os valores das envoltórias, 
sua segurança fica garantida para qualquer posição da carga móvel. 
A pontesobre o rio Pau Seco é da classe 45, logo deve ser empre-
gado, para cálculo do trem-tipo, o veículo-tipo especificado pela NBR 
7188, com 450 kN de peso total. A distribuição da carga móvel entre 
as longarinas depende da rigidez transversal do tabuleiro. Como a pon-
te em estudo é constituída por apenas duas longarinas, a posição mais 
desfavorável para as solicitações é quando o veículo-tipo está posicio-
nado no bordo da pista, encostado no guarda-rodas, conforme mostra-
do na Figura 2.6. A reação na longarina 1 pode ser obtida admitindo-se 
Peso de cada roda (p) = 75 kN 
Multidão (q) = 5 kNfm2 a laje apoiada sobre as duas longarinas, na direção transversal, e tra-
Figura 2.6- Posicionamento do veículo-tipo para cálculo do trem-tipo da longarina çando-se a linha de influência da reação de apoio desta longarina. Ob-
(em metro) serva-se que o balanço do lado direito do tabuleiro não foi carregado, 
45 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
pois o carregamento nessa posição tende a aliviar a reação na longarinaé adotado um coeficiente de impacto único para os vãos, determinado 
em estudo. Em razão da simetria da seção transversal, o trem-tipo ll<com base no comprimento médio dos três vãos, ou seja, 
longarina 2 é idêntico ao calculado para a longarina 1. _ _ 0 007 18 + 20 + 18 = 1 269 cpv -1,4 , X 
3 
, 
A reação de apoio na longarina 1, na região 
apenas com multidão (seção I-I), vale: 
da pista carregad, 
Para o balanço é adotado um coeficiente de impacto diferente, nesse 
caso, o valor de l é igual a duas vezes o comprimento do balanço. Logo: 
<j)b ::= 1,4-0,007 X (2 X 4) = 1,344 
A reação de apoio na longarina 1, na região carregada com 0 veí O trem-tipo empregado no cálculo dos esforços nas longarinas é o 
culo-tipo e com multidão (seção II-II), vale: ;mostrado na Figura 2.8. Vale ressaltar que nesse caso, como não há 
• apenas multidão: R2 
__ qA __ 
5 
x 0,712
2
x 3,7 __ 
6
,
6 
kN/m ~passeio para pedestres, multiplicou-se todo o trem-tipo, obtido pelo 
!posicionamento do veículo-tipo na seção transversal, pelo coeficiente 
• veículo-tipo: R3 = Pa1 + Pa2 = 75 x 1,192 + 75 x 0,808 = 150 kN~de impacto. Caso houvesse contribuição no cálculo do trem-tipo de 
Logo, o trem-tipo das longarinas 1 e 2 tem o seu valor conform~carregamento no passeio, essa parcela do carregamento não poderia 
demonstrado na Figura 2.7: ~ser multiplicada pelo coeficiente de impacto, uma vez que o carrega-
ismento proveniente de pedestres sobre a ponte não provoca efeitos di-
<:: P=150kN P=150kN 
;nâmicos nela. 
ill"iTIIf. 
q
2 
= 6,6 kN/m 
Figura 2.7- Trem-tipo das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco 
Antes de calcular as solicitações decorrentes da carga móvel, é 
veniente calcular o coeficiente de impacto e multiplicar o 
por esse coeficiente. Dessa forma, as solicitações obtidas já 
majoradas em razão do caráter dinâmico do carregamento móvel. 
gundo a NBR 7187, o coeficiente de impacto pode ser 
pela seguinte expressão: cp = 1,4 - 0,007 l ~ 1 
Nesta expressão, l representa o vão teórico da estrutura. Como 
vãos não são muito diferentes entre si (menor vão > 70% do maior 
P = 201,6 kN P = 201,6 kN P = 201,6 kN 
1,5m 1 1,5m l! 1,5m I j 1,5m fllllll I q, = 29,0 kN/m 1111111 í I I I I I I I I I I I I I I I I 
Balanço 
P=190,4kN P=190,4kN P=190,4kN 
flllllll h-,--1 '1';,--1 lrt-j Ir-r-I '1,--ó; 1,-,-'1 jr---r--1 1,--'1';,--1 rt-1 jr-r-lr-r-1,;,-11 i ITITI I} 
Vãos 
2.8 -Trem-tipo, com impacto, das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco 
47 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
2.3.2.2- Cálculo do momento fletor e da força cortante 
Para cada seção de cálculo da longarina, são traçadas as linhas c 
influência de momento fletor e força cortante e, em seguida, é posicú 
nado o trem-tipo calculado nas posições mais desfavoráveis - ou sej 
nas posições que provocam os maiores esforços-, obtendo-se assim; 
envoltórias de momento fletor e força cortante. Sendo a viga dimensi1 
nada para os valores dessas envoltórias, a resistência estará garantic 
para qualquer posição da carga móvel sobre o tabuleiro, uma vez que i 
solicitações correspondentes a esta posição particular serão inferiores i 
que foram empregadas no dimensionamento. Na Figura 2.9 são ilustr 
das as linhas de influência das seções 4, 10 e 15 das longarinas da pon 
sobre o rio Pau Seco, bem como as posições mais desfavoráveis do trer 
-tipo para cada seç~o. 
Exemplifica-se, a seguir, o cálculo do maior momento fletor posi 
vo na seção 4. Após ser posicionado o trem-tipo, é necessário obter 
ordenadas da linha de influência sob as forças concentradas e as áre 
compreendidas entre a linha de influência e o eixo da viga sob as fc 
ças distribuídas. Dessa forma, obtêm-se: 
M 4+ = P (Yl + Y2 +y3 ) + q1A1 + q2A2 
M 4+ = 190,4 X (2,898 + 3,701 + 3,042) + 27,4 X 15,051 + 8,4 
17,856 = 2398 kNm 
Procedendo-se de modo semelhante, obtêm-se os esforços nas c 
mais seções da longarina. No Quadro 2.4 estão resumidos os n 
mentos fletores e as forças cortantes, máximos (Mq + e V q +) e mínin 
111111111111111111111111111111 
.... ' ' ,:_. ...... , ~u= ~ ~ , .... 
LI - momento fletor na seção 4 
ITIIlh:!nY 11111111111111111111111111111111 ~ 
Wnmm 
OIIIJ] v, 
111111111111111111111111111111 
LI - força cortante na seção 4 
ITJliD ITIIIDnUMmmrmm M' 
~111. 10 
IUWilillJlhtnl-rln[lllllllllllllllllllllllllllllllllllll ~ [lil]]] M~o ~~ v ~~~ll 
LI - momento fletor na seção 1 O 
[!]!]] ~--------------. WlJ..11Jnh:htn: v~oó 
lllllllllllllllllllllllllllnUJolllllllllllllllllllllllli [lil]]] v;
0
, 
___,..-.===,)~ 
LI - força cortante na seção 1 o a 
llmiiiTillllrrrlllrrrllmlllmlllrnlllrnlllmlllrmlll ~ 
ITIIIIIIIIDrrUL OIIIJ] M;, 
=- a~t;;;~A====a-= 
LI - momento fletor na seção 15 
O]]]] ITiliiilihllJ 111111111111111111111111111111 
rmllllnTIIIrrrlllmllmlllmlllmlllmlllm-111""11! lnUmnrrrn O]]]]. v;, 
-=:::::::::r t 
-- I --J 
· LI - força cortante na seção 15 
(M q- e V q - ), obtidos com base no carregamento móvel. 
'igura 2.9- Linhas de influência das longarinas da ponte sobre 0 rio Pau Seco 
Pro jeto d e p onte em concreto armado com duas lon garinas [Daniel de Lima Araújo) 
49 
so Quadro 2.4 - Momento fietor e força cortante, em uma longarina, decorrentes !Quadro 2.5 _Reações de apoio, em uma longarina, decorrentes da carga móvel 
' l carga move 
I 2 I 3 I 4 ! Eixo 1 
Seção a I b I Oesq I odír I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 Rqt (kN) 997 1077 1077 997 
Mq+ (kNm) 
- 1015 1721 2167 2398 2375 2120 - Rq- (kN) -185 -185 
-74 -74 
Mq- (kNm) 
-361 
-879 -1615 -1475 -1335 -1195 -1055 -915 -8sJ 
Vq+ (kN) 
- - 677 572 473 382 300 227 164 ENVOLTÓRIA DE SOLICITAÇÕES EM SERVIÇO 2-3·3 
vq- (kN) 
-426 
-437 -653 -74 -63 -119 -194 -273 -3s6 
-440 
-
/ 
-
1 I I 10esa I 10dír I 
------,---.-----,,---,---,---.---.---,--,---.----.,Ao somar as sohcttaçoes decorrentes do peso propno com as provo 
I 12 I 13 I 14 I 15 / 1 . / "d d f . d . b A Seção 7 8 9 11 
Mq+ (kNm) 1661 1032 452 570 489 
---=-::..!CC.=------t-=---_l_-'----'-'----'--'"-'-""'-1-"--'-""--'---=-='---1---'--__j---'---==- c a das pela carga move , Ja acresct as o e etto e tm pacto, o tem -se 
1090 1706 2096 2229 
Mq- (kNm) 
-957 -1063 -1354 -1927 
I 
vq• (kN) 137 128 123 121 
vq- (kN) 
-525 -610 -693 -773 
2.3 .2.3. Cálculo das reações de apoio 
-1328 
772 678 
-89 -91 
-1008 -902 -802 -?02 
582 486 393 306 
-99 -157 -226 -306 
os valores das envoltórias de solicitações, as quais são utilizadas no 
dimensionamento das armaduras nas diversas seções da longarina 
(Figura 2.11). Essas solicitações são denominadas em serviço, uma 
vez que elas representam as solicitações efetivas nas vigas principais 
da superestrutura. Para o dimensionamentodas armaduras deve-
rá ser utilizada a combinação última recomendada pela NBR 8681 
As reações de apoio provocadas pela carga móvel são obtidas o (ABNT, 2003b), a qual majora as solicitações em serviço por coefi-
forma semelhante à indicada no cálculo dos momentos fletores e força cientes adequados . 
cortantes com o uso das linhas de influência de reação de apoio. N 
Figura 2.10 são mostradas a linha de influência no apoio 2 e as pos 
ções mais desfavoráveis do trem-tipo. No Quadro 2.5 apresentam-se o 
valores de reação de apoio das longarinas decorrentes da carga móvel. 
111 1111111111 11 11 111 11 111 11 1 11 
1111 1111 111111 111 11111 1111 111 1 tI~ 11 11 1 11 1111111111111 11 11 1 1 11 1 OJ]] 
Figura 2.10 - Linha de influência da reação de apoio na seção 10 
Figura 2.11- Envoltória de momento fietor em serviço 
No Quadro 2.6 apresentam-se os valores para as envoltórias de 
momento fletor e força cortante de uma longarina. Esse Quadro foi 
obtido com a soma dos valores do Quadro 2.2 e do 2.4. 
51 
Projeto de ponte em concreto armado com duas lorigarinas [Daniel de Lima Araújo] 
52 Quadro 2.6- Envoltórias de momento fl.etor e força cortante em uma longarina (so. Para 0 dimensionamento das seções, serão utilizados os coeficien-
licitações em serviço) tes recomendados pelas normas NBR 8681 (ABNT, 2003b) e NBR 
Seção a 6118 (ABNT, 2007) para a combinação última normal. 879 2156 2984 3393 3354 2899 -254 
-1421 
-2544 
-204 -288 -356 1169 962 
-630 -725 -1009 418 327 
Seção 7 I 8 I 9 I 1o.sq I 1odir I 
Mg+q+(kNm) 2046 818 
-549 -1441 
Mg+q-(kNm) -572 -1277 -2355 -3938 
vl!+Q• (kN) -144 -2s6 -387 -491 1383 
Vg+q- (kN) -8o6 
-994 -1203 -1385 522 
144 
ui 12 I 
-414 1020 
-2231 -1078 
1175 940 
406 259 
-60 
342 167 2 
-231 -416 -602 
13 I 14 1 151 
2238 2977 3223 
-370 79 292 
730 507 306 
87 -112 -306 
• Coeficientes de majoração das ações: . 
ação permanente: Yg = 1,3; 
ação variável: Yq = 1,4. 
A escolha do valor do coeficiente de majoração das ações perma-
nentes se deu em função de se tratar de uma estrutura com ações per-
manentes de pequena variabilidade, já que_ a maior parte das ações 
permanentes é decorrente do peso próprio da estrutura. 
• Coeficiente de minoração da resistência do concreto: Yc = 1,4. 
• Coeficiente de minoração da resistência do aço: Ys = 1,15 . 
2
.
3
.
4 DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕEs TRANSVERSAIS Quando a ação permanente atuar como elemento estabilizador, 
Apresenta-se, neste item, o dimensionamento das seções mais repre· isto é, como uma ação favorável, adota-se Yg = 1,0. 
sentativas das longarinas, cujas envoltórias de solicitação foram cal· 
culadas no item anterior. 2 .3-4.1 Dimensionamento à flexão 
São admitidos os seguintes materiais a ser empregados na constru· 0 dimensionamento à flexão aqui apresentado é efetuado sem le-
ção da ponte: var em consideração 0 efeito de fadiga das armaduras, o qual será 
• concreto: fck = 25 MPa; 
abordado posteriormente. 
• aço CA- 50. As seções submetidas a momento fletor posltlvo comportam-se 
A escolha da resistência característica à compressão do concreto como viga "T", na qual a mesa representada pela laje do tabuleiro 
(fck) deu-se em função da obra encontrar-se em um ambiente rural com contribui na resistência à flexão da seção. Na Figura 2.12 mostra-
elevada umidade relativa, o que, segundo definição da norma brasileira -se a determinação da largura da mesa, segundo os critérios sugeri-
NBR 6118 (ABNT, 2007), classifica o meio como de média agressivida· dos pela NBR 6118 (A~NT, 2007), em uma seção situada no meio do 
de. Logo, pode-se adotar a classe de agressividade ambiental 11, o que vão central. 
implica o emprego de concreto com fck mínimo de 25 MPa. 
5 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araúj1 
54 
40 
~b3 
JL---- 170 
Figura 2.12 - Determinação da largura da mesa da viga "T" na seção do meio do vão 
da longarina (em em) 
A partir das informações da Figura 2.12, têm-se: 
ba = 40 + 20 + (40- 27,5) = 72,5cm 
3 b3 = 0,1a = 0,1x- 2000 = 120 em 5 
b { 
0,1 a = 120 em 
1 < 
- 0,5 b2 = 0,5 x (480- 40 ) = 220 em 
:. bf = ba + b1 + b3 = 72,5 + 120 + 120 = 312,5 em 
de balanços, o valor desse termo é igual a duas vezes o comprimento 
do balanço. 
Para efeito de exemplificação, é calculada a armadura de flexão na 
seção 15, na qual atuam os seguintes momentos fletores: 
Mg = 994 kNm; 
Mq += 2229 kNm; 
Mq- = -702 kNm. 
0 momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale: 
Md = ygMg+Yq Mq+ = 1,3 x 994 + 1,4 x 2229 = 4413 kNm 
A altura total da seção vale (h) 1,8 me a altura útil (d) é admitida 
igual a 1,6 m, a qual será verificada posteriormente. O dimensiona-
mento da viga T pode ser feito seguindo-se os procedimentos usuais 
da teoria do concreto armado, encontrados em Carvalho e Figueiredo 
Filho (2004). De posse do momento fletor na seção 15, obtém-se a ar-
madura de flexão nessa seção: A/= 65,8 cm2. O superescrito "+"no 
valor da área significa que essa armadura será colocada para comba-
ter 0 momento fletor positivo, isto é, na face inferior da viga. Ressal-
ta-se que no dimensionamento da seção 15 não houve necessidade da 
No cálculo da largura colaborante da mesa, mostrado na Figura colocação de armadura de compressão e a linha neutra no Estádio III 
2.12, aparece o termo "a" que depende do tipo de vinculação na ex· situou-se na mesa de compressão. Essa deve ser a solução preferencial 
tremidade do vão. Esse termo representa a distância entre os pontos a ser buscada no projeto da longarina, isto é, sem armadura de com-
nulos do diagrama de momento fletor. Assim, em uma viga biapoiada, pressão, para evitar maiores problemas quando do dimensionamento 
o valor desse termo é igual ao comprimento do vão. No caso de vãos da longarina aos efeitos de fadiga. 
com momento fletor negativo em um dos apoios, o valor desse termo No tramo 1, a seção mais solicitada por momentos fletores positi-
é igual a três quartos do vão, e no caso de vãos com momento fletor vos é a de número 4, na qual atuam os seguintes momentos fletores : 
negativo nos dois apoios, o valor desse termo é igual a três quintos do Mg = 995 kNm; Mq += 2398 kNm. 
vão. Esta é a situação do vão central da ponte em estudo. Já no caso 0 momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale: 
55 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
s6 Sabendo que a largura da alma nessa seção (bw) vale 60 em, chega-se 
Ao admitir para a seção 4 as mesmas dimensões da viga T da a armadura de flexão: As-= 84,3 cm2. O superescrito "-"no valor da 
seção 15 (Figura 2.12), obtém-se a armadura de flexão riessa seção área significa que essa armadura será colocada para combater o mo-
A/ = 69,4 cm2. Vale ressaltar que como o tramo 1 possui comprj. mento fletor negativo, isto é, na face superior da viga. 
mento e vinculações diferentes do vão central, o valor da largura As seções até aqui dimensionadas estão submetidas a momento fle-
da mesa colaborante (bt) é diferente nesse vão. Como a diferença tor em apenas um sentido, ou seja, momento positivo ou momento 
para o valor calculado no vão central é pequena e esse parâmetrc negativo. Algumas seções, contudo, são submetidas tanto a momento 
tem pouca influência no cálculo da armadura, optou-se por mante1 fletor positivo quanto a negativo, devendo, portanto, ser dimensiona-
o valor da largura da mesa colaborante igual em todas as seções dt das para resistir a ambos. Esse é o caso, por exemplo, da seção 2, 
cálculo da longarina. cujos momentos fletores, com valores em serviço, são: 
As seções submetidas a momento fletor negativo têm seção retan- Mg = 435 kNm; 
gular, uma vez que nestas seções a laje do tabuleiro situa-se na região Mq+= 1721 kNm; 
tracionada. A seção da longarina mais solicitada a momentofletor ne· Mq- = - 1335 kNm. 
gativo é a de número 10, situada sobre o apoio entre os tramos 1 Ao combinar Mg com Mq + obtém-se o momento fletor positivo de 
e 2. Nessa seção atuam os seguintes momentos fletores, com valore! cálculo e a seção resistente é em forma de "T". 
em serv1ço: 
Mg = -2011 kNm; 
Mq+= 570 kNm; 
Mq- = -1927 kNm. 
Md = YgMg+Yq Mq+ = 1,3 x 435 + 1,4 x 1721 = 2975 kNm 
Ao considerar a mesma seção transversal da Figura 2.12, chega-se 
a: A/= 44,1 cm2. Combinando Mg com Mq- obtém-se o momento fle-
tor negativo de cálculo e a seção resistente é retangular. Nessa situação, 
O momento fletor de cálculo (negativo) nessa seção vale: a ação permanente atua de forma favorável, reduzindo 0 esforço pro-
Md = Yg Mg +yq Mq-= 1,3 x (-2011) + 1,4 x (-1927) = -5312 kNm vocado pela carga móvel e, portanto, adota-se Yg = 1,0. 
Admite-se para a altura útil dessa seção um valor superior ao ado· 
tado para as seções submetidas a momentos fletores positivos em de· 
corrência da colocação de parte da armadura de flexão da longarina 
na laje do tabuleiro, o que reduz a distância entre o centro de gravida· 
de das armaduras e a fibra mais tracionada. Inicialmente será adota· 
da uma altura útil (d) de 1,65 m, que será verificada posteriormente. 
Em razão da variação uniforme da espessura das longarinas, a lar-
gura nessa seção (bw) vale 48 em, chegando-se assim a área de aço à 
tração de: As-= 21,1 cm2 (d = 1,65 m). Procedendo-se de forma aná-
Ioga para as demais seções, obtêm-se as áreas de aço à flexão mostra-
das no Quadro 2.7. 
57 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
58 Quadro 2.7- Área de aço em uma longarina para resistir aos momentos fl.etores (slli fadiga, para compressão, tração ou flexão, é de aproximadamente 
licitações de cálculo) )5% a 60% da resistência estática. A ruptura por fadiga do concreto 
Seção a I b I O I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 l, aracterizada por deformações e microfissuração bem maiores que 
' c 
1285 2975 3981 b l" . - ' . 
1s correspondentes à ruptura so so ICttaçao estattca. 
-412 
A resistência à fadiga do aço depende de vários fatores (El Debs; -835 -1434 
-856 -1935 -2242 
18,8 68,6 
12,1 52,7 33.4 21,1 12.5 6.9 4,4 5.9 fakeya, 1992): 
__ bw"--(c_m_)----l __ 48 ___ 5_4 _ __ 6_o ___ 54 ___ 4_8 ___ 4_2 ___ 4o ___ 4_o ___ 4_o~ a) conformação superficial: as nervuras das barras, projetadas para 
Seção 7 I 8 I 9 I 10 I 11 I 12 I 13 I 14 I 15 1 
Md+(kNm) 2826 1231 1456 3080 4080 4413 
Md-(kNm) 
-955 -1766 -3197 -5312 -3033 -1502 •731 -242 
A/ (cm2) 41.8 18,0 21.4 45.6 6o,8 65,8 
' As- (cm2) 14,0 26,2 48.6 84.3 46,0 22,2 10,6 3.5 
bw (em) 42 48 54 6o 53 47 41 40 40 
2.3-4.2 Fadiga da armadura longitudinal 
A fadiga pode ser definida como a alteração mecânica dos mate· 
riais sob o efeito de solicitações repetidas. As ações que causam fadiga 
são aquelas que produzem variações de solicitações com frequência 
relativamente alta. Dentre elas podem ser citadas: cargas móveis, on-
das do mar, sismos, vento, variações de temperatura, congelamento~ 
etc. Os maiores problemas de fadiga ocorrem, normalmente, para si· 
tuações com elevado número de ciclos, de 103 a 108. 
O concreto, quando sujeito a ações repetidas, pode apresentar fi s· 
suração excessiva e, eventualmente, romper após um grande número 
de ciclos, mesmo se o nível de solicitação for menor que a correspon· 
dente solicitação estática. A resistência à fadiga é definida como uma 
b) 
c) 
melhorar a aderência entre o aço e o concreto, acarretam uma 
redução significativa da resistência à fadiga, comparativamente 
às barras lisas, por causa da concentração de tensões; 
diâmetro das barras: a resistência à fadiga das barras diminui com 
0 aumento do seu diâmetro; uma barra com 40 mm de diâme-
tro pode ter resistência à fadiga 25% menor que uma barra com 
16 mm de diâmetro, mantidas as demais condições; 
barras dobradas: o dobramento das barras reduz a sua resis-
tência à fadiga em relação às barras retas, por causa da intro-
dução de tensões localizadas nas regiões dobradas. Esta redu-
ção é função da relação entre o diâmetro de dobramento e o 
diâmetro da barra; 
d) emendas por traspasse: ensaios experimentais com traspasse de 
20 a 35 vezes o diâmetro das barras mostraram que este tipo 
de emenda não apresenta redução significativa de resistência à 
fadiga em relação às situações similares sem emendas; 
e) emendas por solda: nas barras emendadas por solda, por ele-
trodo ou por caldeamento, ocorre uma redução da resistência à 
fadiga de até 50% em relação à barra sem emenda. 
fração da resistência estática que pode ser suportada, para certo nú· As estruturas de concreto armado são estruturas compostas, nas 
mero de ciclos. Por exemplo, para dez milhões de ciclos, a resistência quais o aço absorve as tensões de tração quando o concreto fissura. 
59 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo) 
6o Dessa forma, seu comportamento à fadiga está intimamente relacio r 
-<0,5 
nado com as propriedades de seus materiais componentes, aço e con h 
ereto, e da interação entre eles (aderência). Assim, para elementos susendo h a altura da saliência e r o raio da curva de concordância da 
barmados sob a ação de momento fletor, o comportamento referenusaliência com o corpo da barra. Na falta de ,dados experimentais es-
à fadiga está diretamente relacionado com a resistência à fadiga dpecíficos que comprovem que barras que não respeitam essa configu-
armadura. Para elementos superarmados, ou aqueles em que o cisaração satisfazem os limites de tensão da NBR 6118 (ABNT, 2007), 
lhamento e a aderência são fatores determinantes, a previsão do compermite-se utilizá-las com uma redução de 30% da flutuação de ten-
portamento é mais complicada. são limite dada na Tabela 23.2 da referida norma. 
No Brasil, esse assunto é abordado no capítulo 23 da NBR 6111 Quando a variação de tensão nas armaduras longitudinais, em 
(ABNT, 2007), que aborda o projeto de estruturas de concreto. Seserviço, L1crs for superior à L1tsd,fad1Yfat -pode-se admitir Yfat = 1,5 na 
gundo essa norma, as variações de tensões, em serviço, das barras d ausência de normalização específica - , as áreas de aço calculadas, no 
armadura longitudinal devem ficar limitadas a valores admissíveis estádio III, para resistir aos momentos fletores devem ser multiplica-
fim de prevenir a ruptura por fadiga, a qual é perigosa por sua na tu das por um coeficiente de fadiga K obtido por: 
reza frágil, ou seja, sem aviso decorrente de deformações inelástica1 
O limite máximo da variação de tensão para o aço CA-50 é dado n 
K = Y fat L1crs 
l1fsd,fad 
Tabela 23.2 da referida norma. Para o caso de barras retas ou dobra As .armaduras assim majoradas terão as variações de tensões limi-
das com diâmetro de dobramento maior que 25 vezes o diâmetro d tadas a L1tsd,fad/yfat· Ainda segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007), a ve-
barra, a flutuação de tensão limite para evitar a ruptura por fadiga di rificação à fadiga pode ser realizada através de análise baseada em 
aço (i1tsd,fad) varia de 150 MPa a 190 MPa em função do diâmetnmétodos elásticos, desprezando-se a resistência à tração do concreto 
da barra. Já para o caso de barras retas ou dobradas com diâmetn após a fissuração . A variação de tensão pode ser obtida por uma com-
de dobramento menor que 25 vezes o diâmetro da barra, o valor d binação frequente de ações, adotando-se os coeficientes de minoração 
L1tsd,fad varia de 85 MPa a 105 MPa. No caso de estribos, o valor d específicos para o caso de pontes. Segundo essa norma, o valor do 
L1tsd,fad é fixo e igual a 85 MP a, desde que o diâmetro de dobrament1 fator de redução 'I' 1 a ser utilizado na combinação freqil.ente de ações 
seja ao menos igual a três vezes o diâmetro da barra, o qual não po em pontes rodoviárias vale 0,5 para a verificaçãodas longarinas e 0,8 
derá ser maior que dez milímetros. para a verificação da laje do tabuleiro. 
Os valores apresentados para L1tsd fad referem-se a barras nervura 
' 
Analisa-se, a seguir, a seção 12 da longarina da ponte sobre o rio 
das de alta aderência, nas quais as saliências transversais e longitudi Pau Seco, por ser esta a seção que apresenta as maiores variações de 
nais não se cruzam e nem apresentam momento fletor. Os momentos fletores devidos à carga permanente 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
(Mg) e à carga móvel (M q + e Mq -) , em serviço, que atuam nessa se 
ção são: 
Mg = -70 kNm; 
Mq+= 1090 kNm; 
Mq- = -1008 kNm. 
b1 = 312,5 em 
~ 
As = 222cm
2 5 
"' 
11 
" 
A variação de tensão na seção é definida como l1crs = O"s,max - O"s,miQ L--
A tensão crs,max é obtida pela combinação de Mg com Mq +, a qua 
resulta em um momento que traciona as fibras inferiores (moment1 
fletor positivo). 
Ms, max = Mg + 'l'1Mq + =- 70 + 0,5 x 1090 = 475 kN.m 
A tensão crs min é obtida pela combinação de Mg com Mq-, a qua 
' 
resulta em um momento que traciona as fibras superiores (momentl 
fletor negativo). 
Ms, min = Mg + 'l'1Mq- =- 70 + 0,5 X (-1008) =- 574 kN.m 
Para calcular a tensão na armadura, admite-se que a seção se en 
contre no limite do estádio 11, ou seja, o concreto tracionado não resis 
te aos esforços e a distribuição de tensões na região comprimida é li 
(a} Seção para momento fletor positivo (b) Seção para momento fletor negativo 
Figura 2.13- Seções de cálculo da seção 12 da longarina 
Essa expressão fornece a posição da linha neutra, no estádio 11, em 
uma seção retangular com armaduras de tração e compressão. Nessa 
expressão, As é a área de aço de tração; As' é a área de aço de com-
pressão; n é a relação entre os módulos de deformação longitudinal 
do aço e do concreto; bw é a largura da seção; d é a altura útil da 
seção - distância da armadura tracionada à fibra mais comprimida 
da seção; t é o cobrimento da armadura comprimida - distância da 
near. Na Figura 2.13 são mostradas as seções transversais empregada armadura comprimida à fibra mais comprimida da seção. 
no cálculo, considerando a atuação de momentos fletores positivo 1 
negativo e os diagramas de tensão e de deformação na seção . 
Inicialmente, analisa-se a seção 12 quando submetida a momen 
Quando a seção 12 está submetida ao momento fletor positivo 
(Md ) têm-se· As = As+= 21,4 cm2; As'= As- = 22,2 cm2; n = 10 
,max ' · 
(item 23 .5.3 da norma ABNT NBR 6118); bw = 312,5 em; d = 160 em 
to fletor positivo (M d,maxl· Admitindo-se que a linha neutra esteja nr e t = 15 em. Ao usar esses valores na expressão anterior obtém-se 
mesa de compressão (o que implica em admitir bw = bf), sua posiçã1 xu = 14,17 em, menor que a espessura da mesa colaborante (hf), o 
pode ser obtida por (Carvalho; Figueiredo Filho, 2004) : que confirma a hipótese inicial da linha neutra encontrar-se na mesa 
· [ • ]
2 de compressão. A inércia da seção é obtida, então, por: 
xu = - n (As + As ) + n (As + As ) + ~ ( d As + t A~ ) 
bw bw bw lu= bw xl? +nAs (d- xu)2 + nAs (t- xu)2 =>In= 0,0485 m4. 
3 
Projeto d e ponte em concreto arm ad o com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
A expressão anterior foi obtida para uma seção retangular no está Conhecidas as tensões nas armaduras quando a seção está subme-
dio li com armaduras de tração e compressão. A tensão na armadur'tida aos momentos fletores positivo e negativo, é possível determinar 
tracionada, que neste caso está na face inferior da longarina (As+), vale: a variação de tensão em cada uma das armaduras dessa seção. Na 
n iM l( d x ) armadura inferior (As+) a variação de tensão vale: 
+ = s, max - n = 14 2 8 MP 
cr s,max In ' a y ~cr+ = Yf t (crs+ max - cr; min ) = 1,5x (142,8 - (-17,3 )) = 240,3 MPa 
A tensão na armadura comprimida, que neste caso está na face su 
perior da longarina (As-), vale: 
- . = n iMs,max l (t -xn) =O 8 MP 
crs mm , a 
, In 
fat s a ' ' 
Ao adotar, como armadura de flexão, barras nervuradas com diâme-
tro de 25 mm, a flutuação de tensão limite para evitar a ruptura por 
fadiga do aço (~fsd,fad) vale 175 MPa, segundo a NBR 6118 (ABNT, 
2007). A variação de tensão calculada na seção 12 é maior que esse limi-
Essa armadura está sendo tracionada, e não comprimida, em funte, logo se deve aumentar a área de aço multiplicando-a pelo coeficiente 
ção da linha neutra no estádio li estar acima do centro de gravidad1 de fadiga 
da armadura comprimida. 
Quando a seção 12 está submetida ao momento fletor negativ1 
(Md min), têm-se: As= As-= 22,2 cm2; As' = A/= 21,4 cm2; n = 10 
' 
bw = 47 em; d = 165 em e t = 20 em. Ao usar esses valores n.a expressã1 
que fornece a posição da linha neutra em uma seção retangular com ar 
+ Yfat~cr~ = 240,3 =1 37 
K = 175 ' ~fsd,fad 
Na armadura superior (As-) a variação de tensão vale 
Yfat ~cr~ = Yfat ( cr~,max - cr~,min) = 1,5 X (169 - 0,8 ) = 252,3 MPa 
Como a variação de tensão nessa armadura também é maior que 
maduras de tração e compressão obtém-se xn = 33,4 7 em. A inércia d: _ . . d 
a flutuação de tensao hm1te ( ~fsd fad = 175 MPa), eve-se aumentar a 
seção é obtida pela mesma expressão empregada quando a seção estav: , . . d l ' fi . d f d' 
· area de aço mult1phcan o-a pe o coe c1ente e a 1ga 
submetida ao momento fletor positivo e vale In= 0,0447 m4. _ 
K- = Yfat ~crs = 252,3 =1,44 A tensão na armadura tracionada, que neste caso está na face su ~fsd fad 175 
' perior da longarina (As-), vale: 
- = n iMs,minl( d - xn) = 169MP 
crs max a 
Essa verificação se refere apenas à fadiga da armadura. Para garantir 
a segurança da seção transversal ao estado limite último de fadiga, de-
, In 
ve-se verificar, também, a fadiga do concreto comprimido, o que pode 
A tensão na armadura comprimida, que neste caso está na face in ser feito seguindo a recomendação da NBR 6118 (ABNT, 2007). Ave-
ferior da longarina (As+), vale: rificação para o concreto à compressão é satisfeita se 
+ . = n IMs, mini ( t - X n) = -17 3 MP 
crsmm , a 
, In 
f cr < cd,fad 
c,max -
llc Yf 
6s 
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo] 
66 em que 
fcd,fad = 0,45 Ícd 
1 
YJ=----;----,-
c 1 5-o 51crd 
' ' lcrcz l 
sendo: 
llc, o fator que considera o gradiente de tensões de compressão 
no concreto; 
lcrc1l, o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a um~ 
distância não maior que 300 mm da face sob a combinação rele. 
vante de cargas (Figura 2.14); 
lcrc21, o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a um~ 
distância não maior que 300 mm da face sob a mesma combinação 
de carga usada para cálculo de lcrc1 l (Figura 2.14). 
Como não há na NBR 6118 (ABNT, 2007) recomendação para o 
valor de Yt na verificação do concreto à fadiga, optou-se aqui por uti-
lizar Yt = 1, tendo em vista a utilização do valor de cálculo da resistên 
cia à compressão do concreto nessa verificação. 
.s:: 
Figura 2.14- Definição das tensões crc1 e crc2 
Pro jet o d e ponte em concreto armado com duas longarinas 
Na sequência, é exemplificada a verificação da fadiga do concre-
to sob compressão na seção 12, tanto para momento fletor positivo 
quanto para momento fletor negativo. No caso de momento fletor po-
sitivo, a máxima tensão de compressão ocorre 11a fibra superior da 
seção e pode ser calculada por 
O" = hls,max xn = 475x0,1417 = 1388 kN/m2 =1,39 MPa 
c,max In 0,0485 
Seguindo o procedimento anteriormente descrito, conclui-se que 
icrd= O"c,max e lcrcl l é igual a zero, já que a profundidade da linha neutra 
no estádio 11 (xu) é menor que 300 mm. Logo, llc = 0,67, podendo-se 
concluir que a seção está segura com relação à fadiga do concreto 
comprimido, pois 
25 MPa 1 
cr = 1,39 MPa < 0,45 x x = 12 MPa