MEII AP2 Reunidas

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2014
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Uma pesquisa recente com trabalhadores em empregos relacionados a` tecnologia, selecionados
aleatoriamente, foi realizada para se estimar, com 95% de confianc¸a, a proporc¸a˜o p daqueles
que gostariam que seus patro˜es pagassem por treinamento em servic¸o.
(a) [1,0 pt] Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´ o tama-
nho amostral necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,04, com o n´ıvel de
confianc¸a dado?
(b) [0,5 pt] Se for utilizada uma amostra aleatoria de 1200 funciona´rios, a margem de erro
sera´ maior ou menor que 0,02? Responda sem fazer qualquer ca´lculo adicional .
(c) [1,0 pt] Em uma amostra aleto´ria de 1000 funciona´rios, 813 responderam que gostariam
que seus patro˜es pagassem por treinamento em servic¸o. Ache um intervalo de confianc¸a para
a proporc¸a˜o populacional de todos os trabalhadores em empregos relacionados a` tecnologia
que gostariam de treinamento em servic¸o.
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
� = 0, 04 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96
0, 04
× 0, 5⇒ n = 600, 25
(b) Como 1200 > 600, 25, a margem de erro sera´ menor.
(c) p̂ =
813
1000
= 0, 813
� = 1, 96×
√
0, 813× 0, 187
1000
= 0, 0242
IC: (0, 813− 0, 0242; 0, 813 + 0, 0242) = (0, 7888; 0, 8372)
Questa˜o 2 [2,5 pts]
O airbag e´ um dispositivo de seguranc¸a planejado para explodir para fora do painel frontal ou
de um painel lateral na porta no caso de colisa˜o do automo´vel. Um airbag protege o motorista
e o passageiro do impacto com o pa´ra-brisa, coluna e painel. Os airbags mais novos abrem
a uma velocidade proporcional a` velocidade do impacto. Os modelos mais antigos abrem a
uma velocidade constante, de ate´ 300 km/h. Obteve-se uma amostra aleato´ria de airbags de
modelos antigos, que foram testados. Essa amostra acusou uma velocidade me´dia de abertura
de 259,8 km/h. Suponha que σ = 19 km/h.
Ha´ alguma evideˆncia que sugira que a velocidade me´dia de abertura populacional em modelos
mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h? Use α = 0, 01. Certifique-se de especificar
claramente
(a) as hipo´teses nula e alternativa;
(b) a estat´ıstica de teste e a regia˜o cr´ıtica;
(c) a conclusa˜o;
(d) o valor P ;
(e) o resultado utilizado para resolver a questa˜o.
Soluc¸a˜o
σ = 19 α = 0, 01 n = 40 grande!
(a)
H0 : µ = 250
H1 : µ > 250
(b) Z0 =
√
40
X − 250
19
RC : Z0 > 2, 33
(c) z0 =
√
40
259, 8− 250
19
= 3, 26 > 2, 33
Rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que a velocidade me´dia de abertura populacional
em modelos mais antigos de airbags seja superior a 250 km/h.
(d) P = P(Z ≥ 3, 26) = 0, 5− tab(3, 26) = 0, 5− 0, 4996 = 0, 0004
(e) Como n e´ grande, usou-se o Teorema Limite Central
Questa˜o 3 [1,0 pt]
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizar
o paraˆmetro apropriado.
(a) A temperatura me´dia deve ser menor que 38◦C.
(b) O tempo me´dio tem que ser, no mı´nimo, 20 minutos.
(c) O tempo me´dio tem que ser 20 minutos.
(d) O volume me´dio tem que ser de pelo menos 250 ml.
(e) A proporc¸a˜o de so´cios contra´rios a` proposic¸a˜o tem que ser, no ma´ximo, 15%.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ < 38 H0 : µ = 38
complementar: µ ≥ 38 H1 : µ < 38
(b)
afirmativa dada: µ ≥ 20 H0 : µ = 20
complementar: µ < 20 H1 : µ < 20
(c)
afirmativa dada: µ = 20 H0 : µ = 20
complementar: µ 6= 20 H1 : µ 6= 20
(d)
afirmativa dada: µ ≥ 250 H0 : µ = 250
complementar: µ < 250 H1 : µ < 250
(e)
afirmativa dada: p ≤ 0, 15 H0 : p = 0, 15
complementar: p > 0, 15 H1 : p > 0, 15
2
Questa˜o 4 [1,0 pt]
Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de Student determine a
abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(12) > t) = 0, 99 Sol: t = −2, 681
(b) P(t(19) > t) = 0, 05 Sol: t = 1, 729
(c) P(t(28) ≤ t) = 0, 90 Sol: t = 1, 313
(d) P(|t(16)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 235
(e) P(|t(8)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 108
Questa˜o 5 [3,0 pts]
O gerente de uma rede se supermercados afirma que o carta˜o de membro economizara´ ao cli-
ente, atrave´s de descontos automa´ticos, no mı´nimo 45,00 reais por semana. Para verificar
essa afirmac¸a˜o, obteve-se uma amostra aleato´ria de 11 clientes com carta˜o de membro e foram
examinadas suas contas de compras nos supermercados da rede. A me´dia amostral da econo-
mia foi de 43,05 reais e o desvio-padra˜o amostral de 2,25 reais. Suponha que a distribuic¸a˜o
populacional da economia seja normal.
(a) [1,5 pts] Ha´ alguma evideˆncia para se refutar a afirmativa do gerente? Justifique sua
resposta, realizando um teste de hipo´tese apropriado com n´ıvel de significaˆncia de 2,5%.
Certifique-se de especificar claramente as hipo´teses nula e alternativa, a estat´ıstica de teste
e a regia˜o cr´ıtica, bem como a sua conclusa˜o em linguagem na˜o te´cnica.
(b) [0,5 pt] Ache limites para o valor P associado a esse teste de hipo´tese.
(c) [1,0 pt] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para o verdadeiro desconto me´dio me´dio
semanal de clientes com carta˜o de membro dessa rede de supermercados.
Soluc¸a˜o
(a)
H0 : µ = 45
H1 : µ < 45
T0 =
√
11× X − 45
2, 25
RC : T0 < −2, 228
t0 =
√
11× 43, 05− 45
2, 25
= −2, 87
Como t0 < −2, 228, rejeita-se H0, ou seja, ha´ evideˆncias de que o desconto me´dio semanal
dos clientes com carta˜o de membro e´ menor que 45 reais.
(b) Vamos utilizar a simetria da distribuic¸a˜o t. Na tabela, na linha correspondente a 10
graus de liberdade, vemos que o valor observado de −t0 = 2, 87 esta´ entre as abscissas
2,764 e 3,169, que correspondem a`s probabilidades 0,01 e 0,005, respectivamente. Logo,
0, 005 < P < 0, 01. ( O valor exato e´ P = 0, 008334)
(c) IC:
(
43, 5− 2, 228× 2, 25√
11
; 43, 5 + 2, 228× 2, 25√
11
)
= (43, 05 − 1, 5115; 43, 05 + 1, 5115) =
(41, 9885; 44, 5615)
Note que o intervalo de confianc¸a esta´ totalmente abaixo do valor 45!!
3
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
 
Gabarito 
 
1. (2,0 pontos) De um grupo de 8 homens e 6 mulheres, deve-se formar uma comissão com 5 
pessoas. De quantas formas esta comissão pode ser feitas se: 
a) (0,5 pt) Não houver restrição? 
b) (0,5 pt) Deve ter 3 homens e 2 mulheres? 
c) (0,5 pt) Deve ter 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro, 1 primeiro-secretário e 1 
segundo secretário independente de sexo? 
d) (0,5 pt) Deve ter 2 homens, sendo 1 presidente e 1 segundo secretário e 3 mulheres sendo 1 
vice-presidente, 1 tesoureira e 1 primeira secretária? 
 
Solução: 
a) 
sem restrição, é considerado um grupo de 14 pessoas das quais serão sorteadas 5. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e , então: 
 
 
 
 
 
b) 
Devemos escolher os homens e as mulheres separadamente e para cada homem escolhido há a 
quantidade escolhida entre as mulheres. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
Neste caso, a ordem da seleção é importante, mas o sexo não. Assim, trata-se de um arranjo dentre 
todas as pessoas do grupo. 
 
 
 
 
 
 
d) 
Arranjo para os homens e arranjo para as mulheres: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filmes, dentre 3 
pesquisados, seguem na tabela abaixo: 
 
 Comédia Aventura Policial TotalHomens 20 50 10 80 
Mulheres 10 20 20 50 
Total 30 70 30 130 
 
Uma pessoa é sorteada aleatoriamente. Determine a probabilidade de: 
a) (0,5 pt) Ela ser do sexo masculino; 
b) (0,5 pt) Ela ser uma mulher que goste de filmes de aventura; 
c) (0,5 pt) Ela preferir filme policial, sabendo-se a priori que é um homem; 
d) (0,5 pt) Gostar de filme de comédia ou ser uma mulher. 
Solução: 
Sejam os seguintes eventos: 
C: a pessoa gosta de Comédia; 
A: a pessoa gosta de Aventura; 
P: a pessoa gosta de Policial; 
H: a pessoa é do sexo masculino; 
M: a pessoa é do sexo feminino. 
 
a) 
Temos um total de 80 pessoas pesquisadas do sexo masculino de um total de 130. Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
Temos uma probabilidade condicional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
Probabilidade da União: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes 
distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, 
enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros 
gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com 
atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da 
proporção do distribuidor 3. 
 
a) (1,0 pt) Qual o percentual de pedidos com atraso de cada distribuidor? 
b) (1,0 pt) Se um pedido chega com atraso, qual a probabilidade de ele ter sido entregue pelo 
distribuidor 2? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
1:O pedido foi entregue pelo distribuidor 1; 
2: O pedido foi entregue pelo distribuidor 2; 
3: O pedido foi entregue pelo distribuidor 3; 
A: O pedido chegou com atraso; 
N: O pedido não chegou com atraso. 
São dados do enunciado: 
 
 
 
 
 
 
a) 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, sabemos que: 
 
Sabemos também que: 
 
 
 
 e 
 
 
 
Assim, substituindo no Teorema da Probabilidade Total, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consequentemente: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
b) 
Pelo Teorema de Bayes, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos 
vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Cada vendedor recebe comissões de vendas de acordo com a quantidade vendida. Se ele vende 
até três produtos por dia, ele recebe $10,00 por produto vendido. Se ele vende mais de três 
produtos pro dia, a comissão passa a ser de $30,00 por produto de modo que se ele vende 3 
produtos, recebe $30,00 de comissão, mas se ele vende 4 produtos, recebe $ 120,00 de comissão. 
 
a) (1,5 pt) Determine a variância do número de produtos vendidos por dia por 
funcionário; 
b) (1,0 pt) Determine a comissão média diária de cada funcionário. 
 
Solução: 
a) 
Para determinar a variância é necessário obter a média: 
 
 
 
 
Também é necessário calcular . Para isso, precisamos da distribuição de . 
 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
 0 1 4 9 16 25 36 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
A distribuição das comissões será dada por: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Comissão (C) 0 10 20 30 120 150 180 
Probabilidade de comissão 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Logo: 
 
 
 
 
A comissão média paga por funcionário é de $39,5. 
 
 
5. (1,5 ponto) Dois times de voleibol A e B disputam uma série de oito partidas. A probabilidade de 
o time A ganhar cada partida é de 60%. Determine a probabilidade de o time A ganhar a série. 
 
Solução: 
Para ganhar a série de 8 jogos, o time A precisa ganhar mais que o time B. Como no voleibol não há 
empates, então o time A ganha a série se vencer pelo menos 5 das 8 partidas. Assim, a probabilidade de 
ele vencer a série será a probabilidade de ele vencer 5, 6, 7 ou 8 das partidas, onde a vitória em uma 
partida independe das outras partidas. 
Logo: 
 
 
Observemos que, por conta da independência, o experimento é Binomial. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de o time A ganhar a série é de 59,41%. 
 
 
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2015
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
ATENC¸A˜O!
• Identifique a prova, colocando nome, matr´ıcula, polo e data. • E´ permitido o uso de calculadoras, desde que.
• Apresente o desenvolvimento das questo˜es. na˜o sejam as de celular.
• O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis, mas as • Devolva a folha de respostas ao responsa´vel.
respostas devera˜o estar a caneta. • E´ proibido o uso de corretivo nas resposas.
Questa˜o 1 [2,0 pts] Uma bem sucedida companhia tem, em geral, seu nome e logomarca
com alto n´ıvel de reconhecimento pelos consumidores. Por exemplo, os produtos da Coca-Cola
esta˜o dispon´ıveis para 98% da populac¸a˜o mundial e, portanto, essa companhia deve ter o maior
ı´ndice de reconhecimento da logomarca do que qualquer outra. Uma firma de software, que
desenvolve certo produto, gostaria de estimar a proporc¸a˜o de pessoas que reconhecem o pinguim
da logomarca do Linux. Dos 952 consumidores pesquisados, selecionados aleatoriamente, 132
puderam identificar o produto associado ao pinguim.
1. [0,5 pt] A distribuic¸a˜o da proporc¸a˜o amostral, P̂ , e´ aproximadamente normal? Justifique
sua resposta.
2. [1,5 pts] Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a verdadeira proporc¸a˜o de consu-
midores que reconhecem o pinguim do Linux.
Soluc¸a˜o
(a) A distribuic¸a˜o de P̂ pode ser aproximada pela normal, pois
n > 30
np̂ = 132 ≥ 5
n(1− p̂) = 820 ≥ 5
(b) p̂ =
132
952
= 0, 1387 1− α = 95%⇒ z0,025 = 1, 96(
0, 1387− 1, 96×
√
0, 1387× (1− 0, 1387)
952
; 0, 1387 + 1, 96×
√
0, 1387× (1− 0, 1387)
952
)
= (0, 1167 ; 0, 1607)
Outra possibilidade de soluc¸a˜o e´ construir o intervalo de confianc¸a conservador:(
0, 1387− 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
952
; 0, 1387 + 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
952
)
= (0, 1069 ; 0, 1705)
Questa˜o 2 [1,5 pt] Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas.Certifique-se de utilizar o paraˆmetro apropriado (µ, p ou σ2).
(a) [0,3 pt] O peso me´dio deve ser, no ma´ximo, 5 kg.
(b) [0,3 pt] A idade me´dia tem que ser, pelo menos, 25 anos.
(c) [0,3 pt] A proporc¸a˜o de consumidores muito satisfeitos tem que ser maior que 10%.
(d) [0,3 pt] O nu´mero me´dio de alunos tem que ser 35.
(e) [0,3 pt] A variaˆncia tem que ser menor que 25.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ ≤ 5 H0 : µ = 5
complementar: µ > 5 H1 : µ > 5
(b)
afirmativa dada: µ ≥ 25 H0 : µ = 25
complementar: µ < 25 H1 : µ < 25
(c)
afirmativa dada: p > 0, 10 H0 : p = 0, 10
complementar: p ≤ 0, 10 H1 : p > 0, 10
(d)
afirmativa dada: µ = 35 H0 : µ = 35
complementar: µ 6= 35 H1 : µ 6= 35
(e)
afirmativa dada: σ2 < 25 H0 : σ
2 = 25
complementar: σ2 ≥ 25 H1 : σ2 < 25
Questa˜o 3 [1,0 pt] Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula
deve ser rejeitada, ou na˜o. Justifique sua resposta.
(a) [0,2 pt] P = 0, 037 α = 0, 05
(b) [0,2 pt] P = 0, 083 α = 0, 10
(c) [0,2 pt] P = 0, 019 α = 0, 01
(d) [0,2 pt] P = 0, 015 α = 0, 025
(e) [0,2 pt] P = 0, 005 α = 0, 001
Soluc¸a˜o
(a) P < α⇒ rejeita-se H0.
(b) P < α⇒ rejeita-se H0.
(c) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
(d) P < α⇒ rejeita-se H0.
(e) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 4 [2,5 pts] O comprimento de uma pec¸a pode ser descrito por uma varia´vel aleato´ria
X normal com me´dia desconhecida µ e desvio padra˜o de 5 cm. Uma amostra aleato´ria simples
de tamanho 25 e´ retirada da linha de produc¸a˜o para testar se o comprimento me´dio e´ menor
que 5 cm, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(a) [0,5 pt] Estabelec¸a as hipo´teses nula e alternativa de interesse.
(b) [0,5 pt] Identifique a estat´ıstica de teste apropriada, certificando-se de indica´-la tal como
aparece no formula´rio ao final da prova.
(c) [0,5 pt] Especifique a regia˜o cr´ıtica, identificando a abscissa de corte da distribuic¸a˜o apro-
priada.
(d) [0,5 pt] Se a me´dia amostral observada e´ x = 2, calcule o valor P .
(e) [0,5 pt] Qual e´ a sua conclusa˜o: rejeita-se ou na˜o a hipo´tese nula?
Soluc¸a˜o
(a)
{
H0 : µ = 5
H1 : µ < 5
(b) Populac¸a˜o normal com variaˆncia conhecida:
Z0 =
X − µ0
σ√
n
∼ N(0; 1) Z0 = X − 55√
25
∼ N(0; 1)
(c) Z0 < −1, 64 ou Z0 < −1, 65 ou Z0 < −1, 645
(d) O valor observado da estat´ıstica de teste e´ z0 =
2− 5
5√
25
= −3. Logo o valor P e´
P = P(Z ≤ −3) = P(Z ≥ 3) = 0, 5− tab(3, 0) = 0, 00135
(e) Como o valor P e´ pequeno, e´ pouco prova´vel se obter um valor ta˜o extremo quanto x = 2
sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipo´tese nula, ou seja, ha´ evideˆncia de que o
comprimento me´dio seja menor que 5 cm. Note que o valor observado z0 esta´ na regia˜o
cr´ıtica.
Questa˜o 5 [3,0 pts] Depois de uma pane geral no sistema de informac¸a˜o de uma empresa,
o gerente administrativo deseja saber se houve alterac¸a˜o no tempo de processamento de de-
terminada atividade. Antes da pane, o tempo de processamento podia ser aproximado por
uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia de 100 minutos. Uma amostra de 16 tempos de
processamento apo´s a pane revela uma me´dia x = 106, 5 minutos e um desvio padra˜o s = 10
minutos.
(a) [0,5 pt] Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando as hipo´teses
nula e alternativa.
(b) [0,5 pt] Identifique a estat´ıstica de teste apropriada, certificando-se de indica´-la tal como
aparece no formula´rio ao final da prova.
Curso de Administrac¸a˜o 3
(c) [0,5 pt] Especifique a regia˜o cr´ıtica para um n´ıvel de significaˆncia de 5%, identificando a
abscissa de corte da distribuic¸a˜o apropriada.
(d) [1,0 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do gerente. Certifique-se de
estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o-te´cnicos.
(e) [0,5 pt] Construa um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio de processamento apo´s
a pane, usando o n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Soluc¸a˜o
(a)
{
H0 : µ = 100
H1 : µ 6= 100
(b) Populac¸a˜o normal com variaˆncia desconhecida:
T =
X − µ0
S√
n
∼ tn−1 T0 = X − 100S√
16
∼ t15
(c) t15;0,025 = 2, 131 RC : T0 > 2, 131 ou T0 < −2, 131
(d) O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 =
106, 5− 100
10√
16
= 2, 6
que esta´ na regia˜o cr´ıtica. Portanto, rejeita-se a hipo´tese nula, ou seja, ha´ evideˆncias de
que o tempo me´dio de processamento se alterou depois da pane.
(e) O intervalo de confianc¸a e´(
106, 5− 2, 131× 10√
16
; 106, 5 + 2, 131× 10√
16
)
= (101, 1725 ; 111, 8275)
Note que o valor 100 na˜o esta´ no intervalo!
Resultados importantes e fo´rmulas
Distribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ;σ2) =⇒
(i)
X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1) (ii) X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2
σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2
S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2015
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
ATENC¸A˜O!
• Identifique a prova, colocando nome, matr´ıcula, polo e data. • E´ permitido o uso de calculadoras.
• O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis, mas as • Devolva a folha de respostas ao responsa´vel.
respostas devera˜o estar a caneta. • E´ proibido o uso de corretivo nas resposas.
Questa˜o 1 [2,0 pts] Deseja-se realizar uma pesquisa em uma grande universidade com o
objetivo de se estimar a proporc¸a˜o p de alunos que frequentam a biblioteca pelo menos uma
vez por semana.
(a) Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´ o tamanho amostral
necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,035, com n´ıvel de confianc¸a de
95%?
(b) Em uma amostra aleato´ria de 800 alunos, 600 informaram frequentar a biblioteca pelo
menos uma vez por semana. Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o
populacional de todos os alunos dessa universidade que frequentam a biblioteca pelo menos
uma vez por semana.
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
� = 0, 035 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96
0, 035
× 0, 5⇒ n = 784
(b) p̂ =
600
800
= 0, 75
� = 1, 96×
√
0, 75× 0, 25
800
= 0, 03
IC: (0, 75− 0, 03; 0, 75 + 0, 03) = (0, 72; 0, 78)
Note que a margem de erro tem que ser menor que 0,035, uma vez que 800 > 784
Questa˜o 2 [1,0 pt] Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas.
Certifique-se de utilizar o paraˆmetro apropriado.
(a) O peso me´dio deve ser, pelo menos, 3 kg.
(b) A idade me´dia tem que ser, no ma´ximo, 35 anos.
(c) A proporc¸a˜o de itens defeituosos tem que ser menor que 5%.
(d) O nu´mero me´dio de cadeiras tem que ser 45.
Soluc¸a˜o
(a)
afirmativa dada: µ ≥ 3 H0 : µ = 3
complementar: µ < 3 H1 : µ < 3
(b)
afirmativa dada: µ ≤ 35 H0 : µ = 35
complementar: µ > 35 H1 : µ > 35
(c)
afirmativa dada: p < 0, 05 H0 : p = 0, 05
complementar: p ≥ 0, 05 H1 : p < 0, 05
(d)
afirmativa dada: µ = 45 H0 : µ = 45
complementar: µ 6= 45 H1 : µ 6= 45
Questa˜o 3 [1,0 pt] Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula
deve ser rejeitada, ou na˜o.
(a) P = 0, 043 α = 0, 05
(b) P = 0, 072 α = 0, 05
(c) P = 0, 023 α = 0, 01
(d) P = 0, 0150 α = 0, 025
Soluc¸a˜o
(a) P < α⇒ rejeita-se H0.
(b) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
(c) P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
(d) P < α⇒ rejeita-se H0.
Questa˜o 4 [1,0 pt] Combase na tabela e nas propriedades da func¸a˜o de densidade t de
Student determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
(a) P(t(12) > t) = 0, 99 Sol: t = −2, 681
(b) P(t(19) > t) = 0, 05 Sol: t = 1, 729
(c) P(|t(16)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 235
(d) P(|t(8)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 108
Questa˜o 5 [2,0 pts] Determinada caracter´ıstica de interesse pode ser descrita por uma varia´vel
aleato´ria X que tem distribuic¸a˜o normal com me´dia desconhecida µ e desvio padra˜o 5. Uma
amostra aleato´ria simples de tamanho 25 e´ retirada para se realizar o seguinte teste de hipo´teses:
H0 : µ = 15
H1 : µ > 15
(a) Se a me´dia amostral observada e´ x = 18, calcule o valor P.
Curso de Administrac¸a˜o 2
(b) Qual e´ a sua conclusa˜o: rejeita-se ou na˜o a hipo´tese nula?
Soluc¸a˜o
(a) X ∼ N (µ; 2525)
P = Pr(X ≥ 18|H0) = Pr
(
X ≥ 18|X ∼ N (15; 1))
= Pr
(
Z ≥ 18− 15
1
)
= Pr(Z ≥ 3) = 0, 5− tab(3.0) = 0, 00135
(b) Como o valor P e´ pequeno, e´ pouco prova´vel se obter um valor ta˜o extremo quanto x = 18
sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipo´tese nula.
Questa˜o 6 [3,0 pts] Um consumidor afirma que os pacotes de cafe´ produzidos por uma certa
fa´brica esta˜o com peso abaixo do que e´ permitido pelos o´rga˜os fiscalizadores. Para embalagens
de 500 g, e´ permitido um peso de ate´ 475 g. O gerente da fa´brica afirma que o processo
de produc¸a˜o esta´ regulado para produzir embalagens com pelo menos 477g e que o peso dos
pacotes e´ aproximadamente normal. Uma amostra de 9 pacotes revelou os seguintes resultados:
x = 475, 22 e s = 2, 59.
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando as
hipo´teses nula e alternativa.
(b) (1,0 ponto) Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do cliente sobre o
fabricante. Certifique-se de estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o-te´cnicos.
(d) (1,0 ponto) Construa um intervalo de confianc¸a para o peso me´dio das embalagens, usando
o n´ıvel de confianc¸a de 90%.
Soluc¸a˜o
(a) A afirmativa do gerente e´ que µ ≥ 477 e o cliente desconfia deste fato, ou seja, o cliente
acha que µ < 477.
H0 : µ = 477
H1 : µ < 477
(b) A populac¸a˜o e´ aproximadamente normal; assim,
X − µ
S√
n
∼ t(n − 1). Com n = 9, temos 8
graus de liberdade e na tabela obtemos t8;0,05 = 1, 860 e a regia˜o cr´ıtica e´
X − 477
2,59
3
< −1, 860⇐⇒ X < 475, 3
(c) Como o valor observado da me´dia amostral cai na regia˜o cr´ıtica, rejeita-se a hipo´tese nula,
ou seja, os dados indicam que os pesos esta˜o abaixo de 477 g.
(d) O intervalo de confianc¸a e´[
475, 22− 1, 860× 2, 59
3
; 475, 22 + 1, 860× 2, 59
3
]
= [473, 61; 476, 83]
Curso de Administrac¸a˜o 3
Resultados importantes e fo´rmulas
Distribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ;σ2) =⇒
(i)
X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1) (ii) X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2
σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2
S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2016
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Sua prova sera´ corrigida online. Siga asinstruc¸o˜es na capa deste caderno.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas no espac¸o indicado para cada uma.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es tem que ser aa caneta preta ou azul.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 A 3: O gerente da Ageˆncia Inga´ do BancoUniversal deseja realizar uma pesquisa entre seus clientes sobre o n´ıvel de satisfac¸a˜ocom os novos servic¸os oferecidos pelo banco. Voceˆ vai ajudar o gerente a planejar apesquisa.
Questa˜o 1 [1,0 pt] Calcule o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar a verdadeira proporc¸a˜ode clientes satisfeitos com os servic¸os com margem de erro 0,04 e n´ıvel de confianc¸a de 95%.Soluc¸a˜o
Pior cena´rio: p = 0, 5 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
0, 04 = 1, 96×√0, 5× 0, 5n ⇒ √n = 1, 960, 04 × 0, 5 = 24, 5⇒ n = 24, 52 ⇒ n ≥ 601
Questa˜o 2 [0,5 pt] Querendo garantir que a amostra na˜o seja desnecessariamente grande por causados custos envolvidos, voceˆ decide consultar o gerente de uma ageˆncia vizinha sobre os resultadosde pesquisa ana´loga feita por ele, constatando que, la´, a proporc¸a˜o de clientes satisfeitos foiestimada em 77%. Calcule o novo tamanho de amostra, incorporando essa informac¸a˜o auxiliar.Soluc¸a˜o
Estimativa auxiliar: p = 0, 77
0, 04 = 1, 96×√0, 77× 0, 23n ⇒ √n = 1, 960, 04 ×√0, 77× 0, 23 = 20, 62⇒ n ≥ 426
Questa˜o 3 [1,0 pt] Seguindo suas diretrizes, o gerente manda realizar uma pesquisa com 450clientes, obtendo nessa amostra 372 clientes satisfeitos. Construa um intervalo de 95% de con-fianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de clientes da Ageˆncia Inga´ satisfeitos com os novos servic¸osoferecidos.Soluc¸a˜o
p̂ = 372450 = 0, 827 ε = 1, 96×
√0, 827× 0, 173450 = 0, 035
Intervalo de confianc¸a: [0, 827− 0, 035 ; 0, 827 + 0, 035] = [0, 792 ; 0, 862]
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 6 Seja X a me´dia de uma amostra aleato´riade tamanho 25 extra´ıda de uma populac¸a˜o com me´dia µ e variaˆncia 16. Em um processodeciso´rio, a regra e´ rejeitar H0 : µ = 12 a favor de H1 : µ < 12 se X < 10, 3.
Questa˜o 4 [0,5 pt] Identifique a distribuic¸a˜o de X .Soluc¸a˜o
X ∼ N (µ ; 1625
) ou X ∼ N (µ ; 0, 64)
Questa˜o 5 [1,0 pt] Calcule a probabilidade de um erro tipo I, isto e´, rejeitar H0 quando H0 e´verdadeira.Soluc¸a˜o
H0 verdadeira significa µ = 12; rejeita-se H0 se X < 10, 3. Logo, o problema pede
P (X < 10, 3 |X ∼ N (12; 0, 64)) = P(Z < 10, 3− 120, 8
) = P(Z < −2, 125) = 0, 5 − tab(2, 13) =0, 5− 0, 4834 = 0, 0166
Questa˜o 6 [1,0 pt] Calcule a probabilidade de um erro tipo II, isto e´, na˜o rejeitar H0 quando H0 e´falsa, com µ = 9.Soluc¸a˜o
H0 falsa com os dados do problema significa µ = 9; na˜o se rejeita H0 se X ≥ 10, 3. Logo, oproblema pede
P (X ≥ 10, 3 |X ∼ N (9; 0, 64)) = P(Z ≥ 10, 3− 90, 8
) = P(Z ≥ 1, 625) = 0, 5 − tab(1, 63) = 0, 5 −0, 4484 = 0, 0516
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 A 10: Com base nas propriedades da func¸a˜odensidade t−Student, determine a abscissa t que satisfaz as condic¸o˜es pedidas.
Questa˜o 7 [0,5 pt] P(t(15) < t) = 0, 01Soluc¸a˜o
t = −t15;0,01 = −2, 602
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(t(8) > t) = 0, 03Soluc¸a˜o
t = t8,0,03 = 2, 189
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(|t(26)| > t) = 0, 10Soluc¸a˜o
t = t26;0,05 = 1, 706
Questa˜o 10 [0,5 pt] P(|t(13)| < t) = 0, 96Soluc¸a˜o
t = t13;0,02 = 2, 282
Curso de Administrac¸a˜o 2
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 15 O gerente de RH de um hospital esta´preocupado com a demora no atendimento no servic¸o de triagem. Parte dessa demorae´ devida a processos burocra´ticos envolvendo planos de sau´de. Decide, enta˜o, realizarum treinamento para os funciona´rios. De experieˆncias e registros anteriores, sabe-seque o tempo de atendimento pode ser bem aproximado por uma distribuic¸a˜o normalcom me´dia de 12 minutos. Depois do treinamento, ansioso para saber se o mesmo foibem sucedido, ele seleciona uma amostra de 16 tempos de atendimento que resultamnuma me´dia x = 9, 3 minutos e desvio padra˜o s = 2, 83 minutos. Voceˆ vai ajudar ogerente a analisar os resultados obtidos.
Questa˜o 11 [0,5 pt] Formule o problema em termosde um teste de hipo´teses, especificando ashipo´teses nula e alternativa.Soluc¸a˜o
O gerente pretende reduzir o tempo de atendimento. Logo,
H0 : µ = 12H1 : µ < 12
Questa˜o 12 [0,5 pt] Identifique a estat´ıstica de teste apropriada, certificando-se de indica´-la talcomo aparece no formula´rio ao final da prova.Soluc¸a˜o
Distribuic¸a˜o populacional e´ normal; me´dia e variaˆncia desconhecidas depois do treinamento. Logo,a estat´ıstica de teste e´
T0 = X − 122, 83√16
∼ t(15)
Questa˜o 13 [0,5 pt] Especifique a regia˜o cr´ıtica para um n´ıvel de significaˆncia de 5%.Soluc¸a˜o
T0 < −1, 753
Questa˜o 14 [1,0 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do gerente. Certifique-sede estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o-te´cnicos.Soluc¸a˜o
O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 = 9, 3− 122, 83√16
= −3, 816 < −1, 753
Rejeita-se a hipotese nula, ou seja, ha´ evideˆncias de que o treinamento foi bem sucedido no sentidode reduzir o tempo me´dio de atendimento.
Questa˜o 15 [0,5 pt] Construa um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio de atendimento apo´so treinamento, usando o n´ıvel de confianc¸a de 90%.Soluc¸a˜o
ε = 1, 753× 2, 83√16 = 1, 24
Curso de Administrac¸a˜o 3
O intervalo de confianc¸a e´
[9, 3− 1, 24 ; 9, 3 + 1, 24] = [8, 06 ; 10, 27]
Note que o intervalo esta´ completamente a` esquerda de 12, um forte ind´ıcio de que a nova me´diae´ menor que 12.
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii)
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√nX < µ0 − tn−1;α/2 S√n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√n X > µ0 + tn−1;α S√n X < µ0 − tn−1;α S√nP̂ < p0 − zα/2√p0(1−p0)n ou P̂ > p0 + zα/2√p0(1−p0)n P̂ > p0 + zα√p0(1−p0)n P̂ < p0 − zα√p0(1−p0)n
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroAP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno.• Resolva as questo˜es nos espac¸os indicados.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 2
Deseja-se realizar uma pesquisa em uma grande universidade com o objetivo de se estimar aproporc¸a˜o p de alunos que consultam sites da internet pelo menos uma vez por per´ıodo letivo a`procura de soluc¸a˜o das suas listas de exerc´ıcios.
Questa˜o 1 [1,0 pt] Se na˜o se conhece qualquer estimativa pre´via de p, qual e´ o tamanho amostralnecessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,035, com n´ıvel de confianc¸a de 95%?
Questa˜o 2 [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 800 alunos, 600 informaram consultar a Internetem busca de soluc¸a˜o das listas de exerc´ıcio. Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para aproporc¸a˜o populacional de todos os alunos dessa universidade que consultam sites da internetpelo menos uma vez por per´ıodo letivo a` procura de soluc¸a˜o das suas listas de exerc´ıcios.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 3 a 6
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizaro paraˆmetro apropriado.
Questa˜o 3 [0,3 pt] O volume me´dio deve ser no ma´ximo de 505 ml.
Questa˜o 4 [0,3 pt] O prec¸o me´dio na˜o pode exceder 2000 reais.
Questa˜o 5 [0,3 pt] A proporc¸a˜o de aprovac¸a˜o deve ser de pelo menos 60%.
Questa˜o 6 [0,3 pt] O nu´mero me´dio de cadeiras por sala tem de ser 35.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 a 10
Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula deve ser rejeitada, ou na˜o.
Questa˜o 7 [0,2 pt] P = 0, 043 α = 0, 05
Questa˜o 8 [0,2 pt] P = 0, 072 α = 0, 05
Questa˜o 9 [0,2 pt] P = 0, 023 α = 0, 01
Questa˜o 10 [0,2 pt] P = 0, 015 α = 0, 025
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 13Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o densidade t de Student, determine a abscissat que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
Questa˜o 11 [0,5 pt] P(t(12) > t) = 0, 99
Questa˜o 12 [0,5 pt] P(t(9) > t) = 0, 05
Questa˜o 13 [1,0 pt] P(|t(14)| < t) = 0, 96
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 14 e 15Determinada caracter´ıstica de interesse pode ser descrita por uma varia´vel aleato´ria X que temdistribuic¸a˜o normal com me´dia desconhecida µ e desvio padra˜o 4. Uma amostra aleato´ria simplesde tamanho 16 e´ retirada para se realizar o seguinte teste de hipo´teses:
H0 : µ = 15 H1 : µ > 15
Questa˜o 14 [1,0 pt] Se a me´dia amostral observada e´ x = 17, calcule o valor P .
Questa˜o 15 [1,0 pt] Qual e´ a sua conclusa˜o: rejeita-se ou na˜o a hipo´tese nula? Justifique.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 16 a 18Um consumidor afirma que os pacotes de cafe´ produzidos por uma certa fa´brica esta˜o com pesoabaixo do que e´ permitido pelos o´rga˜os fiscalizadores. Para embalagens de 500 g, e´ permitido umpeso de ate´ 475 g. O gerente da fa´brica afirma que o processo de produc¸a˜o esta´ regulado paraproduzir embalagens com pelo menos 477g e que o peso dos pacotes e´ aproximadamente normal.Uma amostra de 9 pacotes revelou os seguintes resultados: x = 474, 67 e s = 2, 59.
Questa˜o 16 [0,5 pt] Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando ashipo´teses nula e alternativa.
Questa˜o 17 [1,0 pt] Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 18 [0,5 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do cliente sobre ofabricante. Certifique-se de estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o te´cnicos.
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii)
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√nX < µ0 − tn−1;α/2 S√n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√n X > µ0 + tn−1;α S√n X < µ0 − tn−1;α S√nP̂ < p0 − zα/2√p0(1−p0)n ou P̂ > p0 + zα/2√p0(1−p0)n P̂ > p0 + zα√p0(1−p0)n P̂ < p0 − zα√p0(1−p0)n
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017 – Gabarito
1. Soluc¸a˜o
1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96
� = 0, 035 = 1, 96×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 96
0, 035
× 0, 5⇒ n = 784
2. Soluc¸a˜o
p̂ =
600
800
= 0, 75
� = 1, 96×
√
0, 75× 0, 25
800
= 0, 03
IC: (0, 75− 0, 03; 0, 75 + 0, 03) = (0, 72; 0, 78)
Note que a margem de erro tem que ser menor que 0,035, uma vez que 800 > 784
3. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ ≤ 505 H0 : µ = 505
complementar: µ > 505 H1 : µ > 505
4. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ ≤ 2000 H0 : µ = 2000
complementar: µ > 2000 H1 : µ > 2000
5. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: p ≥ 0, 60 H0 : p = 0, 60
complementar: p < 0, 60 H1 : p < 0, 60
6. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ = 35 H0 : µ = 35
complementar: µ 6= 35 H1 : µ 6= 35
7. Soluc¸a˜o : P < α⇒ rejeita-se H0.
8. Soluc¸a˜o : P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
9. Soluc¸a˜o : P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
10. Soluc¸a˜o : P < α⇒ rejeita-se H0.
11. Soluc¸a˜o : t = −2, 681
12. Soluc¸a˜o : t = 1, 833
13. Soluc¸a˜o : t = 2, 264
14. Soluc¸a˜o
X ∼ N (µ; 1616)
P = P(X ≥ 17 ∣∣H0) = P (X ≥ 17∣∣X ∼ N [15; 1)]
= P
(
Z ≥ 17− 15
1
)
= P(Z ≥ 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
15. Como o valor P e´ pequeno, e´ pouco prova´vel se obter um valor ta˜o extremo quanto x = 17
sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipo´tese nula.
16. Soluc¸a˜o
A afirmativa do gerente e´ que µ ≥ 477 e o cliente desconfia deste fato, ou seja, o cliente acha
que µ < 477.
H0 : µ= 477
H1 : µ < 477
17. Soluc¸a˜o
A populac¸a˜o e´ aproximadamente normal; assim,
X − µ
S√
n
∼ t(n−1). Com n = 9, temos 8 graus
de liberdade e na tabela obtemos t8;0,05 = 1, 860 e a regia˜o cr´ıtica e´
T0 =
X − 477
2,59
3
< −1, 860⇐⇒ X < 475, 3
18. Como o valor observado da me´dia amostral esta´ na regia˜o cr´ıtica (474, 67 < 475, 3), rejeita-se a
hipo´tese nula, ou seja, os dados indicam que os pesos esta˜o abaixo de 477 g. Equivalentemente,
o valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 =
474, 67− 477
2,59
3
= −2, 6988 < −1, 860
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroAP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2017
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Resolva as questo˜es a CANETA azul ou preta.• Numere as questo˜es sendo resolvidas.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• E´ permitido o uso de calculadoras, exceto as de celular.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 2
Deseja-se realizar uma pesquisa em uma grande universidade com o objetivo de se estimar aproporc¸a˜o p de alunos que acessam o telefone celular pelo menos uma vez durante as aulas.
Questa˜o 1 [1,0 pt] Se na˜o se conhece qualquer estimativa pre´via de p, qual e´ o tamanho amostralnecessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,05, com n´ıvel de confianc¸a de 90%?
Questa˜o 2 [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 300 alunos, 225 informaram acessar o telefonecelular durante as aulas. Ache um intervalo de confianc¸a de 90% para a proporc¸a˜o populacional detodos os alunos dessa universidade que acessam o telefone celular pelo menos uma vez duranteas aulas.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 3 a 6
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizaro paraˆmetro apropriado.
Questa˜o 3 [0,3 pt] O peso me´dio deve ser menor que 5 kg.
Questa˜o 4 [0,3 pt] O saldo me´dio deve ser de pelo menos 500 reais.
Questa˜o 5 [0,3 pt] A proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas deve ser, no ma´ximo, 5%.
Questa˜o 6 [0,3 pt] A idade me´dia deve ser 19 anos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 a 10
Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia, determine se a hipo´tese nula deve ser rejeitada, ou na˜o.
Questa˜o 7 [0,2 pt] P = 0, 032 α = 0, 01
Questa˜o 8 [0,2 pt] P = 0, 043 α = 0, 05
Questa˜o 9 [0,2 pt] P = 0, 011 α = 0, 05
Questa˜o 10 [0,2 pt] P = 0, 029 α = 0, 025
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 13Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o densidade t de Student, determine a abscissat que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
Questa˜o 11 [0,5 pt] P(t(23) > t) = 0, 98
Questa˜o 12 [0,5 pt] P(t(19) < t) = 0, 05
Questa˜o 13 [1,0 pt] P(|t(24)| < t) = 0, 95
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 14 e 15Determinada caracter´ıstica de interesse pode ser descrita por uma varia´vel aleato´ria X que temdistribuic¸a˜o normal com me´dia desconhecida µ e desvio padra˜o 5. Uma amostra aleato´ria simplesde tamanho 25 e´ retirada para se realizar o seguinte teste de hipo´teses:
H0 : µ = 18 H1 : µ 6= 18
Questa˜o 14 [1,0 pt] Se a me´dia amostral observada e´ x = 16, calcule o valor P .
Questa˜o 15 [1,0 pt] Qual e´ a sua conclusa˜o: rejeita-se ou na˜o a hipo´tese nula? Justifique.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 16 a 18O gerente de RH de um hospital esta´ preocupado com a demora no atendimento no servic¸o detriagem, que tem sido de 25 minutos. Decide, enta˜o, realizar um treinamento para os funciona´rios.Depois do treinamento, ele seleciona uma amostra de 16 tempos de atendimento que resultamnuma me´dia x = 19, 9 minutos e desvio padra˜o de s = 3, 5 minutos. Assuma que a distribuic¸a˜odos tempos de atendimento possa ser bem aproximada por uma distribuic¸a˜o normal.
Questa˜o 16 [0,5 pt] Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando ashipo´teses nula e alternativa.
Questa˜o 17 [1,0 pt] Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 18 [0,5 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o do gerente sobre otreinamento. Certifique-se de estabelecer sua conclusa˜o em termos na˜o te´cnicos.
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii)
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√nX < µ0 − tn−1;α/2 S√n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√n X > µ0 + tn−1;α S√n X < µ0 − tn−1;α S√nP̂ < p0 − zα/2√p0(1−p0)n ou P̂ > p0 + zα/2√p0(1−p0)n P̂ > p0 + zα√p0(1−p0)n P̂ < p0 − zα√p0(1−p0)n
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2017 – Gabarito
1. Soluc¸a˜o
1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64 ou 1, 65
� = 0, 05 = 1, 64×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 64
0, 05
× 0, 5⇒ √n = 16, 4 (ou 16, 5)⇒
n ≥ 269 (ou 273)
2. Soluc¸a˜o
p̂ =
225
300
= 0, 75
� = 1, 64×
√
0, 75× 0, 25
300
= 0, 041
IC: (0, 75− 0, 041; 0, 75 + 0, 041) = (0, 709; 0, 791)
Note que a margem de erro tem que ser menor que 0,05, uma vez que 300 > 273
3. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ < 5 H0 : µ = 5
complementar: µ ≥ 5 H1 : µ < 5
4. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ ≥ 500 H0 : µ = 500
complementar: µ < 500 H1 : µ < 500
5. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: p ≤ 0, 05 H0 : p = 0, 05
complementar: p > 0, 05 H1 : p > 0, 05
6. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ = 19 H0 : µ = 19
complementar: µ 6= 19 H1 : µ 6= 19
7. Soluc¸a˜o : P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
8. Soluc¸a˜o : P < α⇒ rejeita-se H0.
9. Soluc¸a˜o : P < α⇒ rejeita-se H0.
10. Soluc¸a˜o : P > α⇒ na˜o se rejeita H0.
11. Soluc¸a˜o : t = −2, 177
12. Soluc¸a˜o : t = −1, 729
13. Soluc¸a˜o : t = 2, 064
14. Soluc¸a˜o
X ∼ N (µ; 2525)
P = 2× P(X ≤ 16 ∣∣H0) = 2× P [X ≤ 16∣∣X ∼ N(18; 1)]
= 2× P
(
Z ≤ 16− 18
1
)
= 2× P(Z ≤ −2, 0) = 2× (0, 5− tab(2, 0)) = 2× (0, 5− 0, 4772) = 0, 0456
15. Como o valor P e´ pequeno (menor que 0,05), e´ pouco prova´vel se obter um valor ta˜o extremo
quanto x = 16 sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipo´tese nula.
16. Soluc¸a˜o
O gerente deseja reduzir o tempo de atendimento, que era de 25 minutos.
H0 : µ = 25
H1 : µ < 25
17. Soluc¸a˜o
A populac¸a˜o e´ aproximadamente normal; assim,
X − µ
S√
n
∼ t(n − 1). Com n = 16, temos 15
graus de liberdade e na tabela obtemos t15;0,05 = 1, 753 e a regia˜o cr´ıtica e´
T0 =
X − 25
3,5
4
< −1, 753⇐⇒ X < 23, 47
18. Como o valor observado da me´dia amostral esta´ na regia˜o cr´ıtica (19, 9 < 23, 47), rejeita-
se a hipo´tese nula, ou seja, os dados indicam que houve reduc¸a˜o no tempo de atendimento.
Equivalentemente, o valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 =
19, 9− 25
3,5
4
= −5, 83 < −1, 753
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroAP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha(pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, a parte nume´ricado co´digo da disciplina (06078) e o nu´mero da folha.• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!• E´ fundamental que voceˆ preencha os campos de identificac¸a˜o antes de resolver as questo˜es,para permitir substituic¸a˜o da folha em caso de erro no preenchimento!
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Identifique a prova, informando nome, matricula,polo e data. • Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, • As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material consideradopara registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,Respostas. mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja de celular • Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois istoou de qualquer aparelho com conexa˜o a` Internet . pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
A prefeitura de uma grande cidade deseja realizar uma pesquisa com o objetivo de estimar aproporc¸a˜o p de moradores que esta˜o satisfeitos com o servic¸o de coleta seletiva de lixo.
Questa˜o 1 [1,0 pt] Se na˜o se conhece qualquer estimativa pre´via de p, qual e´ o tamanho amostralnecessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,05, com n´ıvel de confianc¸a de 90%?
Questa˜o 2 [1,0 pt] O estat´ıstico responsa´vel pela pesquisa deseja utilizar uma estimativa obtidaem uma pesquisa piloto, que indicava essa proporc¸a˜o como 0,3. Como isso afeta o tamanhoamostral? Responda calculando novamente o tamanho amostral necessa´rio, incorporando essanova informac¸a˜o.
Questa˜o 3 [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 250 moradores, 185 informaram estar satisfei-tos com o servic¸o de coleta seletiva. Ache um intervalo de confianc¸a de 90% para a proporc¸a˜opopulacional de todos os moradores dessa cidade que esta˜o satisfeitos com o servic¸o de coletaseletiva.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 6
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-se de utilizaro paraˆmetro apropriado.
Questa˜o 4 [0,4 pt] A distaˆncia me´dia deve ser menor que 5 cm.
Questa˜o 5 [0,4 pt] O volume l´ıquido me´dio deve ser de pelo menos 500 ml.
Questa˜o 6 [0,4 pt] A proporc¸a˜o de clientes insatisfeitos deve ser no ma´ximo, 15%.
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 a 9Com base na tabela e nas propriedades da func¸a˜o densidade t de Student, determine a abscissat que satisfaz as condic¸o˜es pedidas:
Questa˜o 7 [0,2 pt] P(t(20) > t) = 0, 99
Questa˜o 8 [0,2 pt] P(t(15) > t) = 0, 10
Questa˜o 9 [0,4 pt] P(|t(12)| < t) = 0, 90
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 10 a 12Determinada caracter´ıstica de interesse pode ser descrita por uma varia´vel aleato´ria X que temdistribuic¸a˜o normal com me´dia desconhecida µ e desvio padra˜o 10. Uma amostra aleato´ria simplesde tamanho 25 e´ retirada para se realizar o seguinte teste de hipo´tese:
H0 : µ = 23 H1 : µ > 23
Questa˜o 10 [1,0 pt] Determine a regia˜o cr´ıtica para um n´ıvel de significaˆncia α = 0, 025.
Questa˜o 11 [1,0 pt] Se a me´dia amostral observada e´ x = 28, calcule o valor P .
Questa˜o 12 [0,5 pt] Qual e´ a sua conclusa˜o: rejeita-se ou na˜o a hipo´tese nula? Justifique.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 13 a 15O produtor de uma nova papinha nutritiva infantil realizou um teste para verificar a efica´cia deseu novo produto no aumento de peso de crianc¸as. Sua expectativa e´ que o aumento me´diode peso seja superior a 300g. Quinze bebeˆs foram alimentados, durante treˆs semanas, com anova papinha, verificando-se aumentos de peso (em gramas) com me´dia 324g e desvio padra˜o de28,1804g. Suponha que pesos de bebeˆs possam ser bem aproximados por uma distribuic¸a˜o normal.
Questa˜o 13 [0,5 pt] Formule o problema em termos de um teste de hipo´teses, especificando ashipo´teses nula e alternativa.
Questa˜o 14 [1,0 pt] Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 10%.
Questa˜o 15 [1,0 pt] Com base na amostra colhida, estabelec¸a a conclusa˜o sobre a afirmativa doprodutor.
Resultados importantes e fo´rmulasDistribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
(i) X − µσ√n ∼ N(0; 1) (ii)
X − µS√n ∼ t(n− 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√nX < µ0 − tn−1;α/2 S√n ou X > µ0 + tn−1;α/2 S√n X > µ0 + tn−1;α S√n X < µ0 − tn−1;α S√nP̂ < p0 − zα/2√p0(1−p0)n ou P̂ > p0 + zα/2√p0(1−p0)n P̂ > p0 + zα√p0(1−p0)n P̂ < p0 − zα√p0(1−p0)n
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2018 – Gabarito
1. Soluc¸a˜o
1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64
� = 0, 05 = 1, 64×
√
0, 5× 0, 5
n
⇒ √n = 1, 64
0, 05
× 0, 5⇒ √n = 16, 4⇒ n ≥ 269
2. Soluc¸a˜o
� = 0, 05 = 1, 64 ×
√
0, 3× 0, 7
n
⇒ √n = 1, 64
0, 05
× √0, 21 ⇒ n = 32, 82 · 0, 21 = 225, 9264 ⇒
n ≥ 226
3. Soluc¸a˜o
p̂ =
185
250
= 0, 74
� = 1, 64×
√
0, 74× 0, 26
250
= 0, 0455
IC: (0, 74− 0, 0455; 0, 74 + 0, 0455) = (0, 6945; 0, 7855)
Note que a margem de erro tem que ser menor que 0,05, uma vez que 250 > 226
4. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ < 5 H0 : µ = 5
complementar: µ ≥ 5 H1 : µ < 5
5. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: µ ≥ 500 H0 : µ = 500
complementar: µ < 500 H1 : µ < 500
6. Soluc¸a˜o
afirmativa dada: p ≤ 0, 15 H0 : p = 0, 15
complementar: p > 0, 15 H1 : p > 0, 15
7. Soluc¸a˜o : t = −2, 528
8. Soluc¸a˜o : t = 1, 341
9. Soluc¸a˜o : t = 1, 782
10. Soluc¸a˜o
X ∼ N (µ; 10025 ) ou X ∼ N (µ; 22)
α = 0, 025⇒ z0,025 = 1, 96 RC : Z0 = X − 23
2
> 1, 96 ou X > 26, 92
11. Soluc¸a˜o
P = P(X > 28
∣∣H0) = P [X > 28∣∣X ∼ N(23; 22)]
= P
(
Z >
28− 23
2
)
= P(Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
12. Soluc¸a˜o
Como o valor P e´ pequeno (menor que 0,025), e´ pouco prova´vel se obter um valor ta˜o extremo
quanto x = 28 sendo H0 verdadeira. Logo, rejeita-se a hipo´tese nula. Note que o valor
observado de X esta´ na regia˜o cr´ıtica.
13. Soluc¸a˜o
A expectativa do produtor e´ que µ > 300.
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
14. Soluc¸a˜o
A populac¸a˜o de pesos de bebeˆs e´ aproximadamente normal; assim, a estat´ıstica de teste e´
T0 =
X − 300
28,1804√
15
∼ t(14) sob H0.
α = 010⇒ t14;0,10 = 1, 345 e a regia˜o cr´ıtica e´ T0 > 1, 345.
15. O valor observado da estat´ıstica de teste e´
t0 =
√
15
324− 300
28, 1804
= 3, 298 > 1, 345
que esta´ na regia˜o cr´ıtica. Assim, rejeita-se a hipo´tese nula, ou seja, os dados indicam que o
ganho me´dio de peso e´ superior a 300g.
Curso de Administrac¸a˜o 2
Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜op = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira 2a. casa decimale 1a.decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,46780,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Valores cr´ıticos tn;α da t-Studentα = P(Tn > tn;α )
gl Probabilidade α na cauda superiorn 0,150 0,100 0,060 0,050 0,040 0,030 0,025 0,020 0,010 0,005 0,0025 0,002 0,0011 1,963 3,078 5,242 6,314 7,916 10,579 12,706 15,895 31,821 63,657 127,321 159,153 318,3092 1,386 1,886 2,620 2,920 3,320 3,896 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 15,764 22,3273 1,250 1,638 2,156 2,353 2,605 2,951 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 8,053 10,2154 1,190 1,533 1,971 2,132 2,333 2,601 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 5,951 7,1735 1,156 1,476 1,873 2,015 2,191 2,422 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 5,030 5,893
6 1,134 1,440 1,812 1,943 2,104 2,313 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 4,524 5,2087 1,119 1,415 1,770 1,895 2,046 2,241 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 4,207 4,7858 1,108 1,397 1,740 1,860 2,004 2,189 2,306 2,449 2,896 3,355 3,833 3,991 4,5019 1,100 1,383 1,718 1,833 1,973 2,150 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 3,835 4,29710 1,093 1,372 1,700 1,812 1,948 2,120 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 3,716 4,144
11 1,088 1,363 1,686 1,796 1,928 2,096 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 3,624 4,02512 1,083 1,356 1,674 1,782 1,912 2,076 2,179 2,303 2,681 3,055 3,428 3,550 3,93013 1,079 1,350 1,664 1,771 1,899 2,060 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 3,489 3,85214 1,076 1,345 1,656 1,761 1,887 2,046 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 3,438 3,78715 1,074 1,341 1,649 1,753 1,878 2,034 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 3,395 3,733
16 1,071 1,337 1,642 1,746 1,869 2,024 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 3,358 3,68617 1,069 1,333 1,637 1,740 1,862 2,015 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3,326 3,64618 1,067 1,330 1,632 1,734 1,855 2,007 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3,298 3,61019 1,066 1,328 1,628 1,729 1,850 2,000 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3,273 3,57920 1,064 1,325 1,624 1,725 1,844 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3,251 3,552
21 1,063 1,323 1,621 1,721 1,840 1,988 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3,231 3,52722 1,061 1,321 1,618 1,717 1,835 1,983 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3,214 3,50523 1,060 1,319 1,615 1,714 1,832 1,978 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3,198 3,48524 1,059 1,318 1,612 1,711 1,828 1,974 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3,183 3,46725 1,058 1,316 1,610 1,708 1,825 1,970 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3,170 3,450
26 1,058 1,315 1,608 1,706 1,822 1,967 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3,158 3,43527 1,057 1,314 1,606 1,703 1,819 1,963 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3,147 3,42128 1,056 1,313 1,604 1,701 1,817 1,960 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 3,136 3,40829 1,055 1,311 1,602 1,699 1,814 1,957 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 3,127 3,39630 1,055 1,310 1,600 1,697 1,812 1,955 2,042 2,147 2,457 2,750 3,030 3,118 3,385
31 1,054 1,309 1,599 1,696 1,810 1,952 2,040 2,144 2,453 2,744 3,022 3,109 3,37532 1,054 1,309 1,597 1,694 1,808 1,950 2,037 2,141 2,449 2,738 3,015 3,102 3,36533 1,053 1,308 1,596 1,692 1,806 1,948 2,035 2,138 2,445 2,733 3,008 3,094 3,35634 1,052 1,307 1,595 1,691 1,805 1,946 2,032 2,136 2,441 2,728 3,002 3,088 3,34835 1,052 1,306 1,594 1,690 1,803 1,944 2,030 2,133 2,438 2,724 2,996 3,081 3,340
36 1,052 1,306 1,593 1,688 1,802 1,942 2,028 2,131 2,434 2,719 2,990 3,075 3,33337 1,051 1,305 1,592 1,687 1,800 1,940 2,026 2,129 2,431 2,715 2,985 3,070 3,32638 1,051 1,304 1,591 1,686 1,799 1,939 2,024 2,127 2,429 2,712 2,980 3,064 3,31939 1,050 1,304 1,590 1,685 1,798 1,937 2,023 2,125 2,426 2,708 2,976 3,059 3,31340 1,050 1,303 1,589 1,684 1,796 1,936 2,021 2,123 2,423 2,704 2,971 3,055 3,307
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2018Co´digo da disciplina: EAD06078
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, pre-encha pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, aparte nume´rica do co´digo da disciplina (06078) e o nu´mero da folha.• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!• E´ fundamental que voceˆ preencha os campos de identificac¸a˜o antes de resolver as questo˜espara permitir substituic¸a˜o da folha em caso de erro no preenchimento!
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Identifique a prova, informando nome, matricula, poloe data.• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul oupreta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nasFolhas de Respostas.• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o sejade celular ou de qualquer aparelho com conexa˜o a` In-ternet.• Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-cador.
• Fac¸a o desenvolvimento completo das soluc¸o˜es nasFolhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico materialconsiderado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜esfeitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha derascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 5
Seja X ∼ Bin(200; 0, 35). Deseja-se usar a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o decontinuidade para calcular as probabilidades dadas nas questo˜es 2 a 5.
Questa˜o 1 [0,5pt] Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da normal pela binomiale especifique os paraˆmetros da normal aproximadora.
Questa˜o 2 [0,5pt] Calcule P(X > 55)
Questa˜o 3 [0,5pt] Calcule P(52 ≤ X ≤ 88)
Questa˜o 4 [0,5pt] Calcule P(X ≥ 90)
Questa˜o 5 [0,5pt] Calcule P(50 < X < 60)
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 6 a 10
Verifique se as afirmativas dadas nas Questo˜es 6 a 10 sa˜o falsas ou verdadeiras, jus-tificando sua resposta em qualquer caso.
Questa˜o 6 [0,5pt] O valor cr´ıtico zα/2 para construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a de 90% paraa me´dia de uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 16 e´ 1,96.
Questa˜o 7 [0,5pt] Deseja-se construir um intervalo de confianc¸a de 90% para a me´dia de umapopulac¸a˜o normal com variaˆncia 16. O comprimento do intervalo obtido com uma amostra detamanho 25 sera´ menor do que o comprimento do intervalo de confianc¸a obtido com uma amostrade tamanho 16.Questa˜o 8 [0,5pt] Se o valor cr´ıtico zα/2 para construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a para a me´diade uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 16 e´ 1,47, enta˜o o n´ıvel de confianc¸a e´ aproximadamenteigual a 86%.
Questa˜o 9 [0,5pt] Um pesquisador esta´interessado em estimar os gastos com alimentac¸a˜o deestudantes do sexo masculino e do sexo feminino de uma universidade. Para isso, ele pretendeconstruir intervalos de confianc¸a de 95% para os gastos me´dios de homens e de mulheres, cada umcom base em uma amostra de tamanho 200. Se o desvio-padra˜o dos gastos das mulheres e´ menorque o desvio-padra˜o dos gastos dos homens, enta˜o o intervalo de confianc¸a para as mulheres tera´comprimento maior que o intervalo de confianc¸a para os homens.
Questa˜o 10 [0,5pt] Beatriz e Cla´udio sa˜o colegas e fizeram uma pesquisa na universidade paraestimar o tempo me´dio, em minutos, que os alunos gastam na Internet em um dia t´ıpico. Elesentrevistaram 150 estudantes. No relato´rio final, Beatriz apresentou o intervalo de confianc¸a(147, 95 ; 152, 75) e Cla´udio o intervalo (147, 50 ; 152, 20). Podemos afirmar, enta˜o, que Beatrizusou um n´ıvel de confianc¸a menor que Cla´udio.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 13
Maria deseja estimar o tempo me´dio, em minutos, que seus colegas de curso levam nalocomoc¸a˜o entre a faculdade e a resideˆncia. Para isso ela seleciona uma amostra de 9estudantes, obtendo os seguintes tempos:
12 28 15 13 15 45 5 63 20
Suponha que o tempo de locomoc¸a˜o possa ser aproximado por uma distribuic¸a˜o normalcom desvio-padra˜o de 12 minutos.
Questa˜o 11 [0,5pt] Calcule x , o tempo me´dio amostral
Questa˜o 12 [1,0 pt] Construa um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio de locomoc¸a˜o comn´ıvel de confianc¸a de 95%.
Questa˜o 13 [1,0 pt] Construa um intervalo de confianc¸a para o tempo me´dio de locomoc¸a˜o comn´ıvel de confianc¸a de 98%.
Curso de Administrac¸a˜o 2
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 14 a 15
Deseja-se realizar uma pesquisa em uma grande universidade com o objetivo de seestimar a proporc¸a˜o p de alunos que frequentam a biblioteca pelo menos uma vez porsemana.
Questa˜o 14 [1,5 pt] Suponha que na˜o se conhec¸a qualquer estimativa pre´via de p. Qual e´o tamanho amostral necessa´rio para que o limite do erro de estimac¸a˜o seja 0,05, com n´ıvel deconfianc¸a de 95%?
Questa˜o 15 [1,0 pt] Em uma amostra aleato´ria de 400 alunos, 300 informaram frequentar a bibli-oteca pelo menos uma vez por semana. Ache um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜opopulacional de todos os alunos dessa universidade que frequentam a biblioteca pelo menos umavez por semana.
Resultados importantes
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒ X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√p0(1−p0)n ≈ N (0; 1) (amostra grande)X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N(np ; np(1− p))
Curso de Administrac¸a˜o 3
Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜op = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira 2a. casa decimale 1a.decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2018
1. n ≥ 30200× 0.35 = 70 ≥ 5200× (1− 0, 35) = 130 ≥ 5
⇒ X ≈ N (200× 0, 35; 200× 0, 35× 0, 65) = N(70; 45, 5)
2.
P(X > 55) ≈ P(Z ≥ 55, 5− 70√45, 5
) = P (Z ≥ −2, 15) = 0, 5+tab(2, 15) = 0, 5+0, 4842 = 0, 9842
3.
P(52 ≤ X ≤ 88) = P(X ≤ 88)− P(X < 52)
≈ P(Z ≤ 88, 5− 70√45, 5
)− P(Z ≤ 51, 5− 70√45, 5
)
= P(Z ≤ 2, 74)− P(Z ≤ −2, 74) = 2× tab(2, 74) = 2× 0, 4969 = 0, 9938
4.
P(X ≥ 90) ≈ P(Z ≥ 89, 5− 70√45, 5
) = P(Z ≥ 2, 89) = 0, 5−tab(2, 89) = 0, 5−0, 4981 = 0, 0019
5.
P(50 < X < 60) = P(X < 60)− P(X ≤ 50) ≈ P(Z < 59, 5− 70√45, 5
)− P(Z ≤ 50, 5− 70√45, 5
)
= P(Z < −1, 56)− P(Z < −2, 89) = tab(2, 89)− tab(1, 56)= 0, 4981− 0, 4406 = 0, 0575
6. FALSA. O valor cr´ıtico 1,96 corresponde ao n´ıvel de confianc¸a de 95%; para o n´ıvel deconfianc¸a de 90% o valor critico e´ 1,64, ou 1,65, ou ainda 1,645. Veja os gra´ficos a seguir.
(a) 1− α = 0, 90 (b) 1− α = 0, 95
Figura 1 – Questa˜o 6
Curso de Administrac¸a˜o 1
7. VERDADEIRA. Quanto maior o tamanho da amostra, menor o comprimento do intervalo deconfianc¸a, pois a margem de erro e´ inversamente proporcional a √n.
8. VERDADEIRA. tab(1, 47) = 0, 4292 =⇒ 1− α = 2× 0, 4292 = 0, 8584 ≈ 0, 86.
9. FALSA. A margem de erro, e portanto o comprimento do intervalo de confianc¸a, e´ diretamenteproporcional ao desvio-padra˜o populacional. Como σM < σH , o intervalo de confianc¸a paraas mulheres tera´ comprimento menor que o intervalo de confianc¸a para os homens.
10. QUESTA˜O ANULADA! Todos ganharam 0,5 ponto.O motivo para anular e´ que, para podermos afirmar com certeza que o comprimento dointervalo aumenta com o aumento do n´ıvel de confianc¸a, seria necessa´rio que os 2 alunosestivessem trabalhando com a mesma amostra e isso na˜o ocorreu com os dados que passei.Notem que a me´dia amostral para Beatriz e´ xB = 152, 75 + 147, 952 = 150, 35 e para Cla´udioe´ xC = 152, 2 + 147, 52 = 149, 85
11. x = 2169 = 24 minutos
12. 1− α = 0, 95 =⇒ z0,025 = 1, 96 =⇒ ε = 1, 96× 12√9 = 7, 84Intervalo de confianc¸a: [24− 7, 84 ; 24 + 7, 84] = [16, 16 ; 31, 84]
13. 1− α = 0, 98 =⇒ z0,01 = 2, 33=⇒ ε = 2, 33× 12√9 = 9, 32Intervalo de confianc¸a: [24− 9, 32 ; 24 + 9, 32] = [14, 68 min ; 33, 32 min]
14. 1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96ε = 0, 05 = 1, 96×√0, 5× 0, 5n ⇒ √n = 1, 960, 05 × 0, 5⇒ n = 385
15. p̂ = 300400 = 0, 75
ε = 1, 96×√0, 75× 0, 25400 = 0, 042IC: (0, 75− 0, 042; 0, 75 + 0, 042) = (0, 708; 0, 792)Note que a margem de erro tem que ser menor que 0,05, uma vez que 400 > 385
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2019
Co´digo da disciplina: EAD06078
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero
do CPF, a parte nume´rica do co´digo da disciplina (06078) e o nu´mero da folha.
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• E´ fundamental que voceˆ preencha os campos de identificac¸a˜o antes de re-
solver as questo˜es para permitir substituic¸a˜o da folha em caso de erro no
preenchimento!
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Identifique a prova, informando nome, matricula,
polo e data.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta
azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das
questo˜es nas Folhas de Respostas.
• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o
seja de celular ou de qualquer aparelho com co-
nexa˜o a` Internet.
• Devolva esta prova e as Folhas de Respostas ao
aplicador.
• Fac¸a o desenvolvimento completo das soluc¸o˜es
nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material
considerado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es
feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de
rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Res-
postas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o
e a correc¸a˜o.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 4
Lembrando que, na distribuic¸a˜o normal padra˜o, o valor cr´ıtico associado ao n´ıvel
de significaˆncia α e´ o valor que deixa probabilidade (a´rea) α acima dele (P(Z >
zα) = α), encontre os valores cr´ıticos indicados.
Questa˜o 1 [0,5pt] z0,025.
Questa˜o 2 [0,5pt] z0,10.
Questa˜o 3 [0,5pt] z0,80.
Questa˜o 4 [0,5pt] z0,01.
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 5 a 6
Determine as hipo´teses nula e alternativa para as seguintes afirmativas. Certifique-
se de utilizar o paraˆmetro apropriado (µ, p ou σ2).
Questa˜o 5 [0,5pt] A proporc¸a˜o de consumidores muito satisfeitos tem que ser maior que 10%.
Questa˜o 6 [0,5pt] A variaˆncia tem que ser, no ma´ximo, 25.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 7 a 8
Para cada valor P e n´ıvel de significaˆncia α, determine se a hipo´tese nula deve ser
rejeitada, ou na˜o. Justifique sua resposta.
Questa˜o 7 [0,5pt] P = 0, 083 α = 0, 10
Questa˜o 8 [0,5pt] P = 0, 037 α = 0, 01
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 9 a 10
Alunos do curso de Turismo da UFF esta˜o interessados em saber a proporc¸a˜o de
alunos da UFF que usam sites de viagem para planejarem suas viagens. Voceˆ vai
ajuda´-los nesse processo de estimac¸a˜o.
Questa˜o 9 [1,0pt] Calcule o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar a verdadeira
proporc¸a˜o de alunos que usam sites de viagem com margem de erro 0,08 e n´ıvel de confianc¸a
de 95%.
Questa˜o 10 [1,0pt] Uma amostra de 200 alunos da UFF revelou que 146 deles utilizam sites
de viagem. Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para a verdadeira proporc¸a˜o de alunos
da UFF que utilizam sites de viagem para planejarem suas viagens.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 13
Alunos do curso de Nutric¸a˜o da UFF esta˜o interessados em saber o gasto me´dio
semanal dos alunos da UFF com refeic¸o˜es no McDonald’s. Uma amostra de 81
alunos revelou uma me´dia de 45,50 reais e desvio padra˜o de 5,2 reais.
Questa˜o 11 [1,0pt] Construa um intervalo de confianc¸a de 92% para o gasto me´dio semanal
dos alunos da UFF com refeic¸o˜es no McDonald’s.
Questa˜o 12 [0,5pt] Voceˆ diria que os alunos da UFF gastam menos de 40 reais semanalmente
com alimentac¸a˜o no McDonald’s? Justifique sua resposta.
Questa˜o 13 0,5pt] Especifique os resultados que voceˆ utilizou para resolver o problema.
Curso de Administrac¸a˜o 2
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 14 a 15
De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 9, extrai-se uma amostra de tamanho 9,
que revela uma me´dia amostral de 2,66, com o objetivo de se testar
H0 : µ = 5
H1 : µ < 5
Questa˜o 14 [1,0pt] Ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, qual e´ a conclusa˜o?
Questa˜o 15 [1,0pt] Calcule o valor P.
Resultados importantes e fo´rmulas
Distribuic¸o˜es Amostrais
(i)X ∼ N (µ;σ2) =⇒ X − µσ√
n
∼ N(0; 1) (ii) X − µ
S√
n
≈ N(0; 1)
X ∼ Bern(p) =⇒ P̂ − p√
p0(1−p0)
n
≈ N (0; 1) (amostra grande)
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√n ou X > µ0 + zα/2 σ√n X > µ0 + zα σ√n X < µ0 − zα σ√n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
Curso de Administrac¸a˜o 3
Tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜op = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira 2a. casa decimale 1a.decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998