CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO 
NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IVAN CASTILHO 
 GISLEY NOEMI BARÇALOBRE MANOEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taubaté 
Universidade de Taubaté 
2014 
 
 
 
Copyright©2014.Universidade de Taubaté. 
Todos os direitos dessa edição reservados à Universidade de Taubaté. Nenhuma parte desta publicação pode ser 
reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade. 
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Coordenação Geral EaD Profa.Dra.Patrícia Ortiz Monteiro 
Coordenação Acadêmica Profa.Ma.Rosana Giovanni Pires 
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Coord. de Cursos de Tecnol. Área de Gestão e Negócios 
Coord. de Cursos de Tecnol. Área de Recursos Naturais 
Revisão ortográfica-textual 
Projeto Gráfico 
Diagramação 
Autor 
 Profa. Dra. Ana Maria dos Reis Taino 
Profa. Ma. Márcia Regina de Oliveira 
Profa. Ma. Ana Paula da Silva Dib 
Profa. Ma. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira 
Me.Benedito Fulvio Manfredini 
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Ivan Castilho 
Gisley Noemi Barçalobre Manoel 
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Ficha catalográfica elaborada pelo SIBi 
Sistema Integrado de Bibliotecas/UNITAU 
C352c Castilho, Ivan e Barçalobre Manoel,Gisley Noemi 
 Cálculo Numérico / Ivan Castilho e Gisley Noemi Barçalobre Manoel. 
Taubaté: UNITAU, 2013. 
 114p. : il. 
 
 ISBN: 978-85-661218-15-4 
 Bibliografia 
 
 1. Cálculo Numérico. I. Universidade de Taubaté. II. Título. 
 
 
v 
 
PALAVRA DO REITOR 
Palavra do Reitor 
 
 
Toda forma de estudo, para que possa dar certo, 
carece de relações saudáveis, tanto de ordem 
afetiva quanto produtiva. Também, de 
estímulos e valorização. Por essa razão, 
devemos tirar o máximo proveito das práticas 
educativas, visto se apresentarem como 
máxima referência frente às mais diversificadas 
atividades humanas. Afinal, a obtenção de 
conhecimentos é o nosso diferencial de 
conquista frente a universo tão competitivo. 
 
Pensando nisso, idealizamos o presente livro-
texto, que aborda conteúdo significativo e 
coerente à sua formação acadêmica e ao seu 
desenvolvimento social. Cuidadosamente 
redigido e ilustrado, sob a supervisão de 
doutores e mestres, o resultado aqui 
apresentado visa, essencialmente, a orientações 
de ordem prático-formativa. 
 
Cientes de que pretendemos construir 
conhecimentos que se intercalem na tríade 
Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de 
forma responsável, porque planejados com 
seriedade e pautados no respeito, temos a 
certeza de que o presente estudo lhe será de 
grande valia. 
 
Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa 
leitura. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
Prof. Dr. José Rui Camargo 
Reitor 
 
 
vi 
 
 
vii 
 
Apresentação 
 
Este livro-texto, denominado Cálculo Numérico, tem como objetivo apresentar as ideias 
centrais a respeito desse importante conteúdo, em uma linguagem acessível aos nossos 
alunos da graduação. 
Cada Unidade foi desenvolvida a partir de conhecimento teórico e traz exemplos com 
grau crescente de dificuldade. As resoluções dos exemplos são acompanhadas de 
comentários do desenvolvimento e de alguns alertas, que auxiliam o aluno em seus 
estudos e facilitam-lhe a compreensão e a aplicação quando da resolução de outros 
problemas dentro de sua área de conhecimento. 
Desejamos a todos bons estudos e boa sorte! 
 
 
 
 
 
viii 
 
 
ix 
 
Sobre o autor 
 
Ivan Castilho tem Licenciatura em Matemática. É professor da Universidade de Taubaté, 
desde 2001, nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, Matemática Financeira e 
Estatística, no campus de Ubatuba. Também é professor da Secretaria de Educação do 
Estado de São Paulo, desde 1993 no Ensino Fundamental e Médio, atuando desde 2007 
como PCNP (professor coordenador do núcleo pedagógico), na Diretoria de Ensino na 
Região de Caraguatatuba. 
 
 
 
Gisley Noemi Barçalobre Manoel tem Licenciatura em Matemática pela Universidade 
Brás Cubas. É professora da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, desde 1992, 
no Ensino Fundamental e Médio e Professor Coordenador do Núcleo Pedagógico na 
Diretoria de Ensino da Região de Caraguatatuba. 
 
x 
 
 
xi 
 
Caros(as) alunos(as), 
 (as) 
O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se 
como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais 
diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta com 
profissionais capacitados e se apoia em base sólida, que advém da grande experiência 
adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação, ao longo de 
mais de 35 anos de História e Tradição. 
Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial. 
Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, livros-texto e Web 
interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação a 
distância, apoiados por livros-texto produzidos por uma equipe de profissionais preparada 
especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais. 
A estrutura interna dos livros-texto é formada por unidades que desenvolvem os temas e 
subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como 
subsídio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e 
atividades aplicadas, cada livro-texto apresenta sínteses das unidades, dicas de leituras e 
indicaçãode filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo 
estudado. 
Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para 
a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de 
blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados 
ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem. 
Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua 
disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais 
atores desta formação. 
Para todos, os nossos desejos de sucesso! 
Equipe EAD-UNITAU 
 
xii 
 
 
xiii 
 
Sumário 
 
 
Palavra do Reitor .............................................................................................................. v 
Apresentação .................................................................................................................. vii 
Sobre o autor .................................................................................................................... ix 
(as) ................................................................................................................................... xi 
Ementa .............................................................................................................................. 1 
Objetivos ........................................................................................................................... 3 
Introdução ......................................................................................................................... 4 
Unidade1.Noções Básicas Sobre Erros ......................................................................... 6 
1.1 Introdução ................................................................................................................... 6 
1.2. Erros Inerentes aos dados .......................................................................................... 6 
1.3 Erros de truncatura...................................................................................................... 7 
1.4. Erro Absoluto ............................................................................................................ 7 
1.5. Erro Relativo ou Taxa de Erro ................................................................................... 8 
1.6. Erro de Arredondamento ........................................................................................... 8 
1.7. Síntese da Unidade .................................................................................................... 9 
1.8. Atividades .................................................................................................................. 9 
Unidade 2 Representação Numérica ........................................................................... 10 
2.1 Outros sistemas de Numeração ................................................................................ 11 
2.2 Codificação binária decimal ..................................................................................... 11 
2.3 Conversão de bases ................................................................................................... 12 
 
xiv 
 
2.4 Conversão de base decimal para a β ......................................................................... 12 
2.5 Conversão de base decimal de número fracionário para a β .................................... 12 
2.6 Conversão de base β para a base  ........................................................................... 13 
2.7 Conversão por Reagrupamento ................................................................................ 13 
2.8 Síntese da Unidade ................................................................................................... 14 
2.9 Atividades ................................................................................................................. 14 
Unidade 3 .Zeros reais de funções reais ...................................................................... 16 
3.1 Processos Iterativos .................................................................................................. 17 
3.2 Isolamento das Raízes .............................................................................................. 17 
3. 3 Síntese da Unidade .................................................................................................. 20 
3. 4 Síntese da Unidade .................................................................................................. 20 
Unidade 4 Método da Bissecção .................................................................................. 22 
4.1 Algoritmo do Método da Bissecção ........................................................................ 24 
4.2 Método do Ponto Fixo (ou Método da Iteração Linear ou Método das 
Aproximações Sucessivas) ............................................................................................. 25 
4.3 Método de Newton (Método das Tangentes) ........................................................... 26 
4.4 Interpolação Geométrica do Método de Newton ...................................................... 27 
4.5 Convergência do Método de Newton ....................................................................... 27 
4.6 Algoritmo do Método de Newton ............................................................................. 28 
4.7 Síntese da Unidade ................................................................................................... 28 
4.8 Atividades ................................................................................................................. 28 
Unidade 5 .Resolução de Sistemas de Equações Lineares ........................................ 30 
5.1 Forma Algébrica de Sn .............................................................................................. 30 
5.2 Forma Matricial de Sn ............................................................................................... 30 
5.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema ................................................ 31 
 
xv 
 
5.4 Classificação quanto ao Determinante de A ............................................................. 31 
5.5 Métodos Diretos ....................................................................................................... 31 
5.6 Método de Eliminação de Gauss .............................................................................. 32 
5.7 Algoritmo de Eliminação de Gauss .......................................................................... 32 
5.8 Sistema de Equação Linear....................................................................................... 33 
5.9 Métodos Numéricos .................................................................................................. 34 
5.10 Fatoração LU ou decomposição LU ....................................................................... 34 
5.11 Diferentes Decomposições LU ............................................................................... 36 
5.12 Síntese da Unidade ................................................................................................. 37 
5.13 Atividades ............................................................................................................... 37 
Unidade 6 Métodos Iterativos ..................................................................................... 40 
6.1 Métodos de Gauss-Jacobi ......................................................................................... 40 
6. 2 Método de Gauss-Seidel .......................................................................................... 41 
6.3 Sínteseda Unidade ................................................................................................... 42 
6.4 Atividades ................................................................................................................. 42 
Unidade 7 Integração numérica 
7.1 Ordem de Aproximação............................................................................................ 45 
7.2 Erro de Aproximação................................................................................................ 46 
7.3 Métodos Compostos ................................................................................................. 47 
7.4 Síntese da Unidade ................................................................................................... 48 
7.5 Atividades ................................................................................................................. 48 
Unidade 8 .Regra dos Trapézios .................................................................................. 50 
8.1.Síntese da Unidade ................................................................................................... 52 
8.2 Atividades ................................................................................................................. 52 
Unidade 9 Regra de Simpson ....................................................................................... 54 
 
xvi 
 
9.1 Síntese da Unidade ................................................................................................... 55 
9.2 Síntese da Unidade .................................................................................................. 56 
Unidade 10 .Interpolação ............................................................................................. 58 
10.1 Interpolação Linear ................................................................................................. 58 
10.2 Interpolação Polinomial .......................................................................................... 59 
10.3 Métodos de Interpolação Polinomial ...................................................................... 60 
10.4 Extrapolação .......................................................................................................... 62 
10.5 Extrapolação de Richardson .................................................................................. 63 
10.6 Síntese da Unidade ................................................................................................. 64 
10.7 Atividades .............................................................................................................. 65 
Referências ..................................................................................................................... 91 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Cálculo Numérico 
 
 
 
 
Ementa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORGANIZE-SE!!! 
Você deverá usar de 
3a 4 horas para 
realizar cada 
Unidade. 
EMENTA 
 
 
 
Noções básicas sobre erros. 
Representação numérica. 
Zeros reais de funções reais. 
Métodos de bissecção, falsa posição, do ponto fixo, de Newton. 
Resolução de sistemas de equações lineares, métodos da eliminação 
de Gauss, fatoração LU. 
Métodos iterativos. 
Integração numérica. 
Regra dos trapézios. 
Regra de Simpson. 
Interpolação e extrapolação. 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
3 
 
Objetivo Geral 
 
Proporcionar aos alunos a oportunidade de apropriar-se de princípios do cálculo 
numérico como ferramenta para resolver modelos matemáticos do mundo real. 
Oferecer ao aluno informações básicas sobre processos numéricos na resolução 
de problemas. 
 
 
Obj eti vos 
 
Objetivos Específicos 
• Conhecer os princípios usados em Cálculo Numérico. 
• Encontrar raízes de equações algébricas e transcendentes. 
• Resolver sistemas de equações lineares. 
• Fazer ajustes de curvas (usando a técnica dos mínimos quadrados). 
• Fazer interpolação. 
• Realizar integração numérica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
 
Neste livro-texto são apresentadas dez Unidades relacionadas ao Cálculo Numérico, 
utilizando-se de uma linguagem matemática acessível a alunos de graduação. Cada 
Unidade apresenta um desenvolvimento teórico seguido de exemplos com grau crescente 
de dificuldade. As resoluções dos exemplos são acompanhadas de comentários do 
desenvolvimento e de alguns alertas, que auxiliam o aluno em seus estudos. 
Na primeira Unidade, temos noções básicas de erros, como o absoluto, o relativo, o de 
arredondamento e truncamento e as respectivas propriedades matemáticas. 
Na segunda Unidade, retomamos o conceito de representação numérica com outros 
sistemas de numeração como o ponto flutuante e as conversões de base ß para decimal e 
vice-versa. 
A terceira Unidade traz uma introdução aos zeros reais de funções reais, com isolamento 
de raízes. 
A quarta Unidade apresenta o Método da Bissecção, do ponto fixo, do Método de Newton 
e a Interpolação Geométrica do Método de Newton, e convergência e algoritmo do 
método de Newton. 
Na quinta Unidade tem-se a Resolução de Sistemas de Equações Lineares pela forma 
algébrica e matricial, métodos diretos, de Eliminação de Gauss, por algoritmo de Gauss, 
Fatoração LU e diferentes decomposições LU. 
Na sexta Unidade temos a introdução aos Métodos Iterativos como de Gauss-Jacobi e 
Gauss-Seidel. 
A sétima Unidade retrata a Interação numérica com Ordem de Aproximação e Erro de 
Aproximação e suas aplicações. 
A oitava Unidade, Trapézios, demonstra que aproximar o valor da função contínua de 
f(x) no intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem, isto, geometricamente, é 
equivalente a aproximar uma curva qualquer por uma reta. 
 
 
5 
 
Na nona Unidade, a Regra de Simpson descreve a aproximação da função contínua f(x) 
no intervalo [a,b] por uma função de segunda ordem, ou seja, na aproximação de uma 
curva por uma parábola. 
E, na décima Unidade, apresentamos a interpolação, interpolação linear, interpolação 
polinomial, que tratam sobre os métodos que permitem construir um novo conjunto de 
dados e a extrapolação de Richardson, que é um método utilizado para a melhoria do 
resultado obtido na aplicação das fórmulas de integração e baseia-se na aplicação repetida 
de tais fórmulas. 
 
 
 
 
6 
 
 Unidade 1 
Unidade1 .Noções Básicas Sobre Erros 
 
 
1.1 Introdução 
 
 
Uma grandeza medida deve representar um determinado valor, mas junto com esse valor 
medido (lembrando que medir é um ato de comparar numericamente), ocorre uma 
margem de erro. Para termos uma precisão da grandeza medida devemos calcular, através 
de um método numérico (que normalmente apresenta soluções aproximadas), um 
determinado valor e ainda um limite de erro. 
 
A modelagem matemática, que é a exemplificação mais utilizada para a resolução de 
problemas, serve para descrever o fenômeno estudado gerando um modelo matemático 
onde a resolução é a solução, através do uso de métodos numéricos. 
 
 
Mas a modelagem matemática, por ser idealizada para poder representar os fenômenos 
da natureza, tem que aceitar certas condições para ser tratável; por isso não é uma 
representação exata e, consequentemente, terá erros. 
 
 
1.2. Erros Inerentes aos dados 
 
 
 
Figura 1.1: Modelagem e resolução de problemas 
Fonte: Apostila de cálculo numérico – noções básicas sobre erros –UTFPr 
Acesso em 07 mar. 2013. 
 
 
 
7 
 
Dadose parâmetros, que são medidos experimentalmente, de um modelo matemático, 
alem das equações e relações, também contêm aproximações que podem interferir no 
resultado final. 
 
1.3 Erros de truncatura 
 
Uma equação que somente pode ser construída num processo infinito tem que ser 
truncada após certo número finito de operações resultando num certo tipo de erro 
chamado erro de truncatura. Truncar um número da casa di é desconsiderar as casas di+j 
(j= 1,....., ) 
 
 
Utilizamos a equação anterior para uma série de Taylor, onde truncar é a diferença entre 
o valor adotado S (x) e a soma dos N primeiros termos da série. 
 
1.4. Erro Absoluto 
 
Para um número com um valor adotado e um valor experimental, a diferença entre 
o valor adotado e o valor experimental é o erro de X. O módulo deste valor chama-se erro 
absoluto de X. 
Então, sintetizando, o erro absoluto ou desvio absoluto ( A) de uma medida é calculado 
como sendo a diferença entre valor experimental ou medido e o valor adotado que no caso 
é o valor médio: 
 A = | valor adotado - valor experimental | 
 EAx = ׀ X - ׀ ,onde X é o valor adotado e é o valor experimental. 
O módulo do erro absoluto é uma estimativa quando não se conhece o valor adotado. 
Assim, temos que determinar um majorante de . 
 
 
 
8 
 
׀Eax׀ ≤ K1 
 
1.5. Erro Relativo ou Taxa de Erro 
Erro relativo de é o quociente entre o erro absoluto"e o módulo do valor exato 
 
Se muito menor que então, 
 
Também pode ser escrito como módulo do quociente entre o erro absoluto EAx e o valor 
exato x ou o valor aproximado x, se x ou x ≠ 0. 
 
 
 
1.6. Erro de Arredondamento 
 
Quando efetuamos cálculos utilizamos uma aritmética de precisão finita, por isso 
desprezamos alguns dígitos, principalmente quando os números são muito extensos, para 
facilitar o cálculo e, com isso, cometemos o erro de arredondamento que é definido como 
a diferença da quantidade de dígitos aproximados de um número e o seu valor exato. Os 
erros de arredondamento dependem da base em que são escritos os números e da 
quantidade máxima de dígitos. Então, arredondar é desconsiderar um número na casa di 
de tal forma que: 
di seja a última casa se di+1<5; 
di+1 seja a última casa se di+1≥ 5. 
 
 
 
9 
 
Simplificando, devemos somar 1 ao dígito anterior, caso seja maior ou igual a 5, ou 
manter o valor, caso seja menor que 5. 
Ex. : 1/7 = 0,1428571429 que por aproximação é 0,142857, cujo erro é 1,429 -7 então 
podemos arredondar para 0,1428571429 ≈ 0,14286 
 
1.7. Síntese da Unidade 
 
Ao copiar a natureza usamos modelos matemáticos, nisso cometemos erros de medição. 
Esses erros podem ser calculados por meio de fórmulas como a de erro absoluto, que é a 
diferença entre o valor exato e o aproximado. O erro relativo é o módulo do quociente 
entre o erro absoluto e o valor exato x ou o valor aproximado x, se x ou x ≠ 0. Arredondar 
um número na casa di é desconsiderar as casas di+ j, erro que surge do truncamento de 
expressões matemáticas em um número finito de passos. 
 
1.8. Atividades 
 
1. Quais os erros máximo absoluto e relativo, quando se toma para valor de  = 3.14? 
2. Para o valor da pesagem P = 120.8 ± 0.001, calcular o valor do erro máximo relativo. 
3. Qual o erro máximo absoluto e relativo, ao considerar 1/3 = 0.333? 
4. A precisão relativa de um número aproximado x = 24253, é 1%; quantos algarismos 
exatos possui? 
5. Calcular o produto dos números aproximados x1 = 93.87 e x2 = 9.236, se os algarismos 
escritos forem exatos. 
 
 
 
10 
 
 Unidade 2 
Representação Numérica 
 
É um método usado para se obter a solução de problemas matemáticos de forma 
aproximada em uma base numérica. 
O sistema decimal é um sistema de numeração de posição cuja base é composta de dez 
unidades, de uma ordem qualquer, e que a composição forma uma de ordem 
imediatamente superior. 
• Na representação de números inteiros temos a de base dez, a mais conhecida e 
a de base dois, ou binária, mais utilizada na linguagem da computação, por 
exemplo: 
• Base decimal (10) – 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9] 
A posição do dígito indica a potência positiva de 10 
Ex.6784 = 6x103 + 7x102 + 8x101 + 4x100 
• Base binária (2) -2 “bits” disponíveis [0,1] 
A posição do dígito indica a potência positiva de 2 
Ex.1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 8+0+2+1 = 11 na 
base decimal, ou, 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 1 + 2(1+2(0+2(1))) = 
11 
• As representações de números fracionários em outros sistemas decimais seguem 
a seguinte ordem de resolução: 
 Para base decimal (10) 
 
 
11 
 
A parte inteira indica potência positiva de 10 e a parte fracionária a potência negativa de 
10 
 Ex. 44,22 = 4x101 + 4x100 + 2x10-1 + 2x10-2 
 Para base binária (2) 
A parte inteira indica potência positiva de 2 e a parte fracionária a potência negativa de 2 
 Ex.12,11 na base 2 = 1x21 + 2x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 2+2+1/2+1/4 = 4,75 na 
base decimal 
2.1 Outros sistemas de Numeração 
 
Para códigos binários muito grandes podemos utilizar outros códigos que irão facilitar a 
operação como a base 8 (octal) {0,1,2, ... , 7}, e a base 16 (hexadecimal) {0,1,2, ... , 9, 
A,B,C,D,E,F}, ambas derivadas da base 2 . 
 
2.2 Codificação binária decimal 
A BCD (Binary-coded decimal), ou codificação binária decimal, é um sistema de 
numeração muito utilizado na computação internamente; um número é representado 
através de uma sequência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1. 
Um número x é representado na base b por: 
 
 
Onde: di são números inteiros contidos no intervalo 0≤di<b; i =1, 2,..., t ;· exp representa 
o expoente de b e assume valores entre I ≤ exp ≤S e · I ,S são o limite inferior e o limite 
superior, para a variação do expoente. 
 
 
 
12 
 
2.3 Conversão de bases 
 
A conversão entre bases pode ser realizada por meio de divisões sucessivas; para os casos 
em que a base de origem e de destino pertencem à mesma base logarítmica, a conversão 
pode ser feita por reagrupamento dos algarismos. 
 
2.4 Conversão de base decimal para a β 
 
Para poder usar este método, uma das bases tem que ser a decimal; se nenhuma delas for 
decimal é necessário primeiro converter a base de origem para decimal e então converter 
para a base desejada. 
Por exemplo, na conversão do número 745 para a base 4, uma série de divisões inteiras 
é realizada até que o valor chegue a zero; o divisor usado é o valor da base de destino e 
os restos das divisões inteiras é a sequência de algarismos da base de destino. Como a 
base de origem é decimal, podemos usar o método diretamente: 
745/4 = 186 resto 1 
186/4 = 46 resto 2 
46/4 = 11 resto2 
11/4 = 2 resto 3 
2/4 = 0 resto 2 
Portanto 745 na base 10 = 23221 na base 4 
2.5 Conversão de base decimal de número fracionário para a β 
Primeiro trabalhamos com a parte inteira. Aplica-se um processo para a parte inteira e 
outro para a parte fracionária. 
 a) PARTE INTEIRA ( N ): 
 
 
 
13 
 
N≥ß 
 
 
 
 
 
b) Para a mudança de base da parte fracionária, multiplica-se pelo valor da base que se 
deseja chegar, toma-se o resultado do produto e procede-se como para a parte inteira. 
2.6 Conversão de base β para a base  
 
Para converter um número da base β para a base , devemos primeiramente 
converter da base ß para a base 10 e, com o valor ja convertido, aplicar as divisões 
sucessivas até chegar a zero. 
Exemplo para a base 7: 
4C18 = 4. 18
 1 + 12 . 18 0 = 72 + 12 = 84 10, chegando a 4C18 = 8410 = 1507 
 
Mais um exemplo: converter 6528 para a base 3: 
6528 = 6 .8
2 + 5 . 81 + 2 . 80 = 42610,chegando a 6528 = 42610 = 1202103 
 
2.7 Conversão por Reagrupamento 
 
Para conversão de bases com a mesma base logarítmica fica mais fácil fazer a conversão 
por simples reagrupamentos dos algarismos e uso de tabelas de conversão. 
 Por exemplo, entre as bases 16 e 8 ou entre 2 e 16 ou ainda entre as bases 27 e 9. 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 Síntese da Unidade 
 
A representação numérica é um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter 
a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam 
principalmente a problemas; tem-se a representação posicional de base decimal (10), 
representação de inteiros de base (2), representação de números fracionários e outros 
sistemas de numeração, e as maneiras de conversão de decimal para binário e vice-versa. 
 
2.9 Atividades 
1. Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de 
cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena 
tem um formato humanoide, quantos dedos deverá ter nas duas mãos? 
2. Um sistema de numeração ternário tem três trits, que podem ter valor 0, 1 ou 2. Quantos 
trits são necessários para representar um número de seis bits ? 
 
 
15 
 
3. Converter (0,625)10 para binário. 
4. Faça a conversão binária para a octal de 101011012 . 
5. Faça a conversão de binário para hexadecimal de 101011012 
 
 
 
 
16 
 
 Unidade 3 
Unidade 2 .Zeros reais de funções reais 
 
Dizemos que  é raiz ou zero de f para uma dada uma função f(x), se e somente f()=0. 
Graficamente, os zeros de uma função f(x) correspondem aos valores de x em que a função 
intercepta o eixo horizontal do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Gráfico da função f(x) 
Fonte: Wikipédia 
Acesso em 07mar. 2013 
 
 
Porém, nem sempre é possível se encontrar analiticamente a raiz de uma função. Por 
exemplo, quando temos uma equação polinomial de grau mais alto fica quase impossível 
localizar suas raízes; neste caso precisamos de um método numérico para encontrar um 
valor aproximado para a raiz da função estudada. Isto pode ser feito através da 
determinação de um intervalo em x que contenha pelo menos uma raiz da função f(x), ou 
seja, isolamento das raízes; ou pelo cálculo da raiz aproximada através de um processo 
iterativo até a precisão desejada. 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
3.1 Processos Iterativos 
 
Esses processos se caracterizam pela repetição de um determinado cálculo várias vezes. 
A ideia nesse tipo de processo é repetir, obtendo-se a cada iteração um resultado mais 
preciso que aquele obtido na iteração anterior, que serve de parâmetro de entrada para o 
cálculo seguinte. 
Aspectos comuns ao processo iterativo: 
 Estimativa inicial: a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma 
estimativa inicial do resultado do problema; 
Convergência: o resultado mais próximo daquele esperado; 
Critério de Parada: o critério adotado para parar vai depender do problema a ser 
resolvido e da precisão que necessitamos obter na solução. 
Mas, para encontrarmos os zeros de uma função iremos utilizar a operação chamada de 
isolamento de raízes. 
 
3.2 Isolamento das Raízes 
Seja uma função f (x) contínua num intervalo I=[a,b]. 
Se f (a) . f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz de f (x) neste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Figura 3.1: Gráfico da função f(x) no intervalo [a,b] 
Fonte: Wikipédia 
Acesso em 07mar. 2013 
 
Outro recurso é a partir da equação f(x )=0, obter a equação equivalente g ( x )=h ( x ) e 
esboçar os gráficos destas funções para obter os pontos em que elas se intersectam. 
Exemplo 1: 
Dada a função f (x) = 4cos(x) – e2x. Podemos reescrevê-la como 4cos(x) = e2x. Temos: 
g(x) = 4cos(x) e 
h(x) = e2x 
Graficamente 
 
Figura 3.2: Gráfico da função equivalente g (x) = h (x) 
Fonte: Wikipédia 
Acesso em 07mar. 2013 
As raízes: 
ξ1 está no intervalo I1 = [0, π] 
ξ2 está no intervalo I2 = [-π,0] , para k=0 
ξ3 está no intervalo I3 = [-2π, - π] , para k=1 
 
 
19 
 
ξ4 está no intervalo I4 = [-3 π , -2 π] , para k=2 
Logo: 
Raízes: [0, π] ∪ [-(k+1) π, 0 – k π] , k ∈ Z+ 
Exemplo 2: 
Dada a função f (x) = x3 – 9x +3, obtemos a função equivalente g (x) = h (x): 
g(x) = x3 
h(x) = 9x – 3 
Graficamente 
 
Figura 3.3: Gráfico da função equivalente g (x) = h (x) 
 
 
 
20 
 
Fonte: Wikipédia 
Acesso em 07mar. 2013 
As raízes: 
ξ1 está no intervalo I1 = [-2, -1] 
ξ2 está no intervalo I2 = [0, 1] 
ξ3 está no intervalo I3 = [1, 2] 
Encontramos os intervalos onde contém pelo menos uma raiz. 
 
3. 3 Síntese da Unidade 
 
Nesta Unidade, foram apresentados alguns processos iterativos para calcular de forma 
aproximada os zeros reais de uma função real f dada, como o isolamento de raízes. 
 
3. 4 Síntese da Unidade 
1. Seja f (x) = x2 – 6. Utilizando o método Newton, obtenha uma aproximação da 
raiz positiva de f (x). Determine k3. 
2. Encontre a raiz quadrada de 7 pelo método de Newton. 
3. Encontre um valor aproximado para x com precisão de 10-8, para a equação da 
população: 
 
4. A soma de dois números é 20. Se a cada número é adicionado de sua raiz quadrada, o 
produto das duas somas é 155,55. Determine os dois números com precisão de 10-4. 
 
 
21 
 
5. O montante acumulado de uma conta de poupança baseada em depósitos regulares 
periódicos pode ser determinado a partir da equação de anuidades devidas: 
 
Nesta equação, A é o montante da conta, P é o valor regularmente depositado e i é a taxa 
de juros por período para os n períodos em que os depósitos foram efetuados. Um 
engenheiro gostaria de ter em sua conta um total de R$750.000,00 para efetuar retiradas 
após 20 anos e poder dispor de R$1.500,00 por mês para atingir essa meta. Qual a taxa 
de juros mínima a que esse valor deve ser investido, assumindo que o período de 
capitalização é mensal? 
 
 
 
22 
 
 Unidade 4 
Método da Bissecção 
(ou Método da Dicotomia) 
 
O método da dicotomia ou bissecção é uma forma de se obter a raiz de uma função. 
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b], e  uma raiz de f(x) isolada neste 
intervalo. 
O processo consiste em dividir o intervalo que contém o zero ao meio e, aplicando aos 
subintervalos resultantes, determinamos qual deles contém o zero. 
 
 
 
 
 
 
Se a função f(x) mudar de sinal entre a e a + b/2, a raiz estará na primeira metade do 
intervalo [a, b]; ou se ocorrer a mudança de sinal entre a + b/2 e b, a raiz estará na segunda 
metade. Repetimos o processo para aquela metade que contém a raiz de f(x) dividindo o 
intervalo ao meio e verificando em qual metade está a raiz. 
A estimativa da raiz  em cada etapa será o ponto médio do intervalo em estudo. O erro 
na estimativa será dado pela metade do comprimento do intervalo em estudo. 
 
Exemplo: Determine uma estimativa para a raiz de: f(x)= ex + x com um erro menor ou 
igual a 0,050. 
Os gráficos de ex e de -x são: 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1: Grafico do Método da bissecção 
Fonte: wikipedia 
Acesso em 07mar. 2013 
 
Podemos concluir através da interseção, que a raiz de f(x) Є [-1,0].Utilizando o método da dicotomia, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
Portanto, a raiz da função: f(x)= ex + x é igual a - 0,594 ± 0,032 
Quando o erro cometido for inferior a um parâmetro, a determinação da quantidade n de 
iterações que satisfaz a inequação se resolve da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
4.1 Algoritmo do Método da Bissecção 
 Início: a0 = a, b0 = b e x0 = b 
 Para k=0,1,... fazer: 
 
 Se então Raiz = xk+1→ pare 
 Se f(ak)*f(xk+1)<0 então fazer ak+1=ak e bk+1=xk+1 
 Se f(bk)*f(xk+1)<0 então fazer ak+1=xk+1 e bk+1=bk 
 
 
25 
 
4.2 Método do Ponto Fixo (ou Método da Iteração Linear ou 
Método das Aproximações Sucessivas) 
O método do Ponto Fixo consiste em transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente 
x = ⱷ (x), onde ⱷ (x) é uma função de iteração. 
A partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xk} de aproximações 
sucessivas através do processo iterativo dado por: 
xi = ⱷ (xi-1),i = 1,2,..... 
Graficamente, uma raiz da equação x = ⱷ (x) é a abcissa do ponto de intersecção da reta 
y =x e da curva y = ⱷ(x) 
 
Figura 4.2: Um exemplo de uma função de ponto fixo 
Fonte: Apostila de cálculo numérico – noções básicas sobre erros –UTFPr 
Acesso em 07 mar.2013 
 
 
 
 
 
26 
 
4.3 Método de Newton (Método das Tangentes) 
 
Figura 4.3: Método de Newton 
Fonte: wikipedia 
Acesso em 07mar. 2013 
 
 
O método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem por objetivo estimar as 
raízes de uma função. Toma-se um ponto qualquer do domínio da função; calcula-se a 
equação da tangente da função e nesse ponto calcula-se o interceptor da tangente ao eixo 
das abcissas para encontrar novo ponto de domínio da função e repete-se o processo. Em 
notação matemática: 
, 
 
onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e é a derivada 
da função f em xn. 
Para facilitar a iteração, um intervalo deve ser delimitado, para que o valor estimado 
seja mais adequado e, consequentemente, para que tenhamos uma convergência 
de (xn) mais propícia. O intervalo delimitado deve conter a raiz de f; a função f deve 
ser diferenciável em todo o intervalo; a primeira derivada no intervalo não deve trocar 
de sinal e a segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal. 
 
 
27 
 
Este é o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes 
(ou zeros) de uma determinada função real. 
 
4.4 Interpolação Geométrica do Método de Newton 
 
Quando fazemos a intersecção da reta tangente ao gráfico da função f (x) no ponto (xn,f 
(xn)) obtemos o ponto xn+1 e a intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas 
fornece a nova aproximação xn+1 . 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 Convergência do Método de Newton 
 
Se f (a)× f (b)< 0; f '( x) ≠ 0, ˅ xÎЄ[a, b] e f ''( x) não troca de sinal em [a,b] para a f : 
[a,b]Â a sequência gerada pelas iterações do método de Newton-Raphson, utilizando a 
função ⱷ(x) = x – f(x)/f’(x), que equivale a x n-1 = x n = f(xn)/f’(xn), converge para o único 
zero  de f, isolado em [a,b], se x0 Є [a,b] for escolhido convenientemente. O ponto inicial 
pode ser x0 =a se ⱷ(a) Є [a,b]. 
 
 
Figura 4.4: Interpolação Geométrica do Método de Newton 
Fonte: apostila de cálculo numérico – noções básicas sobre erros –
UTFPr 
Acesso em 07mar. 2013 
 
 
 
 
28 
 
4.6 Algoritmo do Método de Newton 
 
Para encontrar uma solução para f (x) =0, dada a derivada de f (x) e uma aproximação 
inicial x0 
Iniciar: x0 
 Para k=0,1,... fazer: 
 
 Se verificar critério de paragem então → parar; 
 Raíz = xk+1 
 
4.7 Síntese da Unidade 
 
Esta Unidade tratou de métodos que são normalmente utilizados para diminuir o intervalo 
que contém o zero da função, para a aplicação de outro método, como é para a bissecção 
do ponto fixo. Neste método, a sequência de aproximações do zero a de uma função f (x)( 
f (a) = 0 ) é obtida através de uma relação de recorrência da forma: xn+1= Ф(xn) , n=0, 1, 
2, .... Finalmente, vimos a interpolação de Newton que é um método cuja particularidade 
está nas aproximações sucessivas. 
 
4.8 Atividades 
1. Determinar, com um erro absoluto inferior a 5 x 10-3, a (única) solução da equação 
1 + x + ex = 0 que se sabe estar no intervalo [-2;-1]. 
2. Determinar o zero de f (x) = x + ex5 - 5 em [0; 1.3] 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determinar, com um erro absoluto inferior a 5 x 10-3 o zero de f (x) = x + ex5- 5 
no intervalo [0; 1.3]. 
4. Determinar, com um erro absoluto inferior a 5 x 10-6, o zero da função f (x) = 1 + 
x + ex que se sabe estar no intervalo [-2;-1]. 
5. Determinar todas as raízes do polinômio p(x) = x4 + 2x3 + 10x2 + 24x + 80 
aplicando o método de Newton. 
 
 
 
 
 
30 
 
 Unidade 5 
Unidade1 .Resolução de Sistemas de Equações 
Lineares 
 
Nesta Unidade, veremos que a resolução numérica de um sistema linear Sn de n equações 
com n incógnitas pode ser útil para o cálculo de equações diferenciais. 
 
5.1 Forma Algébrica de Sn 
Para resolver um sistema de equações lineares na forma algébrica podemos utilizar a 
seguinte forma: 
 
 
 
5.2 Forma Matricial de Sn 
Já para a forma matricial A . x = b 
 
 
 
 
Onde A é a matriz dos coeficientes; x é o vetor das incógnitas e b é o vetor dos termos 
independentes. 
 
 
31 
 
 
5.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema 
Para determinar se matriz aumentada B é compatível, pois apresenta soluções, podemos 
utilizar: 
 
 
 
 
 
5.4 Classificação quanto ao Determinante de A 
 
Quando tem solução única, pois determinante A≠0, é chamado sistema linear possível 
e determinado; e é singular quando o determinante A=0 sendo denominado sistema 
linear impossível. 
O sistema é chamado de homogêneo quando bi = 0,i=1,2,....n. 
 
5.5 Métodos Diretos 
Métodos diretos são aqueles que determinam a solução para um sistema linear utilizando 
um número finito de operações; dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem 
a mesma solução. 
 
 
 
 
32 
 
5.6 Método de Eliminação de Gauss 
 O sistema linear A x =b é transformado num sistema triangular superior equivalente 
quando fazemos (n −1) passos. 
A . x = b ≈ U . x = c 
[A : b] ≈ [U : c] 
 
 
 
 
5.7 Algoritmo de Eliminação de Gauss 
 
A triangularização ocorrerá quando A . x = b ≈ U. x = c para o sistema A .x =b , com A 
n .n, xn .1 e bn . 1 e akk ≠ 0 
 
 
 
 
 
33 
 
Para U .x = c 
 
 
 
 
 
 
 
5.8 Sistema de Equação Linear 
Resolver um sistema linear consiste em calcular os valores de xj, (j = 1, ..., n), caso eles 
existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente. 
Um sistema linear com m equações e n variáveis pode ser escrito como: 
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn= bm 
Onde: aij são os coeficientes 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n; xj as variáveis j = 1, 2, ..., n e bi as 
constantes i = 1, 2, ..., m 
A notação matricial é outra forma expressar o sistema linear 
Ax = b 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
5.9 Métodos Numéricos 
Para a resolução de um sistema linear temos os métodos diretos e os métodos iterativos. 
Com o método da Eliminação de Gauss e a fatoraçãoLU a maioria dos sistemas lineares 
pode ser resolvido. 
 
5.10 Fatoração LU ou decomposição LU 
 
 
 Uma decomposição LU ou uma fatoração LU de uma matriz quadrada A e uma fatoração 
A=LU na qual L= ( lij), com l11 = l22= ...= lnn = 1 que é triangular inferior e U= (uij) que é 
triangular superior tal que LU= A. Além disso, det(A) = u11 u 22...unn. 
A decomposição LU é realizada usando eliminação de Gauss, registrando em uma matriz 
diagonal unitária, os valores multiplicados pela linha pivô ii com o objetivo de somar às 
linhas (k=i,i+1,...n) para eliminar os elemento ki,então o sistema linear A x = b não se 
altera se o submetermos a uma sequência de operações como a multiplicação de uma 
equação (linha) por uma constante não nula; soma do múltiplo de uma equação a outra 
ou a troca de posição de duas ou mais equações. 
Exemplo 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 1.u11 = a11 → u11 = a11 
1.u12 = a12 → u12 = a12 
 1.u1n = a1n Þ u1n = a1n 
 
 121 u11 = a21 → 121 = a21/u11 
 131 u11 = a31 →131 = a31/u11 
 
Se continuarmos calculando teremos a seguinte formula geral: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
1º: Eliminação de Gauss para se obter L e U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
As matrizes que contêm os multiplicadores na k-ésima etapa serão chamadas de M(k) 
A = A(0) 
A(1) = M(0)A(0) = M(0)A 
A(2) = M(1)A(1) = M(1)M(0)A(0) =M(1)M(0)A 
 Da última linha, temos: 
A=(M(1)M(0))-1A(2) = (M(0))-1 (M(1)) -1 A(2)donde, 
L = (M(0)) -1(M(1)) -1 e U = A(2) 
Então temos: 
 
5.11 Diferentes Decomposições LU 
 
Demonstramos alguns tipos de decomposições recorrentes: 
Decomposição de Crout 
Α = (LD)U= L U →onde U é triangular superior unitário 
Decomposição de Doolittle 
 Α= L (DU)= LU → onde L é triangular superior unitário 
Decomposição de Cholesky 
Se A for simétrica A = LD L 
Se D ˃ 0 D = ½ D ½ 
A = ( LD ½ )(D1/2 ) = LL 
 
 
37 
 
 
5.12 Síntese da Unidade 
 
Vários problemas, como cálculo de estruturas de redes elétricas e solução de equações 
diferenciais, recorrem à resolução numérica de um sistema linear Sn de n equações com n 
incógnitas. No método de eliminação de Gauss, o sistema linear A x =b é transformado 
num sistema triangular superior equivalente. Resolver um sistema linear consiste em 
calcular os valores de xj, (j = 1, ..., n), caso eles existam, que satisfaçam as m equações 
simultaneamente. Para a fatoração LU, que tem como base, assim como o método da 
eliminação de Gauss, o uso de uma propriedade elementar de sistemas de equações 
lineares, fica estabelecido o seguinte: a solução de um sistema linear Ax = b não se altera 
se o submetermos a uma sequência de operações, tais como multiplicação de uma equação 
(linha) por uma constante não nula e soma do múltiplo de uma equação a outra. 
 
5.13 Atividades 
1. Use o método de eliminação de Gauss e estude o sistema linear: 
 
2. Use o método de eliminação Gauss e estude o sistema linear: 
 
 
 
3. Seja A = 
a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU. 
 
 
 
38 
 
b) Decompor A em LU. 
4. Num determinado circuito elétrico, as correntes i1, i2 e i3 passam através das 
impedânciasZ1, Z2 e Z3 e são dadas por: 
 
 
 
 
 
Calcule os valores das correntes i1, i2 e i3por um método direto e estável. 
 
 
39 
 
 
 
 
40 
 
Unidade 6 
Unidade 2 .Métodos Iterativos 
 
A solução x de um sistema de equações lineares A .x = b pode ser obtida resolvendo, de 
forma iterativa, o sistema equivalente da forma x = F . x + d, onde F é uma matriz n x n, 
x e d vetores nx1. Isto pode ser feito tomando Ф (x) = F . x + d, x (K +1) = Ф( x (k) ) = F . 
x (k) + d, onde K = 0,1, .....,M, e M é o número máximo de interações e x (0) é o vetor 
inicial. 
 
6.1 Métodos de Gauss-Jacobi 
A adaptação de A . x = b para x = F . x + d, com aii ≠ 0 e para qualquer i 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Quando aii=0 o sistema deve ser reagrupado e a formula é dada na forma matricial. 
 
 
 
 
 
 
6. 2 Método de Gauss-Seidel 
 
A formula para calcular a matriz de iteração G e o vetor x, no método de Gauss‐Seidel 
é: 
G = G GS = - (D + L)
-1 e x = xGS = (D + L)
-1 b 
Para construir a fórmula iterativa de Gauss‐Seidel necesitamos determinar a matriz 
inversa de (D+L). 
Uma vez isoladas as componentes do vetor x, podemos construir a fórmula iterativa de 
Gauss‐Seidel na forma algébrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta fórmula iterativa é diferente da fórmula de Jacobi unicamente porque em cada 
iteração k são utilizados todos os valores já calculados na presente aproximação xk. 
 
 
 
42 
 
Já as equações recursivas ficam sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 Síntese da Unidade 
 
Esta Unidade apresentou a solução x de um sistema de equações lineares A . x = b que 
pode ser obtida resolvendo, de forma iterativa, o sistema equivalente da forma x = F . x 
+ d, onde F é uma matriz n x n,x e d vetores nx1 através de dois métodos (Gauss-Jacobi 
e Gauss-Seidel). 
 
6.4 Atividades 
1. Considere o sistema 
 
 
Efetue três iterações dos métodos de Jacobi e de Gauss‐Seidel partindo da aproximação 
x0 =[0 0 0].T Se necessário, reescreva o sistema por forma a poder garantir a convergência 
de ambos os métodos para a solução exata. 
 
 
43 
 
2. Resolver o sistema linear abaixo, pelo Método de Jacobi com chute inicial 
x0={1,1,1,1}, tolerância ԑ=10-3 e número máximo de iterações Nmax=10. 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Unidade 7 
Integração numérica 
 
Em matemática, os métodos de integração numérica permitem calcular o valor 
aproximado de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua 
primitiva. O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura 
numérica e consiste em: 
 
onde são coeficientes reais e são pontos de . 
A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma 
integral definida, cuja função ou não é disponível ou não possui uma solução analítica. 
Ela consiste na aproximação de uma integral definida do tipo: 
 
 
por uma soma do tipo: 
 
 
na qual f(xi) são os valores da função f(x), ∆x = xi+1 – xi e wi é um valor numérico de 
ponderação que também é conhecido por função peso. 
 
 
45 
 
 No presente livro-texto, nos restringiremos aos métodos de integração numérica para 
intervalo ∆x constante. A determinação desses métodos consiste basicamente em avaliar 
o valor da função peso wi. 
 
7.1 Ordem de Aproximação 
Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para 
cada polinômio de grau menor ou igual a N. 
Exemplo: 
• Regra trapezoidal 
 
 
 
 
 
 
 
• Regra de Simpson: 
 
 
 
 
Figura 7: Integração Trapezoidal 
Fonte:Wikipedia. 
Acesso em 07 mar 2013 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 Erro de Aproximação 
 
O erro assumido ao integrar uma função diferençável pelo método trapezoidal é igual 
a , onde é um ponto do intervalo de integração e h é o comprimento 
deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson 
é . 
 
 
Figura 7.2: Integração de Simpson 
Fonte: Wikipedia. 
Acesso em 07 mar. 2013 
 
Tabela 7.1: Tabela de Integração Trapezoidal e Simpson 
Fonte:Wikipedia. Acesso em 07 mar. 2013 
 
Integral Valor exato Regra trapezoidal Regra de Simpson 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
7.3 MétodosCompostos 
Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em 
diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos: 
 
onde , e . O princípio básico destes métodos é o fato de 
o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo. 
Exemplo: 
Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em 
subintervalos de comprimento constante e sob a notação 
, e . 
• Regra trapezoidal composta: 
 
• Regra de Simpson composta: 
 
aqui n deve ser um número ímpar 
 
 
 
 
48 
 
 
7.4 Síntese da Unidade 
 
Os métodos de integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma 
integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva. Um esquema 
de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada 
polinômio de grau menor ou igual a N. 
 
7.5 Atividades 
1. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f 
 
Sabendo que f(x) é um polinômio de grau ≤ 3, determine o valor exato de I(f) = 
 
 
Justifique a sua resposta. 
 
Figura 7.4: Integração Método de Simpson 
Fonte:Wikipedia. 
Acesso em 07 mar. 2013 
 
 
 
49 
 
2. Pretende-se obter a fórmula de quadratura IQ(f) = A0f(0) + A1f(2) para aproximar 
a integralI(f) = ∫20f(x) e-xdx: 
Determine A0 e A1 de forma que IQ(f) tenha grau de precisão r ≥1. 
Usando a fórmula obtida, calcule uma aproximação para 
use A0 = A1 = 1:0 
 
 
 
50 
 
 Unidade 8 
Unidade 2 .Regra dos Trapézios 
 
A Regra dos Trapézios consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no 
intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente 
a aproximar uma curva qualquer por uma reta, conforme mostra a figura a seguir. Desta 
forma, a área sob a função f(x), que é equivalente à integral dessa função, é aproximada 
pela área do trapézio cuja largura é igual a (b – a) e a altura média igual a [f(a) + f(b)]/2. 
 
Fazendo-se ∆x = b – a , a fórmula para a integral pode ser escrita: 
 
 
O erro de truncamento et pode ser expresso como: 
 
 
Figura 8.1: Gráfico de uma Função aproximada por reta no intervalo [a,b] 
Fonte:Wikipedia. 
Acesso em: 07 mar.2013 
 
 
 
51 
 
Exemplo : Calcular empregando a regra dos trapézios 
Solução: Vamos calcular a integral entre os extremos de integração (0;1) 
a) com um intervalo, n – 1 e, portanto, h = ∆ x – (b – a)/n = (1 – 0) /1= 1 
 
 
b) Com dois intervalos, n= 2 e h = ∆ x = (b - a)/n = (1 – 0) /2 = 0,5 
 
 
 
c) Com quatro intervalos, n = 4 e h = ∆x = (b- a) /n = (1 – 0) = 0,25 
 
 
 
 
A solução exata vale 
Calculado o erro para cada integral, temos: 
 
 
 
 
 
 
52 
 
8.1.Síntese da Unidade 
 
A Regra dos Trapézios consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no 
intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente 
a aproximar uma curva qualquer por uma reta. 
 
8.2 Atividades 
1. Seja f (x) = 1/x o intervalo [3,0,3,6] e n = 1. Calcule o valor aproximado da 
Integral: 
 
 
2. Seja f (x) = 1/x o intervalo [3,0,3,6] e n = 6. Calcule o valor aproximado da Integral 
 
 
3. Seja f (x) = 1/x o intervalo [3,0,3,6] e n = 6. Calcule o valor exato da Integral 
 
 
4. Seja f ( x ) =e x, o intervalo [0, 1] e a seguinte integral 
 
 
Calcule: 
 
 
53 
 
• o valor aproximado da integral para n = 1 
• o valor aproximado da integral para n = 4 
 
 
 
 
54 
 
 Unidade 9 
Regra de Simpson 
 
A Regra de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a,b] 
por uma função de segunda ordem, ou seja, na aproximação de uma curva por uma 
parábola. A fórmula para a integral tem a forma: 
 
Esta formula também é conhecida como regra de Simpson 1/3 por causa do fator que 
multiplica h. Observar que são necessários, no mínimo, três valores de f (xi) para se 
calcular a integral pela regra de Simpson. Na notação usada aqui x0 = a, x2 = b e x1 é um 
ponto equidistante de x0 e x2. Para n intervalos ∆x, a fórmula pode ser escrita como: 
 
 
na qual n é par (correspondendo a um número par de intervalos de integração) ou, 
equivalentemente, a regra de Simpson 1/3 só pode ser para um numero ímpar de pontos 
xi ∫(xi). 
O erro de truncamento et é expresso por: 
 
Exemplo: Calcular ∫10ex .dx empregando a regra de Simpson 1/3. 
Solução: Vamos calcular a integral aproximada pela regra de Simpson com dois e 
quatro intervalos, entre os extremos de integração [0;1]. 
a) Com dois intervalos, n= 2 e, portanto, h= ∆x = (b –a)/n=(1-0)/2 = 0,5 
 
 
55 
 
 
 
b) Com quatro intervalos, n = 4 e h = ∆x = (b – a)/n = (1 – 0)/4 = 0,25 
 
 
 
A solução exata vale 
Calculando o erro para cada valor de integral obtida pela regra de Simpson, temos os 
seguintes valores numéricos: 
 
Comparando estes resultados com aqueles obtidos pela regra dos trapézios, observa-se 
que a regra de Simpson apresenta menor erro de truncamento, pois a aproximação pela 
regra de Simpson é feita por uma função de 2º grau integrada, o que representa uma 
aproximação com convergência de 4ªordem. 
 
9.1 Síntese da Unidade 
 
A Regra de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a,b] 
por uma função de segunda ordem, ou seja, na aproximação de uma curva por uma 
parábola. 
 
 
 
56 
 
9.2 Síntese da Unidade 
1. Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de 
Simpson 
2. Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de 
Simpson repetida 3 vezes. 
 
 
 
57 
 
 
 
 
58 
 
Unidade 10 
Unidade 2 .Interpolação 
 
Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo 
conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente 
conhecidos. 
Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de 
uma amostragem ou de um experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também 
denominado conjunto degenerado) não possui continuidade, e isto muitas vezes torna 
demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real empiricamente observado. 
Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se 
"encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada. 
Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais 
simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que 
seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais 
da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, 
quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se 
obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema 
e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro. 
A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para 
tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no 
contra domínio da função). A função resultante garantidamente passa pelos pontos 
fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste. 
10.1 Interpolação Linear 
 
 
 
59 
 
Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolaçãoque se 
utiliza de uma função linear p(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por 
aproximação, uma suposta função f(x) que originalmente representaria as imagens de 
um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no domínio de f(x). 
Assim sendo, se aquele intervalo for, por exemplo, o intervalo das 
abscissas , e ( é o domínio da 
função f(x)), o que a definição diz é que todos os elementos 
de estão em , mas nem todos estão 
em e por esta razão se diz um 
intervalo descontínuo ou degenerado, sendo necessário usar uma função p(x) para 
compensar a descontinuidade de f(x) naquele intervalo de abscissas. 
Em outras palavras: quando se dispõe somente do 
intervalo e dos 
valores , sem se conhecer a expressão 
matemática da função f(x), pode-se aplicar o polinômio interpolador de primeiro 
grau p(x) para que se tenha uma função contínua em ( ) e, 
consequentemente, com suas abscissas interceptando todos os elementos 
de ( ). 
O principal problema é que se os pontos forem poucos, ou muito afastados entre si, a 
representação gráfica para uma determinada função não seria muito bem representada por 
tal método. Neste caso, costuma-se utilizar polinômios de graus mais elevados ou aplicar 
outros métodos. Um deles é o método de Lagrange. 
 
10.2 Interpolação Polinomial 
 
 
 
 
60 
 
Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a 
função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função 
Definidos um intervalo e uma função denomina-
se interpolação o processo matemático de avaliar substituindo-se 
a função pela função interpoladora de modo 
que ( ). 
Assim, é a função real, definida em da qual se conhecem os valores 
nos pontos de abcissas ( ). 
Na fase de escolha do processo matemático de interpolação, frequentemente são 
escolhidos polinômios. Isto porque os polinômios apresentam relativa simplicidade, e 
também porque permitem representar satisfatoriamente a generalidade das funções que 
surgem no dia a dia. 
 
10.3 Métodos de Interpolação Polinomial 
 
Os métodos de interpolação polinomial diferem, uns dos outros, quanto à técnica de 
determinação do polinômio interpolador. Os erros de arredondamento diferem em cada 
caso, pois as operações aritméticas são conduzidas de formas distintas, em cada método. 
• Método de Newton 
• Método de Lagrange 
• Método de Bernstein 
Exemplo: 
Quer-se achar o polinômio do terceiro grau que interpola a tabela: 
 
 
61 
 
xf(x) 
1-17 
24 
371 
4202 
Constroi-se o sistema A.X = B 
A = 
1 1 1 1 
1 24 8 
1 39 27 
1 4 16 64 
Em A, a segunda coluna são os valores de x, a terceira coluna é a segunda ao quadrado e 
a quarta é a segunda ao cubo. 
B = -17 
4 
71 
202 
As raízes deste sistema são os coeficientes do polinômio: 
X = -10 
-15 
5 
 
 
 
62 
 
3 
f(x)=3x³+5x²-15x-10 
 
10.4 Extrapolação 
 
Extrapolação é muito semelhante à interpolação exceto pelo fato de que agora 
pretendemos encontrar o valor da função desconhecida num ponto fora da zona 
conhecida. 
Uma abordagem para se melhorar a estimativa da derivada consiste na utilização da 
extrapolação de Richardson. 
No caso geral da extrapolação de Richardson, temos um procedimento para aproximar 
um funcional ϕ=ϕ(f) de uma dada função f por uma sequência, dependente do tamanho 
de h , em que, como h→0 , o erro possui a seguinte forma assintótica 
 
 
Onde γ1<γ2<⋯ , os aj são constantes que podem depender da função f mas não dependem 
de h . Tais constantes aj nos são desconhecidas, mas assumimos conhecer γj . Se a 
computação é gerada para dois valores distintos de h , h1 e h2 , tal que h1>h2 , então há 
duas aproximações distintas ϕ1 e ϕ2 , que se relacionam com o valor verdadeiro de ϕ pela 
fórmula: 
 
 
para i=1,2 . Multiplicando essa equação para quando i=1 por hᵞ12e por i=2 por hᵞ11e 
subtraindo, temos que ϕ é dado por: 
 
 
63 
 
 
 
Escolhendo-se h2 = ρh1, ρ>1, na equação acima, temos: 
 
 
 
Se desejarmos eliminar p termo com j=2 nessa equação, devemos 
computar ϕ3 com h3=ρh2 e computar ϕ23f de forma simular para, então, calcular ϕ123 a 
partir de ϕ12 e ϕ23. 
Formalmente, denotamos ϕi por Ti0 e geramos um vetor triangular de 
aproximantes Tim pela fórmula: 
 
onde o elemento T1m−1 corresponde a ϕ12.....m. 
Em alguns casos, um crescimento geométrico de 1/h pelo fator 1/ρ não é desejável ou 
possível, e nós estamos interessados em uma sequência geral hi . Neste caso, podemos 
gerar uma tabela Tim por um simples algoritmo apenas se γj tem uma estrutura 
especial, yj= jγ+ δ . Para o caso usual δ = 0 , temos que: 
 
 
onde o elemento T1m−1 corresponde a ϕ12⋯m. 
 
10.5 Extrapolação de Richardson 
 
 
 
 
64 
 
A extrapolação de Richardson é um método utilizado para a melhoria do resultado obtido 
na aplicação das fórmulas de integração e baseia-se na aplicação repetida de tais fórmulas. 
 
Para a Regra dos Trapézios: 
( )122
1
2
2
2
1
2 II
nn
n
II −
−
+=
. 
 
Para as Regras de Simpson: 
( )124
1
4
2
4
1
2 II
nn
n
II −
−
+=
. 
 
10.6 Síntese da Unidade 
 
Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo 
conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente 
conhecidos. 
Interpolação linear é o método de interpolação que se utiliza de 
uma função linear p(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por 
aproximação, uma suposta função f(x) que originalmente representaria as imagens de 
um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no domínio de f(x). 
Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a 
função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função 
 
 
65 
 
Extrapolação é muito semelhante à interpolação exceto em que agora pretendemos 
encontrar o valor da função desconhecida num ponto fora da zona conhecida. 
Uma abordagem para se melhorar a estimativa da derivada consiste na utilização da 
extrapolação de Richardson; é um método usado para a melhoria do resultado obtido na 
aplicação das fórmulas de integração e baseia-se na aplicação repetida de tais fórmulas. 
 
10.7 Atividades 
 
1. Obter um polinômio de grau ≤ 2 que interpole os pontos da tabela 
 
Determinar o valor aproximado de f(1.05) 
2. Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton 
 
 
3. Considere a tabela a seguir: 
 
Obter x , tal que ex 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a 
forma de Newton para obter P2( y ). Construir a tabela de diferenças divididas 
 
 
 
66 
 
 Respostas 
Unidade 1 
Respostas: 
Questão 1: 
Devido as suas 2 casas decimais, o erro máximo absoluto cometido é ∆ ≤ 0.01. 
Aplicando a fórmula do erro relativo, usando o valor obtido anteriormente, vem: 
 
 
Questão 2: 
Pelos dados do problema sabemos que o erro máximo absoluto é dado por ∆x≤ 0.001. 
Aplicando a fórmula do erro relativo, usando o valor obtido anteriormente, vem: 
 
 
Questão 3: 
Devido as suas 3 casas decimais, o erro máximo absoluto cometido é ∆x ≤0.001. 
Aplicando a fórmula do erro relativo e o valor obtido anteriormente, 
 
 
 
 
 
67 
 
Questão 4: 
No enunciado é nos fornecido o valor do erro relativo ≤ 1% ↔ ≤ ≤ 0.01. 
Aplicando a fórmula que relaciona o erro relativo com o número de algarismos exatos, 
vem:Aplicando logaritmos a ambos os lados para fazer desaparecer a potência de 10, temos 
log(0.02) ≤ log (10−m+1)↔log (0.02) ≤ -m+1↔ m ≤ 1- log(0.02) ou seja, m ≤ 
2.698970004→m = 2 
 
Questão 5: 
Como os números aproximados estão escritos com os algarismos exatos, temos: 
 
 
 
Aplicando a fórmula que relaciona o erro relativo com o número de algarismos exatos, 
vem: 
 
aplicando logaritmos a ambos os lados para fazer desaparecer a potência de 10, temos 
log(4,5×10-4 ) ≤ log(10-m+1)↔log(4,5×10-4 ) ≤ -m+1→⇔m ≤ 1- log(4,5×10-4 ) ou seja, m 
≤ 4.346787486→m = 4 
 
 
 
 
68 
 
 
Unidade 2 
Respostas: 
Questão 1: 
(17)10 = (25)b 
17 = 2.b1 + 5.b0 
17 = 2b + 5 
b = 6 
 
Questão 2: 
26 = 64 ≤ 3y 
6.log22 ≤ y.log23 
y = [6/log23] 
y = 4 
Comprovando: 33=27 < 64 < 34=81 
Questão 3: 
0,625 . 2 = 1,25: a primeira casa fracionária será 1, e a nova fração será 0,25 
0,25 . 2 = 0,5: a segunda casa fracionária será 0, e a nova fração será 0,5 
0,5 . 2 = 1,0: a terceira casa fracionária será 1, e a nova fração será zero 
Resultado: (0,625)10 = (0,101)2 
 
 
69 
 
Questão 4: 
B- 101011012 
010101 101 
1*21=2 
1*22=4 
1*20=1 
=5 
OCTAL=2558 
Questão 5: 
C- 101011012 
1010 1101 
1*23=8 1*23=8 
1*21=2 1*22=4 
=10 1*20=1 
 =13 
HEXADECIMAL=AD16 
 
 
 
 
70 
 
 
Unidade 3 
Respostas: 
Questão 1: 
f (x) = x2 – 6 
x2 – 6 = 0 
x2 = 6 
 
Então, se: 
f (x) = x2 – 6 
f ’ (x) = 2x 
Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3, podemos adotar um valor inicial 
entre este intervalo ou em sua proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial. 
 
k0 = 1 
 
 
k1 = 3,5 
 
 
 
71 
 
 
k2 = 2,60714 
 
 
k3 =2,45425638 
 
 
Tomamos então, x4 como raiz aproximada de f (x). E se fizermos a raiz quadrada de 6 
pela calculadora, notaremos que a raiz aproximada está correta até a quarta casa decimal. 
Questão 2: 
Para encontrarmos a raiz quadrada de 7 pelo método de Newton, primeiramente 
precisamos montar a função f (x) e em seguida encontrar sua derivada: 
f (x) =x2 – 7 
f ‘ (x) = 2x 
Questão 3: 
Primeiramente montamos a função f (x) e em seguida encontrar sua derivada: 
 
 
 
 
 
72 
 
Questão4: 
Primeiramente vamos montar o sistema de equações: 
 
 
A função será: 
 
E sua derivada: 
 
Após encontrarmos o valor para x, substituímos em uma das equações do sistema para 
encontrarmos o valor de y. 
Questão 5: 
A = 750.000 
P = 1.500 
n = 240 meses 
Montamos, então, a função f (i) e em seguida encontramos sua derivada: 
 
 
 
 
 
73 
 
Unidade 4 
Respostas: 
Questão 1: 
 
 
 
s = - 1.277 ± 4 x 10- 3 
 s Є 2 [-1.281;-1.273] 
Questão 2: 
O método das bissecções sucessivas aplicado a este problema garante o mesmo erro 
máximo em 9 iterações! 
 
 
 
 
Questão 3: 
 
 
 
 
Questão 4: 
 
 
 
74 
 
 
 
s '≈ -1.27846 (todos os algarismos exatos) 
Questão 5: 
Determinação x0 
x20 + 2x0 + 10 = 0 ↔, x0 = -1 ± 3j 
 
 
 
r1 = -2 + 2j r2 = -2 - 2j 
Depois, determinar as raízes do polinômio: 
 
 
 
Unidade 5 
Respostas: 
Questão 1: 
 A matriz ampliada deste sistema é dada por: 
 
 
 
75 
 
Para escalonar este sistema, eliminamos o termo , fazendo . Em 
seguida, dividimos a segunda linha por , ou seja, 
Note que de modo que o sistema linear é compatível e determinado. Para 
achar a solução, fazemos as substituições retroativas. Assim, segue diretamente 
que e . 
Questão 2: 
A matriz ampliada deste sistema é dada por: 
 
Permutando a primeira com a segunda linha, temos . 
Fazendo , segue que 
 
Assim, analisando a última matriz, vemos que e e o sistema linear é 
impossível. 
Questão 3: 
Solução: 
a) Para que A satisfaça as condições da decomposição LU devemos ter: det (A1) ≠ 0 e 
det(A2) ≠ 0 . 
Temos: det (A1) = 2 ≠ 0 e det(A2) = -2 ≠ 0 . 
Logo A satisfaz as condições. 
b) u11 = a11 → u11 = 2 
u12 = a12 → u12 = 1 
 
 
 
76 
 
u13 = a13 → u13 = 3 
 
 
 
 
Questão 4: 
Procede-se à troca de linhas (1 2 ) porque o elemento de maior módulo da primeira coluna 
deve colocar-se na primeira linha, na primeira etapa 
 
 
 
1a etapa: Elemento pivot1 (a11): 10 (elemento de maior módulo da primeira coluna) 
Cálculo dos multiplicadores: 
 
O multiplicador m21 vai multiplicar a linha pivot (linha 1) e adicionar à linha 2. O 
multiplicadorm31 vai multiplicar a linha pivot (linha 1) e adicionar à linha 3. 
2a etapa: Trocam-se novamente as linhas (2 3), de modo a que o elemento de maior 
módulo da segunda coluna (da segunda linha para baixo) fique na posição a22. 
 
 
 
 
77 
 
 
Elemento pivot2 (a22): 6.4 (elemento de maior módulo da segunda coluna, a partir 
da segunda linha). Cálculo do multiplicador: 
 
 
O multiplicador m32 vai multiplicar a linha pivot (linha 2) e adicionar à linha 3. 
 
 
Assim, obteve-se o seguinte sistema, agora triangular, que se resolve por substituição 
inversa, ou seja, do fim para o início. 
 
Unidade 6 
Respostas: 
Questão1: 
Para garantir a convergência dos métodos iterativos precisamos reescrever o sistema por 
forma a que a matriz A seja estritamente diagonal dominante por linhas 
 
 
O primeiro passo na implementação dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel consiste no 
isolamento do vetor x no lado esquerdo mediante a separação pela diagonal. 
 
 
 
 
78 
 
 
 
 
 
 
Questão2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 7 
Respostas: 
Questão 1: 
Como a fórmula de Simpson 1/3 tem grau de precisão r = 3, então ela é precisa para 
polinômios de grau ≤3. Logo, tomando h = 2 e x0 = -2:5; x1 = -0:5; x2 = 1:5, IS(f) fornece: 
 
 
79 
 
IS(f) = 
Esse resultado é exato porque f(x) é um polinômio de grau 3 e IS(f) fornece o valor exato 
quando f(x) é um polinômio de grau ≤ 3. 
 
Questão 2: 
Pelo método dos coeficientes indeterminados, para IQ(f) ter grau de precisão r ≥1, é 
suficiente que tenhamos: 
 
 
de onde obtemos o sistema linear: 
A0 + A1 = 0:86466 
2A1 = 0:59400 
que tem como solução 
A1 = 0:29699 
A0 = 0:86466 -0:29699 = 0:56767 
Logo, IQ(f) = 0:56767f(0) + 0:29699 f(2). 
Questão 3: 
Temos que: 
 
Logo e portanto: 
 
 
 
80 
 
 
Unidade 8 
Respostas: 
Questão1: 
 
 
 
 
Questão2: 
a = 3,0 
b = 3,6 
n = 6 
h = (3,6 - 3)/6 = 0,1 
f0 = 1/3,0 = 0,3333 f1 = 1/3,1 = 0,3225 
f2 = 1/3,2 = 0,3125 f3 = 1/3,3 = 0,3030 
f4 = 1/3,4 = 0,2941 f5 = 1/3,5 = 0,2857 
f6 = 1/3,6 = 0,2778 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
 
 
 
Questão3: 
 
 
 
 
Questão3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
Unidade 9 
Respostas: 
Questão1: 
 
 
Questão2: 
 
 
 
 
 
Unidade 10 
Respostas: 
Questão 1 
Forma do polinômio: 
P2 (x) = a0 + a1x + a2x2 
Condições de interpolação 
 
 
 
 
 
83 
 
Os coeficientes ao, a1 e a2 são obtidos, portanto, da solução do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: sabendo-se que f (x) ex, tem-se que f (1.05)= e1.05 = 2.8576511 
Questão 2 
n 3 é o grau máximo de P3 ( x ). Tabela de diferenças