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Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Aula 7 Cristiano Quevedo Andrea1 1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resumo 1 Introdução 2 Sistemas de Primeira Ordem 3 Sistema de Segunda Ordem 4 Efeito de um 3o Pólos e um Zero Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Uma vez determinado o modelo matemático via função de transferência, podemos então analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta. Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções: degrau, rampa, senoide. Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é constituída por duas partes: resposta transitória e resposta estacionária. Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final. Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que t tende ao infinito. Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como: c(t) = ctr (t) + css(t), sendo = ctr (t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a estabilidade é o objetivo principal. Caso, o projeto não consiga obter a estabilidade absoluta, o sistema será instável. O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada. Será analisado a resposta de sistemas de primeira, segunda ordem e ordem superior. 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Step Response Time (sec) Am pl itu de 0 2 4 6 8 10 12 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Step Response Time (sec) Am pl itu de SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Considere o circuito ilustrado a seguir: Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima representa um circuito RC, um sistema térmico, ou algo semelhante. A relação entrada e saída pode ser descrita como: C(s) R(s) = 1 Ts + 1 . (1) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero I- Resposta ao Degrau Unitário Considerando-se R(s) uma entrada degrau, de (1) temos, C(s) = 1 s × 1 Ts + 1 . (2) Expandindo (2) em frações parciais, temos: C(s) = 1 s − T Ts + 1 , = 1 s − 1 s + 1T . (3) Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (3) obtém-se: c(t) = 1− e −t T . (4) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Analisando-se (4) podemos observar que em t = 0, c(0) = 0. Por outro lado para t →∞, c(t) = 1. Em t = T , temos: c(t) = 1− e−1 = 0, 632. Note que quanto menor a constante de tempo T , mais rapidamente o sistema responde. A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em t = 0 de 1/T , pois, ∂c(t) ∂t ∣∣∣∣ t=0 = 1 T e− t T ∣∣∣∣ 0 = 1 T . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta de um Sistema de Primeira Ordem Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Considerando a função de transferência abaixo: C(s) R(s) = 1 s + 1 , (5) temos o seguinte mapeamento de pólos e zeros, Pole−Zero Map Real Axis Im ag in ar y Ax is −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Da função de transferência do sistema de primeira ordem podemos tirar outras conclusões, então, considere novamente a função de transferência de um sistema de primeira ordem, G(s) = K s + 1T . (6) O inverso da constante de tempo é homogêneo a 1/segundos, ou seja, a frequência. A função de transferência do sistema de primeira ordem também pode ser escrito como, G(s) = K s + a . (7) Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos pólos. Como o pólo da função de transferência é −a, podemos dizer que o pólo fica localizado no inverso da constante de tempo. Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será a resposta transitória. Tempo de Subida, Ts O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0, 1 até 0, 9 do seu valor final. Ts = 2, 31 a − 0, 11 a = 2, 2 a . Tempo de Estabelecimento, Te O tempo de estabelecimento é definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí permanece. Te = 4 a . (8) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Determinação Experimental de Funções de Transferência de Primeira Ordem Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema. Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente. Podemos determinar a função de transferência destes sistemas por meio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade de conhecer a construção interna da planta. Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem podemos determinar a constante de tempo e o valor de estado estacionário. Assim, considere G(s) = Ks+a . Aplicando-se um degrau tem-se, C(s) = / s K s + a = 1 s − K/a s + a . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle User Typewritten Text 1 User Typewritten Text User Typewritten Text Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero A partir da reposta medimos a constante de tempo, isto é, o tempo para que a resposta alcance 63% do valor da resposta em regime permanente. Então fazemos: Amp63,2% = 0, 632Valor Regime. sendo Amp63,2% o valor da amplitude do valor de resposta 63, 2% do valor de regime. Então, deve-se verificar o tempo em que a saída atinge este valor, e após identificado, este valor será a constante de tempo T . Em regime, temos que o valor é K/a, como a = 1/T , podemos obter o valor de K. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta a Entrada Rampa para Sistemas de Primeira Ordem A transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada da seguinte forma: R(s) = 1 s2 . (9) Então a saída de um sistema de primeira ordem é: C(s) = 1 s2 × 1 Ts + 1 . (10) Expandindo C(s) temos: C(s) = 1 s2 − T s + T 2 Ts + 1 . (11) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um ZeroAplicando-se a transformada inversa de Laplace em (11) temos, c(t) = t − T + te− t T . (12) Então, o sinal de erro é: e(t) = r(t)− c(t), = T (1− e− t T ). (13) Para t →∞, a equação (13) tente a T . A figura seguinte ilustra a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada rampa. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta de Sistemas de Primeira Ordem a uma Entrada Impulso Unitária Para uma entrada impulso unitária δ(s) = 1 a um sistema de primeira ordem, a resposta obtida é: C(s) = 1 Ts + 1 . (14) Aplicando a transformada inversa de Laplace em (14) tem-se: c(t) = 1 T e− t T . (15) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem descrito a seguir: Neste caso a função de transferência de malha fechada é dada por: Y (s) = G(s) 1 +G(s) = K s2 + ps + K R(s). A forma generalizada para a resposta de um sistema de segunda ordem é: Y (s) R(s) = Kω2n s2 + 2ζωns + ω2n . (16) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Y (s) R(s) = Kω2n s2 + 2ζωns + ω2n . (17) 1 ωn: frequência natural de oscilação 2 ζ: coeficiente de amortecimento 3 Pólos: s12 = −ζωn ± jωn √ 1− ζ2 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Exemplo: Encontre o valor do coeficiente de amortecimento e da frequência natural da seguinte função de transferência Y (s) F (s) = 25 s2 + 10s + 25 . (18) então temos, ω2n = 25 ⇒ ωn = 5, 2ζωn = 2ζ5 = 10 ⇒ ζ = 1. (19) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta Naturais de Sistemas de Segunda Ordem Respostas Superamortecidas Pólos: 2 pólos reais em −σ1 e −σ2. Resposta Natural: duas exponenciais com constante de tempo igual a localização dos pólos c(t) = K1e−σ1t + K2e−σ2t . (20) Respostas Subamortecidas Pólos: 2 pólos complexos em −σd ± jωd . Resposta Natural: resposta com senoides amortecidas envolvida por uma exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do pólo. A frequência da senoide é igual a parte imaginária da parte complexa c(t) = Ae−σd tcos(ωd t − φ). (21) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Respostas Oscilatórias Pólos: 2 pólos imaginários em ±jωd . Resposta Natural: resposta com senoide não amortecidas com frequência em radianos igual a parte imaginária do pólo c(t) = Asen(ωd − φ). (22) Respostas Criticamente Amortecidas Pólos: 2 pólos reais em −σd . Resposta Natural: resposta com uma exponencial com constante de tempo igual a parte real do pólo e uma exponencial multiplicada por t com constante de tempo igual a parte real do pólo c(t) = K1e−σd t + K2te−σd t . (23) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta do Sistema de Segunda Ordem em Função do Coeficiente de Amortecimento ζ ζ > 1: Sistema Superamortecido −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Pole−Zero Map Real Axis Im ag in ar y Ax is 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 Step Response Time (sec) Am pl itu de Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero ζ = 1: Sistema Criticamente Amortecido Pole−Zero Map Real Axis Im ag in ar y Ax is 0 5 10 15 0 0.5 1 1.5 Step Response Time (sec) Am pl itu de −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero 0 < ζ < 1: Sistema Subamortecido Pole−Zero Map Real Axis Im ag in ar y Ax is 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 Step Response Time (sec) Am pl itu de −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero ζ = 0: Sistema Não Amortecido Pole−Zero Map Real Axis Im ag in ar y Ax is 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Step Response Time (sec) Am pl itu de −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Análise de Desempenho Iremos abordar a análise de desempenho em sistema subamortecido, isto é, 0 < ζ < 1. Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema de segunda ordem típico temos: Y (s) = ω2n s(s2 + 2ζωns + ω2n) . (24) Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (24), obtemos: y(t) = 1− 1 β e−ζωntsen(ωnβt + θ). (25) sendo β = √ 1− ζ2 e 0 < ζ < 1. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um Degrau Unitário Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Aplicando-se um impulso δ(s) = 1 em um sistema de segunda ordem típico temos, Y (s) = 1× ω 2 n s2 + 2ζωns + ω2n . (26) Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (26) obtém-se: y(t) = ωn β e−ζωntsen(ωnβt). (27) o que simplesmente a derivada da resposta de um sistema de segunda ordem a entrada degrau. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um Impulso Unitário Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Índices de Desempenho Tempo de Pico (Tp): é o tempo onde a resposta atinge o máximo valor. O tempo de pico, Tp pode ser obtido por: Tp = pi ωn √ 1− ζ2 , (28) e a magnitude da resposta em Tp é dada por: y(t) = 1 + e − ζpi√ 1−ζ2 . (29) Tempo de Subida (Ts): é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor de regime da resposta. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Porcentagem de Overshoot (P.O.): a ultrapassagem percentual, P.0., é dada pela seguinte expressão, P.O. = 100e − ζpi√ 1−ζ2 %, (30) ou, P.O. = 100× ( Mp − Fv Fv ) %, (31) sendo MP = valor máximo da resposta, Fv = valor de regime permanente. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Tempo de Estabelecimento (Te): é o tempo que a resposta leva para atingir o regime. Considera-se regime quando a resposta atingir uma faixa em torno do valor de regime. Nos cálculos consideraremos que regime será quando a amplitude da resposta estiver a ±2%do valor de regime. Neste caso, Te ∼= 4 ζωn . (32) A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores: 1 Rapidez da resposta, a qual pode ser projetada pela escolha adequada do tempo de pico e o tempo de subida. 2 Proximidade da resposta com a resposta desejada, a qual pode ser atingida projetando-se um sistema de controle com uma porcentagem de overshoot e tempo de estabelecimento adequado. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resumo Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Porcentagem de Overshoot versus Coeficiente de Amortecimento 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Exemplo1: Desenhe a região do plano complexo com: P.O. < 20%, Te < 4seg. (33) Exemplo 2: Considere o sistema de controle abaixo: Encontre: Tempo de subida, tempo de pico, valor de pico, tempo de estabelecimento, porcentagem de overshoot. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de Segunda Ordem Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de Segunda Ordem Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de Segunda Ordem Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Considere o sistema de terceira ordem descrito a seguir: T (s) = 1 (s2 + 2ζs + 1)(γs + 1) , (34) sendo ωn = 1. Foi constatado que o tempo de estabelecimento (Ts) e a porcentagem de overshoot (P.O.) do sistema descrito em (34) pode ser aproximado para índices de um sistema de segunda ordem se, |1/γ| ≥ 10|ζωn|. (35) Em outras palavras a resposta de um sistema de terceira ordem pode ser aproximada pelas raízes dominantes do sistema de segunda ordem quando a parte real das raízes dominantes for inferior a 1/10 da parte real da terceira raiz. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Consideração A idéia de pólo dominante deve ser utilizada quando a função de transferência não possuir zeros próximos aos pólos dominantes. Em situações no qual a função de transferência possuir zeros próximos ao pólos dominantes, a resposta será afetada significativamente. A resposta a um degrau de um sistema com um zero e dois zeros é afetada pela localização do zero. A porcentagem de overshoot para uma entrada degrau, em função de a/ζωn, sendo a a posição do zero, é ilustrada a seguir. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero a/ζωn em Função da Porcentagem de Overshoot Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero Resposta ao Degrau Unitário Variando-se a Relação a/ζωn Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Introdução Sistemas de Primeira Ordem Sistema de Segunda Ordem Efeito de um 3o Pólos e um Zero
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