AP2 - Métodos Determinísticos 1 - 2019.2 - Gabarito

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AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 16/11/2019
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Um representante comercial tem sala´rio mensal fixo de R$5.000,00. Caso o valor total das vendas
feitas em um determinado meˆs exceda R$30.000,00, e´ acrescida ao sala´rio uma comissa˜o de 10% so-
bre o que exceder R$30.000,00. Vamos chamar de sala´rio final o sala´rio fixo acrescido da comissa˜o,
se houver.
Chame de x o valor total, em reais, das vendas feitas em um certo meˆs e de s a func¸a˜o que representa
o sala´rio final naquele meˆs, dependendo de x. Isto e´, em um meˆs em que o representante venda x
reais, ele recebera´ s(x) como sala´rio final.
Questa˜o 1 (0.5 pt) Calcule o sala´rio final do representante comercial quando ele vender R$20.000,00
e R$35.000. Em outras palavras, calcule s(20.000) e s(35.000).
Resposta: Caso ele venda R$20.000,00, na˜o havera´ comissa˜o. Logo, o sala´rio final sera´ de
R$5.000,00. Assim, s(20.000) = 5.000.
Caso ele venda R$35.000,00, havera´ excedente sobre R$30.000,00, logo, o sala´rio final sera´ dado por
s(35.000) = 5.000 + 10% · (35.000− 30.000) = 5.000 + 10100 · 5.000 = 5.000 + 500 = 5.500
Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o de s(x) quando x 6 30.000 e quando x > 30.000.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Resposta: Caso ele venda x 6 30.000, na˜o havera´ comissa˜o. Logo, o sala´rio final sera´ de
R$5.000,00. Assim,
s(s) = 5.000, para x 6 30.000.
Caso ele venda > 30.000, havera´ excedente sobre R$30.000,00, logo, o sala´rio final sera´ dado por
s(x) = 5.000 + 10% · (x− 30.000) = 5.000 + 10100 · (x− 30.000) = 5.000 +
1
10 · (x− 30.000) =
= 5.000 + x10 − 3.000 =
x
10 + 2.000, para x > 30.000.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s, tendo o valor x das vendas como eixo horizontal
e o valor s(x) como eixo vertical.
Resposta: Para 0 6 x 6 30.000, temos s(x) = 5.000, logo o gra´fico da func¸a˜o sera´ uma reta
horizontal para x 6 30.000.
Para x > 30.000, teremos s(x) = x10 + 2.000, cujo gra´fico e´ uma reta, dada por y =
x
10 + 2.000.
Para obter dois pontos desta reta, vamos escolher dois valores de x. Para x = 30.000, temos
y = 30.00010 + 2.000 = 5.000. Para x = 40.000, temos y =
40.000
10 + 2.000 = 6.000.
Esboc¸ando enta˜o o gra´fico, temos
Questa˜o 4 (2.0 pt) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem simul-
taneamente as condic¸o˜es
|x− 8| 6 3,
|y − 10| 6 1,
x + y = 15.
Resposta: Temos que
|x− 8| 6 3⇔ −3 6 x− 8 6 3⇔ 5 6 x 6 11,
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
assim, a primeira condic¸a˜o representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada x esteja
entre 5 e 11, incluindo estes valores. Esboc¸ando esta regia˜o, temos
Da mesma forma,
|y − 10| 6 1⇔ −1 6 y − 10 6 1⇔ 9 6 y 6 11,
assim, a segunda condic¸a˜o representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada y esteja
entre 9 e 11, incluindo estes valores. Esboc¸ando esta regia˜o, temos
A condic¸a˜o x + y = 15 representa a reta que passa pelos pontos (0, 15) e (15, 0), esboc¸ada abaixo.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Esboc¸ando as treˆs regio˜es simultaneamente, temos
Note que, na reta, para x = 5 temos 5 + y = 15, logo y = 10 e, para y = 9, temos x+ 9 = 15, logo
x = 6.
O conjunto dos pontos que satisfazem as treˆs condic¸o˜es simultaneamente sera´ dado enta˜o pela
intersec¸a˜o das duas faixas com a reta, isto e´, por
Questa˜o 5 (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
(
x− 23
)2
+ 119 > 2
(
x− 13
)
(x + 2)− 20x3 .
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Resposta: Temos
(
x− 23
)2
+ 119 > 2
(
x− 13
)
(x + 2)− 20x3 ⇔ x
2 − 4x3 +
4
9 +
11
9 > 2
(
x2 − x3 + 2x−
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2
(
x2 − x3 +
6x
3 −
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2
(
x2 + 5x3 −
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2x
2 + 10x3 −
4
3 −
20x
3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2x
2 − 10x3 −
4
3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 − 2x
2 + 10x3 +
4
3 > 0
⇔ −x2 + 6x3 +
159 +
12
9 > 0
⇔ −x2 + 2x + 279 > 0
⇔ −x2 + 2x + 3 > 0
As ra´ızes de −x2 + 2x + 3, sa˜o as ra´ızes de x2 − 2x− 3, que sa˜o −1 e 3, portanto
−x2 + 2x + 3 = −(x + 1)(x− 3),
logo, voltando a` inequac¸a˜o, temos
−x2 + 2x + 3 > 0⇔ −(x + 1)(x− 3) > 0⇔ (x + 1)(x− 3) < 0.
Estudando o quadro de sinais, temos
(−∞,−1) −1 (−1, 3) 3 (3,+∞)
x + 1 − 0 + + +
x− 3 − − − 0 +
(x + 1)(x− 3) + 0 − 0 +
Assim,
−x2 + 2x + 3 > 0⇔ x2 − 2x− 3 < 0⇔ x ∈ (−1, 3).
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 a 9 e a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 2P − 4,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo
mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
Resposta: Prec¸o ma´ximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0⇔ P = −4±
√
42 − 4(−1)(5)
2 · (−1) =
−4±√36
−2 =
−4± 6
−2 ⇔
⇔ P = 5 ou P = −1.
Como P > 0, temos, como prec¸o ma´ximo, P = 5, isto e´, R$5,00.
Prec¸o m´ınimo:
Q(P ) = 0⇔ 2P − 4 = 0⇔ 2P = 4⇔ P = 2.
Temos enta˜o, como prec¸o m´ınimo, R$2,00
Questa˜o 7 (1.0 pt) A partir de uma ana´lise da func¸a˜o quadra´tica D, que representa a demanda,
determine a demanda ma´xima do produto e o prec¸o para o qual ela ocorre.
Resposta: Sabemos que a demanda deste produto e´ dada por D(P ) = −P 2+4P+5. Considerando
os coeficientes a = −1, b = 4 e c = 5, a demanda ma´xima e´ dada por
Dmax = −∆4a = −
b2 − 4ac
4a = −
16− 4(−1)(5)
4(−1) = −
36
−4 = 9.
Ou seja, a demanda ma´xima e´ de 9 milho˜es de unidades. Esta demanda ma´xima ocorre para
P = − b2a = −
4
2(−1) = 2,
isto e´, para o prec¸o de R$2,00.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Considere
√
10 ≈ 3.16.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio P e´ tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 4P + 5 = 2P − 4⇔ −P 2 + 2P + 9 = 0⇔ P 2 − 2P − 9 = 0⇔
⇔ P = 2±
√
22 − 4(1)(−9)
2 · 1 =
2±√4 + 36
2 =
2±√40
2 =
2± 2√10
2 = 1±
√
10⇔
⇔ P ≈ 1− 3.16 = −2.16 ou P ≈ 1 + 3.16 = 4.16.
Como P na˜o pode ser negativo, o prec¸o de equil´ıbrio sera´ de R$4,16.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta
deste produto, identificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o
iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de demanda ma´xima.
Resposta: A func¸a˜o demanda, de expressa˜o D(P ) = −P 2 + 4P + 5, e´ uma func¸a˜o quadra´tica cujo
gra´fico tem concavidade para baixo. Suas ra´ızes ja´ foram calculadas na questa˜o 6, e sa˜o −1 e 5.
Seu ma´ximo, calculado na questa˜o 7, e´ 9, obtido quando P = 2.
A func¸a˜o oferta, de expressa˜o Q(P ) = 2P − 4 tem como gra´fico uma reta. Sabemos, pela questa˜o
6, que Q(2) = 0. Para obtermos outro ponto do gra´fico desta func¸a˜o, vamos substituir o prec¸o de
equil´ıbrio:
Q(4.16) = 2 · 4.16− 4 = 4.32.
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Assim, podemos trac¸ar os gra´ficos das duas func¸o˜es, definidos para 2 6 P 6 5 (prec¸os m´ınimo e
ma´ximo), e que se encontram no ponto de equil´ıbrio (4.16, 4.32).
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.