4ª parte - Mecânica dos Sólidos

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Mecânica dos Sólidos
TRANSFORMAÇÃO DE 
TENSÃO
E
CÍRCULO DE MOHR
Mecânica dos Sólidos
Transformação de tensões
Mecânica dos Sólidos
Tensões principais no plano
O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis
componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento.
O estado de tensão (a) com frequência na prática da engenharia sofre
aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a
tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em
um único plano. Quando isso ocorre, o material está sujeito a tensões no
plano.
Mecânica dos Sólidos
Mecânica dos Sólidos
A figura abaixo, mostra as relações de tensões para dois pontos da viga
em balanço abaixo:
Mecânica dos Sólidos
Mecânica dos Sólidos
 DEC
 DMF
Mecânica dos Sólidos
Entre as cargas os pontos estão submetidos somente ao momento fletor. Já
entre o apoio e o carregamento os pontos estão submetidos a combinação
do momento fletor e do esforço cortante.
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 Ponto a
Tensões no sistema xy Tensões principais
 Ponto b
 Ponto c  Ponto d
Tensões no sistema xy Tensões principais
Tensões no sistema xy Tensões principais
Tensões no sistema xy Tensões principais
Mecânica dos Sólidos
Evolução da fissuração de uma viga T, para vários estágios do
carregamento.
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Componentes de tensão podem se transformar em um elemento 
caso tenha uma orientação diferente.
Mecânica dos Sólidos
, basta substituir θ por θ+90°Para determinar 
na equação (1)
(2)
2
x y x y
x ' xy
x ' y' xy cos2
σ   
2 2
σ   cos2  sen2 (1)
  
 x  y sen2 
Equações gerais de transformação de tensão no plano
A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensãode 
cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento.
σ y'
x y x y
y' xysen2 (3)
σ   
2 2
σ   cos2 
Mecânica dos Sólidos
Convenção de sinais:
Sentido anti-horário
Mecânica dos Sólidos
Exemplo
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento
mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro
elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição mostrada.
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Pela convenção de sinal, temos
σ x 80 MPa  y  50MPa
 xy  25 MPa  30
Para obter as componentes de tensão no plano
CD,
cos2 sen2
2
2
y
x ' xy
x ' y ' xy
 
 x  y 
 x 
2 2
   
8050

8050
cos2(30) (25)sen2(30)
2 2
σx '  25,8 MPa
  
 x  y sen2  cos2 

8050
sen2(30) (25)cos2(30)  x ' y ' 68,8 MPa
Mecânica dos Sólidos
Para obter os componentes de tensão no plano BC,
cos2 sen2yy ' xy 
 x  y 
 x 
2 2
   
8050

8050
cos2(30)(25)sen2(30)
2 2
σ y '  4,15 MPa
Os resultados são mostrados na figura:
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Exercício de fixação-
1)O estado plano de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver 
orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elementomostrado. 
Respostas:
Mecânica dos Sólidos
Exercício de fixação-
2)O As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15° com a 
vertical. Determine para os estados de tensões indicados abaixo (a) a tensão 
de cisalhamento paralela às fibras, (b) a tensão normal às fibras.
Respostas: (a) x ' y'  0,6MPa (b) x '  3,84MPa
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Tensões principais e tensões de cisalhamento máximo
Tensões principais no plano
Tensões principais ocorrem nos planos de tensão principais com tensão de 
cisalhamento igual a zero
2x ' y' xy
  
 x  y sen2  cos2 = 0 (2)
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Tensão de cisalhamento máxima noplano
A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da 
tensão de cisalhamento.
Nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensãonormal
média.
2x y
2
máx
noplano
 xy


2

 
  méd 2
 
 x  y
Mecânica dos Sólidos
Exercício de fixação
3)O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representadono 
elemento mostrado na figura abaixo.
(a) Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais
(b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamentomáxima
no plano e a tensão normal média associada.
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Respostas: 
(a)
(b)
Mecânica dos Sólidos
Exercício de fixação-
4)O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as
tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão
normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Mecânica dos Sólidos
Círculo de Mohr – Tensão no plano
A transformação da tensão no plano tem uma solução gráfica que é fácil de 
lembrar, desenvolvida por Christian Otto Mohr (1835).
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Construção:
1)Defina um sistema de coordenadas tal que a abcissa represente a tensão
normal σ como positiva para a direita e a ordenada represente a tensão de
cisalhamento τ como positiva para baixo.
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2)Usando a convenção de sinais, marque o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de σméd=(σx+ σy)/2 da origem.
3)Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A(σx,τxy). 4)Ligue o 
ponto A ao centro C e determine CA por trigonometria. Essa distância 
representa o raio R do círculo.
5)Desenhe o círculo.
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6)As tensões principais σ1 e σ2 (σ1 maior ou igual a σ2) são apresentadas pelos
dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ , isto é, onde τ=0.
7)As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido
anti-horário neste caso) da linha CA até a linha doCB.
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8) As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão
normal média são determinados pelo círculo como as coordenadas do
ponto E e F.
9)O ângulo 2 θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em sentido
horário.
10)As tensões em um ponto P arbitrário também podem ser conhecidas, assim 
como o θ (de CA até CP).
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Exemplo 1
Para a o plano de tensão mostrado, determine as tensões principais na viga no 
ponto P.
O centro do círculo é ( 45,4  0) / 2 = - 22,7 
ponto A é (–45,4, –35,2). Portanto, o raio é 41,9.
1  22,7  41,9 19,2 MPa
 2  22,7  41,9  64,6 MPa
O ângulo em sentido anti-horário é
2p2  57,2 p2  28,6
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Exemplo 2 – Para o elemento em estado plano de tensões indicado
abaixo:
(a) Construir o Círculo de Mohr;
(b) Determinar os planos de tensão principal;
(c) Determinar a intensidade das tensões principais;
(d) Determinar as tensões máximas de cisalhamento e as tensões
normais correspondentes.
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Exemplo 3 – Para o elemento em estado plano de tensões indicado
abaixo, determine:
(a) o plano e a intensidade das tensões principais;
(b) As componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no
sentido antihorário.
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Exemplo 4 - Para o estado plano de tensão mostrado na Figura,
represente o estado de tensão em um elemento orientado a 30° em
sentido antihorário em relação à posição mostrada na figura.
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Exercício de fixação-
5)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine (a) as tensões principais e a orientação do
elemento sobre o qual elas agem e (b) a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age.
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Exercício de fixação-
5)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elementona
figura abaixo. Determine (a) as tensões principais e a orientação do
elemento sobre o qual elas agem e (b) a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age.
Mecânica dos Sólidos
Exercício de fixação-
6)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as
tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem.
Mecânica dos Sólidos
Exercício de fixação-
6)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as
tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem.
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Exercício de fixação-
7)Resolva o exercício de fixação usando o Círculo de Mohr.
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Exercício de fixação-
7)Resolva o exercício de fixação usando o Círculo de Mohr.
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8) O eixo maciço de ferro fundido está sujeito ao torque T = 40 KNm.
Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha, de acordo com a
teoria da tensão normal máxima. Um corpo de prova de ferro fundido,
testado sob tração, tem limite de resistência (σr )t = 200 MPa.