Raciocínio Lógico-Quantitativo

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Raciocínio Lógico-Quantitativo
SÉRIE PROVAS E CONCURSOS
Luiz Cláudio Cabral
Mauro César Nunes
450 QUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDAS PASSO A PASSO
Sumário
Capa
Folha de Rosto
Cadastro
Copyright
Dedicatórias
Os Autores
Apresentação
Prefácio
Capítulo 1. Teoria dos Conjuntos
1.1. Simbologia
1.2. Introdução aos conjuntos numéricos
1.3. Conceito de conjunto
1.4. Quadro-resumo de símbolos matemáticos
1.5. Conceito de subconjunto
1.6. Conjunto vazio e conjunto universo
1.7. Conjunto de conjuntos
1.8. Conjunto das partes de um conjunto (cardinalidade)
1.9. Partições de um conjunto
1.10. Diagramas de Euler-Venn
1.11. Operações com conjuntos por análise geométrica
1.12. Operações com conjuntos por análise algébrica e geométrica
1.13. Diferença simétrica entre dois conjuntos
1.14. Representação de dois conjuntos no diagrama de Euler-Venn
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1.15. Número de elementos de “X ∪ Y” ou n(X ∪ Y)
1.16. Representação de três conjuntos no diagrama de Euler-Venn
1.17. Número de elementos de “X ∪ Y ∪ Z” ou n(X ∪ Y ∪ Z)
1.18. Algumas representações indicadas no diagrama de Euler-Venn pela
parte hachurada
1.19. Alguns teoremas relativos a conjuntos
1.20. Intervalos
1.21. Exercícios resolvidos
1.22. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Capítulo 2. Análise Combinatória
2.1. Técnicas de Contagem
2.2. Agrupamentos simples
2.3. Agrupamentos especiais
2.4. Exercícios resolvidos
2.5. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Capítulo 3. Probabilidades
3.1. Nomenclatura e notações
3.2. Probabilidade de ocorrer um evento
3.3. Propriedades das probabilidades
3.4. Probabilidade de ocorrer o evento A ou B (Princípio da Inclusão-Exclusão)
3.5. Probabilidade de ocorrer o evento A e B (Teorema do Produto)
3.6. Probabilidade condicional
3.7. Probabilidade de ocorrer um evento “pelo menos uma vez”
3.8. Probabilidade interpretada como quociente de duas áreas
3.9. Probabilidade binomial
3.10. Teorema (ou Regra) de Bayes
3.11. Exercícios resolvidos
3.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Capítulo 4. Sequências Numéricas
4.1. Noção de sequência
4.2. Representação
4.3. Leis de formação
4.4. Exercícios resolvidos
4.5. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Capítulo 5. Progressões Aritméticas
5.1. Definição
5.2. Classificação
5.3. Termo geral da PA
5.4. Termo generalizado de uma PA
5.5. Propriedade característica da PA
5.6. Representações especiais
5.7. Termos equidistantes dos extremos
5.8. Inserção ou interpolação aritmética
5.9. Soma dos n primeiros termos de uma PA
5.10. Progressão aritmética de ordem superior
5.11. Exercícios resolvidos
5.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Capítulo 6. Progressões geométricas
6.1. Definição
6.2. Classificação
6.3. Termo geral da PG
6.4. Termo generalizado de uma PG
6.5. Propriedade característica da PG
6.6. Representações especiais
6.7. Inserção ou interpolação geométrica
6.8. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG
6.9. Limite da soma
6.10. Produto dos “n” primeiros termos de uma PG
6.11. Exercícios Resolvidos
6.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Cadastro
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ISBN 978-85-352-5909-4
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Cabral, Luiz Cláudio
Raciocínio lógico quantitativo [recurso eletrônico] / Luiz Cláudio Durão Cabral, Mauro César de Abreu Nunes. - Rio de
Janeiro : Elsevier, 2012.
recurso digital
Formato: e-Pub
Requisitos do sistema: Adobe Digital Editions
Modo de acesso: World Wide Web
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-352-5909-4 (recurso eletrônico)
1. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, questões, exercícios. 3.
Serviço público - Brasil - Concursos. 4. Livros eletrônicos. I. Nunes, Mauro César. II. Título.
12-3280. CDD: 510
 CDU: 51
16.05.12 24.05.12 035625
Dedicatórias
Esta obra é dedicada aos nossos alunos, que sempre acreditaram em nossos esforços e,
principalmente, por estarem presentes em nosso dia a dia. Aos nossos familiares, que
preferimos não citá-los nominalmente para não corrermos o risco de cometer injustiça
com qualquer um deles.
E, em especial, a Simone e Débora, nossas amadas esposas.
Os autores
Os Autores
LUIZ CLAUDIO DURÃO CABRAL
• Professor de Matemática e Física e Raciocínio Lógico, licenciado pela Universidade de
Brasília – UnB. Atua há mais de 14 anos no Ensino Médio e em cursos preparatórios
para Concursos Públicos e Pré-Vestibulares em Brasília. Atual professor do Curso
Fênix, NOTA 10, Curso Aprova, Fortium, Grancursos e Curso Alto Nível.
MAURO CÉSAR DE ABREU NUNES
• Professor de Matemática há mais de 39 anos. Atuou em diversos cursos preparatórios
de Concursos Públicos, Pré-Vestibulares e nos Ensinos Fundamental e Médio. No Rio de
Janeiro, nos cursos GPI, Gebê, Soeiro e outros, nas Universidades Gama Filho e Nuno
Lisboa, nos Colégios São Fernando e Piedade, em Brasília, nos cursos Obcursos, COM,
PhD, Classe “A”, VIP, NDA, NOTA 10, Alub, Edital, OPÇÃO, entre outros, assim como
nos Colégios Santo Antônio, Cor Jesu, Rosário, Rogacionista e demais.
Apresentação
Nesta obra de Raciocínio Lógico Quantitativo, que versa sobre os temas mais solicitados e
cobrados neste ramo da Matemática, incluímos conceitos introdutórios e relevantes para
o estudo das principais questões de provas realizadas nos diversos concursos públicos no
país.
Embora os problemas e as questões solucionadas estejam todos raciocinados e
explicados de maneira mais acessível, nesses tais raciocínios e explicações, os
estudantes encontrarão os elementos estritamente necessários à compreensão das
soluções das questões e/ou itens formulados pelas diversas bancas examinadoras das
muitas instituições organizadoras de concursos públicos. Não seria aconselhável nem
prático fazer ou utilizar raciocínios extensos e prolixos, que não só cansariam como
encareceriam essa obra pelo aumento exagerado do seu volume de páginas, ou, ainda,
provocariam a diminuição do número de problemas publicados e solucionados “passo a
passo”, o que iria de encontro à finalidade a que nos propusemos.
Aceitaremos e acataremos com prazer todas as críticas construtivas dos senhores
professores e estudiosos que nos queiram alertar ou aludir sobre incorreções, por acaso
notadas nesta obra, a fim de que possamos corrigi-las em obras e/ou edições futuras.
Mais uma vez,ficamos gratíssimos à Direção da Editora Campus-Elsevier pela nobre
e fidalga acolhida que nos deu para mais este nosso esforço, em particular, nas pessoas
de Sylvio Motta, Raquel Zanol e Márcia Henriques, e esperamos, sincera e
honestamente, termos concorrido com algo realmente útil, construindo mais uma
ferramenta para facilitar o aprendizado de Matemática Elementar e Raciocínio Lógico
Quantitativo aos dedicados e perseverantes estudantes e concurseiros brasileiros.
Torcemos veementemente pelo seu sucesso na aprovação e pelo ingresso na carreira
pública!!!
Os autores
Prefácio
Prezado leitor,
Este volume apresenta os assuntos mais exigidos e de complexidade variada na
parte que tange aos temas como Teoria dos Conjuntos, Análise Combinatória,
Probabilidades Fundamentais e o estudo das diversas Sequências Numéricas, também
contendo, em particular, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas.
Tais conteúdos são constantemente alvo de muitas dúvidas dos estudantes e
concurseiros, pois necessitam de um conhecimento mais específico e detalhado para o
perfeito entendimento.
Acumulamos, através da nossa experiência em salas de aula, várias dúvidas sobre
esses assuntos e procuramos, neste livro, organizá-las, catalogá-las e resolvê-las da
maneira mais simples possível, para que o tema não se torne um verdadeiro tormento
no estudo a que se destina.
Esperamos com isso oferecer mais uma contribuição para que o leitor possa
alcançar o seu grande sonho: ingressar em um concurso público!
Estude várias vezes os diversos capítulos apresentados, lendo e relendo com muita
atenção os enunciados propostos, pois, em quase todos, existem verdadeiros “pegas”
para que os seus objetivos de aprovação não sejam alcançados!
Não desista nunca e nem esmoreça perante as dificuldades que encontrará na árdua
tarefa de vir a ser aprovado em um concurso público.
Os autores
Capítulo 1
Teoria dos Conjuntos
1.1. Simbologia
Alguns símbolos serão necessários e fundamentais para o entendimento de algumas
expressões que envolverão elementos e conjuntos. Tais símbolos poderão estar
relacionados somente a elementos, outros a conjunto e, também, símbolos que relacionam
elementos a conjunto e vice-versa.
A seguir, apresentaremos os principais símbolos:
1.2. Introdução aos conjuntos numéricos
Quando os conjuntos forem listados por números (elementos desses conjuntos), estes
representarão específicos conjuntos numéricos, tais como: o conjunto dos números
naturais ( ); o conjunto dos números inteiros ( ); o conjunto dos números
racionais ( ); o conjunto dos números irracionais ( ou ’) e, por último, o
conjunto dos números reais ( ).
1.2.1. Conjunto dos números naturais ( )
Qualquer número que resulte de uma (contagem simples de unidades é chamado
número natural. O conjunto dos números naturais é indicado pelo símbolo e, por , o
conjunto dos números naturais não nulos.
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … }
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
1.2.2. Conjunto dos números inteiros ( )
A subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais “ ”. Por exemplo,
não existe número natural que represente a diferença “2 − 7”, para tanto, foi criado o
conjunto dos números inteiros. Nesse conjunto, a diferença “2 − 7” é representada por
(−5). Onde se conclui: −5 ∉ (lê-se: −5 não pertence ao conjunto dos números
naturais). Indica-se pelo símbolo “ ” o conjunto dos números inteiros; “ *”, o conjunto dos
números inteiros não nulos; “ ”, o conjunto dos números inteiros não negativos; “ ”, o
conjunto dos números inteiros positivos; “ ”, o conjunto dos números inteiros não positivos e,
finalmente, “ ”, o conjunto dos números inteiros negativos.
 = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
* = { …, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …}
 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
− = { …, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0}
− = { …, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1}
Observação: “ = ”.
Podemos generalizar que todo número natural é um número inteiro. Logo, ⊂ (lê-se:
“ está contido em ”ou, ainda, “ é subconjunto de ”).
Observações:
1) A soma de dois números inteiros não negativos é um número inteiro não
negativo.
Exemplo: 3 + 7 = 10
2) A soma de dois números inteiros não positivos é um número inteiro não
positivo.
Exemplo: (−3) + (−6) = (−9)
3) A soma de um número inteiro não negativo com um número inteiro não positivo
pode resultar em um inteiro não negativo ou em um não positivo ou, ainda, em
zero.
não negativo + não positivo = inteiro não negativo: 4 + (−1) = 3;
não negativo + não positivo = inteiro não positivo: 8 + (−13) = −5;
não negativo + não positivo = zero: 7 + (−7) = 0.
1.2.3. Conjunto dos números racionais ( )
A divisão entre dois números, um deles pertencente ao conjunto “ ” e o outro
pertencente ao conjunto “ *” (lembrando que na divisão o divisor não poderá ser zero),
nem sempre será um elemento de . Por exemplo: (−5) ÷ 2, não resultará em outro
número inteiro que possa representar o quociente dessa divisão.
O conjunto dos números racionais foi criado para resolver esse impasse, isto é, a divisão
de um número pertencente ao conjunto “ ”, por um número pertencente ao conjunto “
*”, e nesse novo conjunto: (−5) ÷ 2 é simplesmente indicado por: ou −2,5 ou, 
ou, ainda, .
Indica-se por “ ”, o conjunto dos números racionais e, “ *”, o conjunto dos números
racionais não nulos.
Considerando o denominador igual a “1”, podemos obter uma razão, por exemplo, do
tipo , logo, podemos concluir que: ⊂ ⊂ .
1.2.4. Conjunto dos números irracionais ( ou ’)
Assim como existem números decimais que podem ser escritos como frações − com
numerador e denominador inteiros -, que são chamados números racionais, há os que não
admitem tal representação. São os números decimais não exatos que possuem
representação infinita, porém não periódica – não se repetem. Vejamos, por exemplo, o
número: 0,257353128…, que não é uma dízima periódica, pois os infinitos algarismos
após a “vírgula” não se repetem periodicamente e, portanto, não podem ser escritos sob
forma de fração.
Vejamos alguns exemplos:
e = 2,71828182818459… (número de Euler – Leonhard Euler)
1,12123123412345…
log 3
cos 1°
Todos esses números não comportam representações fracionárias, com numeradores e
denominadores inteiros, pois não se trata de uma dízima periódica.
Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é denominado número
irracional.
Nota: Um número irracional não pode ser representado como uma razão entre dois
números inteiros, isto é, não pode ser escrito na forma , onde p ∈ e q ∈ *.
Indicamos o conjunto de todos os números irracionais pelo símbolo ou ’: ’ = {x | x
é dízima não periódica}.
1.2.4.1. Propriedades dos números irracionais
A soma de um número racional com um número irracional é, também, um número
irracional.
A diferença entre um número racional e um irracional, em qualquer ordem, é, também,
um número irracional.
O produto de um número racional, não nulo, por um número irracional é, também, um
número irracional.
O quociente de um número racional, não nulo, por um número irracional é, também, um
número irracional.
1.2.5. Conjunto dos números reais ( )
Qualquer número que pertença ao conjunto dos números racionais ( ) ou irracionais ( ’)
é chamado número real ( ). Número real é qualquer número racional ou irracional.
Então:
Exemplos:
a) 3 ∈ ;
b) −4 ∈ ;
c) 0 ∈ ;
d) 0,7 ∈ ;
e) −3,8 ∈ ;
f) 4/5 ∈ ;
g) −3/4 ∈ ;
h) ∈ ;
i) π ∈ ;
j) ∈ ;
l) 0,616161…∈ .
Assim, podemos representar os conjuntos numéricos no seguinte diagrama:
Note-se que o conjunto dos números irracionais ( ’) é o conjunto complementar
de em relação a , ou seja, ’ = − .
1.2.5.1. Propriedade dos números reais
1º) A soma ou diferença entre dois números reais quaisquer é também um número real.
2º) O produto ou quociente de dois números reais quaisquer, no segundo caso, com o
divisor diferente de zero, é também um número real qualquer.
3º) Para todo número real “x”, existe um número real “−x”, denominado oposto ou
simétricode “x”, de tal forma que:
1.3. Conceito de conjunto
O conceito de conjunto é fundamental não somente no estudo da probabilidade, como
para outras áreas da Matemática em geral. Um conjunto pode ser considerado como uma
coleção de “coisas”, chamada “membros” ou “elementos” do conjunto. Em geral, denota-
se um conjunto por uma letra maiúscula (X, Y, Z, …) e um elemento do conjunto por uma
letra minúscula (x, y, z, …). Alguns sinônimos podem ser usados para o termo conjunto:
agregado, classe ou coleção.
Se um determinado elemento “x” pertence a um conjunto X, escrevemos x ∈ X. Se “x”
não pertence a X, escrevemos x ∈ X. Se tanto “x” como “y” pertencem a X, escrevemos
x, y ∈ X.
Com a finalidade de que um conjunto seja bem-definido, devemos dispor de uma regra
que nos permita dizer se determinado objeto pertence ou não ao conjunto.
Um conjunto pode ser definido relacionando-se todos os seus elementos, ou, quando
isso não for possível, indicando uma propriedade que seja válida para todos os
elementos do conjunto, e somente para eles. O primeiro método chama-se método da
listagem, o segundo, método da propriedade.
Exemplo 1: Podemos definir o conjunto de “todos os dias da semana” pelo método da
listagem: {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} ou pelo método da
propriedade: {x | x é um dia da semana}, que se lê: “o conjunto de todos os elementos x
tais que x é um dia da semana” − a barra vertical “|” significa “tal que”.
Exemplo 2: O conjunto {y | y é um quadrilátero do plano a} − é o conjunto de todos
os quadriláteros do plano a. Observe que, neste caso, não é possível aplicar o método
da listagem, apenas o método da propriedade.
Exemplo 3: Se lançarmos um dado “honesto” (“não viciado”), os valores que
podemos listar em suas faces superiores são elementos do conjunto: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1.4. Quadro-resumo de símbolos matemáticos
Vimos no início deste capítulo alguns símbolos necessários para o bom entendimento,
que envolvem a linguagem simbólica nas relações de elementos e conjuntos. A seguir,
mostramos um quadro-resumo com os principais símbolos e como se lê cada um
deles:
1.5. Conceito de subconjunto
Se todo elemento de um conjunto X é também elemento de um conjunto Y, então
dizemos que X é subconjunto de Y ou X é parte de Y, e escrevemos X ⊂ Y ou Y ⊃ X, e
lemos “X está contido em Y”, ou “Y contém X”. Segue-se que, qualquer que seja X, X ⊂
X.
Nota: Outras formas de ler X ⊂ Y:
Se X ⊂ Y e Y ⊃ X dizemos que X e Y são iguais e escrevemos X = Y. Em tal caso, X e
Y têm exatamente os mesmos elementos.
Nota: Dois conjuntos X e Y serão iguais se, e somente se, o conjunto X for subconjunto
de Y e Y for subconjunto de X, ou seja:
Se X e Y não são iguais, isto é, se X e Y não têm exatamente os mesmos elementos,
escrevemos X ≠ Y.
Se X ⊂ Y, mas X ≠ Y, dizemos que X é subconjunto próprio de Y.
Exemplo 1: {segunda, quarta, sexta} é um subconjunto próprio de {segunda, terça,
quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}.
Exemplo 2: {domingo, segunda, quarta, terça, sexta, quinta, sábado} é um
subconjunto, mas não um subconjunto próprio, de {segunda, terça, quarta, quinta, sexta,
sábado, domingo}, porque os dois conjuntos são iguais. Nota-se que um simples
rearranjo dos elementos não altera o conjunto.
Exemplo 3: No lançamento de um dado, os resultados possíveis em que o dado
apresenta um número “primo” são os elementos do conjunto {2, 3, 5}, que é um
subconjunto próprio do conjunto de todos os resultados possíveis {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
O teorema a seguir é válido para quaisquer conjuntos X, Y, Z.
Exemplo: Sejam os conjuntos X = {2, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e Z = {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11}:
X ⊂ Y ⇒ {2, 3, 5 } ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} − X está contido em Y
Y ⊂ Z ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} − Y está contido em Z
Logo, X ⊂ Z ⊂ {2, 3, 5 } ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} − Y está contido em Z.
1.6. Conjunto vazio e conjunto universo
Em muitos casos restringimos nosso estudo a subconjuntos de um determinado conjunto
chamado conjunto universal, ou simplesmente, universo. É também designado de
espaço e será representado, aqui, pela letra U. Os elementos de um espaço costumam
ser chamados pontos do espaço.
É conveniente considerarmos também o conjunto desprovido de elementos: conjunto
vazio, denotado por “∅” ou “{ }”.
Nota: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Exemplo 1: O conjunto de todos os números reais tais que x4 = −32, isto é, {x | x4 =
−32}, é o conjunto vazio, pois não existe nenhum real cujo um número “x” elevado a
quarta potência seja igual a −32.
Exemplo 2: No lançamento de dois dados, observarem o resultado cuja soma seja
igual 13 ou 14. De todos os resultados possíveis a soma 12 (6 + 6) é o maior resultado
admissívelsível; logo, o conjunto será vazio.
1.7. Conjunto de conjuntos
Pode acontecer que os elementos de um conjunto sejam, também, conjuntos.
Exemplo: Consideremos o conjunto: X = {{2; 3}, {4, 5, 6}; {7}}.
Neste caso, o conjunto X tem 3 elementos, que são os conjuntos {2; 3}, {4, 5, 6} e
{7}, e, assim, podemos escrever:
{2; 3} ∈ X
{5; 6; 7} ∈ X
{{3; 4}, {5; 6; 7}} ∈ X
Mas, não podemos escrever:
{2; 3} ⊂ X
{3; 4} ∈ X
2 ∈ X
8 ∈ X
1.8. Conjunto das partes de um conjunto (cardinalidade)
Dado um conjunto qualquer “X”, pode-se obter outro conjunto constituído de elementos
que são todos os possíveis subconjuntos de “X”. Este conjunto, representado por P(X),
denomina-se conjunto das partes de X.
Aqui, consideramos “Ω” como todas as partes possíveis de “X”.
Exemplo:
X = {1; 2; 3}
P(X) = {∅; {1}; {2}, {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}; {1;2;3}}
Observação: Se o conjunto X possuir “n” elementos, então o conjunto P(X) possuirá
2n elementos.
Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, quantas partes ou subconjuntos
possui este conjunto A?
n(A) = 6 elementos
P(A) = 2n ⇒ P(A) = 26 ⇒ P(A) = 64 partes ou subconjuntos.
1.9. Partições de um conjunto
Seja U um conjunto não vazio e seja X um agregado não vazio de partes não vazias
de U. Diz-se que X são disjuntos 2 a 2, e o conjunto U é a reunião das partes da
coleção de X.
Exemplo: Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} e X1, X2 e X3 conjuntos
formados por partes de U, sendo: X1 = {1, 4, 7, 10, 13}, X2 = {2, 5, 8, 11} e X3 = {3,
6, 9, 12}, ou seja:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
X1 = {1, 4, 7, 10, 13}
X2 = {2, 5, 8, 11}
X3 = {3, 6, 9, 12}
Verificando a condição de que os conjuntos X1, X2 e X3 são disjuntos 2 a 2:
X1 ∩ X2 = {1, 4, 7, 10, 13} ∩ {2, 5, 8, 11} = ∅ ou { }
X1 ∩ X3 = {1, 4, 7, 10, 13} ∩ {3, 6, 9, 12} = ∅ ou { }
X2 ∩ X3 = {2, 5, 8, 11} ∩ {3, 6, 9, 12} = ∅ ou { }
Observa-se, também, que a reunião (ou união) das partes X1, X2 e X3 é o próprio
conjunto U:
X1 ∪ X2 ∪ X3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
Então, X = {X1, X2, X3} é uma partição de U, pois cada uma dessas partes é não
vazia e, além disso, X1 ∩ X2 = ∅, X1 ∩ X3 = ∅, X2 ∩ X3 = ∅ e X1 ∪ X2 ∪ X3 = U.
1.10. Diagramas de Euler-Venn
Um universo U pode ser representado geometricamente pelo conjunto de pontos
interiores a um retângulo. Em tais casos, subconjuntos de U (tais como X e Y),
sombreados na figura a seguir são representados por conjuntos de pontos interiores a
círculos. Tais diagramas, chamados diagramas de Euler-Venn, são úteis para dar uma
intuição geométrica quanto às possíveis relações existentes sobre conjuntos.
1.11. Operações com conjuntos por análise geométrica
1.11.1. União ou reunião
O conjunto de todos os elementos (pontos) que pertencem a X ou a Y, ou a ambos, é
chamado união (ou reunião) de X e Y; denota-se por X ∪ Y, que corresponde à área
sombreada na figura a seguir:
1.11.2. Intersecção
É o conjunto dos elementos que pertencem a X e a Y, simultaneamente. É chamado
intersecção de X e Y, e denota-se por X ∩ Y, representado pela área representada na
figura a seguir:
1.11.2.1. Conjuntos disjuntos
Quando dois ou mais conjuntos não possuem elementos em comuns, a intersecção é
conjunto vazio. Neste caso, os conjuntossão chamados disjuntos.
Por exemplo, se “P” é o conjunto dos números pares, e “I” o conjunto dos números
ímpares, então, fazendo-se “P ∩ I”, têm-se P ∩ I = ∅, pois não existem elementos em
comum, ou seja, nenhum par é ímpar e vice-versa.
1.11.3. Diferença
É o conjunto formado pelos elementos de X que não pertencem a Y. É chamado
diferença de X e Y; denota-se por X − Y. Pode ocorrer também a relação oposta dessa
propriedade, ou seja, a diferença de Y e X; denota-se por Y − X, onde são
representados todos os elementos de Y que não pertencem a X. Observe suas
representações, respectivamente, a seguir:
1.11.4. Complementação
Se Y ⊂ X (Y está contido em X), então X − Y é o complemento de Y em relação a X.
Denota-se por Y′X. Sua representação será dada pela área sombreada da figura a seguir:
Se X = U, o conjunto universo, referimo-nos a U − X como o complemento de Y;
denotamo-nos por Y′ ou , área sombreada na figura a seguir.
1.12. Operações com conjuntos por análise algébrica e
geométrica
Vamos considerar os seguintes conjuntos numéricos, representados pelo método da
propriedade: X = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6} e Y = {y ∈ N | 4 ≤ y ≤ 9}. Pelo método da
listagem, serão representados por: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Aplicando-se as operações de união, intersecção, diferença tem-se:
1.12.1. Intersecção
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
X ∩ Y = {4, 5, 6}
1.12.2. União
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1.12.3. Diferença
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
X − Y = {1, 2, 3}
Y − X = {7, 8, 9}
1.13. Diferença simétrica entre dois conjuntos
Dados os conjuntos X e Y diferentes do conjunto vazio (X, Y ≠ ∅), denominamos
diferença simétrica entre X e Y por “X Δ Y” a seguinte relação:
X Δ Y = (X − Y) ∪ (Y − X)
X = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 11}
Y = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}
X − Y = {1, 7, 8, 11}
X − Y = {0, 2, 4, 6, 10}
X Δ Y = ?
X Δ Y = (X − Y) ∪ (Y − X) ⊂ X Δ Y = {1, 7, 8, 11} ∪ (0, 2, 4, 6, 10)
X Δ Y = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}
1.13.1. Propriedade da diferença simétrica
A diferença simétrica entre dois conjuntos X e Y é igual à diferença entre a união e a
intersecção desses mesmos conjuntos, ou seja:
X Δ Y = (X ∪ Y) − (X ∩ Y)
Então, veja:
Sejam os conjuntos X = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 11} e Y = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}.
1 º passo: determinando X Δ Y = (X − Y) ∪ (Y − X).
X = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 11}
Y = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}
X − Y = {1, 7, 8, 11}
X − Y = {0, 2, 4, 6, 10}
X Δ Y = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}
2 º passo: determinando (X ∪ Y) − (Y ∩ X).
X = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 11}
Y = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10}
X ∪ Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
X ∩ Y = {3, 5, 9}
(X ∪ Y) − (Y ∩ X) = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}
Logo, podemos concluir que: (X − Y) ∪ (Y − X) = (X ∪ Y) − (X ∩ Y)
1.14. Representação de dois conjuntos no diagrama de
Euler-Venn
Sejam os conjuntos X e Y, formados pelos seguintes elementos:
X = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
Y = {17, 18, 19, 20, 21}
A construção do diagrama de Euler-Venn para 2 conjuntos dados passa,
obrigatoriamente, por 3 processos de verificação: “X ∩ Y”, “X − Y” e “Y − X”.
Iniciaremos pela intersecção dos elementos entre os 2 conjuntos dados, ou seja,
verificaremos a existência de X ∩ Y, que representa a intersecção entre os 2 conjuntos.
X = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 }
Y = {17, 18, 19, 20, 21}
Determinaremos a seguir os elementos que pertencem “somente” aos conjuntos X e Y,
que são representados por “X − Y” e “Y − X”.
→ Elementos que pertencem, somente, ao conjunto X = :
→ Elementos que pertencem, somente, ao conjunto Y = {17, 18, 19, 20, 21 }:
Portanto, possuímos o seguinte diagrama de Euler-Venn formado pelos elementos dos
conjuntos X e Y:
1.15. Número de elementos de “X ∪ Y” ou n(X ∪ Y)
Dado um conjunto finito X, indicamos o número de elementos de X por n(X) ou #X.
Assim, por exemplo, se X = {2, 3, 5, 6, 8, 9}, temos que n(X) = 6 ou #X = 6.
Exemplos:
Exemplo:
Sejam:
X = {2, 3, 4, 5, 7, 8} ∴ n(X) = 6
Y = {7, 8, 9, 10, 11, 12} ∴ n(Y) = 6
Temos:
X ∩ Y = {7, 8} ∴ n(X ∩ Y) = 2
X ∪ Y = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ∴ n(X ∪ Y) = 10
Lançando os valores no diagrama de Euler-Venn, tem-se a seguinte relação:
Consideremos os conjuntos finitos X e Y, ambos, subconjuntos de U. É fácil verificar
(analisando o digrama de Euler-Venn) que:
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) − n(X ∩ Y)
Verificando a relação de igualdade:
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) − n(X ∩ Y) ⇒ 10 = 6 + 6 − 2 ⊂ 10 = 12 − 2 ⇒ 10 = 10,
que é obviamente verdadeira.
Existe outra forma de analisarmos o número de elementos de X ∪ Y, ou seja, de n(X
∪ Y). Observando-se o diagrama de Venn anterior, podemos observar que:
n(X ∪ Y) = n(X − Y) + n(Y − X) + n(X ∩ Y) ⊂ 10 = 4 + 4 + 2 ⇒ 10 = 8 + 2 ⇒
10 = 10, que, também, é obviamente verdadeira.
Nota: Para o caso de X ∩ Y = ∅ (isto é, X e Y são disjuntos), temos: n(X ∪ Y) =
n(X) + n(Y).
1.16. Representação de três conjuntos no diagrama de
Euler-Venn
Sejam os conjuntos X, Y e Z, formados pelos seguintes elementos:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10}
Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13}
A construção do diagrama de Euler-Venn para 3 conjuntos dados passa,
obrigatoriamente, por 7 processos de verificação, iniciando-se pela intersecção dos
elementos entre os 3 conjuntos dados, ou seja, examinar a existência de X ∩ Y ∩ Z, que
representa a intersecção entre os 3 conjuntos.
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10}
Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13}
X ∩ Y ∩ Z = {6}
A seguir, devemos verificar a existência de intersecções entre os conjuntos tomados 2 a
2, ou seja, verificaremos a existência de elementos comuns para “X ∩ Y”, “Y ∩ Z” e “X ∩
Z”.
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10}
X ∩ Y = {4, 6}
(X ∩ Y) − Z = {4}
Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10}
Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13}
Y ∩ Z = {6, 7}
(Y ∩ Z) − X = {7}
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13}
X ∩ Z = {5, 6}
(X ∩ Z) − Y = {5}
Verificada a existência de elementos que pertencem à intersecção dos 3 conjuntos e das
intersecções dos conjuntos tomados (escolhidos) 2 a 2, determinaremos a seguir os
elementos que pertencem “somente” aos conjuntos X, Y e Z.
→ Elementos que pertencem, somente, ao conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
→ Elementos que pertencem, somente, ao conjunto Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10 }:
→ Elementos que pertencem, somente, ao conjunto Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13 }:
Portanto, possuímos o seguinte diagrama de Euler-Venn formado pelos elementos dos
conjuntos X, Y e Z:
1.17. Número de elementos de “X ∪ Y ∪ Z” ou n(X ∪ Y ∪
Z)
Tomemos os conjuntos X, Y e Z do item anterior:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∴ n(X) = 6
Y = {4, 6, 7, 8, 9, 10} ∴ n(Y) = 6
Z = {5, 6, 7, 11, 12, 13} ∴ n(X) = 6
E as seguintes relações encontradas:
X ∪ Y ∪ Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ∴ n(X ∩ Y ∩ Z) = 13
X ∩ Y ∩ Z = {6} ∴ n(X ∩ Y ∩ Z) = 1
X ∩ Y = {4, 6} ∴ n(X ∩ Y) = 2
Y ∩ Z = {6, 7} ∴ n(Y ∩ Z) = 2
X ∩ Z = {5, 6} ∴ n(X ∩ Z) = 2
Distribuindo estes elementos no diagrama de Euler-Venn, temos:
É fácil verificar, pela análise do diagrama, que:
n(X ∪ Y ∪ Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) − n(X ∩ Y) − n(Y ∩ Z) − n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y
∩ Z)
Fazendo-se as devidas substituições, temos:
13 = 6 + 6 + 6 − 2 − 2 − 2 + 1
13 = 18 − 6 + 1
13 = 13, que é obviamente verdadeira.
1.18. Algumas representações indicadas no diagrama de
Euler-Venn pela parte hachurada
1.19. Alguns teoremas relativos a conjuntos
I. X ∪ Y = Y ∪ X (Lei comutativa da união).
II. X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y) ∪ Z) = X ∪ Y ∪ Z (Lei associativa da união).
III. X ∩ Y = Y ∩ X (Lei comutativa da intersecção).
IV. X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y) ∩ Z) = X ∩ Y ∩ Z (Lei associativa da intersecção).
V. X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z) (Primeira lei distributiva).
VI. X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z) (Segunda lei distributiva).
VII. X − Y = X ∩ Y′.
VIII. Se X ⊂ Y, então X′ ⊃ Y′ ou Y′ ⊂ X.
IX. X ∪ ∅ = X e X ∩ ∅ = ∅.
X. X ∪ U = U e X ∩ U = X.
XI. (X ∪ Y)′ = X′ ∩ Y′ (Primeira Lei de Morgan).
XII. (X ∩ Y)′ = X′ ∪ Y′ (Segunda Lei de Morgan).
XIII. X = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Y)′ (para quaisquerconjuntos X e Y).
1.20. Intervalos
Sejam “a” e “b”números reais, tal que a > b localizados na reta real:
Intervalo aberto
Denomina-se intervalo aberto o conjunto de números reais entre “a” e “b”, excluindo-se
“a” e “b”:
Representação geométrica:
Exemplo:
] 3; 7 [ = ( 3; 7) = {3 < x < 7}
Intervalo fechado
Denomina-se intervalo fechado o conjunto de números reais entre “a” e “b”, incluindo-
se “a” e “b”:
Representação geométrica:
Exemplo:
[ −2; 4 ] = {−2 ≤ x ≤ 4}
Intervalos semi-abertos
1º caso: intervalo aberto à direita e fechado à esquerda o conjunto dos números reais
entre “a” e “b”, incluindo “b” e excluindo “a”.
Representação geométrica:
Exemplo:
[ 1; 8 [ = [ 1; 8) = {−2 ≤ x ≤ 4}
2 º caso: intervalo aberto à esquerda e fechado à direita o conjunto dos números reais
entre “a” e “b”, excluindo “b” e incluindo “a”.
Representação geométrica:
Exemplo:
] 0; 9 ] = ( 0; 9 ] = {0 < x ≤ 9}
Intervalos Infinitos
Os seguintes intervalos são considerados infinitos:
1º caso:] 
Exemplo:
] 
2 º caso: 
Exemplo:
3 º caso: 
Exemplo:
4º caso: 
Exemplo: 
Observações:
I) O símbolo + ∞ (mais infinito) não representa, especificamente, nenhum número real,
mas um valor eu cresce, de maneira contínua, e sem limites.
II) De maneira análoga, o símbolo − ∞ (menos infinito), também não representa
nenhum número real, mas um valor que decresce sem limites.
Assim, o conjunto dos números reais pode ser representado como um intervalo aberto:
E os seus subconjuntos + e − como intervalos semi-abertos:
1.21. Exercícios resolvidos
1. Sendo A = {2, 3, 5, 6, 7} e B = {0, 1, 2, 6, 8}, então [(A − B) ∪ (B − A)] será:
a) {0, 1, 3, 5, 7, 8};
b) {0, 1, 2, 3, 5, 7};
c) {1, 3, 7, 8};
d) {0, 1, 5, 8};
e) {0, 1, 2, 5, 8}.
Resolução:
Resolveremos a expressão [(A − B) ∪ (B − A)] em três passos:
1 º passo: A − B = {2, 3, 5, 6, 7} − {0, 1, 2, 6, 8} = {3, 5, 7}, ou seja todos os
elementos que têm em A, mas não têm em B.
2 º passo: B − A = {0, 1, 2, 6, 8} − {2, 3, 5, 6, 7} = {0, 1, 8}, ou seja todos os
elementos que têm em B, mas não têm em A..
3 º passo: (A − B) ∪ (B − A) = {3, 5, 7} ∪ {0, 1, 8} = {0, 1, 3, 5, 7, 8}.
Gabarito: Letra A.
2. Sendo A = {x ∈ R | -2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ Z | -2 < x ≤ 3}, é correto afirmar:
a) A ∪ B = A;
b) A ∪ B ⊂ Z;
c) A ∪ B = B;
d) A ∩ B ⊂ Z;
e) A ∩ B = B.
Resolução:
Nota inicial: Os elementos do conjunto “A” pertencem ao conjunto dos números reais,
portanto seus elementos podem ser representados pelos números naturais, inteiros,
racionais e irracionais dentro do intervalo “−2 ≤ x < 3”. Uma possível
representação deste intervalo seria: 
Inicialmente, reescreveremos os conjuntos A e B pelo método da listagem:
Fazendo-se a intersecção (“A ∩ B”) dos conjuntos dados, teremos:
A ∩ B = {−1, 0, 1, 2}
Podemos observar que os elementos encontrados pela intersecção entre A e B (−1, 0, 1,
2) pertence ao conjunto dos números inteiros, ou seja, estão contidos no conjunto
dos inteiros.
A ∩ B = {−1, 0, 1, 2} ⊂ Z
Logo, A ∩ B ⊂ Z
Gabarito: Letra D.
3. Considerando N = {0, 1, 2, 3, 4,…}, A = e B = {x ∈ N
| 3x + 4 < 2x + 9}, podemos afirmar que:
a) A ∪ B tem 8 elementos;
b) A ∩ B tem 4 elementos;
c) A ∪ B = A;
d) A ∩ B = A;
e) A ∩ B = ∅.
Resolução:
Nota inicial: Os valores que “x” deve assumir para que “n” pertença ao conjunto dos
números naturais “N” são os próprios divisores de 24, ou seja, x = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
24}.
Os elementos do conjunto B, pertencentes ao conjunto dos números naturais, deverão
obedecer à inequação do 1º grau: 3x + 4 < 2x + 9.
Fazendo-se a operação de união e intersecção entre os conjuntos A e B, tem-se:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B = {0, 1, 2, 3, 4 }
A ∪ B = {0. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} − 9 elementos
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
B = {0, 1, 2, 3, 4 }
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} − 4 elementos
Gabarito: Letra B.
4. Considere os conjuntos:
A = {x | x é letra do estado brasileiro cuja capital é Recife}
B = {y | y é letra da palavra número}
C = {p, a, r, e, o}
D = {b, o}
Assim, a expressão A − {(B − C) ∪ D} é igual ao conjunto de letras da palavra:
a) brigadeiro;
b) epcar;
c) Brasil;
d) aeronáutica;
e) barbacena.
Resolução:
Definiremos, inicialmente, os conjuntos A e B pelo método da listagem:
A = {x | x é letra do estado brasileiro cuja capital é Recife}, sendo o estado em
questão PERNAMBUCO, teremos para o conjunto A a seguinte listagem:
A = {a, b, c, e, m, n, o, p, r, u}
B = {y | y é letra da palavra número}
B = {e, m, n, o, r, u}
Assim, os conjuntos A, B, C e D serão listados por:
A = {a, b, c, e, m, n, o, p, r, u}
B = {e, m, n, o, r, u}
C = {p, a, r, e, o}
D = {b, o}
Dada a expressão A − {(B − C) ∪ D}, seguiremos 3 passos para resolução desta, a
saber:
1 º passo: B − C = {e, m, n, o, r, u} − {p, a, r, e, o} = {m, n, u}, ou seja todos os
elementos que têm em B, mas não têm em C.
2 º passo: ( B − C) ∪ D = {m, n, u} − {b, o} = {b, m, n, o, u}.
3 º passo: A − {(B − C) ∪ D} = {a, b, c, e, m, n, o, p, r, u} − {b, m, n, o, u} = {a,
c, e, p, r}.
Das alternativas, a palavra que podemos formar os elementos “a, c, e, p, r” será:
EPCAR.
Gabarito: Letra B.
5. Dados os conjuntos A e B, sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 4}. A ∩ B tem
quantos elementos?
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 0.
Resolução:
Desejamos determinar o conjunto intersecção entre A e B, ou seja, os elementos comuns
entre esses conjuntos.
A = {1, 3, 5}
B = {0, 1, 3, 4}
A ∩ B = {1, 3}, logo, possuímos 2 elementos do conjunto intersecção entre A e B.
Gabarito: Letra b.
6. Considere A = {0,1,2,3}, B = {2,3,5} e C = {x | x é um número par menor que
10}. Assinale a alternativa que corresponde ao conjunto A ∩ B ∩ C:
a) {2};
b) {2,3};
c) {0,1};
d) {0,2};
e) {3}.
Resolução:
Inicialmente, listaremos os elementos do conjunto C.
C = {x | x é um número par menor que 10}
C = {0, 2, 4, 6, 8}
A seguir, determinaremos o(s) elemento(s) do conjunto intersecção entre os conjuntos A, B
e C : A ∩ B ∩ C
A = {0,1,2,3}
B = {2,3,5}
C = {0, 2, 4, 6, 8}
A ∩ B ∩ C = {2}
Gabarito: Letra A.
7. Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 8;
b) 256;
c) 6;
d) 128;
e) 100.
Resolução:
Analisando a cardinalidade do conjunto A, ou seja, verificando as partes do conjunto A,
encontraremos “2n” subconjuntos deste conjunto A, onde “n” corresponde ao número de
elementos do conjunto dado:
Para n = 8:
nº de subconjuntos = 28 = 256 subconjuntos.
Gabarito: Letra B.
8. Seja A o conjunto dos números ímpares maiores que 3 e menores que 20, e B o
conjunto dos números divisíveis por 3. Os elementos de A ∩ B são:
a) 3 e 15;
b) 5 e 18;
c) 3 e 18;
d) 9 e 15;
e) 9 e 19.
Resolução:
Seja A o conjunto dos números ímpares maiores que 3 e menores que 20, então:
A = {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Seja B o conjunto dos números divisíveis por 3, ou seja, o conjunto dos números
múltiplos de 3.
B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …}
Os elementos de A ∩ B são todos os elementos comuns aos dois conjuntos, A e B. Assim,
temos que:
A ∩ B : {9, 15}
Gabarito: Letra D.
9. A interseção do conjunto de todos os números inteiros positivos múltiplos de 5
com o conjunto de todos os inteiros múltiplos de 16 é o conjunto de todos os
inteiros múltiplos de:
a) 4;
b) 21;
c) 80;
d) 48;
e) 56.
Resolução:
Seja A o conjunto dos números múltiplos de 5:
A = M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,
95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, …}
Seja B o conjunto dos números múltiplos de 16:
B = M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224,… }
A intersecção entre os conjuntos A e B, ou seja, A ∩ B, será dada por:
A ∩ B : {0, 80, 160, ….}
Portanto, concluímos que a intersecção (“A ∩ B”) entre os conjuntos dados (“A” e “B”)
representa o conjunto dos números múltiplos de 80.
Gabarito: Letra C.
10. Dos conjuntos abaixo, o subconjunto de M = {2, 3, 4,5, 6, 7, 8} é:
a) {0, 1, 2};
b) {6, 8, 10};
c) {1, 3, 5, 7};
d) {3, 4, 5, 6};
e) {3, 6, 9}.
Resolução:
Analisando cada alternativa, eliminaremos aquelas quepossuem elemento(s) distinto(s)
do conjunto M apresentado:
a) { , , 2} − não pode ser um subconjunto de M, já que os elementos “0” e “1” não
pertencem ao conjunto M;
b) {6, 8, } − não pode ser um subconjunto de M, já que o elemento “10” não pertence
ao conjunto M;
c) { , 3, 5, 7} − não pode ser um subconjunto de M, já que o elemento “1” não
pertence ao conjunto M;
d) {3, 4, 5, 6} − é um subconjunto de M, pois todos seus elementos pertencem ao
conjunto M;
e) {3, 6, 9} − não pode ser um subconjunto de M, já que o elemento “9” não pertence
ao conjunto M.
Gabarito: Letra d.
11. Considerando os elementos do conjunto P = {números primos}, a sentença
verdadeira é:
a) 12 ∈ P;
b) 15 ∉ P;
c) 17 ∉ P;
d) 19 ∉ P;
e) 21 ∈ P.
Resolução:
Lembremos que alguns dos números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
…, entre outros, portanto, das alternativas apresentadas, observamos que o número
“15” não é um número primo, logo, o mesmo não pertencerá ao conjunto P (15 ∉ P).
Gabarito: Letra B
12. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5}, podemos afirmar que:
a) A ∩ B = A ∪ B
b) (A ∪ B) ∩ A = A
c) A ∩ B = A
d) A ∪ B = B
e) A ∪ B = B ∩ A ∪ B
Resolução:
Analisando cada alternativa apresentada:
a) 
A ∩ B = A ∪ B:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
A ∩ B = {2, 3}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
Logo, A ∩ B ≠ A ∪ B − alternativa incorreta.
b) (A ∪ B) ∩ A = A:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
(A ∪ B) ∩ A = {1, 2, 3}
Logo, (A ∪ B) ∩ A = A − alternativa correta.
c) A ∩ B = A:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
A ∩ B = {2, 3}
Logo, A ∩ B ≠ A − alternativa incorreta.
d) A ∪ B = B:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
Logo, A ∪ B ≠ B − alternativa incorreta.
e) A ∪ B = B ∩ A ∪ B:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
B ∩ A ∪ B = {2, 3, 5}
Logo, A ∪ B ≠ B ∩ A ∪ B − alternativa incorreta.
Gabarito: Letra B.
13. Se A = {1, 10, 100, 1000} e B = {1, 10, 102}, então A ∩ B é:
a) {1, 10, 100};
b) {1, 10, 100, 1000};
c) ∅;
d) {1, 10};
e) {10}.
Resolução:
Dados os conjuntos:
A = {1, 10, 100, 1000}
B = {1, 10, 100} → lembremos que 102 = 100
Logo, A ∩ B = {1, 10, 100}.
Gabarito: Letra a.
14. Se M é um subconjunto de N e N é um subconjunto de M, então se pode dizer
que:
a) isto só acontece se M e N forem conjuntos vazios;
b) isto nunca pode acontecer;
c) M = N;
d) M ∈ N;
e) M ∉ N.
Resolução:
Se um conjunto M é subconjunto de outro conjunto N, e este é subconjunto do primeiro
(M), então o conjunto M será igual ao conjunto N.
Gabarito: Letra C.
15. A interseção do conjunto dos divisores de um número natural com o conjunto
dos múltiplos do mesmo número é um conjunto:
a) vazio;
b) unitário;
c) de números primos;
d) com número limitado de elementos;
e) é um conjunto infinito.
Resolução:
Vejamos alguns divisores e múltiplos de certos números e, a seguir, verificaremos a
intersecção entre esses conjuntos formados:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …}
D(4) = {1, 2, 4 }
M(4) ∩ D(4) = {4 } − somente um elemento, ou seja, um conjunto unitário.
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
M(12) ∩ D(12) = {12 } − somente um elemento, ou seja, um conjunto unitário.
M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, …}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
M(30) ∩ D(30) = {30 } − somente um elemento, ou seja, um conjunto unitário.
Portanto, podemos observar que a interseção do conjunto dos divisores de um número
natural com o conjunto dos múltiplos do mesmo número é um conjunto unitário.
Gabarito: Letra B.
16. Sabe-se que:
A ∪ B ∪ C = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 10};
A ∩ B = {2, 3, 8};
A ∩ C = {2, 7};
B ∩ C = {2, 5, 6} e
A ∪ B = = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 8}
O conjunto C é:
a) {9, 10};
b) {5, 6, 9, 10};
c) {2, 5, 6, 7, 9, 10};
d) {2, 5, 6, 7};
e) A ∪ B.
Resolução:
Inicialmente, listaremos os conjuntos dados e verificaremos se ocorre a intersecção
entre os 3 conjuntos A, B e C, dados:
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
A ∩ B = {2, 3, 8};
A ∩ C = {2, 7};
B ∩ C = {2, 5, 6} e
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B ∩ C = {2}, único elemento comum nas intersecções tomadas 2 a 2
Representaremos, no diagrama de Euler-Venn, a intersecção dos 3 conjuntos, bem como
as intersecções tomadas 2 a 2, ou seja, “A ∩ B ∩ C”, “A ∩ B”, “B ∩ C” e “A ∩ C”.
Analisando os elementos do conjunto “A ∪ B” não poderemos afirmar, com certeza, a
quem pertencem os elementos {1, 4}, assim, poderemos ter 4 opções a saber:
ou ainda:
A única conclusão que podemos tirar desses 4 diagramas anteriores é que os elementos {1,
4} não pertencerão ao conjunto C. Portanto, pela união dos 3 conjuntos “A ∪ B ∪ C”,
podemos constatar, facilmente, que os elementos {9, 10} pertencerão, somente, ao
conjunto C.
Assim, definiremos o conjunto C como sendo: C = {2, 5, 6, 7, 9, 10}.
Gabarito: Letra C.
17. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {0, 1} e C = {0, 4}, determinando-se (A
∪ B) ∩ C, obtemos:
a) ∅;
b) {0};
c) {1};
d) {0, 1, 2};
e) {0, 1, 2, 3, 4}.
Resolução:
Dada a expressão (A ∪ B) ∩ C, seguiremos 2 passos para a resolução desta questão, a
saber:
1 º passo: A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {0, 1} = {0, 1, 2, 3}.
2 º passo: ( A ∪ B) − C = {0, 1, 2, 3} − {0, 4} = {0}.
Gabarito: Letra B.
18. Sendo A = {2, 5, 7, 8} e B = {1, 5, 7}, então A − B:
a) é o conjunto {0, 1, 2};
b) é o conjunto {1, 2, 5, 7, 8};
c) não é definida, pois B ⊂ A;
d) é o conjunto {2, 8};
e) é o conjunto {2, 7, 8}.
Resolução:
A = {2, 5, 7, 8}
B = {1, 5, 7}
A − B = {2, 5, 7, 8} − {1, 5, 7} = {2, 8}, são todos os elementos em A, mas que não
estão em B.
Gabarito: Letra D.
19. Se A = {1, 2, 3, {1}} e B = {1, 2, {3}} a diferença A − B é igual a:
a) {3, {2}};
b) {3, {1}};
c) {0, {2}};
d) {0, {0}};
e) não existe tal diferença.
Resolução:
A = {1, 2, 3, {1}}
B = {1, 2, {3}}
A − B = {3, {1}}
Nota: Devemos lembrar que os termos do conjunto 3 e {3} são diferentes pela natureza
(3 ≠ {3}): um é elemento (3) e o outro é parte ou subconjunto ({3}) do próprio conjunto.
Gabarito: Letra B.
20. No diagrama abaixo, a região hachurada representa o conjunto:
a) (A ∪ B) ∩ C;
b) (A ∩ B) − A;
c) (A ∩ B) − C;
d) A − (B ∩ C);
e) A − (B − C).
Resolução:
O diagrama correspondente a “A − (B ∩ C)” serão todos os elementos de “A” que não
estão em “(B ∩ C)”.
Gabarito: Letra D.
21. A parte hachurada da figura abaixo, onde U é o conjunto universo, e A, B e C
são conjuntos, representa:
a) A ∪ B ∪ C;
b) A ∩ B ∩ C;
c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
e) (A ∪ B ∪ C) − (A ∩ B ∩ C).
Resolução:
O diagrama correspondente a “(A ∪ B ∪ C) − (A ∪ B ∩ C)” serão todos os elementos de
“(A ∪ B ∪ C)” que não estão em “(A ∩ B ∩ C)”.
Gabarito: Letra E.
22. Em uma universidade são lidos apenas dois jornais: A e B. Oitenta por cento
dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é
leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao
percentual de alunos que leem ambos.
a) 80%.
b) 14%.
c) 40%.
d) 60%.
e) 48%.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
n(A ∪ B) = 100%
n(A) = 80%.
n(B) = 60%.
n(A ∩ B) = ?.
Sabendo-se que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), então, teremos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ 100% = 80% + 60% − n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 140% − 100% ⇒ n(A ∩ B) = 40%
Gabarito: Letra C.
23. Se A, B e A ∩ B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o
número de elementos do conjunto A ∪ B é:
a) 70;
b) 110;
c) 90;
d) 170;
e) 200.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
n(A) = 90.
n(B) = 50.
n(A ∩ B) = 30.
n(A ∪ B) = ?
Sabendo-se que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), então, teremos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ n(A ∪ B) = 90 + 50 − 30
n(A ∪ B) = 140 − 30 ⇒ n(A ∪ B) = 110
Gabarito: Letra B.
24. De certo grupo de 180 oficiais da Marinha do Brasil, 122 pertencem ao
conjunto T dos tenentes, 108 pertencem ao conjunto A de oficiais da Armada e
75 pertencem aos dois conjuntos. Quantos são os oficiais desse grupo que não
pertencem ao conjunto T nem ao conjunto A?
a) 155;
b) 100;
c) 75;
d) 55;
e) 25.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
U= 180 oficiais da Marinha do Brasil.
n(T) = 122 tenentes.
n(A) = 108 oficiais da Armada.
n(T ∩ A) = 75.
U − n(T ∪ A) = ? (oficiais desse grupo que não pertencem ao conjunto T nem ao
conjunto A)
Sabendo-se que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), então, teremos:
n(T ∪ A) = n(T) + n(A) − n(T ∩ A) ⇒ n(T ∪ A) = 122 + 108 − 75
n(T ∪ A) = 230 − 75 ⇒ n(T ∪ A) = 155
U − n(T ∪ A) = 180 − 155 = 25 (oficiais desse grupo que não pertencem ao
conjunto T nem ao conjunto A)
Gabarito: Letra E.
25. O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra
parvovirose e 60% contra cinomose. O percentual de animais que foram
vacinados contra as duas doenças é de:
a) 14%;
b) 22%;
c) 40%;
d) 68%;
e) 70%.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
n(P ∪ C) = 100%.
n(P) = 80%.
n(C) = 60%.
n(P ∩ C) = ?.
Sabendo-se que: n(P ∪ C) = n(P) + n(C) − n(P ∩ C), então, teremos:
n(P ∪ C) = n(P) + n(C) − n(P ∩ C) ⇒ 100% = 80% + 60% − n(P ∩ C)
n(P ∩ C) = 140% − 100% ⇒ n(P ∩ C) = 40%.
Gabarito: Letra C.
26. Numa comunidade, 120 pessoas consomem o produto A, 130 o produto B, 40 os
produtos A e B e 70 nem A nem B. Quantas pessoas há na comunidade?
a) 270;
b) 280;
c) 320;
d) 360;
e) 240.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
n(A) = 120 (120 pessoas consomem o produto A)
n(B) = 130 (130 pessoas consomem o produto B)
n(A ∩ B) = 40 (40 pessoas consomem os produtos A e B)
U − n(A ∪ B) = 70 (70 pessoas não consomem nem A nem B)
n(A ∪ B) = ?
Inicialmente, determinaremos o número de elementos de A ∪ B, ou seja, n(A ∪ B), que
é dado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), então, teremos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ n(A ∪ B) = 120 + 130 − 40
n(A ∪ B) = 250 − 40 ⇒ n(A ∪ B) = 210
Se o total de pessoas dessa comunidade equivale ao conjunto U, então, teremos:
U − n(A ∪ B) = 70 ⇒ U − 210 = 70 ∪ U = 70 + 210
U = 280 pessoas nesta comunidade.
Gabarito: Letra B.
27. Em uma escola com 195 alunos: 55 estudam Física, 63 Química e 100 não
estudam nenhuma das duas matérias. Os alunos que estudam as duas matérias
são:
a) 23;
b) 2;
c) 95;
d) 32;
e) 40.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
U = 195 (total de alunos)
n(F) = 55 (55 alunos estudam Física).
n(Q) = 63 (63 alunos estudam Química).
U − n(F ∪ Q) = 100 (100 alunos não estudam nem Física nem Química)
n(F ∩ Q) = ? (número de alunos que estudam as duas disciplinas, Física e Química)
Inicialmente, determinaremos o número de elementos de F ∪ Q, ou seja, n(F ∪ Q), que
é dado por:
U − n(F ∪ Q) = n(nem F nem Q), então teremos:
U − n(F ∪ Q) = nem F nem Q ⇒ 195 − n(F ∪ Q) = 100 ∪ 195 − 100 = n(F ∪ Q)
n(F ∪ Q) = 95 (95 alunos estudam Física ou Química)
Se 95 alunos estudam Física ou Química, então o total de alunos que estudam Física e
Química poderá ser determinado por:
n(F ∪ Q) = n(F) + n(Q) − n(F ∩ Q), então teremos:
n(F ∪ Q) = n(F) + n(Q) − n(F ∩ Q) ⇒ 95 = 55 + 63 − n(F ∩ Q)
n(F ∩ Q) = 55 + 63 − 95 ⇒ n(F ∩ Q) = 118 − 95 = 23 alunos estudam Física e
Química.
Gabarito: Letra A.
28. Em uma escola com 500 alunos: 300 praticam judô, 180 praticam caratê e 90
não praticam qualquer modalidade de arte marcial. O número de alunos que
praticam apenas caratê é:
a) 60;
b) 70;
c) 110;
d) 130;
e) 180.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
U = 500 (total de alunos)
n(J) = 300 (300 alunos praticam judô).
n(K) = 180 (180 alunos praticam karatê).
U − n(J ∪ K) = 90 (90 alunos não praticam nem judô nem karatê)
n(K − J) = ? (número de alunos que praticam apenas karatê)
Inicialmente, determinaremos o número de elementos de J ∪ K, ou seja, n(J ∪ K), que é
dado por:
U − n(J ∪ K) = n(nem J nem K), então, teremos:
U − n(J ∪ K) = n(nem J nem K) ⇒ 195 − n(J ∪ K) = 100 ⇒ 195 − 100 = n(J ∪
K)
n(J ∪ K) = 95 (95 alunos praticam judô ou karatê)
Se 95 alunos praticam judô ou karatê, então o total de alunos que praticam judô e
karatê poderá ser determinado por:
n(J ∪ K) = n(J) + n(K) − n(J ∩ K), então, teremos:
n(J ∪ K) = n(J) + n(K) − n(J ∩ K) ⇒ 95 = 55 + 63 − n(J ∩ K)
n(J ∩ K) = 55 + 63 − 95 ⇒ n(J ∩ K) = 118 − 95 = 23 alunos praticam judô e
karatê.
Gabarito: Letra A.
29. Em um avião, os passageiros são de quatro nacionalidades − argentina,
brasileira, colombiana e dominicana −, nas seguintes proporções: 20% são
argentinos, 85% não colombianos e 70% não dominicanos. Qual a porcentagem
de passageiros que são brasileiros?
a) 15%;
b) 25%;
c) 35%;
d) 45%;
e) 55%.
Resolução:
Reavaliaremos o percentual nas seguintes proporções:
20% são argentinos;
85% são não colombianos, ou seja, 15% são colombianos.
70% são não dominicanos, ou seja, 30% são dominicanos.
Assim, teremos as seguintes nacionalidades, nas seguintes proporções percentuais:
20% de argentinos;
15% de colombianos;
30% de dominicanos;
“x” de brasileiros.
Se o conjunto universo é de 100% (U = 100%), então, teremos o seguinte percentual de
brasileiros:
n(A) + n(B) + n(C) + n(D) = 100% ⇒ 20% + n(B) + 15% + 30% = 100%
n(B) = 100% − 65% ⇒ n(B) = 35% (têm-se 35% de brasileiros no avião)
Gabarito: Letra C.
Enunciado referente às questões de números 30 a 32.
Em uma escola de 517 alunos, 290 praticam vôlei, 210 praticam natação e 112 não praticam nem vôlei
nem natação.
Desenvolvimento da questão para as alternativas subsequentes:
Sejam as quantidades de elementos dados:
U = 517 (total de alunos);
n(V) = 290 (290 alunos praticam vôlei);
n(N) = 210 (210 alunos praticam natação);
U − n(F ∪ Q) = 112 (112 alunos não praticam nem vôlei nem natação).
Inicialmente, determinaremos o número de elementos de V ∪ N, ou seja, n(V ∪ N), que
é dado por:
U − n(V ∪ N) = n(nem V nem N), então, teremos:
U − n(V ∪ N) = n(nem V nem N) ⊂ 517 − n(V ∪ N) = 112 ⊂ 517 − 112 = n(V ∪
N)
n(V ∪ N) = 405 (405 alunos praticam vôlei ou natação)
Se 405 alunos praticam vôlei ou natação, então o total de alunos que praticam vôlei e
natação, ou seja, praticam os dois esportes, será determinado por:
n(V ∪ N) = n(V) + n(N) − n(V ∩ N), então teremos:
n(V ∪ N) = n(V) + n(N) − n(V ∩ N) ⇒ 405 = 290 + 210 − n(V ∩ N)
n(V ∩ N) = 290 + 210 − 405 ⇒ n(V ∩ N) = 500 − 405 = 95 alunos que praticam
vôlei e natação.
30. O número de alunos que praticam vôlei e natação é:
a) 90;
b) 95;
c) 100;
d) 405;
e) 115.
Resolução:
De acordo com o desenvolvimento anterior, 95 alunos praticam vôlei e natação, ou seja,
n(V ∩ N) = 95.
Gabarito: Letra B.
31. O número de alunos que praticam vôlei ou natação é:
a) 90;
b) 95;
c) 100;
d) 405;
e) 115.
Resolução:
De acordo com o desenvolvimento anterior, 405 alunos praticam vôlei ou natação, ou
seja, n(V ∪ N) = 405.
Gabarito: Letra D.
32. O número de alunos que praticam vôlei, mas não praticam natação é:
a) 195;
b) 95;
c) 405;
d) 115;
e) 105.
Resolução:
Depositando os valores encontrados anteriormente, no diagrama de Euler-Venn, tem-se
que:
Podemos observar que 195 alunos praticam, somente, vôlei.
Gabarito: Letra A.
33. (Puccamp) Em uma comunidade constituída por 1.800 pessoas, há três
programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela
seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas:
Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não
assiste a qualquer dos três programas é:
a) 100;
b) 200;
c) 900;
d) 950;
e) 980.
Resolução:
Inicialmente, destacamos os 3 conjuntos e as respectivas quantidades de elementos
correlacionados a serem distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• Conjunto universo: 1.800 pessoas entrevistadas;
• Programa 1: esporte (E);
• Programa 2: novela (N);
• Programa 3: humorístico (H).
Correlacionamentos:
• 400 pessoas assistem aos programas de esportes;
• 1.220 pessoas assistem às novelas;
• 1.080 pessoas assistem aos programas humorísticos;
• 220 pessoas assistem às novelas e aos programas de esportes;
• 800 pessoas assistem às novelas e aos programas humorísticos;
• 180 pessoas assistem aos programas esportivos e humorísticos;
• 100 pessoas assistem aos 3 programas.
Em seguida, montaremos o diagrama de Venn iniciando pela intersecção entre os 3
conjuntos, seguido pelas intersecçõestomadas 2 a 2 (intersecções entre “E” e “N”, entre
“N” e “H” e, finalmente, entre “E” e “H”); por último, preencheremos com as
quantidades que representam “somente” cada um dos determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “100 pessoas assistem aos 3 programas”.
2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “220 pessoas assistem às novelas e aos programas de
esportes”; portanto, teremos que 220 − 100 = 120 pessoas assistem aos
programas de esportes e às novelas, mas não assistem aos programas humorísticos.
3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “800 pessoas assistem às novelas e aos programas
humorísticos”; portanto, teremos que 800 − 100 = 700 pessoas assistem aos
programas humorísticos e às novelas, mas não assistem aos programas de esportes.
4º) Intersecção tomadas 2 a 2: “180 pessoas assistem aos programas esportivos e
humorísticos”; portanto, teremos que 180 − 100 = 80 pessoas assistem aos
programas humorísticos e de esportes, mas não assistem às novelas.
5º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “400 pessoas
assistem aos programas de esportes”; portanto, 400 − (120 + 100 + 80) = 100
pessoas assistem, somente, aos programas esportivos.
6º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “1.220
pessoas assistem às novelas”; portanto, 1.220 − (120 + 100 + 700) = 300
pessoas assistem, somente, às novelas.
7º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “1.080
pessoas assistem aos programas humorísticos”; portanto, 1.080 − (80 + 100 +
700) = 200 pessoas assistem, somente, aos programas humorísticos.
Para determinar o total de pessoas que não assistem a nenhum dos programas citados,
devemos subtrair o conjunto universo (U = 1.800 pessoas) do número que representa o
conjunto união entre os 3 conjuntos (n(E ∪ N ∪ H)), ou seja:
Nº de pessoas que não assistem a nenhum dos 3 programas de TV = U − n(E ∪ N ∪
H).
n(E ∪ N ∪ H) = soma de todos os elementos do diagrama de Euler-Venn.
n(E ∪ N ∪ H) = 100 + 120 + 100 + 80 + 300 + 700 + 200 = 1.600 pessoas.
Nº de pessoas que não assistem a nenhum dos 3 programas de TV = 1.800 − 1.600 =
200 pessoas não assistem a nenhum dos 3 programas citados.
Gabarito: Letra B.
34. Quantos inteiros entre 1 e 5.000, inclusive, são divisíveis por 3, 5 ou 7?
Resolução:
Inicialmente, denotaremos por X, Y e Z os conjuntos dos inteiros que são divisíveis,
respectivamente, por 3, 5 e 7. Portanto, teremos as seguintes quantidades de elementos
que compõem cada conjunto dos múltiplos desses números, compreendido entre 1 e
5.000, inclusive:
A seguir, identificaremos a quantidade de múltiplos comuns 2 a 2, ou seja, os múltiplos
comuns entre 3 e 5 (3 × 5 = 15); entre 3 e 7 (3 × 7 = 21); e entre 5 e 7 (5 × 7 = 35):
Identificaremos, por último, o número de múltiplos comuns entre 3, 5 e 7 (3 × 5 × 7 =
105):
O total de números inteiros compreendidos entre 1 e 5.000 será dado por n(X ∪ Y ∪ Z),
onde:
n(X ∪ Y ∪ Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) − n(X ∩ Y) − n(Y ∩ Z) − n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y
∩ Z)
n(X ∪ Y ∪ Z) = 1.666 + 1.000 + 142 − 333 − 238 − 142 + 47
n(X ∪ Y ∪ Z) = 2.142 números inteiros compreendidos entre 1 e 5000 que são
divisíveis por 3, 5 e 7.
35. Quantos são os inteiros entre 1 e 84.000 inclusive, que não são divisíveis por
2, nem por 3 e nem por 7?
Resolução:
Sejam os seguintes conjuntos:
S = {1, 2, 3, 4, …, 84.000} → conjunto de todos os números compreendidos entre 1 e
84.000, inclusive;
X = {x ∈ S | x = 2k, k ∈ N} → conjunto dos divisores de 2;
Y = {x ∈ S | x = 3k, k ∈ N} → conjunto dos divisores de 3;
Z = {x ∈ S | x = 7k, k ∈ N} → conjunto dos divisores de 7.
A quantidade desejada será dada por: n(S) − n(X ∪ Y ∪ Z).
Determinando:
Portanto, teremos as seguintes quantidades de elementos que compõem cada conjunto
dos múltiplos desses números, compreendido entre 1 e 84.000, inclusive:
A seguir, identificaremos a quantidade de múltiplos comuns 2 a 2, ou seja, os múltiplos
comuns entre 2 e 3 (2 × 3 = 6); entre 2 e 7 (2 × 7 = 14); e entre, 3 e 7 (3 × 7 = 21):
Por último, o número de múltiplos comuns entre 3, 5 e 7 (2 × 3 × 7 = 42):
O total de números inteiros compreendidos entre 1 e 84.000 será dado por n(X ∪ Y ∪
Z), onde:
n(X ∪ Y ∪ Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) − n(X ∩ Y) − n(Y ∩ Z) − n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y
∩ Z)
n(X ∪ Y ∪ Z) = 42.000 + 28.000 + 12.000 − 14.000 − 6.000 − 4.000 + 2.000
n(X ∪ Y ∪ Z) = 60.000 números inteiros compreendidos entre 1 e 84.000 que são
divisíveis por 2, 3 e 7.
Logo, teremos, 84.000 − 60.000 = 24.000 inteiros compreendidos entre 1 e 84.000 que
não são divisíveis por 2, 3 e 7.
1.22. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
1. (FEC/2002) Sendo o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8, 10},
podemos afirmar que a interseção de A com B (A ∩ B) é:
a) {1, 3, 5};
b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10};
c) {2, 4, 6};
d) {8, 10};
e) {1, 3, 5, 8, 10}.
Resolução:
Sejam os conjuntos A e B:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 };
B = {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ B) = {2, 4, 6}
Nota: Lembramos que a intersecção entre dois conjuntos é dada pelos elementos
comuns a esses dois conjuntos.
Gabarito: Letra C.
2. (FEC/2003) Sabendo que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {4, 5}, A − B =
{1, 2, 3}, então B é:
a) {6, 7 };
b) {4, 5, 6, 7};
c) {1, 2, 3, 4};
d) {4, 5};
e) {2, 4, 6}.
Resolução:
A determinação dos elementos do conjunto “A”, dadas a união, a intersecção e a
diferença entre este e outro conjunto “B”, será definida por:
A determinação dos elementos do conjunto “B”, conhecendo-se os elementos de “A”, a
união e a intersecção entre esses conjuntos, será definida por:
3. (NCE/2001) Uma pesquisa referente a dois telejornais, A e B, envolvendo 100
pessoas, revelou que:
82 gostam de A;
76 gostam de B;
4 não gostam de A, nem de B.
O número de pessoas que gostam de ambos os telejornais é:
a) 56;
b) 58;
c) 60;
d) 62;
e) 64.
Resolução:
Sejam as quantidades de elementos dados:
U = 100 (total de pessoas entrevistadas)
n(A) = 82 (82 pessoas gostam de A)
n(B) = 76 (76 pessoas gostam de B)
U − n(A ∪ B) = 4 (4 pessoas que não gostam nem de A nem de B)
Inicialmente, determinaremos o número de elementos de A ∪ B, ou seja, n(A ∪ B), que
é dado por:
U − n(A ∪ B) = n(nem A nem B), então, teremos:
U − n(A ∪ B) = nem A nem B ⇒ 100 − n(A ∪ B) = 4 ⇒ 100 − 4 = n(A ∪ B)
n(A ∪ B) = 96 (96 pessoas entrevistadas gostam tanto de A quanto de B)
Se 96 pessoas entrevistadas gostam de A ou de B, então, o total de pessoas entrevistadas
que gostam de A e de B, ou seja, que gostam tanto de A quanto de B:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), então, teremos:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ 96 = 82 + 76 − n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = 158 − 96 ⇒ n(A ∩ B) = 62 pessoas entrevistadas gostam tanto de A
quanto de B.
Gabarito: Letra D.
4. (NCE/2003) As atividades físicas têm sido recomendadas como forma de se
obter uma boa qualidade de vida. Uma pesquisa realizada com médicos que
residem na região oceânica de uma determinada cidade, na faixa etária entre
30 e 40 anos, sobre a prática de duas modalidades de atividades físicas −
caminhada na orla marítima e exercícios em academia de ginástica −
constatou que, dos médicos consultados, 180 não frequentam academia de
ginástica, 130 apenas caminham na orla, 280 praticam somente uma das duas
modalidades e 30 praticam as duas modalidades. A quantidade de médicos que
frequentam academia de ginástica corresponde a:
a) 150;
b) 160;
c) 180;
d) 210;
e) 280.
Resolução:
De acordo com enunciado da questão destacaremos as seguintes quantidades de
elementos dos seguintes conjuntos:
• 180 não frequentam academia de ginástica;
• 130 apenas caminham na orla;
• 280 praticam apenas uma das duas modalidades;
• 30 praticam as duas modalidades.
Iniciaremos a montagem do diagrama de Euler-Venn pela intersecção entre os dois
conjuntos.
1º) Intersecção entre os 2 conjuntos: “30 médicos praticam as duas modalidades, ou
seja, praticam caminhada na orla e frequentam academias”.
2º) A seguir, preencheremos o diagrama de Venn com a seguinte informação: “130
médicos fazem, apenas, caminham na orla”.
3º) O próximo passo serádeterminar a quantidade de médicos que frequentam,
apenas, as academias. Para tanto, recorreremos à seguinte informação: “280
médicos praticam, apenas, uma das duas modalidade”, ou seja:
130 + x = 280 ⇒ x = 280 − 130 ⇒ x = 150 médicos praticam, apenas,
academias.
4º) Dispondo-nos da seguinte informação: “180 médicos não frequentam academia de
ginástica”. Desta informação, podemos concluir que, se 180 médicos não
frequentam academias, então podem fazer caminhada na orla ou não. Como já
sabemos que 130 médicos fazem caminhada na orla, logo, 180 − 130 = 50
médicos não fazem nenhuma das 2 atividades físicas (informação, apenas,
complementar):
5º) Para determinarmos o número de médicos que frequentam academias, basta
observar o diagrama de Euler-Venn a seguir, e concluir que 180 médicos frequentam
academias.
Gabarito: Letra c.
5. (Cespe-UnB/TRT − 17ª Região/2009) Julgue o item a seguir com relação aos
conceitos de Conjuntos.
Se, de um grupo de pessoas formado por 15 graduados em Direito, 12 graduados
em Arquitetura e 11 graduados em Estatística, 5 forem graduados em Direito e
Estatística; 8, em Direito e Arquitetura; 4, em Arquitetura e Estatística; e 3, em
Direito, Arquitetura e Estatística, então, nesse grupo, haverá mais de 5 pessoas
graduadas somente em Direito.
Resolução:
Inicialmente, destacamos os 3 conjuntos e as respectivas quantidades de elementos
correlacionados a serem distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• curso 1: Direito;
• curso 2: Arquitetura;
• curso 3: Estatística.
Correlacionamentos:
• 15 pessoas são graduadas em Direito;
• 12 pessoas são graduadas em Arquitetura;
• 11 pessoas são graduadas em Estatística,
• 5 pessoas são graduadas em Direito e Estatística;
• 8 pessoas são graduadas em Direito e Arquitetura;
• 4 pessoas são graduadas em Arquitetura e Estatística;
• 3 pessoas são graduadas nos três cursos: Direito, Arquitetura e Estatística.
Em seguida, montaremos o diagrama de Euler-Venn iniciando pela intersecção entre os
3 conjuntos, seguido pelas intersecções tomadas 2 a 2 (intersecções entre “direito” e
“estatística”, “estatística” e “arquitetura” e, finalmente, entre “direito” e “arquitetura”);
por último, preencheremos com as quantidades que representam “somente” cada um dos
determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “3 pessoas são graduadas nos 3 cursos: Direito,
Arquitetura e Estatística”.
2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “8 pessoas são graduadas em Direito e Arquitetura”;
portanto, teremos que 8 − 3 = 5 pessoas que são graduadas em Direito e
Arquitetura, mas não são graduadas em Estatística.
3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “5 pessoas são graduadas em direito e estatística”;
portanto, teremos que 5 − 3 = 2 pessoas são graduadas em Direito e Estatística,
mas não são graduadas em Arquitetura.
4º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “15 pessoas
são graduadas em Direito”; portanto, 15 − (5 + 3 + 2) = 5 pessoas são
graduadas, somente, em Direito.
Portanto, 5 pessoas são formadas, somente, em Direito e não uma quantidade superior a
esta; logo, este item está errado.
6. (Cespe-UnB/TER-MA/2009) Uma pesquisa realizada com um grupo de 78
pessoas acerca de suas preferências individuais de lazer nos finais de semana,
entre as opções caminhar no parque, fotografar e ir ao cinema, revelou que:
• 26 preferem caminhar no parque;
• 19 preferem ir ao cinema;
• 12 preferem caminhar no parque e ir ao cinema;
• 8 preferem fotografar e caminhar no parque;
• 5 preferem fotografar e ir ao cinema;
• 2 preferem as três opções;
• 20 não preferem nenhuma dessas três opções.
Nessa situação, a quantidade desses indivíduos que prefere fotografar mas não
gosta de ir ao cinema nem de caminhar no parque nos finais de semana é igual a:
a) 10;
b) 12;
c) 15;
d) 25;
e) 29.
Resolução:
Inicialmente, destacamos os 3 conjuntos e as respectivas quantidades de elementos
correlacionados a ser distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• lazer 1: caminhar no parque;
• lazer 2: fotografar;
• lazer 3: ir ao cinema.
Correlacionamentos:
• 26 preferem caminhar no parque;
• 19 preferem ir ao cinema;
• 12 preferem caminhar no parque e ir ao cinema;
• 8 preferem fotografar e caminhar no parque;
• 5 preferem fotografar e ir ao cinema;
• 2 preferem as três opções;
• 20 não preferem nenhuma dessas três opções.
Em seguida, montaremos o diagrama de Euler-Venn iniciando pela intersecção entre os
3 conjuntos, seguido pelas intersecções tomadas 2 a 2 (intersecções entre “caminhar no
parque” e “fotografar”, “fotografar” e “ir ao cinema” e, finalmente, entre “caminhar no
parque” e “ir ao cinema”); por último, preencheremos com as quantidades que
representam “somente” cada um dos determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “2 pessoas preferem as 3 opções”.
2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “8 pessoas preferem fotografar e caminhar no parque”;
portanto, teremos que 8 − 2 = 6 pessoas preferem caminhar no parque e fotografar,
mas não preferem ir ao cinema.
3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “5 pessoas preferem fotografar e ir ao cinema”;
portanto, teremos que 5 − 2 = 3 pessoas preferem fotografar e ir ao cinema, mas
não preferem caminhar no parque.
4º) Intersecção tomadas 2 a 2: “12 pessoas preferem caminhar no parque e ir ao
cinema”; portanto, teremos que 12 − 2 = 10 pessoas preferem caminhar no parque
e ir ao cinema, mas não preferem fotografar.
5º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “26 pessoas
preferem caminhar no parque”; portanto, 26 − (10 + 6 + 2) = 8 pessoas
preferem, somente, como lazer, caminhar no parque.
6º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: não foi
mencionada pela questão a quantidade de pessoas que preferem fotografar,
portanto, denotaremos de “x” a quantidade de pessoas que preferem, somente,
fotografar em seus momentos de lazer.
7º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “19 pessoas
preferem ir ao cinema”; portanto, 19 − (10 + 2 + 3) = 4 pessoas preferem,
somente, como lazer, ir ao cinema.
7º) Por último, foi mencionado que 20 pessoas não preferem nenhuma dessas 3
opções:
A soma de todos os elementos do diagrama de Euler-Venn com os indivíduos que não
preferem nenhuma das 3 opções resulta no conjunto universo dado (U = 78), assim:
8 + 10 + 2 + 6 + 3 + x + 4 + 20 = 78 ⇒ x + 53 = 78 ⇒ x = 78 − 53
⇒ x = 25 indivíduos que preferem fotografar mas não gostam de ir ao cinema nem de
caminhar no parque nos finais de semana.
Gabarito: Letra D.
7. (Cespe-UnB/Seger/2007) Considere que um conjunto de empregados de uma
empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido
verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção
“raramente”, e 13, da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram
as opções “às vezes” e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”,
4 usaram as opções “raramente” e “sempre” e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e
“raramente”. Nessa situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados
dessa empresa responderam ao teste.
Resolução:
Inicialmente, destacamos os 3 conjuntos e as suas respectivas quantidades de elementos
correlacionados a ser distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• pergunta: “raramente”;
• pergunta: “às vezes”;
• pergunta: “sempre”.
Correlacionamentos:
• 15 fizeram uso da opção “às vezes”;
• 9, da opção “raramente”;
• 13, da opção “sempre”;
• 4 empregados usaram as opções “às vezes” e “raramente”;
• 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”;
• 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”;
• 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”.
Em seguida, montaremos o diagrama de Euler-Venn iniciando pela intersecção entre os
3 conjuntos, seguido pelas intersecções tomadas 2 a 2 (intersecções entre “raramente” e
“às vezes”, “raramente” e “sempre” e, finalmente, entre “às vezes” e “sempre”); por
último, preencheremos com as quantidades que representam “somente” cada um dos
determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “3 empregadosusaram “às vezes”, “sempre” e
“raramente”.
2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “4 desses empregados usaram as opções “às vezes” e
“raramente”; portanto, teremos que 4 − 3 = 1 empregado usou as opções
“raramente” e “às vezes”, mas não usou a opção “sempre”.
3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”; portanto,
teremos que 8 − 3 = 5 empregados usaram as opções “às vezes” e “sempre”, mas
não usaram a opção “raramente”.
4º) Intersecção tomadas 2 a 2: “4 usaram as opções “raramente” e “sempre”; 1
empregado usou as opções “raramente” e “sempre”, mas não usou a opção “às
vezes”.
5º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “9, da opção
“raramente”; portanto, 9 − (1 + 3 + 1) = 4 empregados usaram, somente, a
opção “raramente”.
6º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “15 deles
fizeram uso da opção “às vezes”; portanto, 15 − (1 + 3 + 5) = 6 empregados
usaram, somente, a opção “às vezes”.
7º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “13, da opção
“sempre”; portanto, 13 − (1 + 3 + 5) = 4 empregados usaram, somente, a opção
“sempre”.
O total de empregados será dado pela soma de todos os elementos do diagrama de Euler-
Venn, ou seja:
4 + 1 + 6 + 5 + 4 + 1 + 3 = 24 elementos, ou simplesmente, 24 empregados.
Portanto, o item está certo.
8. (Cespe-UnB/TRT − 5ª Região/2008) Em uma universidade, setorizada por
cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para
integralização de seus currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do
curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam
disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de
Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física;
16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos.
O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do
curso de Matemática.
Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes.
Desenvolvimento para os itens subsequentes:
Inicialmente, destacamos os 3 conjuntos e as suas respectivas quantidades de elementos
correlacionados a serem distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• conjunto universo: 200 alunos de Matemática;
• curso: Física;
• curso: Química;
• curso: Biologia.
Correlacionamentos:
• 80 cursam disciplinas do curso de Física;
• 90, do curso de Biologia;
• 55, do curso de Química;
• 32, dos cursos de Biologia e Física;
• 23, dos cursos de Química e Física;
• 16, dos cursos de Biologia e Química; e
• 8 cursam disciplinas desses três cursos.
Em seguida, montaremos o diagrama de Euler-Venn iniciando pela intersecção entre os
3 conjuntos, seguido pelas intersecções tomadas 2 a 2 (intersecções entre “raramente” e
“às vezes”, “raramente” e “sempre” e, finalmente, entre “às vezes” e “sempre”); por
último, preencheremos com as quantidades que representam “somente” cada um dos
determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 3 conjuntos: “8 alunos de Matemática cursam disciplinas
desses 3 cursos”.
2º) Intersecção tomadas 2 a 2: “23 alunos de Matemática cursam disciplinas de
Química e Física”; portanto, teremos que 23 − 8 = 15 alunos cursam discipinas de
Física e Química, mas não cursam as de Biologia.
3º) Intersecção tomadas 2 a 2: “16 alunos de Matemática cursam disciplinas de
Química e Biologia”; portanto, teremos que 16 − 8 = 8 alunos cursam disciplinas
de Química e Biologia, mas não cursam as de Física.
4º) Intersecção tomadas 2 a 2: “32 alunos de Matemática cursam disciplinas de
Biologia e Física”; portanto, teremos que 32 − 8 = 24 alunos cursam disciplinas
de Biologia e Física, mas não cursam as de Química.
5º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “80 alunos de
Matemática cursam disciplinas do curso de Física”; portanto, 80 − (15 + 8 + 24)
= 33 alunos de Matemática cursam, somente, as disciplinas de Física.
6º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “55 alunos de
Matemática cursam disciplinas do curso de Química”; portanto, 55 − (15 + 8 + 8)
= 24 alunos de Matemática cursam, somente, as disciplinas de Química.
7º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “90 alunos de
Matemática cursam disciplinas do curso de Biologia”; portanto, 90 − (24 + 8 + 8)
= 50 alunos de Matemática cursam, somente, as disciplinas de Biologia.
De acordo com o último diagrama de Euler-Venn exposto, voltemos aos itens a serem
julgados:
I. Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em
disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que cursam disciplinas de
apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de
Física.
Resolução:
Os alunos de Matemática que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, são:
• 33 de Física;
• 4 de Química;
• 50 de Biologia.
Portanto, a maior concentração de alunos estará no curso de Biologia, logo, este item
está errado.
II. De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário
estão realmente corretas.
Resolução:
Somando-se todos os quantitativos representados no diagrama de Euler-Venn, tem-se:
33 + 15 + 8 + 24 + 8 +24 + 50 = 162 alunos.
O secretário, ao informar, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de
Matemática, “mentiu” (ou se equivocou) com relação a esses quantitativos distribuídos,
já que o universo dos que cursam Matemática é de 200 alunos, e não confere com o total
distribuído, que é de 162 alunos.
Logo, esse item está errado.
9. (Cespe-UnB/SGA-AC/2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o
item abaixo.
Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes
especialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são
especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são
especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número
total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.
Resolução:
Inicialmente, destacamos os 2 conjuntos e as suas respectivas quantidades de elementos
correlacionados a ser distribuídos no diagrama de Euler-Venn.
Conjuntos:
• especialistas no sistema operacional Linux;
• especialistas no sistema operacional Windows.
Correlacionamentos:
• 27 são especialistas no sistema operacional Linux;
• 32 são especialistas no sistema operacional Windows;
• 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas.
Em seguida, montaremos o diagrama de Euler-Venn iniciando pela intersecção entre os
2 conjuntos; após, preencheremos com as quantidades que representam “somente” cada
um dos determinados conjuntos.
1º) Intersecção entre os 2 conjuntos: “11 desses candidatos são especialistas nos
dois sistemas”;
2º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “27 são
especialistas no sistema operacional Linux”, portanto, teremos 27 − 11 = 16
programadores que são, somente, especialistas em Linux.
3º) Quantidades que representam “somente” um determinado conjunto: “32 são
especialistas no sistema operacional Windows”, portanto, teremos, 32 − 11
= 21 programadores que são especialistas, somente, no sistema Windows.
O total de “programadores especialistas em sistemas operacionais” será dado pela soma
de todos os elementos do diagrama de Euler-Venn, ou seja:
16 + 11 + 21 = 48 elementos, ou simplesmente, 48 especialistas em sistemas
operacionais.
Portanto, o item está certo.
10. (Funrio/Tec. Radiologia/2008) Na seleção de operários da construção civil
fo ram entrevistados 80 candidatos, e constatou-se que:
• 45 desses candidatos sabiam lidar com pintura;
• 50 deles sabiam lidar com instalações elétricas;
• 50 sabiam lidar com instalações hidráulicas;
• 15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço.
Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma das modalidades
acima. Foram contratados todos os que tinham habilidade em exatamente duas
modalidades. Nessas condições, o número de candidatos contratados foi:
a) 20;
b) 10;