Nivelamento matemática 1 (números inteiros)

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Nivelamento de Matemática
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Organização
Cristiane Bonatti
Reitor da UNIASSELVI
Dieter Sergeli Sardeli de Paiva
Pró-Reitor de Ensino de Graduação a Distância
Mário Jungbeck
Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância
Hermínio Kloch
Diagramação e Capa
Davi Schaefer Pasold
Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
Marina Luciani Garcia
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Neste Curso de Nivelamento em Matemática você 
perceberá como a matemática está presente em nosso 
dia a dia, e, ao mesmo tempo, renovará os conhecimentos 
sobre alguns conteúdos de matemática, vistos no ensino 
fundamental, de maneira instrutiva e de fácil compreensão.
Esse curso lhe ajudará em várias disciplinas da sua 
Graduação, aprimorando seus conhecimentos sobre 
conteúdos que envolvam números inteiros, números 
racionais, equações, regra de três e porcentagem.
Portanto, esse curso de nivelamento servirá como base 
de aprendizagem, e, com isso, você se sentirá mais seguro 
para responder às questões do cotidiano.
Objetivos da Disciplina:
 
- relembrar conteúdos da linguagem matemática básica, 
alguns conceitos imprescindíveis ao estudo da matemática;
- utilizar essa linguagem matemática como instrumento 
para a resolução de problemas;
- aplicar os conceitos matemáticos em situações 
relacionadas ao seu cotidiano.
A PRESENTAÇÃO
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Programa do Curso
ETAPA 1
NÚMEROS INTEIROS
Relembrar os conceitos relacionados aos conjuntos 
numéricos.
Relacionar conceitos com o cotidiano.
ETAPA 2
NÚMEROS RACIONAIS
Conhecer e relacionar os principais conceitos em 
relação aos números racionais, sendo que eles podem ser 
representados por frações ou números decimais.
ETAPA 3
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Resolver situações-problema que envolvam equação, 
inequações e sistemas.
ETAPA 4
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Determinar as grandezas proporcionais e inversas.
Verificar onde encontramos essas situações no dia a dia.
Em todas as etapas você encontrará atividades 
que o ajudarão a melhor compreender as aplicações dos 
conteúdos apresentados, proporcionando uma aprendizagem 
significativa e importante para o posterior estudo de outras 
disciplinas em seu curso de graduação a distância.
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Números Inteiros (Z)
Vamos retomar o que aprendemos nas séries iniciais 
com os conjuntos dos números naturais. Você lembra quem 
são eles? Pois bem, eles são todos os números inteiros 
positivos que conhecemos, lembrando que eles surgiram pela 
necessidade que as pessoas sempre tiveram de contar. Com 
o passar do tempo, estas pessoas sentiram a necessidade 
de ampliar esse conjunto. Além de expressar quantidades, 
temos situações em que os números indicam, por exemplo, 
saldo positivo ou negativo, temperatura acima e abaixo de 
zero. E, para situações como estas, foram criados os números 
negativos. Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros, 
a união dos positivos e dos negativos. Para compreender 
melhor a representação desses números e sua utilização nas 
operações fundamentais, acompanhe os estudos a seguir.
Chamamos de números inteiros aos elementos do 
seguinte conjunto:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
O símbolo dos números inteiros Z é a inicial da 
palavra Zahl, que significa número em alemão.
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Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em dois 
subconjuntos disjuntos, isto é, sem elementos em comum: 
Conjunto dos números inteiros não negativos (Z+)
Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
Conjunto dos números inteiros não positivos (Z-)
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Reunindo o conjunto dos inteiros não negativos com o 
conjunto dos números inteiros não positivos mais o número 0 
(zero), obtemos o conjunto dos números inteiros:
As reticências (...) à direita significam infinitos 
positivos, à esquerda significam infinitos negativos.
Quando nos referimos a um número positivo, não 
precisamos escrever o sinal de (+): as representações 
+2 ou 2 têm o mesmo significado. Portanto, os 
números naturais correspondem aos números inteiros 
positivos, com o zero, ou seja, 
Z+ U {0} = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
E quando temos a exceção do zero representamos os 
conjuntos pelo Z*
Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} e *−Z = {...-4, -3, -2, -1} e 
*
+Z ={1, 2, 3, 4, 5,...}
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Representações dos números inteiros em uma reta
Podemos representar os números inteiros na reta 
numérica da seguinte forma:
Observe que existe o ponto de Origem correspondente 
ao número 0 (zero) e que para o sentido da direita temos os 
números positivos e para o sentido da esquerda os números 
negativos.
Cada ponto destacado com um número inteiro na reta é 
chamado de abscissa do ponto.
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Observem na reta numérica a seguir três pontos:
Podemos observar que os números -5 e 5 estão à 
mesma distância do zero (ponto de origem), mas em lados 
opostos da reta em relação ao 0 (zero). Com isso, podemos 
dizer que -5 e 5 são números opostos ou simétricos.
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Exemplos:
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
INTEIRO
Módulo é a representação de unidades, ou seja, a 
quantidade, e é representado entre barras | |.
Lembre-se de que os números opostos ou 
simétricos representam a mesma distância do 
ponto de origem, ou seja, eles também podem 
ser representados em módulo.
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Exemplo:
 |-4| e |+4| 
Os dois valores representam 4 unidades. Nesse caso 
-4 representa quatro unidades no sentido negativo e o +4 
representa quatro unidades no sentido positivo.
Exemplo:
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é 
representada por |-4| é de 4 unidades.
A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é 
representada por |+4| é de 4 unidades.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Comparar dois números significa dizer se o primeiro é 
maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo. Para fazer 
essa comparação de números inteiros, podemos usar como 
recurso a reta numérica.
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Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Observe alguns subconjuntos de Z:
Z = {..., -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92, ...} 
(infinitos negativos aos infinitos positivos)
Z* = {..., -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} (infinitos 
negativos aos infinitos positivos menos o 0 (zero), o asterisco 
(*) em cima do Z significa todos os inteiros menos o zero.
Z = {..., 10, 20, 30, 40, 50, ...} (infinitos negativos aos 
infinitos positivos numa escala de 10).
Em relação aos números positivos, quanto mais 
próximo do zero (ponto de origem) o número estiver, 
menor é a quantidade que ele representa. Já em 
relação aos números negativos, quanto mais próximo 
do zero (ponto de origem) o número estiver, maior 
é a quantidade que ele representa. Por isso, tome 
cuidado, pois, quanto menor o número negativo for, 
mais distante do zero (pontode origem) ele estará.
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Z = {..., -40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40,...} (infinitos 
negativos aos infinitos positivos numa escala de 10).
Dados alguns conjuntos acima, vamos fazer a 
comparação:
Exemplo:
-4 < -3 -6 < -4 0 > -1 -2 < 0 -7 > -9 -11 < -3
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
O menor número inteiro positivo é o número 1 e 
o maior número inteiro negativo é o número -1.
Cada termo da adição é chamado de parcela. E o 
resultado é chamado soma ou total.
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Exemplo:
9 + 8 = 17 
Somar dois inteiros positivos não tem mistério, pois o 
resultado será positivo, mas, quando envolvemos os inteiros 
negativos em uma operação, precisamos tomar cuidado. Para 
facilitar esse entendimento iremos utilizar a reta numérica. 
Vamos calcular (-2) + (+5):
Partindo da origem (o ponto em que se encontra o 
número zero), o sinal (-) antes do número 2 indica que 
devemos nos deslocar duas unidades no sentido negativo 
(para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 
(zero).
O sinal (+), dentro dos parênteses, antes do número 5, 
indica que devemos nos deslocar cinco unidades no sentido 
positivo (para a direita) da reta a partir do ponto em que 
paramos.
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Note que a posição final na reta corresponde ao número 
3. Assim: 
(-2) + (+5) = +3
Agora vamos calcular (-3) + (-5)
Partimos da origem (o ponto em que se encontra o 
número zero). O sinal (-) antes do número 3 indica que 
devemos nos deslocar três unidades no sentido negativo 
(para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 
(zero).
O sinal (-) antes do número 5 indica que devemos nos 
deslocar mais cinco unidades no sentido negativo (para a 
esquerda) da reta a partir do ponto em que paramos, pois 
estamos adicionando um valor negativo.
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Note que a posição final na reta corresponde ao número 
(-8). Assim: 
(-3) + (-5) = -8
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa
Em uma adição de números positivos e negativos, 
podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se 
altera. 
Exemplo: 
(-4) + (+8) = +4 ou (+8) + (-4) = +4
Associativa
Em uma adição de números positivos e negativos, 
podemos associar as parcelas de maneiras diferentes que a 
soma não se altera. 
Exemplo:
(-9) + (+3) + (-4)
Podemos resolver de duas maneiras:
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1ª Maneira:
Calculamos primeiramente (-9) + (+3) e em seguida 
adicionamos (-4) ao resultado:
(-9) + (+3) + (-4)
 
 (-6) + (-4)
 -10
2ª Maneira:
Calculamos primeiramente (-9) + (-4) e em seguida 
adicionamos (+3) ao resultado:
(-9) + (+3) + (-4)
 (-13) + (+3)
 -10
ELEMENTO NEUTRO
A adição de um número positivo ou negativo com zero é 
sempre igual ao próprio número, ou seja, o zero é o elemento 
neutro da adição de números inteiros.
 
 
 
 
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Exemplos:
(a) (b) (c)
(-12) + 0 = -12 (+7) + 0 = +7 0 + (+17) = 17
PROPRIEDADE DO CANCELAMENTO (DE NÚMEROS 
OPOSTOS)
Esta é uma propriedade importante, pois pode facilitar o 
cálculo de adições que apresentam muitas parcelas.
Exemplo: 
– 8 – 4 – 5 + 6 + 2 – 6 + 4 + 1 + 8 + 11 – 2 =
Aplicando as propriedades já descritas, podemos alterar 
a ordem dos números anulando aqueles que são iguais em 
módulo, mas têm sinais diferentes, ou seja, os números 
opostos ou simétricos.
Então
– 8 – 4 – 5 + 6 + 2 – 6 + 4 + 1 + 8 + 11 – 2 =
–8 + 8 – 4 + 4 – 5 + 6 – 6 + 2 – 2 + 1 + 11=
–8 + 8 – 4 + 4 – 5 + 6 – 6 + 2 – 2 + 1 + 11=
0 + 0 – 5 + 0 + 0 + 1 + 11 =
– 5 + 1 + 11 =
– 4 + 11 =
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SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
 Vamos relembrar primeiramente os números naturais 
onde a subtração é impossível, ou seja, quando o primeiro 
termo (minuendo) é menor do que o segundo (subtraendo). 
No conjunto dos números inteiros isso é possível, pois temos 
os valores negativos.
Exemplo: 
5 – 9 
Veja a situação:
Na cesta de frutas da sua casa há 5 maçãs, e sua mãe 
pede que você tire 9 de lá. Impossível, não é? Ou seja, essa 
subtração é impossível para os números naturais.
Agora, outra situação: 
A sua mãe foi ao mercado e descobriu que só tem 5 
reais para pagar uma compra de 9 reais. Como ela conhece o 
gerente, trouxe as compras, mas ficou devendo 4 reais.
 Exemplo: 
 (+13) minuendo
– (–76) subtraendo
 – 63 total (resultado)
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Então:
5 – 9 é equivalente a (+5) – (+ 9) = +5 – 9 = – 4
O sinal (+) antes do número 5 indica que devemos nos 
deslocar mais cinco unidades no sentido positivo (para a 
direita) da reta, a partir do ponto de abscissa 0 (zero).
O sinal (-) antes do número 9 indica que devemos nos 
deslocar mais nove unidades no sentido negativo (para a 
esquerda) da reta, a partir do ponto em que paramos, pois 
estamos subtraindo.
Note que a posição final na reta corresponde ao número 
(-4). Assim:
(+5) - (+9) = 5 - 9 = - 4 
A subtração, na verdade, nada mais é do que a adição 
por um inteiro negativo.
Veja esse exemplo:
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Em um determinado dia, a temperatura da cidade de 
Paranaguá é de 6 ºC e na cidade de Palmas é 3 ºC.
Observando as temperaturas, percebemos que a 
diferença entre elas é de 3 ºC. Isto é 6 ºC – 3 ºC = 3 ºC.
Agora, se a temperatura de Paranaguá fosse -1 ºC e a 
de Curitiba -4 ºC, qual seria a diferença das temperaturas?
Podemos dizer que em Paranaguá a temperatura está + 
3 ºC em relação a Curitiba.
 Assim, para calcular a diferença entre dois números 
inteiros, basta adicionar o primeiro ao oposto do segundo. 
Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é 
equivalente à subtração a – b.
Quando se pede para calcular a diferença, a operação 
realizada é a subtração.
 –1 – (-4) = -1 + (+4) = +3
Subtrair -4 é o mesmo que adicionar + 4.
 
oposto 
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Sendo assim, a subtração é sempre possível em 
números inteiros.
MULTIPLICAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
 Ao indicar a multiplicação 6 x 3 (o número seis 
três vezes) por 6 + 6 + 6 significa que o termo 
multiplicando é indicado pelo número 6 e o termo 
multiplicador pelo número 3.
Ao conjunto desses dois termos, multiplicando e 
multiplicador, denominamos de fatores. Por isso é que 
dizemos que a ordem dos fatores não altera o produto. 
O termo produto é indicado para o resultado da 
multiplicação.
Exemplo: 
 6 multiplicando
X 3 multiplicador
 18 produto
 
Fatores 
Os sinais de multiplicação podem ser representados 
por meio da letra “x” (-2) x (+5), ou por meio de 
um ponto “.” (-2) . (+5).
 
Fatores Fatores
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NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO POSITIVO
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO
Quando multiplicamos dois fatores positivos, o produto 
sempre será um número positivo.
Exemplo: (+5) ⋅ (+5) = 25
Lembre-se de que uma das propriedades da multiplicação 
é a soma de parcelas iguais, ou seja, a multiplicação pode ser 
representada também na forma de adição de parcelas iguais:
Representação na reta numérica
(+4) ⋅ (+2) = +8 ou (+4) + (+4) = +8 ou(+2) + (+2) + (+2) + (2) 
= +8
NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO 
NEGATIVO
FATORES COM SINAIS DIFERENTES, PRODUTO 
NEGATIVO
Em uma multiplicação de dois fatores em que um dos 
fatores é um número positivo e o outro um número negativo, 
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NÚMERO NEGATIVO MULTIPLICANDO NÚMERO 
NEGATIVO
FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO
Para entender esse cálculo, podemos partir da ideia de 
algumas multiplicações já conhecidas. Observe a sequência 
das multiplicações:
4 ⋅ (-4) = -16
3 ⋅ (-4) = -12
2 ⋅ (-4) = -8
1 ⋅ (-4) = -4
0 ⋅ (-4) = 0
Essa sequência tem um padrão, onde o primeiro fator 
vem decrescendo 1 unidade, o segundo fator é constante (-4) 
e o produto vem crescendo 4 unidades. Se seguirmos essa 
o produto é um número negativo.
Exemplo:
(+7) ⋅ (-6) = -42 
Representação na reta numérica
(+3) ⋅ (-2) = -6 ou (-2) + (-2) + (-2) = -6
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ideia e mantivermos o padrão, saberemos qual o resultado 
das próximas multiplicações. 
-1 ⋅ (-4) = +4
-2 ⋅ (-4) = +8
-3 ⋅ (-4) = +12
-4 ⋅ (-4) = +16
-5 ⋅ (-4) = +20
De acordo com o que acabamos de ver, podemos 
concluir que a multiplicação de dois números negativos será 
sempre um número positivo.
Multiplicação com zero em um dos fatores
Na multiplicação de dois fatores, em que um deles 
for zero, o resultado sempre será zero.
Exemplos:
(+5) ⋅ (0) = 0
(0) ⋅ (+7) = 0
(-9) ⋅ (0) = 0
(0) ⋅ (-6) = 0
A MULTIPLICAÇÃO COM O NÚMERO 1 (UM) E -1 EM UM 
DOS FATORES
A multiplicação de um número positivo ou negativo com 
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Fatores com sinais diferentes, produto com sinal 
negativo.
(+9) . (-1) = -9 
ou 
(-1) . ( +9) = -9
Fatores com sinais iguais, produto positivo.
(-8) . (-1) = +8 
ou 
(+1) . (+8) = +8
(+1) um positivo sempre será igual ao próprio número.
Exemplo: 87 ⋅ 1 = (+87) ⋅ (+1) = +87
Já quando um dos fatores for (-1) um negativo, 
precisamos verificar o sinal do outro fator, pois vamos lembrar 
das regras anteriormente citadas.
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DIVISÃO DOS NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação e a divisão são operações inversas. 
Dessa forma, em relação aos sinais, divisão e 
multiplicação se comportam da mesma maneira.
Exemplo:
 (-136) ÷ 4 = -34 
Portanto, se (-136) ÷ 4 = -34,
 Então: 
 (-136) = -34 . 4
 
Quociente 
Divisor 
Dividendo 
Essas operações podem ser interpretadas assim: 
dividindo uma compra de 136 em 4 parcelas iguais, cada 
parcela corresponderá a uma dívida de 34.
Assim a divisão de um número negativo por um número 
positivo resultará em um quociente negativo.
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Divisão com sinais diferentes → quociente com sinal 
negativo.
1000 ÷ (-20) = -50
(-136) ÷ 4 = -34 
Divisão com sinais iguais → quociente com sinal 
positivo.
164 ÷ 4 = 41
(-81) ÷ (-3) = 27
O ZERO NA DIVISÃO
Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, resultará sempre zero.
Exemplo: 
0 ÷ (-13) = 0
0 ÷ 87 = 0
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POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
É impossível dividir qualquer número por zero, pois 
não existe nenhum número que multiplicado por 
zero dê algum valor, vejamos:
Exemplo:
(-76) ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que 
multiplicado por zero dê -76.
654 ÷ 0 = ? 
É impossível, pois não existe nenhum número que 
multiplicado por zero dê 654.
Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na 
forma de potência
 
 
Exemplo: 3 . 3 . 3 . 3 = 34 = 81
 
Base: fator que se repete (fator que se multiplica);
Expoente: indica quantas vezes o fator se repete (quantas 
vezes o fator se multiplica);
Potência: resultado da potenciação (resultado da 
multiplicação).
 expoente
potência
base
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Lembrando a leitura das potenciações:
De acordo com o que estudamos anteriormente, devemos 
observar os sinais e os parênteses que acompanham os 
números inteiros.
BASE POSITIVA
Observe as potências a seguir:
(+8) = +8 (+7)² = (+7) ⋅ (+7) = +49 
(+2)³ = (+2) ⋅ (+2) ⋅ (+2) = +8 (+1)4 = (+1) ⋅ (+1) ⋅ (+1) ⋅ (+1) = +1
Sempre que a base for positiva o resultado será positivo.
BASE NEGATIVA
Observe as potências a seguir:
- 6² = 6 ⋅ 6 = -36
(-6)² = (-6) ⋅ (-6) = +36
20 = dois elevado ao expoente 
zero
91 = nove elevado à 
primeira potência
3² = três elevado ao quadrado 4³ = quatro elevado ao 
cubo
67 = seis elevado à sétima 
potência
0² = zero elevado ao 
quadrado
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(-6)³ = (-6) ⋅ (-6) ⋅ (-6) = -216
Por que essa diferença nas multiplicações?
Veja:
No primeiro exemplo, quem está elevado ao quadrado 
é somente o número 6, então 6 multiplicado por 6 é igual 
a 36, mas não se esqueça do sinal que está na frente, ele 
acompanha o resultado.
No segundo exemplo, quem está elevado ao quadrado 
é o -6 e multiplicações de dois números inteiros negativos 
resultam números positivos, assim -6 multiplicado por -6 é 
igual a + 36. 
No terceiro exemplo, observe que é o -6 que está sendo 
multiplicado e, como vimos anteriormente, o sinal multiplica 
com o valor numérico. Assim, -6 multiplicado por -6 é igual a 
+36, e este multiplicado por -6 é a multiplicação de um número 
positivo por um negativo e, lembrando que a multiplicação 
de um número positivo por um negativo é igual ao resultado 
negativo, assim +36 multiplicado por -6 é igual a -216.
Para resolvermos multiplicação e divisões de potência, 
utilizamos alguns recursos que as propriedades de 
potência nos oferecem.
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PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Um produto de potências de mesma base pode ser 
reduzido a uma única potência, conservando a base e 
somando o expoente.
Exemplo:
Escrever o produto de 25 ⋅ 24 usando uma única potência.
 
25 ⋅ 24 = (2.2.2.2.2) ⋅ (2.2.2.2) = 29, 5 fatores iguais 
multiplicando mais quatro fatores iguais
ou
25 ⋅ 24 = (2.2.2.2.2.2.2.2.2) = 29, multiplicação de 9 fatores 
iguais
Como você pode observar, as propriedades da 
potência nos facilitam em determinados cálculos.
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Uma divisão composta por duas potências de mesma 
base, não nula, pode ser reduzida a uma única potência, 
conservando a base e diminuindo os expoentes, na ordem 
em que aparecem.
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Exemplo: 219 ÷ 216 =
Difícil não? Ter que calcular 219, depois 216 e ainda fazer 
uma divisão com os resultados! Calma...
Existe uma maneira mais simples de se resolver essa 
questão: é aplicando a propriedade anteriormente citada.
Agora, simplificamos essa fração dividindo numerador e 
denominador por 21. Fazemos isso seis vezes.
Podemos observar que é muito mais fácil usarmos a 
propriedade, certo?
Portanto, 219 ÷ 216 = 219-6 = 213 = 9261
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Uma potência de potência pode ser reduzida a uma única 
potência, conservando a base da primeira e multiplicando os 
expoentes.
Exemplo: 
(53)5 = 53 ⋅ 53 ⋅ 53 ⋅ 53 ⋅ 53 = 53+3+3+3+3 = 515
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ou
(53)5 = 53.5 = 515
Como podemos escrever a expressão (53)5 = 5³ ⋅ 5³ ⋅ 
5³ ⋅ 5³ ⋅ 5³ = 53+3+3+3 = 515, ou seja, o número 5³ se repete 
cinco vezes. Assim como vimos napropriedade de produto de 
mesma base, somamos os expoentes. E para tornarmos mais 
fácil, aplicamos a potência de potência onde multiplicamos os 
expoentes.
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Um produto de mesmo expoente pode ser reduzido a 
uma única potência, multiplicando as bases e conservando o 
expoente comum.
Exemplo:
27 67 = (2 6)7 = 127
QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Um quociente de mesmo expoente pode ser reduzido 
a uma única potência, dividindo a primeira pela segunda e 
conservando o expoente.
⋅ ⋅
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Exemplo:
(a) 703 ÷ 23 = 353
(b) , lembrando que toda fração é uma divisão
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevar 
o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo:
EXPOENTE ZERO
Por que qualquer número inteiro, diferente de zero, 
elevado ao expoente zero é igual a um?
Veja:
a0 = para a ≠ 0
Podemos usar uma das propriedades da potenciação 
para justificar essa propriedade. Se a é um número inteiro 
diferente de zero e n é um número natural, temos: an ÷ an = 
an-n = a0
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Então:
Todo número diferente de zero dividido por ele mesmo 
dá 1, podemos escrever:
an ÷ an = 1
Comparando essa igualdade, podemos dizer que:
 
a0 = 1 para a ≠ 0
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
No estudo das potências com expoente inteiro, iremos 
ampliar o estudo em relação aos números racionais, cujos 
expoentes são números inteiros negativos.
A partir do estudo das potenciações, podemos observar 
as regularidades que existem e os resultados das potências 
com expoentes inteiros negativos.
Exemplo: 
3³ = 27
3² = 9
3¹ = 3
30 = 1
Seguindo esse raciocínio, podemos inferir que:
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Realmente, a potência de uma base não nula e expoente 
negativo é igual ao seu inverso, conservando a base e 
trocando o sinal do expoente
 = um terço é o inverso de 3 elevado a -1.
 = um nono é igual a um terço elevado ao 
quadrado e é o inverso de três elevado a -2.
POTÊNCIAS DE BASE 10
Quando obtemos uma potência de base 10 e no expoente 
um número natural, podemos resolver pelo seguinte processo 
prático.
Exemplo: 
10² = 10 ⋅ 10 = 100 (1 seguido de dois zeros)
10³ = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 (1 seguido de três zeros)
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Observe quatro casas depois 
da vírgula, 3 zeros seguido do 
um. 
107 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10000000 (1 seguido 
de sete zeros)
100 = 1 (1 seguido de nenhum zero)
Para as potências com base 10 e expoente negativo 
temos o seu inverso.
Exemplo:
Observe que dez elevado a -1 é o mesmo que seu 
inverso, na forma de fração (um décimo), assim seu número 
decimal. 
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
A notação científica é utilizada para expressar números 
muito grandes ou muito pequenos de uma maneira mais 
sucinta. Consiste em expressar o número através de uma 
multiplicação por potências de base 10. 
Exemplo:
A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 
150 000 000 km ou, em notação científica, 1,5 ⋅ 108 km (a 
vírgula desloca-se 8 casas para a direita)
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RAIZ QUADRADA DE NÚMERO INTEIRO
Raiz quadrada de um número positivo é o número 
positivo cujo quadrado é igual ao número dado.
Exemplo:
A raiz quadrada de um número inteiro positivo pertence 
ao conjunto dos números naturais.
a) , pois 3² é igual a 3 ⋅ 3 = 9 ainda podemos 
escrever 
b) , é impossível nos números inteiros, pois não 
existe número inteiro que, elevado ao quadrado, dê +10. (é 
uma raiz não exata)
c) , pois 0 ⋅ 0 = 0 que é igual a 0² = 0
A raiz quadrada de qualquer número inteiro negativo é 
impossível.
Exemplo:
, é impossível para os números inteiros, ou seja, 
não existe um número inteiro que elevado ao quadrado dê 
-81, pois - 9² = +81
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QUANDO A RAIZ NÃO FOR EXATA
 
A raiz quadrada de um número positivo não exata 
corresponde a um número irracional.
Nesse caso podemos trabalhar por tentativa ou pela 
simplificação da raiz.
, por tentativa sabemos que é um valor entre 3 e 4 
pois, está compreendido entre a raiz de e raiz de .
, nesse caso podemos simplificar a raiz, pois a raiz 
 pode ser escrita na forma porque a 
raiz de 4 pode ser extraída, sendo 2 e a raiz de 2 permanece, 
pois ela corresponde a um número irracional.
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RESUMO DO TÓPICO
Conjunto dos números inteiros Z
Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ...}
Números opostos ou simétricos são números que 
representam a mesma distância do ponto de origem, ou seja, 
são representadas através do módulo |-2| e |+2|. 
O menor número inteiro é aquele que se encontra mais 
à esquerda na reta numérica.
O maior número inteiro é aquele que se encontra mais à 
direita na reta numérica.
Números que se encontram no mesmo ponto da reta 
numérica são iguais.
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Adição 
Propriedades da Adição
Comutativa: em uma adição de números positivos e 
negativos podemos trocar a ordem das parcelas que a soma 
não se altera. 
Associativa: em uma adição de números positivos 
e negativos, podemos associar as parcelas de maneiras 
diferentes que a soma não se altera. 
Subtração
Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é 
equivalente à subtração a – b.
Multiplicação
Fatores com sinais diferentes, produto com sinal 
negativo.
(+9) ⋅ (-1) = -9 
ou 
(-1) ⋅ (+9) = -9
Fatores com sinais iguais, produto positivo.
(-8) ⋅ (-1) = +8 
ou 
(+1) ⋅ (+8) = +8
Divisão
Divisão com sinais diferentes, quociente com sinal 
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negativo.
1000 ÷ (-20) = -50
(-136) ÷ 4 = -34 
Divisão com sinais iguais, quociente com sinal 
positivo.
164 ÷ 4 = 41
(-81) ÷ (-3) = 27
Potenciação
Propriedades da Potenciação
 
Produto de potência de mesma base: conserva-se a 
base e soma-se o expoente.
Produto de potência de mesmo expoente: conserva-
se o expoente e multiplica-se a base.
Quociente de mesma base: conserva-se a base e 
subtrai-se o expoente.
Quociente de mesmo expoente: conserva-se o 
expoente e divide-se a base.
Potência de Potência: conserva-se a base e multiplica-
se o expoente.
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Potência de expoente inteiro: a potência de uma base 
não nula e expoente negativo é igual ao inverso da potência, 
conservando a base e trocando o sinal do expoente.
 
Radiciação
A raiz quadrada de um número inteiro positivo e do zero 
equivale à raiz quadrada exata.
Raiz quadrada de um número inteiro negativo é 
impossível nos números inteiros.
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1. Os números na reta podem representar temperaturas de 
um termômetro:
 
Nessa representação, os pontos A e B correspondem, 
respectivamente, aos números:
a) -2,18 e 1,3.
b) 2,18 e -1,3.
c) -3,78 e 1,3.
d) 3,78 e -1,3.
2. Qual a sentença verdadeira?
a) -21 > -17.
b) -21 < -17.
c) 3 < -5.
d) 0 < -6.
3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. 
Mesmo assim, fez uma retirada de trezentos e quarenta e 
sete reais. Para sabermos o novo saldo, assinalea alternativa 
correta:
A UTOATIVIDADE
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a) - 300 + 347 = 47.
b) - 300 - 347 = 647.
c) - 300 - 347 = - 647.
d) 300 + (- 347) = - 47.
4. Assinale a sentença verdadeira: 
a) (-15) ÷ (-3) = 5.
b) (-15) ÷ (-3) = -5.
c) (15) ÷ (-3) = 5.
d) (-15) ÷ (-5) = -3.
5. Considere o segmento na reta numérica:
Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um 
número maior que 1 e é reduzido se for multiplicado por 
números entre 0 e 1.
Com base na situação que descrevemos, é correto 
afirmar que, multiplicando o segmento por:
a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda.
b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no final, é igual ao do 
início.
c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no final, é o oposto ao do 
início.
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d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento.
6. Efetuando a expressão , o resultado será: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
7. Assinale a sentença correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. Observe as sentenças a seguir.
I) 
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II) 
III) 
IV) 
De acordo com as sentenças, é correto afirmar que:
( ) Todas as sentenças são verdadeiras.
( ) Somente as sentenças II, III e IV são verdadeiras.
( ) Somente a sentença IV é verdadeira.
( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras.
9. Assinale a alternativa correta:
a) (-2)³ = +8.
b) (-2)³ = -8.
c) -2³ = +6.
d) -2³ = -6 .
10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo 
(B) é o mesmo que:
a) B – A.
b) – A – B.
c) +B – (-A).
d) + A + B.
é impossível em Z
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1. Colocamos números na reta, como se fossem temperaturas de um termômetro:
 
Nessa representação, os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos 
números:
a) -2,18 e 1,3.
b) 2,18 e -1,3.
c) -3,78 e 1,3.
d) 3,78 e -1,3.
2. Qual a sentença verdadeira?
a) -21 > -17.
b) -21 < -17.
c) 3 < -5.
d) 0 < -6.
3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. Mesmo assim, fez 
uma retirada de trezentos e quarenta e sete reais. Para sabermos o novo saldo, 
assinale a alternativa correta:
- 300 + (-347) = 47
- 300 – 347 = - 647 assim a alternativa C é correta
a) - 300 + 347 = 47.
b) - 300 - 347 = 647.
c) - 300 - 347 = - 647.
d) 300 + (- 347) = - 47.
4. Assinale a sentença verdadeira: 
a) (-15) ÷ (-3) = 5.
b) (-15) ÷ (-3) = -5.
G ABARITO
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c) (15) ÷ (-3) = 5.
d) (-15) ÷ (-5) = -3.
5. Considere o segmento na reta numérica:
Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um número maior que 1 
e é reduzido se for multiplicado por números entre 0 e 1.
Com base na situação que descrevemos, é correto afirmar que, 
multiplicando o segmento por:
a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda.
b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no final, é igual ao do início.
c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no final, é o oposto ao do início.
d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento.
6. Efetuando a expressão , o resultado será: 
Resposta: a) 
 
b) 
 
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c) 
 
d) 
7. Assinale a sentença correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. Observe as sentenças a seguir.
I) 
II) 
III) 
IV) 
De acordo com as sentenças, é correto afirmar que:
( ) Todas as sentenças são verdadeiras.
(x) Somente as sentenças II, III e IV são verdadeiras.
( ) Somente a sentença IV é verdadeira.
( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras.
é impossível em Z
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Desenvolvimento
a) Impossível pois 5 ⋅ 5 = + 25 ou 5² = 25
b) correto, pois (- 5) ⋅ (- 5) = +25 ou (- 5)² = 25
c) correto, pois não existe raiz de número negativo para o 
conjunto dos números inteiros.
d) correto, pois 5 ⋅ 5 = 25 ou 5² = 25
9. Assinale a alternativa correta:
a) (-2)³ = +8.
b) (-2)³ = -8.
c) -2³ = +6.
d) -2³ = -6.
(-2)³ = (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) = -8 assim a sentença verdadeira é a letra B.
10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo (B) é o mesmo que:
a) B – A.
b) – A – B.
c) +B – (-A).
d) + A + B.
+B – (-A) = B + A assim a sentença verdadeira é a letra C.