pendulo simples e oscilador amortecido - Física Experimental II

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
PÊNDULO SIMPLES E OSCILADOR AMORTECIDO
LHAIS TORQUATO ANDRADE
LÍVIA CUNHA DE ASSIS
ILHÉUS – BA 2018
LHAIS TORQUATO ANDRADE 
LÍVIA CUNHA DE ASSIS
PÊNDULO SIMPLES E OSCILADOR AMORTECIDO
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET833 – Física Experimental II. Turma P04. 
Professor: Antônio Jamil.
ILHÉUS – BA 2018
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.......................................................................................................4
MATERIAIS E MÉTODOS......................................................................................6
Material...........................................................................................................6
Métodos..........................................................................................................6
RESULTADOS E DISCUSSÃO..............................................................................7
CONCLUSÃO........................................................................................................11
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................12
1 INTRODUÇÃO
O movimento pendular é um dos mais conhecidos estudos e fundamental para o campo da física experimental. Os registros mais antigos das investigações acerca do movimento pendular datam do século XVII, quando o famoso matemático e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642) notou a periodicidade de um movimento pendular. A regularidade com a qual um pêndulo oscila fez com que seu movimento se tornasse a tecnologia mais precisa de cronometragem até a década de 1930 (MARRISON, 1948).
O tipo de pêndulo considerado o mais elementar é o pêndulo simples – cujo esquema é de um sistema ideal. Ele consiste numa massa puntiforme pendurada por um fio inextensível e desprovido de massa posto a oscilar em torno de um ponto em comum, de modo que a força restauradora do sistema seja o vetor resultante da atuação da gravidade sobre a massa com a tração do fio.
Figura 1 – Diagrama descrevendo um pêndulo simples e sua força restauradora.
Podemos observar que a força peso (P=mg) que puxa o pêndulo para baixo pode ser decomposta em duas componentes: Px=mgsenө, sua componente horizontal, e Py=mgcosө, sua componente vertical. Observamos que a componente no sentido perpendicular ao movimento se anula com a força tensora transmitida pelo fio que prende a partícula. Sendo assim a única força responsável pelo movimento é a componente tangente ao movimento: Px = -mgsenө, que por ser uma força restauradora possui sinal negativo em sua fórmula. A força resultante também pode ser escrita como: 
Quando resolvemos a equação diferencial utilizando pequenos ângulos de oscilações (no caso deste experimento o ângulo utilizado foi de 5°) obtemos a seguinte fórmula:
Esta fórmula determina o período de oscilação do pêndulo simples, que depende apenas do comprimento L do fio e da força gravitacional.
O objetivo principal no experimento é determinar o valor da aceleração da gravidade local utilizando essas fórmulas, porém determinar o centro de massa de um pêndulo construído fisicamente não é tarefa fácil, daí vem o método utilizado por Bessel, no qual seria possível determinar a diferença de comprimento que um pêndulo sofre sem o conhecimento de seus comprimentos individuais, ou seja, podemos construir um pêndulo com um fio inicialmente de comprimento 1 m, medir o seu período experimentalmente e, posteriormente, medir o seu período utilizando agora um fio de comprimento de 0,5 m. Então temos dois períodos: 
T1=2π√L1/g, onde T1 é o período calculo usando um fio de comprimento L1=1m, e T2=2π√L2/g, onde T2 é o período calculado usando um fio de comprimento L2=0,5m.
A partir do método de Bessel podemos determinar a diferença de comprimento que o pêndulo sofreu. Essa é a dedução do método de Bessel:
T1 = 2π√L1/g T1² = 4π²L1/g
T2 = 2π√L2/g T2² = 4π²L2/g
Fazendo T1² - T2² temos:
T1² - T2² = 4π²L1/g - 4 π²L2/g
Colocando em evidência 4π²/g temos:
T1² - T2² =(4π²/g) (L1-L2)
Passando g para o outro lado e chamando (L1-L2) de d chegamos a fórmula que determinará a aceleração da gravidade pelo método de Bessel:
(1)
Onde g é a aceleração da gravidade local, T1² é o período medido com o fio de comprimento L1 de 1 m e T2 é o período medido com o fio de comprimento L2 de 0,5 m e d é igual a L1-L2.
Nos movimentos oscilatórios reais, há dissipação de energia mecânica em virtude da ação de forças de atrito. O pêndulo, sem interferência acabam deixar a oscilar. Quando a energia mecânica de um movimento oscilatório diminui com o tempo, o movimento é amortecido. Se as forças de atrito ou amortecimento forem pequenas, o movimento é quase periódico, mas se amplitude diminui lentamente com o tempo, a energia também diminui, pois, a energia de oscilação é proporcional ao quadrado da amplitude.
Os cálculos utilizados no relatório para as incertezas são:
· Média: 						 	 	 
· Desvio padrão: 					 	
· Desvio padrão do valor médio: 					 	 
Incerteza sistemática residual =L (para instrumentos digitais); (para demais instrumentos), em que L representa o limite de erro de calibração do instrumento.
Para calcular a incerteza padrão da gravidade (σg) é necessário utilizar o recurso da propagação de incertezas, uma vez que a gravidade é uma função de duas variáveis, comprimento e período. A incerteza padrão da gravidade é calculada através da fórmula: 
 						
2. Materiais e Métodos 
2.1 Materiais
· Tripé e haste universais;
· Cronômetro;
· Fita métrica, 
· Fio de nylon com massa desprezível; 
· Corpo metálico;
· Bacia com água.
2.2 Métodos
O procedimento experimental foi dividido e realizado em duas partes. 
2.2.1 Pêndulo simples sem atrito
A massa já estava devidamente presa ao fio, que por sua vez também estava amarrado ao suporte universal. O comprimento do fio foi mensurado e em seguida, deslocou-se a massa de modo que esta oscilasse a uma amplitude pequena amplitude, ao passo que o cronômetro também foi posto a funcionar até medir o tempo total de quatro oscilações. Tal procedimento foi repetido três vezes.
2.2.2 Pêndulo subamortecido
O pêndulo foi parcialmente ainda preso ao suporte foi imerso em água, e em seguida O comprimento do fio foi mensurado e em seguida, deslocou-se a massa de modo que esta oscilasse a uma amplitude pequena amplitude, ao passo que o cronômetro também foi posto a funcionar até medir o tempo total de quatro oscilações. Tal procedimento foi repetido três vezes.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
O pêndulo possuía comprimento de 0,48m e massa de 82g. A seguir estão dispostos os resultados, cálculos e análises do pêndulo simples sem atrito e do pêndulo subamortecido.
3.1.Pêndulo simples sem atrito
	Para efetuar o experimento, foi medido três vezes o tempo total de quatro oscilações do pêndulo. Dividindo os valores encontrados por quatro, é possível obter o período de uma oscilação simples. Calculou-se a aceleração gravitacional em cada uma das três medidas. O ângulo de oscilação foi de 40º (ou rad). Os resultados são mostrados na Tabela 1.
Tabela 1 – Exposição dos resultados
	
	MEDIDA 1
	MEDIDA 2
	MEDIDA 3
	MÉDIA
	Ângulo de oscilação
	40º
	40º
	40º
	40º
	Tempo total de 4 oscilações (s)
	5,55
	5,53
	5,56
	5,55
	Período de 1 oscilação (s)
	1,39
	1,38
	1,39
	1,39
	Aceleração gravitacional (m/s²)
	9,84
	9,91
	9,81
	9,85
	3.1.2. DADOS E INCERTEZA DO PERÍODO (T):
· Média: YT ≈ 1,39s.
· Desvio padrão: = 0,0038 
· Desvio padrão médio: m = 0,0022
· Incerteza sistemática residual: R = 10x10-2
· Incerteza padrão: T = 1,024x10-2 
3.1.3. INCERTEZA COMPRIMENTO (L):
· Incerteza sistemática residual: R = 0,25x10-3
· Incerteza padrão: L = 0,25x10-3
3.1.4. INCERTEZA PADRÃO DA GRAVIDADE:
Calculou-se a incerteza da gravidade: g = 0,00025.
Assim, tem-se que: 
3.1.5. GRÁFICO AMPLITUDE XPERÍODO
Na Figura 2 a seguir é mostrado o gráfico “Amplitude X Período” do pêndulo simples sem atrito.
Figura 2 – Gráfico “Amplitude X Período” para o pêndulo simples sem atrito.
3.2.Pêndulo sub-amortecido
Foi medido três vezes o tempo total de quatro oscilações do pêndulo. Dividindo os valores por quatro, obtém-se o período de uma oscilação. Os resultados obtidos, assim como a média dos valores, são mostrados na Tabela 2 a seguir.
Tabela 2 – Período total e amplitudes de oscilação.
	
	Tempo total (s)
	Período de uma oscilação (s)
	θ0
	θ1
	θ2
	θ3
	θ4
	Medida 1
	6,75
	1,35
	40o
	30o
	22o
	17o
	13o
	Medida 2
	6,63
	1,33
	40o
	29o
	20o
	15o
	10o
	Medida 3
	6,57
	1,31
	40o
	29o
	20o
	15o
	10o
	MÉDIA
	6,65
	1,33
	40
	29,3o
	20,7o
	15,7o
	11o
Na Figura 3 a seguir é mostrado o gráfico “Amplitude X Período” do pêndulo simples subamortecido .
Figura 3 – Gráfico “Amplitude X Período” para o pêndulo subamortecido.
A equação do movimento, que descreve a dependência da amplitude da oscilação em um sistema com amortecimento :
Em que é a constante de amortecimento do meio, e m é a massa do pêndulo.
No caso em estudo, a equação é mostrada no gráfico da figura. Y representa a amplitude , e x representa o período. Tem-se que:
y = 0,69e-0,24x
Fazendo-se as devidas substituições, tem-se a constante amortecimento do oscilador sub-amortecido: .
No caso do pêndulo simples, observa-se que o amortecimento atmosférico é consideravelmente menor, não havendo redução considerável da amplitude, podendo ser desprezado. Caso fosse observado o movimento do pêndulo simples por mais tempo seria observada a redução gradativa da amplitude até cessar o movimento, devido à força de arrasto exercida pelo ar.
Como se pode observar, no movimento harmônico simples, a única variável que influência no período de oscilação dos pêndulos é o seu comprimento (L). Como o comprimento permaneceu constante, é possível inferir que o período não variou com o passar das oscilações.
Já no movimento harmônico amortecido, o período de oscilação é dado pela equação:
	
Assim, a forma de variar o período é fazendo-se variar a massa m ou a constante k. Como durante o experimento não houve variação, também não variou o período de oscilação.
	A aerodinâmica do corpo influência no movimento do oscilador subamortecido dependendo de sua forma, podendo ser mais ou menos capaz de se sobrepor à resistência viscosa do meio em que o pêndulo se encontra imerso.
11
 4.CONCLUSÃO
A realização do experimento constatou a possibilidade de calcular a aceleração da gravidade local utilizando um pêndulo. Além disso, verificou-se a usualidade do erro relativo como ferramenta de verificação da influência de possíveis imprecisões nos resultados obtidos. Com isso, o objetivo do experimento foi executado com êxito.
Portanto através do experimento verificou-se que no pêndulo amortecido as forças de atrito diminuíram gradativamente a amplitude do movimento, tendendo a zero . Já no pêndulo simples comprovou-se a dependência entre o período de revolução e o seu comprimento, dos dados obtidos o valor encontrado para gravidade se aproximou do valor teórico, os erros são decorrentes de incertezas instrumentais e durante a coleta de dados. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MARRISON, W. A. The Evolution of the Quartz Crystal Clock. Bell System Technical	Journal,	[S.	l.],	v.	27,	p.	510-588,	jul.	1948.	Disponível	em:
<https://archive.org/details/bstj27-3-510>. Acesso em: 30 out. 2016.
PARKS, J. E. The Simple Pendulum. Knoxville, Tennessee: James E. Parks, 2000.	7 p. Disponível	em: <http://www.phys.utk.edu/labs/simplependulum.pdf>.
Acesso em: 30 out. 2016.
Amplitude x Período
0	0.69333333333333336	1.3866666666666667	2.08	2.7733333333333334	3.4666666666666668	4.16	4.8533333333333335	5.5466666666666669	0.69799999999999995	-0.69799999999999995	0.69799999999999995	-0.69799999999999995	0.69799999999999995	-0.69799999999999995	0.69799999999999995	-0.69799999999999995	0.69799999999999995	Período (s)
Amplitude (rad)
Amplitude x Período
0	0.66500000000000004	1.33	1.9950000000000001	2.66	3.3250000000000002	3.99	4.6550000000000002	5.32	5.9850000000000003	0.69799999999999995	-0.69799999999999995	0.51100000000000001	-0.51100000000000001	0.36099999999999999	-0.36099999999999999	0.27400000000000002	-0.27400000000000002	0.192	-0.192	0	1.33	2.66	3.99	5.32	0.69799999999999995	0.51100000000000001	0.36099999999999999	0.27400000000000002	0.192	Período (s)
Amplitude (rad)