Propagação de incertezas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
CURSO: LICENCIATURA EM FÍSICA
PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
Daniel Souza de Oliveira (201711896)
Bruno Freitas dos Santos (201610314)
Nicholas da Silva Scofield (201711019)
ILHÉUS-BA
29/09/2018
Daniel Souza de Oliveira (201711896)
Bruno Freitas dos Santos (201610314)
Nicholas da Silva Scofield (201711019)
PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da disciplina CET165- LABOTÓRIO DE FISICA I. TURMA TO3. Dia de execução do experimento: 15/09/2018
PROFESSOR: PRISCILLA LIMA REZENDE
ILHÉUS-BA
29/09/2018
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO...............................................................................4
1.1 Teoria...........................................................................................5
2 - OBJETIVO.....................................................................................6
3 - MATERIAIS E MÉTODOS.............................................................6
3.1 MATERIAIS.................................................................................6
3.2 MÉTODOS...................................................................................6
4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES...................................................6
5 - CONCLUSÃO................................................................................9
6 - REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA.................................................10
1 -INTRODUÇÃO
A densidade absoluta de um sólido homogêneo é definida por
 (1)
onde m é a massa e v é o volume. Para a identificação do tipo de sólido a incerteza na densidade é tão importante quanto o próprio valor medido, pois a partir disso que poderemos identificá-lo e sucessivamente classificar. Para a realização do experimento foram utilizados do paquímetro na realização das medidas da altura e diâmetro dos sólidos geométricos, três cilindros, um de madeira, de latão e de cobre, e uma balança digital para a pesagem. A partir desses procedimentos podemos tirar a média, os desvios padrões, e incertezas necessárias para determinar a densidade dos sólidos e também suas respectivas incertezas e utilizando das derivadas parciais de acordo com a teoria da propagação de incertezas por fim. Abaixo na (fig.1) e na (fig.2) vemos a imagem de um paquímetro e uma balança respectivamente.
1.1Teoria 
Há basicamente três tipos de incerteza, são elas Instrumental, Padrão e Propagada. A incerteza instrumental é a incerteza da medida, ou seja, é a incerteza do instrumento utilizado para realizar a medida. A incerteza padrão é a incerteza da média. A incerteza propagada é a incerteza das grandezas que foram calculadas a partir de uma equação. Para calcular a incerteza de uma função com várias variáveis utilizaremos o conceito de derivadas parciais indicada pelo símbolo que indicará que a derivada será calculada sobre apenas uma das variáveis que compõe a função. Assim podendo utilizar a equação geral da propagação de incertezas. 
2 - OBJETIVO
O objetivo desse experimento é discutir o tipo de material que compõe os objetos sólidos pela determinação de sua densidade e de sua incerteza. Mas para fazer a incerteza da densidade, primeiro devemos determinar as incertezas na massa, diâmetro e na altura média dos cilindros, que dependem da incerteza na determinação do diâmetro e da altura dos cilindros. Portanto, utilizaremos a teoria da propagação de incertezas para assim obter a densidade e incertezas dos objetos sólidos.
3 - MATERIAIS E MÉTODOS
Para a realização do experimento foram utilizados os seguintes:
 3.1 MATERIAIS
· Balança digital
· Paquímetro Universal Analógico
· 1 Cilindro de cobre
· 1 Cilindro de Madeira
· 1 Cilindro de Latão
3.2 MÉTODOS
Inicialmente, fizemos a medida da altura e do diâmetro dez vezes repetidamente em diferentes posições, dos três cilindros, utilizando o paquímetro para tal. Logo após foram pesados dez vezes na balança digital os três sólidos separadamente e coletados os dados da massa de cada um. Assim retiramos suas médias e incertezas para a discussão sobre a teoria da propagação de incertezas e aplicação das fórmulas para determinar a incerteza da densidade.
4 - RESULTADOS E DISCUSSÕES
Inicialmente aferimos o diâmetro e a altura dos três cilindros repetindo por dez vezes as medidas, em seguida fizemos a pesagem dos cilindros dez vezes cada um. Após isso foi montado três tabelas dos cilindros, onde com esses valores foi possível calcular medidas como, média, desvio padrão (D.P), desvio padrão do valor médio (D.P.V.M), incerteza padrão (I.P), Densidade do sólido e a incerteza da densidade. Para o auxílio dos resultados da média, desvios, incertezas e densidade fizemos o uso das seguintes equações:
. Média: é dada através da soma de todos os valores obtidos, dividindo pelo total de valores
Média (2)
. Desvio Padrão: e uma medida de dispersão usada com a média. Mede-se a variabilidade dos valores à volta da média
Desvio padrão: 2 (3)
. Desvio Padrão do Valor Médio: indica a precisão da média nos casos em que as incertezas são devidas a erros aleatórios
Desvio padrão do valor médio: (4)
. Incerteza Padrão: incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão
 
Incerteza padrão: (5)
 . Densidade: É uma medida de quanto material se encontra comprimido num espaço determinado. Como estamos utilizando o cilindro para o experimento, vamos utilizar a fórmula do volume dele e assim teremos como calcular a densidade
 (1) (6),
 
onde m é a massa, V é o volume do corpo, h a altura, R é o raio do cilindro, D é o diâmetro e a densidade ρ de cada cilindro é dada por:
 (7)
 . Propagação de Incerteza: São incertezas determinadas a partir de fórmulas que terão que utilizar das derivadas parciais para calcular cada variável
 (8),
Substituindo a fórmula da densidade do cilindro
 (9),
Agora utilizando das derivadas parciais para calcular a função em relação as variáveis da massa, diâmetro, altura, para determinar a incerteza da densidade
(10).
Tabela 1- As dez medidas do diâmetro e altura, e o peso do objeto sólido cilíndrico de cobre utilizado no experimento, onde N é a quantidade de medições e INC.INST é a incerteza do instrumento utilizado no experimento para a altura e diâmetro, INC.INST.B é a incerteza instrumental para o peso, M é a massa e ϕ o diâmetro. Convertidos em kg/m³ a densidade, segundo o Sistema Internacional de Unidades.
Cilindro de Cobre
	N
	( (M ± 0,00005) × 10-2kg
	(h ± 0,000025) × 10-3m
	(ϕ ± 0,000025) × 10-4m
	1
	0,0316
	0,0044
	0,00025
	2
	0,0316
	0,0044
	0,00025
	3
	0,0316
	0,0044
	0,00025
	4
	0,0316
	0,0044
	0,00025
	5
	0,0316
	0,0044
	0,00025
	6
	0,0316
	0,0044
	0,00030
	7
	0,0316
	0,0044
	0,00030
	8
	0,0316
	0,0043
	0,00031
	9
	0,0316
	0,0045
	0,00035
	10
	0,0317
	0,0046
	0,00035
	ȳ
	0,0316
	0,0044
	0,0003
	σ
	3,16×10-5
	7,89×10-5
	4,17×10-5
	σm
	1,8×10-5
	5,2×10-5
	3,6×10-5
	σp
	1×10-5
	5×10-5
	3,6×10-5
	INC.INST
	0,000025
	INC.INST.B
	0,00001
	σρ
	0,13898
	ρ ± σρ
	100.787,40±0,13898
Tabela 2- As dez medidas do diâmetro e altura, e o peso do objeto sólido cilíndrico de latão utilizado no experimento.
Cilindro de Latão
	N
	(M ± 0,00005) × 10-2kg
	(h ± 0,000025) × 10-3m
	(ϕ ± 0,000025) × 10-4m
	1
	0,0556
	0,0091
	0,00035
	2
	0,0556
	0,0091
	0,00035
	3
	0,0556
	0,0091
	0,00035
	4
	0,0556
	0,0091
	0,00035
	5
	0,0556
	0,0091
	0,00040
	6
	0,0556
	0,0091
	0,00040
	7
	0,0556
	0,0091
	0,00040
	8
	0,0556
	0,0092
	0,00040
	9
	0,0557
	0,0092
	0,00040
	10
	0,0557
	0,0091
	0,00040
	ȳ
	0,05562
	0,00912
	0,00038
	σ
	4,22×10-5
	4,22×10-5
	2,58×10-5
	σm
	3,2×10-5
	3,2×10-5
	2,4×10-5	
	σp	
	1×10-5
	3,2×10-5
	2,4×10-5
	INC.INST
	0,000025
	INC.INST.B
	0,00001
	σρ
	0,02782
	ρ ± σρ
	4,49±0,02782
Tabela 3 - As dez medidas do diâmetro e altura, e o peso do objeto sólido cilíndrico de madeira utilizado no experimento.
Cilindrode Madeira
	N
	(M ± 0,00005) × 10-3kg
	(h ± 0,000025) × 10-3m
	(ϕ ± 0,000025) × 10-3m
	1
	0,0046
	0,0075
	0,00127
	2
	0,0046
	0,0075
	0,00136
	3
	0,0046
	0,0075
	0,00136
	4
	0,0046
	0,0075
	0,00151
	5
	0,0046
	0,0075
	0,00151
	6
	0,0046
	0,00755
	0,00151
	7
	0,0046
	0,00755
	0,00151
	8
	0,0047
	0,0076
	0,00151
	9
	0,0047
	0,0077
	0,00157
	10
	0,0047
	0,0077
	0,00160
	ȳ
	0,00463
	0,00756
	0,00147
	σ
	4,83×10-5
	8,1×10-5
	1,05×10-4
	σm
	4,2×10-5
	6,4×10-5
	8,46×10-5
	σp
	1×10-5
	6,4×10-5
	8,5×10-5
	INC.INST
	0,000025
	INC.INST.B
	0,00001
	σρ
	0,20363
	ρ ± σρ
	32,5±0,20363
A partir dos valores aferidos nos foi possível realizar o cálculo das médias, desvio padrão, desvio padrão do valor médio, incerteza padrão e a partir da teoria da propagação de incertezas pudemos calcular a incerteza da densidade dos sólidos geométricos, utilizando as derivadas parciais para isolar as variáveis da função, também pudemos comparar e caracterizar a densidade do sólido para saber quais seriam as densidades estabelecidas de cada material analisado no experimento. 
5 - CONCLUSÃO
Ao final do relatório, podemos entender que para analisar certos sólidos e comparar suas densidades é necessário o cálculo e análise de suas variáveis da altura, diâmetro e a massa e sua devida incerteza, para determinar essa variável é necessário utilizar a teoria da propagação de incertezas, e esse valor pode determinar diretamente na caracterização do objeto ou não.
6 - REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA
· CERQUEIRA, Adriano Hoth ; KANDUS, Alejandra ; VASCONCELOS, Maria Jaqueline; REMBOLD Sandro Barboza; -Material de apoio à disciplina de Física Experimental I ministrada no primeiro semestre de 2013. Experimento 3.
· J. H. Vuolo et al, Física Experimental 1 para o Bacharelado em Física, Geofísica e Meteorologia, Instituto de Física da USP (2005).
· Universidade Federal do ABC BC 1707 – Métodos Experimentais em Engenharia.
· https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3760261/mod_resource/content/2/Experi%C3%AAncia%202.pdf.
· JESUS, Fabiane; -Laboratório de Física Experimental I. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – Universidade Estadual de Santa Cruz.