PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO - PROVA 2

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
 
PROCESSO DE TOMADA DE 
DECISÃO 
 
 
 
 
 
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.004 DO DIA 17/08/2017 
 
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Todos os direitos são reservados ao Grupo Prominas, de acordo com a convenção internacional 
de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
 
UNIDADE 1 – ENFOQUE GERENCIAL DAS TÉCNICAS DE PESQUISA 
OPERACIONAL APLICADAS À TOMADA DE DECISÃO GERENCIAL ............. 7 
1.1 Aspectos Introdutórios da Tomada de Decisão ............................................ 7 
1.1.1 Descrevendo o Processo de Decisão em Organizações ..................... 12 
1.1.2 A Pesquisa Operacional no Foco Organizacional ................................ 19 
1.1.3 Descrevendo o Enfoque Clássico ou Tradicional da PO ...................... 19 
1.1.4 Descrevendo o Enfoque Atual ou Moderno da PO .............................. 20 
1.2 Natureza e Técnicas da Pesquisa Operacional Aplicadas no Foco 
Organizacional .................................................................................................. 21 
 
UNIDADE 2 – CONSTRUÇÃO DE MODELOS PRÁTICOS EMPRESARIAIS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR .................................................................................. 24 
2.1 Aspectos Introdutórios da Tomada de Decisão .......................................... 24 
2.2 Elementos Básicos da Programação Linear ............................................... 26 
2.3 Formulando um Modelo de Programação Linear ........................................ 27 
2.4 Implementando Numericamente um Modelo de Programação Linear via 
Programas Computacionais .............................................................................. 48 
 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 58 
 
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INTRODUÇÃO 
 
“O ignorante afirma, o sábio duvida, o sensato reflete.” 
(Aristóteles) 
 
Que o mercado cada vez mais procura profissionais mais dinâmicos já é 
sabido por todos. Mas como poderíamos diferenciar profissionais mais 
dinâmicos? Em verdade, o mercado procura profissionais que consigam tomar 
decisões gerenciais de forma confiável e estruturada acerca de situações 
problemas simples e complexas. Para tal, torna-se indispensável o domínio de 
técnicas quantitativas para a análise de mercado, ou seja, tais profissionais 
devem conhecer e utilizar ferramentas quantitativas de mensuração aplicadas à 
gestão empresarial. 
Neste sentido, surge então a Pesquisa Operacional, que se caracteriza 
como uma ferramenta gerencial ou metodologia administrativa voltada para a 
tomada de decisão gerencial com confiabilidade e suas diversas técnicas de 
resolução de problemas empresariais. Cabe ressaltar que a mesma é uma 
ferramenta da matemática aplicada à gestão empresarial, que nos permite, por 
exemplo, tomar decisões embasadas em fatos, dados e correlações quantitativas, 
minimizar custos e maximizar o lucro, ou ainda, conceber, planejar, analisar, 
implementar, operar e controlar sistemas por meio da tecnologia, bem como de 
métodos de outras áreas do conhecimento e solucionar problemas reais de cunho 
gerencial. 
Por outro lado, é sabido que nos dias atuais, as empresas em geral, 
tendem e necessitam maximizar suas receitas ou lucros, bem como o de 
minimizar seus custos ou despesas, devido não só à grande concorrência, mas 
para a sua sobrevivência financeira e, especificamente falando-se no Brasil, por 
conta da turbulência econômica e desaceleração do crescimento, principalmente 
a partir deste ano. 
Logo, uma das questões críticas que temos é com relação ao processo de 
tomada de decisão. É interessante observarmos que tomar decisões é uma 
condição da própria cultura humana, ou seja, viver é escolher entre apostas 
melhores, seguir pela esquerda ou à direita na bifurcação de uma dada estrada 
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em uma viagem, casar com Marina ou ir embora com Fernanda, sabendo que 
nenhuma das duas opções é garantia de felicidade ou fortuna; o melhor que 
podemos fazer é analisar as oportunidades que temos. Não há como não tomar 
decisões. Jean Paul Sartre afirmou que “o homem está condenado à liberdade”, 
talvez considerasse plausível o nosso argumento: O homem está condenado a 
tomar decisões. Porém, quando falamos no foco da gestão empresarial, como em 
qualquer outra situação, existem diversas variáveis que caracterizam as situações 
problema. Mas o que são problemas? Os problemas existem quando o estado 
atual de uma situação é diferente do estado desejado, logo, percebe-se mais uma 
vez que a Pesquisa Operacional é uma ferramenta extremamente qualificável 
para o trabalho de gestão, seja nos níveis gerencial, operacional ou estratégico, 
uma vez que fornece condições para melhor comunicação entre decisores e 
setores de uma organização. 
Portanto, o nosso módulo busca a apresentação de ferramentas 
relacionadas à metodologia da Pesquisa Operacional para a tomada de decisão, 
em termos gerenciais e no sentido de utilizarmos uma de suas principais técnicas 
que é a Programação Linear. 
Dentre algumas aplicações a serem resolvidas citamos: 
Situação Problema 1 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) (Análise 
de Mercado) – o departamento de marketing de uma empresa no ramo de varejo 
estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois 
produtos P1 e P2. As alternativas são: 
Alternativa de Investimento 01: investir em um programa estratégico com 
outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo 
de R$3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada 
produto, para cada R$1.000,00 investidos. 
Alternativa de Investimento 02: investir diretamente na divulgação dos 
produtos. Cada R$1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas 
vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
 A empresa dispõe de R$10.000,00 para esse empreendimento. Construa o 
modelo do sistema descrito. 
 
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Situação Problema 2 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) (Modelo de 
Política de Empréstimo) – um banco multinacional está em processo de 
elaboração de uma política de empréstimo que envolve um máximo de 
R$12.000.000,00. O Quadro 01 a seguir apresenta os dados pertinentes aos tipos 
de empréstimos disponíveis. 
Quadro 01: Empréstimos oferecidos pelo banco em questão. 
Tipo de EmpréstimoTaxa de Juros Taxa de Inadimplência 
 
Pessoal 
Automóvel 
Habitacional 
Agrícola 
Comercial 
0,140 
0,130 
0,120 
0,125 
0,100 
0,10 
0,07 
0,03 
0,05 
0,02 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 A inadimplência são débitos incobráveis e não geram receita de juros. A 
concorrência com outras instituições financeiras requer que o banco destine no 
mínimo 40% dos fundos a créditos, agrícola e comercial. Para auxiliar o setor de 
construção de residências da região, a quantia destinada ao crédito habitacional 
deve ser igual a, no mínimo, 50% dos empréstimos pessoais, para aquisição de 
automóveis e aquisição habitacional. 
O Banco AFA também estabeleceu na política de não permitir que a taxa 
global de inadimplência sobre todos os empréstimos exceda 4%. Formular o 
modelo de Programação Linear do sistema, sendo que o objetivo do Banco AFA é 
o de maximizar seu retorno líquido, que nada mais é do que a diferença entre 
receita de juros e créditos inadimplentes. 
 
Situação Problema 3 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) 
(Planejamento Urbano) – uma cidade paulista enfrenta uma série de carência 
orçamentária. Em busca de uma solução a longo prazo, a câmara de vereadores 
da cidade aprova uma melhoria da base de cobrança de impostos que prevê a 
condenação de uma área habitacional do centro da cidade e sua substituição por 
um conjunto habitacional moderno. O projeto envolve duas fases: 1) demolição 
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das casas que estão aquém do padrão para liberar terreno para o novo projeto; e, 
2) construção do novo conjunto urbano. A seguir, daremos um resumo da 
situação: 
1) Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada 
casa ocupa um lote de 0,25 acres. O custo da demolição de uma casa condenada 
é de R$2.000,00. 
2) Os tamanhos dos lotes para domicílios (unidades) simples, duplos, 
triplos e quádruplos são de 0,18; 0,28; 0,4 e 0,5 acres, respectivamente. Ruas, 
espaços abertos e instalações públicas ocupam 15% da área disponível. 
3) No novo conjunto habitacional, as unidades triplas e quádruplas 
representam no mínimo 25% do total. Unidades simples devem representar no 
mínimo 20% de todas as unidades, e unidades duplas, no mínimo 10%. 
4) O imposto cobrado por unidade domiciliar simples, dupla, tripla e 
quádrupla é de R$1.000,00, R$1.900,00, R$2.700,00 e R$3.400,00, 
respectivamente. 
5) O custo da construção por unidade domiciliar simples, dupla, tripla e 
quádrupla é de R$50.000,00, R$70.000,00, R$130.000,00 e R$160.000,00, 
respectivamente. O financiamento acordado com um banco local será de no 
máximo R$15.000.000,00. 
Construir o modelo de programação linear associado ao problema deste 
planejamento urbano. 
Note que todas as situações são problemas práticos que encontramos 
atualmente no âmbito da gestão empresarial. 
Pois bem, as palavras acima são nossa justificativa para o módulo em 
estudo. 
 
“Nem tudo o que pode ser contado conta, e nem tudo o que conta 
pode ser contado.” 
(Einstein) 
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UNIDADE 1 – ENFOQUE GERENCIAL DAS TÉCNICAS DE 
PESQUISA OPERACIONAL APLICADAS À TOMADA DE 
DECISÃO GERENCIAL 
 
1.1 Aspectos Introdutórios da Tomada de Decisão 
É sabido que no mundo globalizado, a tomada de decisão gerencial é de 
fundamental importância para a sobrevivência das organizações, sendo assim, o 
domínio e utilização de ferramentas quantitativas pelos gestores se torna 
indispensável, para que a tomada de decisão seja correta, coerente e confiável. 
Neste sentido, a Pesquisa Operacional objetiva estudar problemas reais 
envolvendo situações de tomada de decisão, através de modelos matemáticos 
comumente resolvidos com a implementação numérica. 
Em verdade, ela aplica conceitos e métodos de outras disciplinas 
científicas na concepção, no planejamento ou na operação de sistemas para 
atingir seus objetivos, ou ainda, procura, assim, introduzir elementos de 
objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão, sem descuidar, 
no entanto, dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que 
caracterizam os problemas. 
A Pesquisa Operacional estende-se por praticamente todas as áreas do 
conhecimento, com abordagem de problemas envolvendo os meios de produção, 
seres humanos, matérias-primas, equipamentos, recursos financeiros e meio 
ambiente. A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para a 
resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões, aplica 
conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou 
operação de sistemas. 
Salientamos também que o termo Pesquisa Operacional (P.O.) tem sua 
origem nas Forças Armadas do Reino Unido, onde entre as décadas de 30 e 40, 
pesquisadores de diferentes áreas do conhecimento formaram pequenas equipes 
destinadas a dar apoio às Forças Militares e obtiveram êxito nos seus desafios, 
ou seja, vitórias em batalhas. Sendo assim, surge a denominação de Equipes de 
Pesquisa de Operações (Operations Research). A partir daí, mais precisamente, 
depois da segunda guerra mundial, a Pesquisa Operacional desenvolveu-se no 
setor industrial da Grã-Bretanha e em organizações militares e civis dos Estados 
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Unidos, onde a partir da década de 50, as indústrias utilizam as técnicas da 
Pesquisa Operacional (P.O.) para apoio à tomada de decisão gerencial, ou seja, 
buscando sempre a maximização de resultados empresariais. 
Cabe ressaltar que, particularmente, no meio empresarial, tornou-se 
necessária a subdivisão em setores correspondentes às atividades de produção, 
comercialização, finanças e pessoal, e a função de avaliação do desempenho das 
unidades da organização no sentido de minimizar os efeitos dos respectivos 
interesses, quase sempre são embasados em conflitos e dados questionáveis. 
Dessa maneira, os problemas provenientes desta complexidade levaram a 
administração industrial a compreender que os gestores que não se baseavam 
nem na ciência, nem na pesquisa científica, não eram capazes de resolver os 
seus problemas e, por conseguinte, não conseguiam obter êxito na maximização 
de resultados. Esses gestores passaram a então ceder espaço para os analistas 
de Pesquisa Operacional (P.O.), que empregam os princípios da pesquisa 
científica para elaborar os estudos de apoio ao dirigente, baseando-se mais uma 
vez em informações numéricas para interpretação. 
Com relação à empregabilidade da Pesquisa Operacional, falando um 
pouco mais de forma específica no mercado brasileiro, percebe-se que sua 
utilização é ainda pouca praticada na gestão empresarial, limitando-se num 
primeiro momento às empresas estatais e às grandes empresas privadas, 
todavia, sua importância vem sendo percebida por muitas organizações e sua 
tendência é o crescimento acentuado,sobretudo devido ao desenvolvimento da 
área computacional. Em verdade, podemos dizer que a Pesquisa Operacional 
consegue resolver não só problemas simples da área da gestão, bem como, de 
outras áreas do conhecimento. 
Além disso, a partir do desenvolvimento dos computadores, podemos 
visualizar, atualmente, vários programas computacionais que atuam diretamente 
na implementação de soluções de problemas de programação linear, que é uma 
das principais técnicas da Pesquisa Operacional, dentre eles citamos o Excel 
(Solver), LINGO (Linear Interactive and Discrete Optimizer), TORA, AMPL, PO 
e VCN, dentre outros. 
 
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Figura 01: A trajetória da Pesquisa Operacional ao longo do tempo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Cabe ressaltar ainda, segundo Lachtermacher (2009), que desde seu 
surgimento, esta nova metodologia para a análise de decisão caracterizou-se pelo 
uso de técnicas e métodos científicos qualitativos por equipes de várias áreas, no 
intuito de determinar a melhor utilização de recursos limitados e para 
programação otimizada das operações de uma organização. Essa característica 
multidisciplinar das operações de Pesquisa Operacional deu origem a um novo 
enfoque, o sistêmico. 
De outro modo, a natureza e o ambiente da gestão empresarial, mesmo 
que possam ser logicamente explicados pelo raciocínio específico, são muito mais 
complexos e abrangentes e por isso exigem abordagem mais aberta que permita 
reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. 
Ainda de acordo com Lachtermacher (2009), outra propriedade relevante 
da Pesquisa Operacional, reside no fato de que a mesma facilita muito o processo 
de análise de decisão via os modelos, que representam situações simplificadas 
do cotidiano, permitindo a “experimentação”, o que nos leva a pensar que uma 
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decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente 
implementada. 
Saiba Mais! Observe então que as primeiras atividades formais de Pesquisa 
Operacional (P.O.) foram iniciadas na Inglaterra durante a Segunda Guerra 
Mundial, quando uma equipe de cientistas britânicos decidiu tomar decisões 
com bases científicas sobre a melhor utilização de material de guerra. A fim 
de não ficarmos repetindo o termo Pesquisa Operacional toda vez que 
colocarmos P.O. significa a abreviação de Pesquisa Operacional. 
 
Outro ponto a ser comentado, também, é que de acordo com 
Lachtermacher (2009), o imenso progresso da Pesquisa Operacional se deve 
também, em grande parte, ao desenvolvimento dos computadores digitais, em 
face de sua velocidade de processamento e capacidade de armazenamento e 
recuperação das informações, ou seja, outro ponto que nos dias atuais contribui 
para o uso intenso de modelos em análise de decisões é a disseminação dos 
microcomputadores, que se tornaram unidades de processamento 
descentralizadas dentro das empresas. Com relação à academia, podemos 
descrever quatro grandes áreas que compõem o alicerce da Pesquisa 
Operacional, conforme Figura 02 a seguir. 
 
 
Figura 02: As quatro áreas do conhecimento que são base para a Pesquisa Operacional. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
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Neste sentido, de acordo com Lachtermacher (2009), pode-se descrever 
três grandes fases no planejamento de um estudo que envolva estas técnicas, 
como é mostrado na Figura 03 a seguir. 
 
 
Figura 03: As fases de um planejamento de estudo em Pesquisa Operacional. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Em termos empresariais e/ou gerenciais, podemos analisar o planejamento 
quantitativo de um estudo na área da Pesquisa Operacional, como é mostrado na 
Figura 04 a seguir. 
 
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Figura 04: Fluxo de uma análise quantitativa no enfoque gerencial. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Sendo assim, de acordo com Lachtermacher (2009), pode-se definir a 
Pesquisa Operacional sendo uma metodologia da administração ou método 
científico, voltada para a tomada de decisões, cujo principal objetivo é o de 
fornecer ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões. Ou ainda, 
segundo Cliff (2009), a Pesquisa Operacional, que diz respeito à alocação 
eficiente de recursos escassos, é tanto uma arte como uma ciência. A arte reside 
na habilidade de exprimir os conceitos de eficiente e de escasso por meio de um 
modelo matemático bem definido para uma determinada situação; a ciência 
consiste na dedução de métodos computacionais para solucionar tais modelos. 
 
1.1.1 Descrevendo o Processo de Decisão em Organizações 
Já é sabido que a Pesquisa Operacional é um ramo da ciência 
administrativa que fornece instrumentos para análise de decisões, logo, deve-se 
compreender e bem a teoria envolvendo estas decisões. Salienta-se que a ideia 
inicial é a procura de entendimento das características principais do processo e 
de suas dificuldades, de forma que possamos compreender como a Pesquisa 
Operacional, vista como um conjunto de técnicas quantitativas nos auxilia na 
gerência para a preparação e tomada de decisão. Tomar decisões não é uma 
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tarefa simples e, principalmente, no meio empresarial atualmente, tal 
procedimento se torna cada vez mais complexo e a análise de dados fica cada 
vez mais relevante. Ressalta-se ainda que a priori, qualquer pessoa saberia o 
significado da palavra decisão, porém temos vários possíveis tipos, uma vez que 
as técnicas para preparação de decisões variam com a natureza do problema e 
com o tipo de decisão que deve ser tomada. 
Existem várias definições e conceitos referentes à decisão, mas uma que 
exprime bem a forma como será tratada aqui diz que 
 
uma decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa, como o meio 
mais efetivo à sua disposição para alcançar os objetivos procurados, ou 
seja, para resolver o problema que a incomoda (Cliff (2009). 
 
Dessa maneira, interpreta-se a decisão como um resultado de um processo 
que se desenvolve a partir do instante em que o problema foidetectado, o que 
ocorre geralmente através da percepção de sintomas. Logo, o processo de 
decisão a nível empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe que 
sintomas de alguma coisa estão saindo do estado normal desejado ou planejado. 
A partir dessa percepção, inicia-se a fase de identificação do problema, que é o 
verdadeiro começo do processo decisório, conforme ilustra a Figura 05 a seguir. 
 
Figura 05: O início do processo de decisão empresarial. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
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Salientamos que este conceito de decisão como um processo gerencial 
explicita claramente a importância das atividades de preparação na tomada da 
decisão. De outro modo, pode-se listar de forma bastante simples as 
características principais do processo decisório que têm importância na 
conceituação de racionalidade da ação gerencial, que são: 
 • o processo de decisão é sequencial, ou seja, temos uma sequência 
natural para a implantação do mesmo; 
 • é um processo complexo, isto é, o processo na sua grande maioria exige 
um alto grau de complexidade na implantação, acompanhamento e execução; 
 • é um processo que envolve valores subjetivos, ou seja, envolve o ponto 
de vista de cada um; 
 • é um processo desenvolvido dentro de um ambiente institucional com 
regras mais ou menos definidas, ou ainda, o processo de decisão é desenvolvido 
seguindo as regras de cada organização. 
A Figura 06 a seguir, nos mostra de forma resumida as principais 
características que envolvem o processo de decisão. 
 
Figura 06: As características do processo de decisão. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
De outra forma, é interessante salientarmos que os problemas que exigem 
decisões na gestão empresarial, geralmente, podem ser classificados segundo 
vários critérios. 
Em verdade, de acordo com Cliff (2009), temos uma classificação geral, em 
que as decisões são vistas à luz do nível em que ocorrem dentro da empresa e do 
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grau de complexidade envolvido. Os dois critérios que utilizaremos que são o 
nível estratégico e o grau de estruturação, são descritos logo na sequência. 
� Nível Estratégico: relaciona-se à sua importância e abrangência 
com relação à organização. Aqui, devemos interpretar que quanto mais as 
atividades e os resultados de uma organização forem afetados pela decisão, mais 
estratégica ela será. 
� Grau de estruturação: caracteriza-se pela disponibilidade de 
indicadores, em ordens ou passos, que possibilitam a repetição e o alcance dos 
resultados em um processo decisório, em outras ocasiões ou situações, em 
outras palavras, o grau de estruturação diz respeito à possibilidade de uma 
decisão ser acompanhada em seu processo de preparação e de conclusão, ou 
mesmo de ser reproduzida por outras pessoas com os mesmos resultados. 
Deve-se salientar que a forma de abordagem de cada uma das situações 
problema e o apoio necessário para a solução sofre variações de acordo com as 
mesmas, ou seja, de um tipo para outro. Vejamos a exemplificação de tais 
classificações nas três figuras subsequentes. 
 
 
Figura 07: Exemplo de Tipo de Decisão – Grau de estruturação: Alto. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
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Figura 08: Exemplo de Tipo de Decisão – Grau de estruturação: Médio. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
Figura 09: Exemplo de Tipo de Decisão – Grau de estruturação: Baixo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Resumindo, com relação aos critérios de classificação para as decisões de 
nosso interesse, temos às seguintes representações que são mostradas nas 
figuras 10 e 11 a seguir. 
 
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Figura 10: O critério de classificação – Grau de Estruturação. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
 
Figura 11: O critério de classificação – Nível Estratégico. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
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De outra forma, pode surgir a indagação de como se pode caracterizar a 
qualidade de uma decisão? Ou seja, como foi visto falar em uma decisão de alta 
ou baixa qualidade envolve muita subjetividade. Dessa forma, de acordo com Cliff 
(2009), percebe-se que definir o que seja uma decisão de alta qualidade é uma 
tarefa muito árdua e contestada e, geralmente, complicado de se encontrar um 
denominador comum. Comumente, uma decisão aparentemente inadequada ou 
mesmo irracional para alguns gestores atuais, torna-se um sucesso num futuro 
próximo. Entretanto, segundo Cliff (2009), a maioria das decisões segue um 
padrão mais palpável de raciocínio e, por conseguinte, pode-se identificar 
algumas propriedades do que seria uma decisão de qualidade. 
Grosso modo, de acordo com Cliff (2009), afirma-se que uma decisão 
apresenta elevada qualidade quando, de forma eficaz e efetiva, garante a 
realização dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e recursos 
foram reservados. Ressalta-se que essa definição permite distinguir três 
propriedades principais que possibilitariam a avaliação da qualidade de uma 
decisão, que são: 
� a satisfação dos interesses envolvidos; 
� a adaptação dos meios necessários aos objetivos procurados; 
� a consistência do curso de ação. 
 
Dessa maneira, poderíamos dizer que a qualidade de uma decisão é tão 
mais elevada quanto maior for o grau de participação dessas três características 
no processo decisório da situação problema a ser implementada. A figura 12 a 
seguir, enumera as principais características que nos permite a mensuração da 
qualidade de uma decisão. 
 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 12: Principais características para mensuração da qualidade de uma decisão. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.1.1.2 A Pesquisa Operacional no Foco Organizacional 
De acordo com Cliff (2009), a priori, tinha-se uma visão um pouco arcaica 
com relação ao tratamento dado à Pesquisa Operacional, principalmente no foco 
das organizações, sendo que com o passar dos anos, com a procura mais 
contínua das organizações, com o desenvolvimento da tecnologia computacional, 
a Pesquisa Operacional tem sido vista pelos gestores sob dois enfoques 
diferentes, quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação 
prática no campo da gestão empresarial, que são: 
� enfoque clássico (ou tradicional) – simplesmente busca a 
otimalidade do processo, i.e., busca a solução ótima do problema real 
pesquisado; 
� enfoque atual (ou moderno) – utiliza dos modelos (versão 
simplificada da realidade) para identificação do verdadeiro problema. 
 
1.1.3 Descrevendo o Enfoque Clássico ou Tradicional da PO 
De acordo com Cliff (2009), o enfoque clássico ou tradicional é derivado 
do conceito quantitativo dado no início do desenvolvimento da Pesquisa 
Operacional. Grosso modo, neste sentido, a Pesquisa Operacional é encarada 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
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como a arte de aplicar técnicas de modelagem a problemas de decisão, 
resolvendo os modelos obtidos através da utilização de técnicas oriundas da 
Matemática e Estatística, visando exclusivamente à obtenção de uma solução 
ótima, sob uma abordagem totalmente sistêmica. 
Salienta-se ainda que essa definição leva à ideia de que grande parte dos 
gestores tem que a Pesquisa Operacional apenas fornece um conjunto de 
técnicas e métodos úteis para a solução de determinados problemas na gestão 
empresarial, quando estes podem ser modelados na forma correta e a partir de 
sistemas. Vale ressaltar ainda, que como os modelos são representações de 
cunho simplificado da realidade de uma situação problema, as soluções 
encontradas que geram a otimalidade da situação podem deixar a desejar quanto 
à sua parte de aplicação. 
Em verdade, ainda segundo Cliff (2009), o enfoque tradicional da Pesquisa 
Operacional que busca a solução ótima para os problemas foi, por muito tempo, 
extremamente útil ao desenvolvimento dessa metodologia, pois alinhou em torno 
de si um contingente numeroso de matemáticos, engenheiros, físicos, 
economistas e pessoas de muitas outras especialidades, pesquisando e 
desenvolvendo métodos para a solução de problemas. Entretanto, na área 
empresarial, essa linha tradicional esbarrou no fato de que os gestores de nível 
mais elevado dentro das organizações apresentam limitações por conta do rigor 
matemático dos métodos da Pesquisa Operacional e, geralmente, frustrados pela 
pouca flexibilidade dos modelos que somente respondiam a perguntas 
padronizadas. 
 
1.1.4 Descrevendo o Enfoque Atual ou Moderno da PO 
De acordo com Cliff (2009), o enfoque atual deriva de um conceito 
qualitativo da Pesquisa Operacional. Aqui, o esforço despendido para a 
modelagem de um problema leva a uma compreensão mais profunda do próprio 
problema, identificando melhor seus elementos internos (sintomas, por exemplo), 
suas interações com o ambiente externo, as informações necessárias e os 
resultados possíveis de se obter. Neste sentido, salientamos que a importância da 
Pesquisa Operacional estaria, então, na sua influência sobre o modo pelo qual os 
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gestores abordam os problemas, na maneira como os formulam, na avaliação que 
fazem do relacionamento com outros problemas e na forma usada para sua 
comunicação a outras pessoas. 
Nessa abordagem qualitativa, o enfoque central é deslocado do método de 
solução, que geralmente é um algoritmo matemático complexo, para a formulação 
e para modelagem, ou seja, para o diagnóstico do problema, perdendo a 
importância, o rigor matemático da solução, e ganhando relevância no espírito 
crítico, na sensibilidade para descobrir o problema correto e na análise de quais 
informações são fundamentais para a decisão e quais são acessórias, apenas 
completando, sem no entanto afetar os resultados. 
Segundo Correr e Theofilo (2004), o enfoque qualitativo da Pesquisa 
Operacional é o reconhecimento de que a abordagem quantitativa dos problemas 
fornece uma estrutura de raciocínio e análise que permite desenvolver a “visão 
sistêmica” do processo, levando a decisão mais estruturada. É nesse aspecto do 
problema de decisão que a Pesquisa Operacional cumpre uma função importante. 
Na ausência de uma abordagem quantitativa para avaliar o potencial da nova 
informação, a decisão de comprá-la é mais governada pelo temor do 
desconhecido do que por uma análise racional de custos e benefícios. 
 
1.2 Natureza e Técnicas da Pesquisa Operacional Aplicadas no Foco 
Organizacional 
Além disso, é interessante salientarmos que de acordo com Correr e 
Theofilo (2004), um dado estudo em PO consiste, grosso modo, na construção de 
um modelo relativo a um sistema real existente como meio de analisar e 
compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo de levá-lo a 
apresentar o desempenho que se deseja, ou seja, na maximização dos resultados 
através da solução ótima e de sua interpretação prática. Este sistema pode existir 
no mundo atual ou pode ainda estar em concepção. Em termos práticos, no 
primeiro caso, o objetivo do estudo é analisar o desempenho do sistema para 
escolher uma ação no sentido em que o objetivo do estudo é analisar o 
desempenho do sistema para escolher uma ação no sentido de aprimorá-lo. No 
segundo, o objetivo é identificar a melhor estrutura do sistema futuro. 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Segundo Correr e Theofilo (2004), no campo da gestão empresarial, os 
sistemas com os quais os gestores lidam têm como característica a 
complexidade, em ritmo cada vez mais acelerado, em face das condições 
existentes nos ambientes sociopolítico, econômico e negocial. 
Todavia, mesmo uma situação real, que envolva um número muito grande de 
variáveis, tem seu comportamento fundamentalmente influenciado por uma 
quantidade reduzida de variáveis principais. 
Dessa forma, a simplificação do sistema real em termos de um modelo 
passa primeiramente pela identificação dessas variáveis principais. A Figura 13 a 
seguir, representa esta simplificação. O sistema real reduzido é o núcleo do 
sistema existente que, basicamente, dita o comportamento deste e que pode ser 
modelado, para efeito de análise, por uma estrutura simplificada. 
 
Figura 13: Representação simplificada do processo de modelagem. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
De outra forma, segundo Correr e Theófilo (2004), algumas técnicas 
utilizadas pela Pesquisa Operacional para o desenvolvimento do estudo sobre 
situações reais são consideradas relevantes a nível organizacional, dentre elas 
citamos: 
� Programação Linear – em termos formais,a Programação Linear 
(P.L.) é um modelo matemático desenvolvido para resolver determinados tipos de 
problemas nos quais as relações entre as variáveis relevantes possam ser 
expressas por equações e inequações lineares; 
 
Modelo 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
� Programação Não-linear – neste caso, estão envolvidas não 
apenas equações e inequações lineares, mas também equações e inequações 
não-lineares; 
� Teoria de Filas – o estudo de filas trata da quantificação do 
fenômeno da espera em filas usando medidas representativas de desempenho 
como o comprimento médio de uma fila, o tempo médio de espera em fila e a 
média de utilização da instalação. Aparecem naturalmente nos nossos dias; 
� Simulação – na prática, a simulação envolve frequentemente o uso 
do computador. A simulação envolve a construção de uma modelo aproximado da 
realidade, o qual será operado muitas e muitas vezes, analisando-se então seus 
resultados para que ele possa ser mais bem compreendido, manipulado e 
controlado; 
� Controle de Estoques – técnica amplamente utilizada no 
desenvolvimento de sistemas que contemplem a melhor associação do 
gerenciamento e monitoramento de estoques. 
 
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UNIDADE 2 – CONSTRUÇÃO DE MODELOS PRÁTICOS 
EMPRESARIAIS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
 
2.1 Aspectos Introdutórios da Tomada de Decisão 
Já foi comentado que a Programação Linear é uma das técnicas da 
Pesquisa Operacional das mais utilizadas em se tratando de problemas de 
otimização, ou seja, na busca por otimalidade em processos diversos e, 
especificamente falando no contexto empresarial. Salientamos que os problemas 
de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados 
para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou receitas, ou 
ainda, minimizar custos, despesas ou dispêndios. 
Grosso modo, quando falamos no nesse objetivo, o mesmo é expresso 
através de uma função linear, denominada de Função Objetivo. É necessário 
também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que 
proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas 
em forma de equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao 
conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se "Restrições 
Técnicas". 
Geralmente, observa-se que temos inúmeras maneiras de distribuir os 
recursos escassos entre as entre as diversas atividades em estudo, bastando 
para com isso que essas distribuições estejam coerentes com as restrições 
técnicas. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo, isto 
é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. Tal solução é chamada 
de solução ótima. Além disso, é interessante ressaltarmos que como 
trabalhamos no meio empresarial com quantidades não negativas na grande 
totalidade dos casos, como padronização de mercado, temos as chamadas 
restrições de não negatividade, que em verdade, significa colocarmos cada 
uma das variáveis que compõem o nosso modelo como sendo maiores ou iguais 
a zero. Dessa maneira, a Programação linear trata de encontrarmos a solução 
ótima de um problema, uma vez definida o modelo linear, ou seja, a função 
objetivo e as restrições técnicas e de não negatividade. 
 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Importante! De acordo com Cliff (2009), a Programação Linear é uma técnica 
de planejamento que se originou no final da década de 40 e, com o 
surgimento do computador na década de 50, encontrou o seu aliado natural, 
tendo então um desenvolvimento acelerado e sendo também muito 
difundida. 
 
Por exemplo, podemos citar como aplicações especificas da Pesquisa 
Operacional e, consequentemente, da Programação Linear no contexto 
empresarial. 
� Planejamento de Produção e Controle de Estoque: existem diversas 
aplicações da PL em controle da produção e de estoque, iniciando desde a 
simples alocação de capacidade de máquina para atender à demanda até o caso 
mais complexo da utilização de estoque para “atenuar” o efeito da mudança 
imprevisível na demanda para determinada projeção de planejamento e da 
utilização de contratação e demissão para enfrentar as mudanças nas 
necessidades de mão de obra. 
� Planejamento Urbano: problema crônico que afeta as grandes cidades, 
sendo assim, por exemplo, essa situação problema trata de três áreas gerais: 1) a 
construção de novos projetos habitacionais; 2) recuperação de áreas 
habitacionais e de recreação urbanas deterioradas; e, 3) planejamento de 
instalações públicas (como escolas e aeroportos). As restrições associadas com 
esses projetos são tanto econômicas (terreno, construção, financiamento) quanto 
sociais (escolas, parques, nível de renda). Os objetivos do planejamento urbano 
variam, especificamente falando no desenvolvimento de projetos habitacionais, de 
modo geral, o lucro é o motivo para a consecução do projeto. 
� Algoritmo dos Transportes – Encontrando as Melhores Rotas: qual 
deve ser o roteiro de transporte de veículos de carga de modo que entreguem 
toda a carga no menor tempo e no menor custo total? 
� Planejamento de mão de obra: variações na mão de obra para atender 
à demanda variável ao longo do tempo podem ser obtidas por meio do processo 
de contratação e demissão. Existem situações em que o efeito das variações na 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
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demanda pode ser absorvido pelo ajuste dos horários de início e término de um 
turno de trabalho. 
� Localização Industrial: onde devem ser localizadas as fábricas e os 
depósitos de um novo empreendimento industrial de modo que os custos de 
entrega do produto aos varejistas sejam minimizados? 
� Carteira de Investimentos: quais ações devem compor uma carteira de 
investimentos de modo que o lucro seja máximo e sejam respeitadas as previsões 
de lucratividade e as restrições governamentais? 
 
2.2 Elementos Básicos da Programação Linear 
Muitos problemas práticos em pesquisa operacional podem ser 
caracterizados como problemas de programação linear, tais como, planejamento 
urbano, controle de estoques, problemas de mercado, problemas de mistura, 
administração da produção, problemas de logística, network flow e problemas 
de multicommodity flow. Neste sentido, é de fundamental importância o 
entendimento inicial a respeito dos elementos-chave para a construção de um 
modelo de programação linear. De acordo com Cliff (2009), a descrição de cada 
um deles segue. 
� Variáveis Controláveis ou Variáveis de Decisão: são encaradas comoas variáveis cujo valor está sob controle do gestor ou administrador. Ou seja, 
decidir aqui significa atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. 
� Função Objetivo: descreve matematicamente o objetivo do problema, 
sendo assim, a função pode ser do tipo de maximização ou de minimização. Note 
que apenas uma delas. 
� Restrições: comumente denominadas de regulamentações. Elas são 
classificadas em Restrições Técnicas e Restrições de Não-negatividade. 
Especificamente falando, as restrições técnicas também fazem referência às 
variáveis do problema e descrevem todas as regulamentações do problema 
através de equações e/ou inequações lineares, enquanto que as restrições de 
Não-negatividade servem para padronizarmos as quantidades, já que na prática 
da gestão empresarial, na grande maioria dos casos, trabalhamos com 
quantidades não-negativas 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
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Resumindo, para modelarmos uma situação problema, via um modelo de 
programação linear, devemos seguir a sequência de passos descrita na figura 14 
abaixo. 
 
 
Figura 14: Metodologia para a formulação de modelos de P.L. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Importante! Devemos salientar, de forma bem simples, que Programação 
para nós em verdade é significado de Planejamento. 
 
2.3 Formulando um Modelo de Programação Linear 
Vejamos agora algumas situações problema envolvendo a formulação de 
modelos de Programação Linear, que em verdade são aplicações práticas 
envolvendo o meio empresarial de uma forma geral, tais como, problemas de 
produção, problema de pesquisa de mercado, problemas de logística, problemas 
de formulação de petróleo, problemas de alocação de recursos, entre outros. 
 
Situação Problema 1 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) 
(Problema de Mercado) – Carlos é um vendedor de frutas e pode transportar 800 
caixas de frutas para sua região de vendas. Carlos necessita transportar 200 
caixas de laranjas a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de 
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pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 
R$30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para 
obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. 
Solução: Primeiramente, devemos caracterizar as variáveis de decisão, ou 
seja, neste caso, temos 3 variáveis de decisão, que podem ser interpretadas 
como: 
x 1 : quantidade de caixas de pêssegos a serem transportadas; 
x 2 : quantidade de caixas de tangerinas a serem transportadas; 
x 3 : quantidade de caixas de laranjas a serem transportadas. 
 
De outra forma, a função objetivo que descreve matematicamente o 
objetivo do problema é dada por: 
Max. Lucro = 10.x1 + 30.x 2 + 200.x 3 
Note que a parcela (4000) na função objetivo é devido a sabermos que 
serão transportadas 200 caixas de laranjas com lucro unitário é igual a R$20,00. 
As restrições técnicas são: 
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 800 
x 1 ≥ 100 
x 2 ≤ 200 
x 3 = 200 
E, finalmente, as restrições de não-negatividade são: 
x 1 ≥ 0 
x 2 ≥ 0 
x 3 ≥ 0 
 
Situação Problema 2 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) 
(Administração da Produção) – uma fábrica de sapatos produz dois produtos, A 
e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M 2 . Devido à 
programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a 
máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto 
a máquina M 2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do 
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produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e M 2 . Para 
produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas 
na máquina M 2 . Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 280,00 
e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 260,00. Existe uma previsão 
máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições 
quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B 
devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, 
obedecer a todas as restrições desse enunciado. Formular o modelo de 
programação linear. 
 
Solução: Nesse caso, as variáveis de decisão são facilmente 
reconhecíveis: são as quantidades que podemos e devemos fabricar de A e B 
para que o lucro na sua venda seja máximo, dessa maneira, podemos chamar: 
x: quantidade a ser produzida do produto A (em unidades); e, 
y: quantidade a ser produzida do produto B (em unidades). 
 
A função objetivo é uma expressão formada por uma combinação linear 
das variáveis de decisão, sendo assim, queremos maximizar o resultado numérico 
da seguinte expressão: 
280.x + 260.y 
Já que cada unidade de A gera um lucro de R$280,00 e cada unidade de B 
gera um lucro de R$260,00. Dessa forma, a nossa formulação se inicia-se com: 
Maximizar 280.x + 260.y 
Agora, vamos olhar para as restrições. Temos que as restrições dizem 
respeito à escassez de recursos, por um lado, e a limites impostos sobre nossas 
ações na tentativa de maximizar a função objetivo. Sendo assim, indagamos: 
Quais são os nossos recursos escassos? Claramente, observamos que temos um 
número limitado de horas de máquina, tanto para M1 como para M 2 . Não 
podemos gastar mais de 24 horas na máquina M1 ou mais de 16 horas na 
máquina M 2 . Ou seja, usando uma notação simbólica, podemos escrever: 
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Horas consumidas na máquina M1 ≤ 24 
Horas consumidas na máquina M 2 ≤ 16 
 
Vamos agora expressar as horas consumidas em termos das variáveis de 
decisão x e y, que são nossas incógnitas. As restrições sempre devem ser 
colocadas em função de uma ou mais incógnitas do problema. 
Temos que, cada unidade de A consome 4 horas de trabalho na máquina 
M1 e cada unidade de B consome 6 horas de trabalho nessa mesma máquina. 
Logo, podemos escrever: 
Horas consumidas na máquina M1 = 4.x + 6.y 
Similarmente, cada unidade de A consome 4 horas de trabalho na máquina 
M 2 e cada unidade de B consome 2 horas de trabalho nessa mesma máquina. 
Daí, podemos escrever: 
Horas consumidas na máquina M 2 = 4.x + 2.y 
 
Reescrevendo, então, as restrições de horas de máquinas, temos 
finalmente: 
 
4.x + 6.y ≤ 24 
4.x + 2.y ≤ 16 
 
Acabamos com as restrições? Ainda não, já que não podemos fabricar 
mais de 3 unidades do produto B, pois sua demanda máxima é essa. Então, 
podemos escrever de formaimediata que: 
 
y ≤ 3 
 
Aqui, cabe salientarmos a seguinte observação. Sempre é conveniente não 
deixar uma variável de decisão sem seu coeficiente, caso ele seja igual a 1. É 
lógico que, por convenção, geralmente não escrevemos 1.y, mas quando 
estivermos entrando com os dados em um computador ou mesmo resolvendo o 
problema manualmente (pelo método simplex), precisamos lembrar que y quer 
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dizer, na verdade, 1.y. No momento da solução, também estaremos usando 
expressões, equações e inequações nas quais devem aparecer todas as variáveis 
de decisão. Portanto, no devido momento, em vez de escrevermos: 
y ≤ 3, 
Escreveremos: 
0.x + 1.y ≤ 3 
 
Entretanto, podemos deixar para colocar os coeficientes 0 e 1 após 
completarmos a formulação do modelo, caso seja de nossa preferência. 
Além disso, com relação às restrições, por último, temos as condições de 
não-negatividade, segundo as quais as variáveis de decisão não podem assumir 
valores negativos (não existe sentido físico para que isto aconteça), ou seja: 
 
x ≥ 0 
y ≥ 0 
 
Vamos escrever a formulação completa? Como assim? Desta forma, 
podemos escrever a formulação do modelo, como segue: 
Max 280.x + 260.y 
Sujeito a 
4.x + 6.y ≤ 24 
4.x + 2.y ≤ 16 
0.x + 1.y ≤ 3 
x ≥ 0; y ≥ 0 
 
Para encerrarmos a discussão com relação ao nosso primeiro exemplo, um 
problema como esse, com apenas duas variáveis de decisão, pode ser resolvido 
tanto por meio de um procedimento gráfico, como pelo método algébrico (método 
simplex), tanto por intermédio da implementação numérica. Por enquanto, vamos 
simplesmente fornecer a solução, sem discussão de como ela foi obtida. A 
solução do problema é dada por: 
x = 3 
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armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
y = 2 
 
O valor da função objetivo é máximo e igual a 
280.(3) + 260.(2) = 840 + 520 = R$1360,00 
 
Notemos que os recursos disponíveis são totalmente consumidos, já que: 
4.(3) + 6.(2) = 12 + 12 = 24 (horas consumidas da máquina M1 ); 
4.(3) + 2.(2) = 12 + 4 = 16 (horas consumidas da máquina M 2 ). 
 
Situação Problema 3 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) 
(Pesquisa de Mercado) – uma rede de televisão local em uma cidade do interior 
paulista, tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 
minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto 
de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma 
semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua 
propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas 
vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores? Construa o modelo de programação linear do 
sistema. 
Solução: Novamente, primeiramente vamos caracterizar as variáveis de 
decisão, ou seja, neste caso, temos 2 variáveis de decisão, que são: 
x 1 : número de vezes que o programa A deve ser levado ao ar 
semanalmente; 
x 2 : número de vezes que o programa B deve ser levado ao ar 
semanalmente. 
A função objetivo (objetivo do problema descrito matematicamente) é: 
Max. Z = 30000.x1 + 10000.x 2 
As restrições técnicas são: 
1.x1 + 1.x 2 ≥ 5 (Tempo de propaganda); 
20.x1 + 10.x 2 ≤ 80 (Tempo de Música). 
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E, finalmente, as restrições de não-negatividade são: 
x 1 ≥ 0; 
x 2 ≥ 0. 
 Resumindo, o modelo na formulação completa pode ser escrito como: 
Max. Lucro = 30000.x1 + 10000.x 2 
Sujeito a: 
1.x1 + 1.x 2 ≥ 5 
20.x1 + 10.x 2 ≤ 80 
x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 
 
Situação Problema 4 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) 
(Alocação de Recursos) – uma pequena fábrica de móveis produz dois modelos 
de molduras ornamentais, cujos preços de venda são, respectivamente, R$110,00 
e R$ 65,00. Ela possui 7 peças de madeira e dispõe de 30 horas de trabalho para 
confeccionar os dois modelos, sendo que o modelo A requer 2 peças de madeira 
e 5 horas de trabalho, enquanto o modelo B necessita de 1 peça de madeira e 7 
horas de trabalho. Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se 
deseja maximizar o rendimento obtido com as vendas? Formular o modelo de 
programação linear associado ao sistema descrito acima. 
 
Solução: Primeiramente, vamos caracterizar as variáveis de decisão, que 
neste caso são dadas por: 
x = quantidade a ser produzida do modelo A; 
y = quantidade a ser produzida do modelo B. 
 
A função objetivo (objetivo do problema descrito matematicamente) é: 
Max. Lucro = 110.x + 65.y 
As restrições técnicas são: 
2.x + 1.y ≤ 7 
5.x + 7.y ≤ 30 
E, finalmente, as restrições de não-negatividade são: 
x ≥ 0 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
y ≥ 0 
 
Resumindo, o modelo na formulação completa pode ser escrito como: 
Max. Lucro = 110.x + 65.y 
Sujeito a 
2.x + 1.y ≤ 7 
5.x + 7.y ≤ 30 
x ≥ 0; y ≥ 0 
 
Situação Problema 5 (Adaptado de Medeiros e Afrânio – 1998) (Análise 
de Mercado) – o departamento de marketing de uma empresa no ramo de varejo 
estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois 
produtos P1 e P2. As alternativas são: 
Alternativa de Investimento 01: Investir em um programa estratégico com 
outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo 
de R$3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada 
produto, para cada R$1.000,00 investidos. 
Alternativa de Investimento 02: Investir diretamente na divulgação dos 
produtos. Cada R$1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas 
vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
 A empresa dispõe de R$10.000,00 para esse empreendimento. Construa o 
modelo do sistema descrito. 
Solução: Neste caso, observamos que o nosso modelo é de minimização, 
já que a empresa estuda a forma mais econômica de aumentar as suas vendas 
em 30%. Além disso, neste caso, temos três variáveis, que estão diretamente 
relacionadas aos tipos de investimentos, que são: 
x 1 : quantidade em R$1.000,00 para ser investido no programa institucional; 
x 2 : quantidade em R$1.000,00 a ser investido diretamente no produto 1 
(em P1); 
x 3 : quantidade em R$1.000,00 a ser investido diretamente no produto 2 
(em P2). 
Daí, a função objetivo é dada por: 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material podeser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Minimizar C = 1000.x1 + 1000.x 2 + 1000.x 3 
As restrições técnicas são: 
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 10 (1000.x1 + 1000.x 2 + 1000.x 3 ≤ 10000 ) (disponibilidade 
de capital para o empreendimento) 
x 1 ≥ 3 (ou poderíamos escrever 1000x1 ≥ 3000) 
3.x1 + 4.x 2 ≥ 30 (ou 3%. x 1 + 4%.x 2 ≥ 30% ) (investimento relacionado à 
P1) 
3.x1 + 10.x 3 ≥ 30 (ou 3%. x 1 + 10%.x 3 ≥ 30% ) (investimento relacionado 
a P2) 
E as restrições de não-negatividade são: 
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0. 
 
Situação Problema 6 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) 
(Planejamento Urbano) – uma cidade paulista enfrenta uma série carência 
orçamentária. Em busca de uma solução a longo prazo, a câmara de vereadores 
da cidade aprova uma melhoria da base de cobrança de impostos que prevê a 
condenação de uma área habitacional do centro da cidade e sua substituição por 
um conjunto habitacional moderno. O projeto envolve duas fases: 1) demolição 
das casas que estão aquém do padrão para liberar terreno para o novo projeto; e, 
2) construção do novo conjunto urbano. A seguir daremos um resumo da 
situação: 
1) Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada casa 
ocupa um lote de 0,25 acres. O custo da demolição de uma casa condenada é de 
R$2.000,00. 
2) Os tamanhos dos lotes para domicílios (unidades) simples, duplos, triplos e 
quádruplos são de 0,18; 0,28; 0,4 e 0,5 acres, respectivamente. Ruas, espaços 
abertos e instalações públicas ocupam 15% da área disponível. 
3) No novo conjunto habitacional, as unidades triplas e quádruplas representam 
no mínimo 25% do total. Unidades simples devem representar no mínimo 20% de 
todas as unidades, e unidades duplas, no mínimo 10%. 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
4) O imposto cobrado por unidade domiciliar simples, dupla, tripla e quádrupla é 
de R$1.000,00, R$1.900,00, R$2.700,00 e R$3.400,00, respectivamente. 
5) O custo da construção por unidade domiciliar simples, dupla, tripla e quádrupla 
é de R$50.000,00, R$70.000,00, R$130.000,00 e R$160.000,00, 
respectivamente. O financiamento acordado com um banco local será de no 
máximo R$15.000.000,00. 
Construir o modelo de programação linear associado ao problema deste 
planejamento urbano. 
 
Solução: Primeiramente devemos notar que além de determinarmos o 
número de unidades de cada tipo a ser construído, necessitamos também decidir 
quantas casas devem ser demolidas para liberar espaço para o novo projeto 
habitacional. Assim, as variáveis do problema podem ser definidas da seguinte 
forma: 
x 1 : número de unidades simples a serem construídas; 
x 2 : número de unidades duplas a serem construídas; 
x 3 : número de unidades triplas a serem construídas; 
x 4 : número de unidades quádruplas a serem construídas; 
x 5 : número de casas antigas a serem demolidas. 
Ou seja, temos 5 variáveis de decisão ou variáveis controláveis. De outro 
modo, para visualizamos que o objetivo (a função objetivo) é maximizar a 
arrecadação de impostos de todos os quatro tipos de residências, isto é, podemos 
descrever a função objetivo pela expressão: 
Maximizar Z = 1000.x1 + 1900.x 2 + 2700.x 3 + 3400.x 4 
Vamos analisar agora as restrições técnicas que irão compor o nosso 
modelo de programação linear associado. 
A primeira restrição técnica do problema trata da disponibilidade de terreno, 
ou seja, de acordo com o enunciado, temos que: 








≤






disponível
LíquidaÁrea
casasnovasdeconstrução
parausadaÁrea
 
 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Sendo assim, pelos dados do problema, podemos escrever que: 
Área necessária para novas casas = 0,18. x1 + 0,28x 2 + 0,4.x 3 + 0,5.x 4 
 
De outra forma, a fim de determinarmos a área disponível, sabemos que 
cada casa demolida ocupa um lote de 0,25 acres, o que resulta em um total de 
0,25. x 5 acres. Deixando 15% para espaços abertos, ruas e instalações públicas 
(como dito no enunciado), a área líquida disponível é 0,85 x (0,25.x 5 ). Sendo 
assim, a restrição resultante pode ser escrita como: 
0,18. x1 + 0,28x 2 + 0,4.x 3 + 0,5.x 4 ≤ 0,2125.x 5 ; 
Ou seja, 
0,18. x1 + 0,28x 2 + 0,4.x 3 + 0,5.x 4 – 0,2125.x 5 ≤ 0 
Temos também, que o número de casas demolidas não pode exceder 300, 
o que é expresso como: 
x 5 ≤ 300 
Além disso, a seguir, vamos adicionar as restrições que limitam o número 
de unidades de cada tipo de casa. Temos que: 
(Número de unidades simples) (20% do total de unidades); 
(Número de unidades duplas) (10% do total de unidades); 
(Número de unidades triplas e quádruplas) (25% do total de unidades). 
Essas restrições matematicamente podem ser descritas da seguinte forma: 
x 1 ≥ 0,20 x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 
x 2 ≥ 0,10 x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 
x 3 + x 4 ≥ 0,25 x (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 
Logo, a única restrição restante trata de manter o custo de 
demolição/construção dentro do orçamento permitido, isto é: 
(Custo de demolição e construção) ≤ (Orçamento disponível) 
Exprimindo todos os custos em milhares de reais, obtemos a restrição 
abaixo: 
(50. x1 + 70.x 2 + 130.x 3 + 160.x 4 ) + 2.x 5 ≤ 15000 
Resumindo, o modelo completo pode ser descrito como: 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Maximizar Z = 1000.x1 + 1900.x 2 + 2700.x 3 + 3400.x 4 
Sujeito a: 
0,18. x1 + 0,28x 2 + 0,4.x 3 + 0,5.x 4 – 0,2125.x 5 ≤ 0 
x 5 ≤ 300 
-0,8.x1 + 0,2. x 2 + 0,2.x 3 + 0,2.x 4 ≥ 0 
0,1.x1 – 0,9.x 2 + 0,1.x 3 + 0,1.x 4 ≥ 0 
0,25.x1 + 0,25. x 2 – 0,75.x 3 – 0,75.x 4 ≥ 0 
50.x1 + 70.x 2 + 130.x 3 + 160.x 4 + 2.x 5 ≤ 15000 
. x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 
 
Situação Problema 7 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) (Modelo de 
Política de Empréstimo) – um banco multinacional está em processo de 
elaboração de uma política de empréstimo que envolve um máximo de 
R$12.000.000,00. O Quadro 01 a seguir apresenta os dados pertinentes aos tipos 
de empréstimos disponíveis. 
Quadro 01: Empréstimos oferecidos pelo banco em questão. 
Tipo de Empréstimo Taxa de Juros Taxa de Inadimplência 
 
Pessoal 
Automóvel 
Habitacional 
Agrícola 
Comercial 
0,140 
0,130 
0,120 
0,125 
0,100 
0,10 
0,07 
0,03 
0,05 
0,02 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
A inadimplência são débitos incobráveis e não geram receita de juros. A 
concorrência com outras instituições financeiras requer que o banco destine no 
mínimo 40% dos fundos a créditos, agrícola e comercial. Para auxiliar o setor de 
construção de residências da região, a quantia destinada ao crédito habitacional 
deve ser igual a no mínimo 50% dosempréstimos pessoais, para aquisição de 
automóveis e aquisição habitacional. O Banco AFA também estabeleceu na 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
política de não permitir que a taxa global de inadimplência sobre todos os 
empréstimos exceda 4%. Formular o modelo de Programação Linear do sistema, 
sendo que o objetivo do Banco AFA é o de maximizar seu retorno líquido, que 
nada mais é do que a diferença entre receita de juros e créditos inadimplentes. 
 
Solução: Observemos que a situação procura determinar a quantidade de 
empréstimos em cada categoria, o que resulta nas seguintes definições de 
variáveis: 
x 1 : empréstimos pessoais (em milhões de reais); 
x 2 : empréstimos para compra de automóveis; 
x 3 : empréstimos habitacionais; 
x 4 : empréstimos agrícolas; 
x 5 : empréstimos comerciais. 
O objetivo do Banco AFA é maximizar seu retorno líquido, que é a 
diferença entre receita de juros e créditos inadimplentes. A receita de juros é 
obtida somente com base em empréstimos em boa posição. Portanto, como 10% 
dos empréstimos pessoais são créditos inadimplentes, o banco receberá juros 
sobre apenas 90% do valor emprestado – isto é, receberá 14% de juros sobre 
0,9.x1 do empréstimo original, x 1 . O mesmo raciocínio é aplicado aos outros 
quatro tipos de empréstimos. Dessa forma, temos que: 
Total de Juros = 0,14.(0,9.x1 ) + 0,13.(0,93.x 2 ) + 0,12.(0,97.x 3 ) + 
0,125.(0,95.x 4 ) + 0,1.(0,98.x 5 ). 
Além disso, temos que: 
Créditos Inadimplentes = 0,1.x1 + 0,07.x 2 + 0,0330.x 3 + 0,05.x 4 + 
0,02.x 5 . 
Desse modo, a função objetivo é caracterizada como: 
Maximizar Z = Total de Juros – Créditos Inadimplentes 
Ou seja, matematicamente este objetivo é escrito como: 
Maximizar Z = (0,126.x 1 + 0,1209.x 2 + 0,1164.x 3 + 0,11875.x 4 + 0,098.x 5 ) 
– (0,1.x1 + 0,07.x 2 + 0,0330.x 3 + 0,05.x 4 + 0,02.x 5 ) 
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de direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por 
meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
= 0,026.x1 + 0,0509.x 2 + 0,0864.x 3 + 0,06875.x 4 + 0,078.x 5 
 
De uma outra forma, percebemos que o problema tem cinco restrições, que 
são: 
– O total de fundos não deve exceder R$12 (milhões), ou seja: 
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 12 
– Os empréstimos agrícolas e comerciais são iguais a no mínimo 40% de 
todos os empréstimos, ou seja: 
x 4 + x 5 ≥ 0,4.( x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 
Ou ainda, 
0,4.x1 + 0,4.x 2 + 0,4.x 3 – 0,6.x 4 – 0,6.x 5 ≤ 0 
– O crédito habitacional deve ser igual a no mínimo 50% dos empréstimos 
pessoais, para compra de automóveis e habitacional, ou seja: 
x 3 ≥ 0,5.( x1 + x 2 + x 3 ) 
Ou ainda, 
0,5.x1 + 0,5.x 2 – 0,5.x 3 ≤ 0 
– Créditos Inadimplentes não devem exceder 4% de todos os empréstimos, 
ou seja: 
0,1.x1 + 0,07.x 2 + 0,0330.x 3 + 0,05.x 4 + 0,02.x 5 ≤ 0,04.( x 1 + x 2 + x 3 + 
x 4 + x 5 ); 
Ou ainda, 
0,06.x1 + 0,03.x 2 – 0,01.x 3 + 0,01.x 4 – 0,02.x 5 ≤ 0 
– Não-negatividade: x i ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5. 
 
Situação Problema 8 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) (Análise de 
Investimentos) – um indivíduo dispõe de R$4.000,00 para investir em três 
oportunidades disponíveis. Cada um dos investimentos requer depósitos em 
parcelas de R$1.000,00. O investidor pode alocar todo o dinheiro a um único 
investimento ou reparti-lo entre os três. Os retornos esperados estão 
apresentados no Quadro 02 a seguir. 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
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Quadro 02: Informações referentes aos retornos dos investimentos. 
 Reais Investidos 
 0 1000 2000 3000 4000 
Retorno do Investimento 1 
Retorno do Investimento 2 
Retorno do Investimento 3 
0 
0 
0 
2000 
1000 
1000 
5000 
3000 
4000 
6000 
6000 
5000 
7000 
7000 
8000 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Construir o modelo de programação linear associado. 
Solução: Observe que o objetivo é o de maximizar o retorno global, que 
vamos designar por Z, e que nada mais é do que a soma dos retornos de cada 
um dos investimentos. Todos os investimentos estão sujeitos à restrição de serem 
múltiplos inteiros da unidade R$1.000,00. Sendo assim, vamos fazer f i (x) (i = 1, 2, 
3) representar o retorno (em milhares de reais) propiciado pelo investimento i 
correspondente à aplicação de x unidades monetárias no aludido negócio, logo, 
pode-se reescrever o Quadro 03 com os retornos como mostrado a seguir. 
 
Quadro 03: Informações referentes aos retornos dos investimentos 
(reformulada). 
 f 
x 
0 1 2 3 4 
f1 (x) 
f 2 (x) 
f 3 (x) 
0 2 5 6 7 
0 1 3 6 7 
0 1 4 5 8 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Definamos x i (i = 1, 2, 3) como o número de unidades (milhares de reais) 
aplicadas no investimento i, podemos formular a função objetivo como sendo: 
Maximizar: Z = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) 
Tendo em vista que o investidor possui apenas 4 unidades monetárias para 
aplicar, podemos escrever: 
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meios eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de 
armazenagem e recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 4 
Acrescentando as condições implícitas de que x1 , x 2 e x 3 sejam grandezas 
não negativas e inteiras, obtemos o seguinte modelo de programação 
matemática: 
Maximizar: Z = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) 
Sujeito a: 
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 4 
Com todas as variáveis inteiras e não-negativas. 
 
Situação Problema 9 (Adaptado de Lachtermacher – 2009) (Algoritmo 
dos Transportes) – um fabricante de artigos de plástico possui em estoque 1200 
caixas de invólucros transparentes em uma de suas fábricas e outras 1000 caixas 
em uma segunda fábrica. O fabricante recebeu pedidos deste produto 
provenientes de três diferentes varejistas nas quantidades de 1000, 700 e 500 
caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em reais por caixa) 
desde as fábricas até os varejistas são os apresentados no Quadro 04 a seguir. 
 
Quadro 04: Disposição dos dados da Aplicação. 
 Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3 
Fábrica 1 14 13 11 
Fábrica 2 13 13 12 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Caracterizar o programa de expedição que atenda todas as demandas a 
partir do estoque disponível, a um custo mínimo. 
 
Solução: Vamos representar por x ij (i = 1, 2 e j = 1, 2, 3) o número de 
caixas a serem expedidas da fábrica i para o varejista j e, levando em 
consideração todas as possíveis