Métodos determinísticos I - AD2-Q2-2019-2-Gabarito

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Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019-2
Questa˜o 2 (2,5 pontos)
(a) Determine o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o abaixo, isto e´, o conjunto de todos os valores de
x ∈ R para os quais ela e´ verdadeira:
2x2 + 4x− 6
x(x2 − x− 2) ≤ 0.
(b) Determine o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o abaixo, isto e´, o conjunto de todos os valores de
x ∈ R para os quais ela e´ verdadeira:
−x+ 7
x2 − x− 2 +
3
x
≤ 0.
Soluc¸a˜o:
(a) As ra´ızes do numerador 2x2 + 4x− 6 sa˜o obtidas fazendo-se
2x2 + 4x− 6 = 0⇔ x = −4±
√
42 − 4 · 2 · (−6)
2 · 2 ⇔ x =
−4±√64
4
⇔ x = −4± 8
4
⇔
⇔ x = −12
4
ou x =
4
4
⇔ x = −3 ou x = 1.
Com isso,
2x2 + 4x− 6 = 2(x− (−3))(x− 1) = 2(x+ 3)(x− 1).
No denominador, temos
x2 − x− 2 = 0⇔ x = −(−1)±
√
(−1)2 − 4 · 1 · (−2)
2 · 1 ⇔ x =
1±√9
2
⇔ x = 1± 3
2
⇔
⇔ x = −2
2
ou x =
4
2
⇔ x = −1 ou x = 2.
Com isso,
x2 − x− 2 = (x− (−1))(x− 2) = (x+ 1)(x− 2).
Assim,
2x2 + 4x− 6
x(x2 − x− 2) ≤ 0⇔
2(x+ 3)(x− 1)
x(x+ 1)(x− 2) ≤ 0.
O sinal de
2(x+ 3)(x− 1)
x(x+ 1)(x− 2) e´ dado pelo nu´mero de termos com sinal negativo. Se o nu´mero de
termos negativos for par, a expressa˜o sera´ positiva; se esse nu´mero for ı´mpar, a expressa˜o sera´
negativa (lembre-se de que dois sinais negativos, em uma multiplicac¸a˜o ou divisa˜o resultam em
um positivo). Ale´m disso, a expressa˜o sera´ zero se um dos termos do numerador for igual a zero;
por outro lado, ela na˜o estara´ definida quando um dos termos do denominador for zero.
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2019-2 2
Vamos, enta˜o, estudar os sinais dos termos que aparecem na expressa˜o:
(−∞,−3) −3 (−3,−1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2,+∞)
2 + + + + + + + + + + +
x+ 3 − 0 + + + + + + + + +
x+ 1 − − − 0 + + + + + + +
x − − − − − 0 + + + + +
x− 1 − − − − − − − 0 + + +
x− 2 − − − − − − − − − 0 +
2(x+ 3)(x− 1)
x(x+ 1)(x− 2) − 0 + 6 ∃ − 6∃ + 0 − 6∃ +
Portanto,
2x2 + 4x− 6
x(x2 − x− 2) ≤ 0⇔ x ∈ (−∞,−3] ∪ (−1, 0) ∪ [1, 2).
O conjunto soluc¸a˜o e´, portanto, (−∞,−3] ∪ (−1, 0) ∪ [1, 2).
(b) Podemos reescrever
−x+ 7
x2 − x− 2+
3
x
≤ 0⇔ x(−x+ 7)
x(x2 − x− 2)+
3(x2 − x− 2)
x(x2 − x− 2) ≤ 0⇔
−x(x+ 7) + 3(x2 − x− 2)
x(x2 − x− 2) ≤ 0⇔
⇔ −x
2 + 7x+ 3x2 − 3x− 6
x(x2 − x− 2) ≤ 0⇔
2x2 + 4x− 6
x(x2 − x− 2) ≤ 0.
Assim, a desigualdade e´ a mesma do item (a) e, portanto, o conjunto soluc¸a˜o sera´ o mesmo,
(−∞,−3] ∪ (−1, 0) ∪ [1, 2).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ