Roteiros de Aula 06 - com gabarito

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: Érica Macêdo Semestre: 2019.2 Data: 06.02.2020
Aluno:
Roteiro de Estudos 06 - Álgebra II
Algoritmo da Divisão e Ráızes de um Polinômio
Teorema 1. Sejam f(x) =
n
∑
k=0
akx
k e g(x) =
n
∑
k=0
bkx
k em A[x], supondo que g(x) 6= 0, e que o
coeficiente dominante de g(x) é inverśıvel. Assim, existem q(x), r(x) ∈ A[x] de modo que f(x) =
q(x) · g(x) + r(x), onde r(x) = 0 ou então gr(r) < gr(g).
Definição 1. Sejam A um anel e f(x) =
n
∑
k=0
akx
k um polinômio de A[x]. Dizemos que α ∈ A, é uma
raiz ou zero do polinômio f(x) se f(α) =
n
∑
k=0
akα
k = 0.
Proposição 1. Sejam A um corpo, α ∈ A e f(x) um polinômio de A[x]. Então existe um polinômio
q(x) ∈ A[x] tal que f(x) = (x− α) · q(x) + f(α).
Isto nos diz que o resto da divisão de f(x) por (x− α) é sempre f(α).
Corolário 2. Sejam A um corpo, α ∈ A e f(x) um polinômio de A[x]. Então, α é raiz de f(x) se,
e somente se f(x) é diviśıvel por (x− α).
Definição 3. Sejam A um corpo e α ∈ A uma raiz do polinômio f(x) ∈ A[x]. Chamamos multipli-
cidade da raiz α ao inteiro positivo m tal que (x− α)m|f(x) e (x− α)m+1 6 |f(x), ou seja, ao número
máximo de vezes que o polinômio linear (x− α) divide f(x).
Questões
Questão 1. Encontre o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x) em cada um dos casos.
a. f(x) = x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1 e g(x) = x2 + 3x− 2 em R[x]
b. f(x) = 2x3 + x2 − x+ 2 e g(x) = x2 + 3x+ 1 em Z4[x]
c. f(x) = x4 − 1 e g(x) = x+ 1 em Z2[x]
a. q(x) = x2−2x+1 e r(x) = 2x+1; b. q(x) = 2x+3 e r(x) = 3; c. q(x) = x3+x2+x+1 e r(x) = 0
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Questão 2. Dividindo o polinômio f por x2 − 3x + 5, obtemos o quociente x2 + 1 e o resto 3x − 5.
Determine f sabendo que os polinômios estão em R[x].
Sabemos que f(x) = q(x) ·d(x)+r(x); assim, f(x) = (x2+1) ·(x2−3x+5)+(3x−5) = x4−3x3+6x2.
Questão 3. Determine os valores reais de a e b de modo que o polinômio f(x) = x4 − 3ax3 + (2a −
b)x2 + 2bx+ (a+ 3b) seja diviśıvel por g(x) = x2 − 3x+ 4.
Se o polinômio f é diviśıvel por g então o resto desta divisão é nulo. Assim, efetuando a divisão temos
q(x) = x2 + 3(1 − a)x + (−7a − b + 5) e r(x) = (−9a − b + 3)x + (29a + 7b − 20); como a divisão é
exata, temos que −9a− b+ 3 = 0 e 29a+ 7b− 20 = 0 que nos resulta em a =
1
34
e b =
93
34
.
Questão 4. Todo polinômio em R[x] tem ráızes? Caso positivo, prove. Caso negativo, dê contra
exemplos.
Nem todo polinômio em R[x] tem ráızes em R. Veja que este conceito depende do conjunto onde
estarão suas ráızes. Um dos exemplos mais clássicos é o polinômio f(x) = x2 + 1; suas ráızes só
existem no conjunto dos complexos (C). No entanto vale observar que no conjunto dos complexos,
todo polinômio que está em R[x] tem ráızes, na quantidade exatamente igual ao seu grau.
Questão 5. Determine o valor de k para que o polinômio f(x) = x3 − x2 + kx− 1 dividido por:
a. x− 1 dê resto 4;
b. x+
1
2
dê resto 0.
a. Temos que f(1) = 4→ 13 − 12 + k · 1− 1 = 4→ k − 1 = 4→ k = 5.
b. f
(
−
1
2
)
= 0→
(
−
1
2
)3
−
(
−
1
2
)2
+k·
(
−
1
2
)
−1 = 0→ −
1
8
−
1
4
−
k
2
−1 = 0→
−1− 2− 4k − 8 = 0
8
→
k = −
11
4
.
Questão 6. Determine o valor de a de modo que o polinômio f(x) = (a+ 3)x2 − x+ 2a seja diviśıvel
por (x+ 2).
Aqui temos f(−2) = 0; assim, (a+3)(−2)2− (−2)+ 2a = 0→ 4a+12+ 2+ 2a = 0→ 6a+14 = 0→
a = −
7
3
.
Questão 7. O polinômio f(x) = x5 − x4 − 13x3 + 13x2 + 36x− 36 é tal que f(1) = 0. Quais as outras
ráızes de f(x)?
A ideia é fatorar o polinômio. Se f(1) = 0, então o polinômio é diviśıvel por (x−1). Neste caso, temos
f(x) = (x−1)·(x4−13x2+36). As demais ráızes são dadas pela equação biquadrada x4−13x2+36 = 0
que são 3,−3, 2 e −2.
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Questão 8. Escreva o polinômio em C[x] cujas ráızes são 2,−3, 1+ i, 1− i, todas com multiplicidade 1.
O polinômio é dado por f(x) = (x−2) ·(x−(−3)) ·(x−(1+ i)) ·(x−(1− i)) = x4−x3−6x2+14x−12.
Questão 9. Qual é a multiplicidade da raiz 1 do polinômio f(x) = x4 − x3 − 3x2 + 5x− 2?
Já sabemos que 1 é raiz, logo o polinômio é diviśıvel por (x−1). Vejamos quantas vezes podemos dividir
o polinômio por (x−1) sucessivamente. Temos f(x) = (x−1)·(x3−3x+2) = (x−1)·(x−1)·(x2+x−2) =
(x− 1) · (x− 1) · (x− 1) · (x+ 2) = (x− 1)3(x+ 2); logo a raiz 1 tem multiplicidade 3.
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