Roteiros de Aula 04 - com gabarito

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: Érica Macêdo Semestre: 2019.2 Data: 12.12.2019
Aluno:
Roteiro de Estudos 04 - Álgebra II
Anel, Subanel e Ideal
Definição 1. Um anel A é um conjunto, não vazio, munido de duas operações internas: uma adição
(+) e uma multiplicação (·), que satisfazem às seguintes condições:
• propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elementro simetrizável para a operação de
adição;
• propriedades associativa e distributiva para a operação de multiplicação.
Notação: < A,+, · >
São exemplos de anéis: < Q,+, · >,< R,+, · >,< Zm,+· >.
Uma observação importante: todo anel é um grupo abeliano com respeito à primeira operação,
neste caso a adição. Quando o anel é comutativo em relação à segunda operação, a multiplicação,
chamamaos este anel de anel comutativo.
Definição 2. Seja < A,+, · > um anel e B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um
subanel de A se B é fechado para as operações de + e ·, ou seja, dados x, y ∈ B tem-se:
(ı)x+ y ∈ B e (ıı)x · y ∈ B.
Definição 3. Seja < A,+, · > um anel. Um subanel I ⊂ A é um ideal de A, se para cada a ∈ A e
x ∈ I temos a · x ∈ I e x · a ∈ I.
Definição 4. Seja A um anel comutativo. Dado a ∈ A, o ideal I =< a >= xa, x ∈ A é chamado de
ideal principal gerado por a.
Questões
Questão 1. Quais dos conjuntos abaixo é subanel de Q?
a. Z
b. B1 = {x ∈ Q;x /∈ Z}
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c. B2 = {
a
b
∈ Q; a ∈ Z e b ∈ 2Z}
d. B3 = {
a
2n
∈ Q; a ∈ Z e n ∈ Z}
a. Z é subanel de Q, pois dados x, y ∈ Z temos sempre x− y ∈ Z e x · y ∈ Z.
b. O conjunto B1 não é um subanel de Q, pois não é fechado em relação à operação de adição, pois
3
4
,
1
4
∈ B1 mas
3
4
+
1
4
= 1 /∈ B1.
c. O conjunto B2 é subanel de Q, pois dados x =
a1
2b1
, y =
a2
2b2
∈ B2 temos que x− y =
a1
2b1
−
a2
2b2
=
a1b2 − a2b1
2b1b2
∈ B2 e que x · y =
a1
2b1
·
a2
2b2
=
a1a2
2(2b1b2)
∈ B2.
d. O conjunto B3 é subanel de Q, pois dados x =
a1
2n1
, y =
a2
2n2
∈ B2 temos que x− y =
a1
2n1
−
a2
2n2
=
a12
n2 − a22
n1
2n1+n2
∈ B2 e que x · y =
a1
2n1
·
a2
2n2
=
a1a2
2n1+n2
∈ B3.
Obs. Apesar da definição dizer que para B ser subanel de A precisa apenas ser fechado em relação
às operações, B também precisa ter uma estrutura de anel. Assim, foi utilizada a Proposição 3.3 do
módulo.
Questão 2. Verifique se são ideais os seguintes subanéis.
a. I1 = {0, 2, 4} no anel Z6.
b. I2 = 5Z no anel Z.
c. I3 =





a 0
0 b

 ; a, b ∈ R



no anel A = M2(R).
a. O conjunto já é fechado para a multiplicação; assim, basta testar apenas com os elementos restantes.
Como o anel Z6 é comutativo, faremos as operações apenas pela esquerda. Temos que:
1 · 0 = 0 ∈ I1; 3 · 0 = 0 ∈ I1; 5 · 0 = 0 ∈ I1
1 · 2 = 2 ∈ I1; 3 · 2 = 0 ∈ I1; 5 · 2 = 4 ∈ I1
1 · 4 = 4 ∈ I1; 3 · 4 = 0 ∈ I1; 5 · 4 = 2 ∈ I1.
Logo, I1 é ideal de Z6.
b. O conjunto 5Z é ideal de Z pois para qualquer a ∈ Z e x = 5x1 ∈ 5Z temos a · x = a · 5x1 =
5(ax1) ∈ 5Z e x · a = 5x1 · a = 5(ax1) ∈ 5Z.
c. O conjunto não é ideal de A = M2(R), pois dado A =


x y
z w

 ∈ M2(R) e X =


a 0
0 b

 ∈ I3,
temos que A ·X =


x y
z w

 ·


a 0
0 b

 =


ax by
az bw

 /∈ I3.
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Questão 3. Se I é um ideal de A e 1 ∈ I mostre que I = A.
Veja que se 1 ∈ I e I é ideal de A, então para todo a ∈ A temos a · 1 = a ∈ I. Logo, todo elemento
de A é elemento de I e temos A ⊂ I; como por hipótese, I ⊂ A, então temos I = A.
Questão 4. Descreva os seguintes ideais principais:
a. < 2 > em Z6
b. < 7 > em Z
c. < 3 > em Z8
a. I =< 2 >= {0, 2, 4}. Aqui, a ideia é que todo ideal é primeiro um subgrupo. logo, determine o
subgrupo gerado pelo elemento e verifique se é ideal. Este exemplo, está verificado acima.
b. I = 7Z
c. 3 é um elemento inverśıvel em Z8, assim, o subgrupo gerado por ele é o próprio Z8. Logo, o ideal é
I = Z8.
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