AP3-2018-2

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AP3 – Métodos Determińısticos I – 2018.2
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Determińısticos I – 15/12/2018
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
Questão 1 (2.0 pt) Uma operadora de televisão à cabo oferece três serviços, pacote básico, Tele-
filme e pay-per-view, dispońıveis segundo as seguintes regras
• Para contratar o Telefilme, é necessário contratar um pacote básico
• Se um cliente contratar pay-per-view, então ele deve contratar o Telefilme.
• Todo cliente da operadora deve contratar pelo menos um dos serviços.
A operadora possui um total de 1032 clientes, dos quais 450 possuem o pay-per-view. Sabe-se ainda
que pelo menos um cliente possui apenas o pacote básico. Qual o número máximo e ḿınimo posśıveis
de clientes que possuem o Telefilme? Justifique todas as afirmações.
Solução:
Sejam B, T e P os conjuntos dos clientes que contrataram, respectivamente, o pacote básico, o
Telefilme e o serviço de pay-per-view, e sejam b, t e p o número de clientes de cada um destes
conjuntos. Como para contratar o Telefilme é necessário contratar um pacote básico, temos T ⊂ B,
logo t 6 b. Se um cliente contratar pay-per-view, então ele deve contratar o Telefilme, logo P ⊂ T
e, portanto, p 6 t. Como todo cliente deve contratar algum serviço, e como P ⊂ T ⊂ B, temos que
todo cliente deve contratar o pacote básico, logo b = 1032. Como há pelo menos um cliente que
contratou apenas o pacote básico, temos que B−T possui pelo menos um elemento, logo b− t > 1,
Métodos Determińısticos I AP3 3
e, portanto, t 6 b − 1. Assim, 450 = p 6 t 6 b − 1 = 1031. Com isso, o número de clientes que
contrataram o Telefilme é, no ḿınimo, 450 e, no máximo, 1031.
(Este texto é comum às questões 2 a 5 a seguir.)
Um vendedor ganha uma comissão sobre cada venda que realiza, cujo percentual varia de acordo
com o valor da venda.
• Se a venda for inferior ou igual a R$ 1.000,00, ele ganhará, como comissão, 10% do valor da
venda.
• Caso a venda ultrapasse R$ 1.000,00, além dos 10% do valor da venda, é acrescido à comissão
um bônus de mais 5% da parte da venda que estiver acima de R$1.000,00.
Questão 2 (0.5 pt) Explique por que uma venda de R$ 2.000,00 resulta em uma comissão de R$
250,00.
Solução:
Uma venda de R$2.000,00, resulta em uma comissão de 10%, isto é, de
10% · 2000 = 10100 · 2000 = 200,
mais um bônus de 5% sobre o que excede R$ 1000,00, ou seja,
5% · (2000− 1000) = 5100 · 1000 = 50.
Assim, a comissão será de 200,00 + 50,00 = 250,00 reais.
Questão 3 (0.5 pt) Uma venda de R$1.500,00 resultará em uma comissão de qual valor?
Solução:
Uma venda de R$1.500,00, resulta em uma comissão de 10%, isto é, de
10% · 1500 = 10100 · 1500 = 150,
mais um bônus de 5% sobre o que excede R$ 1000,00, ou seja,
5% · (1500− 1000) = 5100 · 500 = 25.
Assim, a comissão será de 150,00 + 25,00 = 175,00 reais.
Questão 4 (1.0 pt) Dê a expressão da comissão em função do valor x da venda, no caso em que
x 6 1.000 e no caso em que x > 1.000.
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Métodos Determińısticos I AP3 4
Solução:
Quando x 6 1.000, a comissão será de
10% · x = 10100 · x =
x
10 .
Quando x > 1.000, além dos 10%, há o bônus de 5% sobre o que exceder R$ 1.000,00, ou seja,
5% · (x− 1000) = 5100 · (x− 1000) =
x− 1000
20 .
Assim, a comissão será de
x
10 +
x− 1000
20 =
3x− 1000
20 .
Questão 5 (1.0 pt) Esboce o gráfico da função que representa o valor da comissão em função do
valor x da venda.
Solução:
A comissão é dada pela função C : [0, +∞)→ [0, +∞) definida por
C(x) =

x
10 , se x 6 10003x− 1000
20 , se x > 1000
O gráfico é formado por um segmento de reta entre x = 0 e x = 1000, onde a função assume os
valores f(0) = 010 = 0 e f(1000) =
1000
10 = 100.
A partir de x = 1000, o gráfico é uma semirreta, com f(1000) = 3 · 1000− 100020 = 100 e f(2000) =
3 · 2000− 1000
20 = 250.
Com estes pontos, podemos traçar o gráfico:
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Métodos Determińısticos I AP3 5
Questão 6 (1.5 pt) Esboce o conjunto dos pontos do R2 que satisfazem simultaneamente as duas
desigualdades abaixo:
x2 − 2x + y2 < 24
|x− 1| < 2
Solução:
A desigualdade x2 − 2x + y2 < 24 pode ser reescrita como
x2−2x+y2 < 24⇔ x2 +2x+1+y2−1 < 24⇔ (x−1)2 +y2 < 24+1⇔ (x−1)2 +(y−0)2< 25,
que representa os pontos interiores de um ćırculo de centro (1, 0) e raio 5, como representado abaixo:
A desigualdade |x− 1| < 2 pode ser rescrita como
|x− 1| < 2⇔ −2 < x− 1 < 2⇔ −2 + 1 < x < 2 + 1⇔ −1 < x < 3,
que representa a região abaixo:
A interseção das duas regiões é então a que está representada abaixo:
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Métodos Determińısticos I AP3 6
(Este texto é comum às questões 7 a 10 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e oferta de certo produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P
2
4 + 2 e Q(P ) =
2 P
3 −
1
3
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são, respectivamente, a demanda e a oferta em
milhões de unidades.
Questão 7 (0.5 pt) Qual é o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta do
mesmo?
Solução:
Para encontrar o preço ḿınimo, devemos descobrir para qual valor de P temos que Q(P ) = 0.
Q(P ) = 0⇐⇒ 2 P3 −
1
3 = 0⇐⇒
2 P
3 =
1
3 ⇐⇒ 2 P = 1⇐⇒ P =
1
2 = 0.5.
Logo, o preço ḿınimo é de R$ 0.50.
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Métodos Determińısticos I AP3 7
Questão 8 (1.0 pt) Qual é, aproximadamente, o preço máximo do produto, valor acima do qual
não há demanda pelo mesmo? (Considere
√
2 ∼= 1,41).
Solução:
Para encontrar o preço máximo do produto, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = 0.
D(P ) = 0⇐⇒ −P
2
4 + 2 = 0⇐⇒
P 2
4 = 2⇐⇒ P
2 = 8⇐⇒ P =
√
8⇐⇒ P = 2
√
2 ∼= 2,82.
Logo, o preço máximo corresponde a aproximadamente 2,82 reais.
Questão 9 (1.0 pt) Qual é, aproximadamente, o preço de equiĺıbrio para este produto? (Considere√
10 ∼= 3,16)
Solução:
Para encontrar o preço de equiĺıbrio, devemos descobrir para qual valor de P temos D(P ) = Q(P ).
D(P ) = Q(P )⇔ −P
2
4 + 2 =
2 P
3 −
1
3 ⇔ −3 P
2 + 24 = 8 P − 4⇔ −3P 2 − 8 P + 28 = 0⇔
⇔ P =
8±
√
(−8)2 − 4 · (−3) · 28
2 · (−3) ⇔ P =
8±
√
400
−6 ⇔ P =
8± 20
−6 ⇔ P = 2 ou P = −
14
3
Como o preço não pode ser negativo, o preço de equiĺıbrio será, portanto, R$ 2,00.
Questão 10 (1.0 pt) Esboce em um mesmo gráfico as curvas de demanda e oferta deste produto.
Solução:
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.