Segunda Prova de C�lculo II - 20182

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: Cálculo II 2018.2
PROFESSOR: Paulo de Souza Rabelo
ALUNO:
Segunda Avaliação
1. Esboce o gráfico da função f(x, y) = 2−
√
x2 + y2 por encontrar suas curvas de ńıvel.
2. Determine a região no qual a função
f(x, y) =
{
x2y
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é cont́ınua.
3. Encontre a equação do plano tangente a superf́ıcie f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 2, 5) e esboce
o gráfico da superf́ıcie e do plano tangente no ponto.
4. Encontre ∂w∂s onde w(x, y, z) = 4x+y
2+z3 e x(r, s, t) = ers
2
, y(r, s, t) = ln( r+st ) e z(r, s, t) = rst
2.
5. O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado pela função V (x, y, z) = x2−3xy+xyz.
(a) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto P = (3, 4, 5) na direção do vetor −→u =
(1, 1,−1);
(b) Em qual direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P = (3, 4, 5)?
(c) Qual é a taxa de variação máxima do pontencial nesse ponto?
6. Identifique os pontos cŕıticos e determine quando cada um é um ponto de máximo e mı́nimo
locais e pontos de sela ou nenhum desses para a função f(x, y) = 2xye−x
2−y2 .
7. Encontre os pontos em R3 mais próximos da origem e que estão sobre o cone z2 = x2 + y2 e o
plano x + 2y = 6.
Justifique suas respostas. Cada questão vale dois pontos, porém a prova vale 10,0 (dez pontos).Caso
não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração ♥♥♥. Boa prova.