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Exercicios sobre series

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Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
1 
1- Determine a natureza (absolutamente convergente, simplesmente convergente ou 
divergente) das seguintes séries numéricas: 
∑�������� 	��
 e ∑ ����!��� 
Resolução: 

�������� ���� 
Por ser ∀� ∈ �:	���� � ��� 	 ����
 � ��� 	��
 � �� e ���	��� 	��
 � ����0� � 0 podemos 
concluir que a serie ∑��1����� 	��
 é convergente. 
Como ��� "#�	$%
$
%
� ��� $%& $%'� $%(�⋯�
�*$�+
%,+-$�⋯$
%
� ��� 	1 � ��, . ��/ �⋯. �&��
+
�,+ .⋯
 � 1 
concluimos que as series ∑��� 	��
 e ∑ �� têm a mesma natureza e como esta última é a 
série armónica, que é divergente, a série ∑��� 	��
 tambem é divergente. 
Concluimos assím que a série ∑��1����� 	��
 é simplesmente convergente. 
 

����!��� 
�� � �2��!�1� 			,			���� �
�2� . 2�!
�� . 1�1��1 �
2�� . 1��2� . 1��2��!
�� . 1�1��1 �
2�2� . 1��2��!
�� . 1�1��� 
������ �
2�2� . 1��2��!�� . 1�1����2��!�1�
� �2� . 1��1��� . 1�1��� �
2� . 1
� . 1 ∙
�1�
�� . 1�1� �
2� . 1
� . 1 ∙ 	
�
� . 1
�
 
��� ������ � ���
2� . 1
� . 1 ∙ ��� 	
�
� . 1
� � 2��� �1 � 1� . 1�
� � 
� 2��� 4�1 � 1� . 1�
&�����5
& ���� � 26&7#8 ���� � 26&� � 26 � 1 
Por tanto a série é absolutamente convergente. 
 
 
 
 
Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
2 
2- Determine a natureza da seguinte série numérica 

�� . ��! 
Resolução: 

2� . ��! �
2�
�! .
�
�! �
2�
�! .
1
�� � 1�! 
 

���! 
�� � 2
�
�! 		 , ���� �
2���
�� . 1�!		 ,
������ �
2����� . 1�!2��! 	
� 2�!�� . 1�! �
2
� . 1 
Como ��� 9%-$9% � ��� 1��� � 0 � 1 → ∑ 1
%
�! 	 é absolutamente convergente. 
 

 ��� � ��! 
�� � 1�� � 1�!		 , ���� �
1
�!		 ,
������ �
1�!1�� � 1�!
� 1� 
Como ��� 9%-$9% � ��� �� � 0 � 1 → ∑ ���&��! É absolutamente convergente 
Por tanto ∑ 1%���! , que é a suma de duas séries absolutamente convergentes, tambem é 
absolutamente convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
3 
3- Determine a natureza das séries 

 ��� . ���� . ;�
�<
�=>
			?			
 �� . ;;� � �
�<
�=�
 
Resolução: 

 ��� . ���� . ;�
�<
�=>
 
��� ��1 ∙ 2�� . 1��� . 3�� � ���
2�1
�1 . 4� . 3 � 2 
Por tanto, pelo criterio de Dirichlet a serie ∑ 1��������B��<�=C é absolutamente converge. 
 

�� . ;;� � �
�<
�=�
 
������ �
2��� . 33��� � 22� . 33� � 2
� �3� � 2��2��� . 3��2� . 3��3��� � 2� �
2 ∙ 6� . 3 ∙ 3� � 4 ∙ 2� � 6
3 ∙ 6� � 2 ∙ 2� . 9 ∙ 3� � 6 � 
� 2 . 3 ∙ 	
12
� � 4 ∙ 	13
� � 	16
�&�
3 � 2 ∙ 	13
� . 9 ∙ 	12
� � 	16
�&� → ��� ������ �
2
3 � 1 
Por tanto, pelo criterio de D’Alembert a série converge. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
4 
4- Use indução para mostrar que, para cualquer � ∈ �: 

 F�F . ��!
�
F=�
� � � ��� . ��! 
Resolução: 
Caso base (n=1): 

 G�G . 1�!
�
H=�
� 12! �
1
2 	6		1 �
1
�� . 1�! � 1 �
1
2! � 1 �
1
2 �
1
2 	→	 
→ 
 G�G . 1�!
�
H=�
� 1 � 1�1 . 1�!	 
Paso indutivo: Se ∑ H�H���!�H=� � 1 � ������! então ∑ H�H���!���H=� � 1 � ����1�! 

 G�G . 1�!
���
H=�
� 
 G�G . 1�!
�
H=�
. � . 1�� . 2�! � 1 �
1
�� . 1�! .
� . 1
�� . 2�! � 
� 1 � � . 2�� . 2�! .
� . 1
�� . 2�! � 1 �
1
�� . 2�! 
Conclusão: ∀� ∈ �:∑ H�H���!�H=� � 1 � ������! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
5 
5- Determine a natureza (convergência simples, absoluta ou divergência) das seguintes cinco 
series numéricas e calcule a soma de uma delas: 

����� ∙ ��� . �
<
�=>
						 , 
 IJ� 	�K� 
	
<
�=�
						,						
 �! . ��� . ��!
<
�=�
						,					
 ;� � L;��
<
�=�
			?			
 �� ∙ �!��
<
�=�
 
Resolução: 

����� ∙ ��� . �
<
�=>
 
Em primeiro lugar: 
���� � �� � � . 1�� . 1�1 . 1 �
�
�1 . 1 �
�� . 1���1 . 1� � ���� . 1�1 . 1�
��1 . 1���� . 1�1 . 1� � 
� 1 � �1��1 . 1���� . 1�1 . 1� � 0, ∀� M 1 
Por tanto a série é decrescente. 
Em segundo lugar: 
��� ��1 . 1 � 0 
Por tanto a série é convergente. 
Como ���	� ∙ ��,�� � ��� �
,
�,�� � 1 concluimos pelo criterio de Dirichlet que a série 	∑ ��,��<�=C é divergente. 
Então a série ∑ �&��%∙��,��<�=C é simplesmente convergente. 
 

IJ� 	�K� 
	
<
�=�
 
Seja NH � ∑ OP� 	�Q1 
 � R1,									�6	G � 4�	PS	G � 4� . 10, �6	G � 4� . 2	PS	G � 4� . 3 ,H�=� 	G ∈ �, como é obvio não 
existe ���NH, pelo que a serie é divergente. 
 
 
 
 
Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com 
Temos a solução para todos os seus problemas 
Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 
6 

 �! . ��� . ��!
<
�=�
 

 �! . 2�� . 2�!
<
�=�
� 
 �!�� . 2�!
<
�=�
.
 2�� . 2�!
<
�=�
� 
 1�� . 2��� . 1�
<
�=�
.
 2�� . 2�!
<
�=�
 
Vamos a estudar por separado as duas séries: 
���	�1 ∙ ����1������ � ��� �
,
�,�B��1 � 1 por tanto ∑ ����1������<�=� é absolutamente 
convergente. 
��� 9%-$9% � ���
,
�%-'�!,
�%-,�!
� ��� ���B � 0 � 1, por tanto, pelo criterio de D’Alembert a série 
∑ 1���1�!<�=� é absolutamente convergente. 
Assím, a série ∑ �!�1���1�!<�=� , que é suma de duas séries convergentes, tambem é 
absolutamente convergente. 
 

;� � L;��
<
�=�
 
∑ B%&TB,%<�=� � ∑ �B%<�=� � ∑ �T%*$<�=� �
$
'
�&$'
� ��&$U �
�
1� TV � � WV Por tanto a série é 
absolutamente convergente. 
 

�� ∙ �!��
<
�=�
 
��� ������ � ���
2��� ∙ �� . 1�!�� . 1����2� ∙ �!��
� ���2�� . 1����� . 1���� � ���
2��
�� . 1�� � 2��� 	
�
� . 1
� � 
� 2��� �1 � 1� . 1�
� � 2��� 4�1 � 1� . 1�
&�����5
& ���� � 26&7#8 ���� � 26&� � 26 � 1 
Por tanto a serie é absolutamente convergente.

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