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Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 1 1- Determine a natureza (absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente) das seguintes séries numéricas: ∑�������� �� e ∑ ����!��� Resolução: �������� ���� Por ser ∀� ∈ �: ���� � ��� ���� � ��� �� � �� e ��� ��� �� � ����0� � 0 podemos concluir que a serie ∑��1����� �� é convergente. Como ��� "#� $% $ % � ��� $%& $%'� $%(�⋯� �*$�+ %,+-$�⋯$ % � ��� 1 � ��, . ��/ �⋯. �&�� + �,+ .⋯ � 1 concluimos que as series ∑��� �� e ∑ �� têm a mesma natureza e como esta última é a série armónica, que é divergente, a série ∑��� �� tambem é divergente. Concluimos assím que a série ∑��1����� �� é simplesmente convergente. ����!��� �� � �2��!�1� , ���� � �2� . 2�! �� . 1�1��1 � 2�� . 1��2� . 1��2��! �� . 1�1��1 � 2�2� . 1��2��! �� . 1�1��� ������ � 2�2� . 1��2��!�� . 1�1����2��!�1� � �2� . 1��1��� . 1�1��� � 2� . 1 � . 1 ∙ �1� �� . 1�1� � 2� . 1 � . 1 ∙ � � . 1 � ��� ������ � ��� 2� . 1 � . 1 ∙ ��� � � . 1 � � 2��� �1 � 1� . 1� � � � 2��� 4�1 � 1� . 1� &�����5 & ���� � 26&7#8 ���� � 26&� � 26 � 1 Por tanto a série é absolutamente convergente. Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 2 2- Determine a natureza da seguinte série numérica �� . ��! Resolução: 2� . ��! � 2� �! . � �! � 2� �! . 1 �� � 1�! ���! �� � 2 � �! , ���� � 2��� �� . 1�! , ������ � 2����� . 1�!2��! � 2�!�� . 1�! � 2 � . 1 Como ��� 9%-$9% � ��� 1��� � 0 � 1 → ∑ 1 % �! é absolutamente convergente. ��� � ��! �� � 1�� � 1�! , ���� � 1 �! , ������ � 1�!1�� � 1�! � 1� Como ��� 9%-$9% � ��� �� � 0 � 1 → ∑ ���&��! É absolutamente convergente Por tanto ∑ 1%���! , que é a suma de duas séries absolutamente convergentes, tambem é absolutamente convergente. Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 3 3- Determine a natureza das séries ��� . ���� . ;� �< �=> ? �� . ;;� � � �< �=� Resolução: ��� . ���� . ;� �< �=> ��� ��1 ∙ 2�� . 1��� . 3�� � ��� 2�1 �1 . 4� . 3 � 2 Por tanto, pelo criterio de Dirichlet a serie ∑ 1��������B��<�=C é absolutamente converge. �� . ;;� � � �< �=� ������ � 2��� . 33��� � 22� . 33� � 2 � �3� � 2��2��� . 3��2� . 3��3��� � 2� � 2 ∙ 6� . 3 ∙ 3� � 4 ∙ 2� � 6 3 ∙ 6� � 2 ∙ 2� . 9 ∙ 3� � 6 � � 2 . 3 ∙ 12 � � 4 ∙ 13 � � 16 �&� 3 � 2 ∙ 13 � . 9 ∙ 12 � � 16 �&� → ��� ������ � 2 3 � 1 Por tanto, pelo criterio de D’Alembert a série converge. Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 4 4- Use indução para mostrar que, para cualquer � ∈ �: F�F . ��! � F=� � � � ��� . ��! Resolução: Caso base (n=1): G�G . 1�! � H=� � 12! � 1 2 6 1 � 1 �� . 1�! � 1 � 1 2! � 1 � 1 2 � 1 2 → → G�G . 1�! � H=� � 1 � 1�1 . 1�! Paso indutivo: Se ∑ H�H���!�H=� � 1 � ������! então ∑ H�H���!���H=� � 1 � ����1�! G�G . 1�! ��� H=� � G�G . 1�! � H=� . � . 1�� . 2�! � 1 � 1 �� . 1�! . � . 1 �� . 2�! � � 1 � � . 2�� . 2�! . � . 1 �� . 2�! � 1 � 1 �� . 2�! Conclusão: ∀� ∈ �:∑ H�H���!�H=� � 1 � ������! Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 5 5- Determine a natureza (convergência simples, absoluta ou divergência) das seguintes cinco series numéricas e calcule a soma de uma delas: ����� ∙ ��� . � < �=> , IJ� �K� < �=� , �! . ��� . ��! < �=� , ;� � L;�� < �=� ? �� ∙ �!�� < �=� Resolução: ����� ∙ ��� . � < �=> Em primeiro lugar: ���� � �� � � . 1�� . 1�1 . 1 � � �1 . 1 � �� . 1���1 . 1� � ���� . 1�1 . 1� ��1 . 1���� . 1�1 . 1� � � 1 � �1��1 . 1���� . 1�1 . 1� � 0, ∀� M 1 Por tanto a série é decrescente. Em segundo lugar: ��� ��1 . 1 � 0 Por tanto a série é convergente. Como ��� � ∙ ��,�� � ��� � , �,�� � 1 concluimos pelo criterio de Dirichlet que a série ∑ ��,��<�=C é divergente. Então a série ∑ �&��%∙��,��<�=C é simplesmente convergente. IJ� �K� < �=� Seja NH � ∑ OP� �Q1 � R1, �6 G � 4� PS G � 4� . 10, �6 G � 4� . 2 PS G � 4� . 3 ,H�=� G ∈ �, como é obvio não existe ���NH, pelo que a serie é divergente. Mais exercícios resolvidos em fisicaematematicas.wordpress.com Temos a solução para todos os seus problemas Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro 6 �! . ��� . ��! < �=� �! . 2�� . 2�! < �=� � �!�� . 2�! < �=� . 2�� . 2�! < �=� � 1�� . 2��� . 1� < �=� . 2�� . 2�! < �=� Vamos a estudar por separado as duas séries: ��� �1 ∙ ����1������ � ��� � , �,�B��1 � 1 por tanto ∑ ����1������<�=� é absolutamente convergente. ��� 9%-$9% � ��� , �%-'�!, �%-,�! � ��� ���B � 0 � 1, por tanto, pelo criterio de D’Alembert a série ∑ 1���1�!<�=� é absolutamente convergente. Assím, a série ∑ �!�1���1�!<�=� , que é suma de duas séries convergentes, tambem é absolutamente convergente. ;� � L;�� < �=� ∑ B%&TB,%<�=� � ∑ �B%<�=� � ∑ �T%*$<�=� � $ ' �&$' � ��&$U � � 1� TV � � WV Por tanto a série é absolutamente convergente. �� ∙ �!�� < �=� ��� ������ � ��� 2��� ∙ �� . 1�!�� . 1����2� ∙ �!�� � ���2�� . 1����� . 1���� � ��� 2�� �� . 1�� � 2��� � � . 1 � � � 2��� �1 � 1� . 1� � � 2��� 4�1 � 1� . 1� &�����5 & ���� � 26&7#8 ���� � 26&� � 26 � 1 Por tanto a serie é absolutamente convergente.
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