Trigonometria: Relações e Fórmulas

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VESTIBULAR: RESUMOS 
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II 
	
TRIGONOMETRIA 
Triângulo Retângulo: Diversas aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim. 
a) Seno de (: É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo ( pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h
y
hipotenusa
oposto
 
cateto
)
(
sen
=
=
a
 .
b) Cosseno de (: É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo ( pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h
x
hipotenusa
adjacente
 
cateto
)
cos(
=
=
a
 .
c) Tangente de (: É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
x
y
x
h
h
y
h
/
x
h
/
y
adjacente
 
cateto
oposto
 
cateto
)
tan(
=
×
=
=
=
a
 .
Relação fundamental da trigonometria: 
1
h
y
h
x
h
y
x
2
2
2
2
2
2
2
=
+
Û
=
+
.
Ângulos notáveis: Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l e um quadrado de lado l. 
ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO CÍRCULO
Observe as semelhanças nos triângulos sombreados à esquerda e direita. As razões serão apresentadas sempre dos lados opostos aos ângulos congruentes partindo do Triângulo OAP.
Tangente
Cotangente
Secante
Cossecante
Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas
Seno de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
· Monotonia: crescente no 1º e 4º Quadrantes, decrescente no 2º e 3º Quadrantes.
· Domínio: ] –∞ , +∞ [
· Imagem: [–1 ; +1]
· Período: 2(
Cosseno de x: Função par, positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes.
· Monotonia: crescente no 3º e 4º Quadrantes, decrescente no 1º e 2º Quadrantes. 
· Domínio: ] –∞ , +∞ [. 
· Imagem: [–1 ; +1].
· Período: 2(
Tangente de x: Função ímpar, estritamente crescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes. 
· Domínio: IR-{k(+(/2, k = 0, ±1, ±2,...}. 
· Imagem: ]–∞ ,+∞[. 
· Período: (.
Cotangente de x: Função ímpar, estritamente decrescente em todo o domínio. Positiva no 1º e 3º Quadrantes, negativa no 2º e 4º Quadrantes.
· Domínio: IR-{k(, k = 0, ±1, ±2,...}. 
· Imagem:] –∞ , +∞ [. 
· Período: (.
Secante de x: Função par , positiva no 1º e 4º Quadrantes, negativa no 2º e 3º Quadrantes. Os sinais seguem os da função f(x) = cos x.
· Monotonia: crescente no 1º e 2º Quadrantes, decrescente no 3º e 4º Quadrantes. 
· Domínio: IR-{k(+(/2, k = 0, ±1, ±2,...}. 
· Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[ 
· Período: 2(.
Cossecante de x: Função ímpar, positiva no 1º e 2º Quadrantes, negativa no 3º e 4º Quadrantes.
· Monotonia: crescente no 2º e 3º Quadrantes, decrescente no 1º e 4º Quadrantes.
· Domínio: IR-{k(, k = 0, ±1, ±2,...}.
· Imagem: ]–∞ , -1] U [1, +∞[ ou IR- ]-1, 1[
· Período: 2(
OBS: Uma função é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = - f(x).
Fórmulas de adição e subtração
Sejam 
OA
 e 
OB
 dois vetores com origem no ponto O e extremidade no ponto A e B, respectivamente, e que fazem ângulos 
a
 e 
b
 com o eixo dos X, respectivamente. 
Os triângulos assinalados são semelhantes e temos as relações:
i) 
b
a
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
b
=
Þ
=
®
=
b
a
=
Þ
=
a
cos
.
sen
DE
cos
OE
)
1
OB
(
OB
OE
cos
sen
.
OE
DE
OE
DE
sen
ii) 
a
b
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
a
=
Þ
=
=
a
b
=
Þ
=
®
=
b
cos
.
sen
BF
cos
.
BE
BF
BE
BF
OE
OD
cos
sen
BE
)
1
OB
(
OB
BE
sen
iii) 
a
b
+
b
a
=
b
+
a
Þ
ï
î
ï
í
ì
+
=
Þ
=
®
+
=
b
+
a
=
Þ
=
®
=
b
+
a
cos
.
sen
cos
.
sen
)
(
sen
DE
BF
BC
)
DE
FC
(
FC
BF
BC
)
(
sen
BC
)
1
OB
(
OB
BC
)
(
sen
Para calcular o seno da diferença, basta utilizar o fato que: 
b
b
sen
sen
-
=
-
)
(
 e 
b
b
cos
)
cos(
=
-
. 
Temos: 
a
b
-
b
a
=
a
b
-
+
b
-
a
=
b
-
+
a
=
b
-
a
cos
).
(
sen
cos
.
sen
cos
).
(
sen
)
cos(
.
sen
))
(
(
sen
)
(
sen
.
Para calcular a fórmula para o cosseno da soma, observamos na figura que:
i) 
b
a
=
Þ
î
í
ì
b
=
Þ
=
®
b
=
a
=
cos
.
cos
OD
cos
OE
)
1
OB
(
cos
OB
OE
cos
.
OE
OD
ii) 
b
a
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
b
=
a
=
Þ
a
=
Þ
=
®
=
a
sen
.
sen
CD
sen
BE
sen
.
BE
CD
sen
BE
CD
)
FE
CD
(
BE
FE
sen
.
Logo, 
b
a
-
b
a
=
b
+
a
Þ
ï
î
ï
í
ì
-
=
Þ
=
®
-
=
b
+
a
=
Þ
=
®
=
b
+
a
sen
.
sen
cos
.
cos
)
cos(
FE
OD
OC
)
FE
CD
(
CD
OD
OC
)
cos(
OC
)
1
OB
(
OB
OC
)
cos(
.
Temos: 
b
a
+
b
a
=
a
b
-
+
b
-
=
b
-
+
a
=
b
-
a
sen
.
sen
cos
.
cos
sen
).
(
sen
)
cos(
.
cos
))
(
cos(
)
cos(
.
Para o cálculo de 
)
tg(
b
a
±
 dividindo 
)
(
b
a
±
sen
e 
)
cos(
b
a
±
 por 
)
cos
.
(cos
b
a
:
i) 
a
×
b
-
b
+
a
=
b
a
b
a
-
b
a
b
a
b
a
a
b
+
b
a
b
a
=
b
a
-
b
a
a
b
+
b
a
=
b
+
a
tg
tg
1
tg
tg
cos
.
cos
sen
.
sen
cos
.
cos
cos
.
cos
cos
.
cos
cos
.
sen
cos
.
cos
cos
.
sen
sen
.
sen
cos
.
cos
cos
.
sen
cos
.
sen
)
tg(
.
ii) 
a
×
b
+
b
-
a
=
b
a
b
a
+
b
a
b
a
b
a
a
b
-
b
a
b
a
=
b
a
+
b
a
a
b
-
b
a
=
b
-
a
tg
tg
1
tg
tg
cos
.
cos
sen
.
sen
cos
.
cos
cos
.
cos
cos
.
cos
cos
.
sen
cos
.
cos
cos
.
sen
sen
.
sen
cos
.
cos
cos
.
sen
cos
.
sen
)
tg(
.
iii) 
a
-
a
=
a
×
b
-
b
+
a
=
b
a
-
b
a
a
b
+
b
a
=
a
=
a
+
a
b
=
a
2
tg
1
tg
2
tg
tg
1
tg
tg
sen
.
sen
cos
.
cos
cos
.
sen
cos
.
sen
)
2
tg(
)
tg(
,
Se
.
OUTRAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
	Fórmulas de duplicação
	Fórmulas de bissecção
	
a
a
=
a
cos
.
sen
2
2
sen
	
2
cos
1
)
2
/
(
sen
a
-
±
=
a
	
a
-
a
=
a
2
2
sen
cos
2
cos
	
2
cos
1
)
2
/
cos(
a
+
±
=
a
	
a
-
a
×
=
a
2
tg
1
tg
2
)
2
(
tg
	
a
+
a
-
±
=
a
cos
1
cos
1
)
2
/
(
tg
	Fórmulas de transformação
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
-
a
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
+
a
×
=
b
+
a
2
cos
2
sen
2
sen
sen
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
+
a
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
-
a
×
=
b
-
a
2
cos
2
sen
2
sen
sen
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
-
a
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
+
a
×
=
b
+
a
2
cos
2
cos
2
cos
cos
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
-
a
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
+
a
×
=
b
-
a
2
sen
2
sen
2
cos
cos
	
b
×
a
b
+
a
=
b
+
a
cos
cos
)
(
sen
tan
tan
	
b
×
a
b
-
a
=
b
-
a
cos
cos
)
(
sen
tan
tan
Exercícios Resolvidos
1) Simplifique a expressão: cos(x + y).cos y + sen(x + y).sen y
Solução. Desenvolvendo as operações de acordo com as relações fundamentais e simplificando, temos:
(
)
(
)
x
cos
seny
)
y
x
(
sen
y
cos
)
y
x
cos(
.
x
cos
)
y
sen
y
(cos
x
cos
x
cos
y
sen
yseny
cos
senx
y
cos
senxseny
y
cos
x
cos
seny
.
x
cos
seny
y
cos
senx
y
cos
.
senxseny
y
cos
x
cos
seny
)
y
x
(
sen
y
cos
)
y
x
cos(
2
2
2
2
=
+
+
+
Þ
=
+
=
+
+
-
=
=
+
+
-
=
+
+
+
.
2) Calcule o valor: a) cos 105º b) tg 75º 
Solução. Aplicando as fórmulas da soma e diferenças de arcos, temos:
a) 
4
6
2
2
2
.
2
3
2
2
.
2
1
º
45
sen
º
60
sen
º
45
cos
º
60
cos
)
º
45
º
60
cos(
)
º
105
cos(
-
=
-
=
-
=
+
=
. 
b) 
2
3
3
9
3
3
6
9
3
3
3
3
.
3
3
3
3
3
3
)
1
.(
3
3
1
1
3
3
º
45
tg
º.
30
tg
1
º
45
tg
º
30
tg
)
º
45
º
30
(
tg
)
º
75
(tg
+
=
-
+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
-
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=
-
+
=
+
=
.
3) Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 ( x ( (/2 e 0 ( y ( (/2, determine: a) sen (x + y) b) tg (x – y) 
Solução. Sabendo que sen2x + cos2x = 1, calculamos as raízes positivas de cosx e seny.
i) 
5
3
25
9
25
16
1
1
cos
2
=
=
-
=
-
=
x
sen
x
 ii) 
13
5
169
25
169
144
1
cos
1
2
=
=
-
=
-
=
y
seny
.
a) 
65
63
65
15
48
5
3
.
13
5
13
12
.
5
4
cos
cos
)
(
=
+
=
+
=
+
=
+
x
seny
y
senx
y
x
sen
.
b) 
56
33
56
65
.
65
33
65
56
65
33
)
y
x
cos(
)
y
x
(
sen
)
y
x
(
tg
=
=
=
-
-
=
-
.
_1460269688.unknown
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