1 4 Sistemas Trifásicos

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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica II
Sistemas Trifásicos
(Energização de Linhas de Transmissão)
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
27 de março de 2019
1
1.0 Introdução
2
• Nesta unidade vamos definir as equações de linha e como proceder com os cálculos de linhas de tranmissão. Iremos começar com a
demonstração das fórmulas exatas, de uma maneira genérica para depois evoluirmos os cálculos.
• Esta unidade se limita apenas às linhas de transmissão clássicas, considerando somente aquelas constituídas por ligações físicas entre uma
fonte de energia e um elemento consumidor dessa energia. Esta ligação se dá por meio de condutores, pelos quais circulam correntes elétricas
e que são mantidos sob diferenças de potencial. Daí a necessidade da existência de um circuito fechado, sendo que, em muitos casos, o
próprio solo é utilizado como condutor de retorno.
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Transmissão de Energia Elétrica II
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Consideremos uma linha de transmissão ideal, constituída por dois condutore metálicos, retilíneos e completamente isolados, suficientemente
distantes do solo ou de estruturas, ou de outras linhas, para que não seja influeniada pela sua presença, e de comprimento qualquer.
• Logo, por tratar-se de uma linha ideal, a resistencia dos condutores é nula, como também o dielétrico entre os condutores é considerado
perfeito, de forma que não há perdas de energia a considerar.
• Podemos lembrar das aulas de Física que entre dois condutores separados por um dielétrico podemos definir uma Capacitância C em F/km e
uma indutância L em H/km. Consideramos também que junto ao receptor/consumidor haja um dissipador de energia R2, conforme
apresentado na figura abaixo.
• Se considerarmos um instante imediatamente anterior à ligação da chave S, t < 0, os terminas da fonte está sob uma diferença de potencial U
em Volts. No instante em que a chave for ligada, em t = 0, aparecerá a mesma doferença de potencial U.
• Uma vez que diferenças de potencial somente são poss+iveis entre cargas elétricas, a colocação dos terminais 1 e 1´ foi provocada por um
deslocamento de cargas elétricas por meio de S, cargas originárias da fonte.
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• Pensemos, agora, em um elemento de comprimento infinitesimal ∆x em km da linha. Ele contém uma indutância ∆x . L em Henry e uma
capacitância ∆x . C em Farad. A tensão U somente podera aparecer nos terminais da capacitância após a decorrência de um tempo ∆t em
segundos, pois a corrente através de ∆x . L não pode atingir instantaneamente seu valor Io em ampères.
• Levará outro intervalo de tempo ∆t para que o capacitor do trecho ∆x seguinte atinja o valor U, e assim sucessivamente.
• A corrente fornecida pela fonte, uma vez atingido o valor de Io, se mantém constante, sendo definida como a corrente de carga da linha.
Decorre, portanto, um tempo entre o instante em que se aplica uma tensão ao transmissor de uma linha e o instante em que essa tensão pode
ser medida no receptor.
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Sabemos que cargas elétricas em movimento dão origem a campos magnéticos e que a simples presença das cargas já gera campos
elétricos. Portanto, ao se energizar uma linha, ao longo da mesma se irão estabelecendo, progressivamente, campos elétricos e magnéticos do
transmissor ao receptor. Podemos definir uma velocidade de propagação para uma linha de comprimento l:
• Onde T está em segundos e é o tempo necessário para que a tensão no receptor atinja o valor U em volts. L está em metros.
• Consideraremos, então, um trecho de linha de comprimento unitário de 1 km, sendo t1 o tempo para energizar esse trecho, conforme figura
abaixo:
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T
l
v 
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Temos:
• A carga elétrica acumulada nesse trecho será:
• A corrente é:
• Essa corrente começa a fluir em um tempo t após o instante em que a tensão é aplicada. Sua intensidade independe do comprimento da linha,
se esta for de comprimento infinito, essa corrende de carga será suprimida pela fonte, sem alteração de valor, enquanto o valor da tensão da
fonte se mentiver inalterado, indefinidamente. Assim, podemos definir a impedância de entrada da linha:
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v
t
1
1 
CUq 
vCUvqI 0
vCI
U
Z


1
0
0
v
x
t


1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Considerando agora um elemento de comprimento ∆x em km, ∆t é o período durante o qual em ∆x a corrente crescerá de zero para Io. Logo a
FEM induzida será:
• Como sabemos que:
• Logo:
• Logo a FEM precisa ser neutralizada pela tensão da fonte para que Io possa fluir:
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Lx
t
I
dt
dI
LxFEM 

 00
v
x
t


LvILxv
x
I
FEM 

 0
0
LvIU  0 

 Lv
I
LvI
I
U
Z
0
0
0
0
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Agora temos duas definições distintas para Zo. Em ambos os casos é função da velocidade de propagação e uma grandeza C ou L, que como
sabemos, dependem apenas do meio em que a linha se encontra e de suas dimensões físicas, se manipularmos as equações, teremos:
• Esta equação é a velocidade com a qual os campos elétricos emagnéticos se propagam ao longo de uma linhga.
• Lembramos que, para uma linha a dois condutores, no ar ou no vácuo, valem as seguintes expressões para o cálculo da indutância e da
capacitância, desprezando o efeito do fluxo magnético interno do condutor e da presença do solo:
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

 Lv
I
LvI
I
U
Z
0
0
0
0
vCI
U
Z


1
0
0
Lv
vC


1
skm
LC
v /
1







 
r
D
L ln102 4








r
D
C
ln1018
1
6
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
9
• Se manipularmos essas duas equações com a equação da velocidade, teremos:
• Essa velocidade é exatamente a velocidade de propagação da luz no vácuo. Por meio dessa equação podemos reconhecer que ela depende
principalmente do meio em que se encontra a linha – por exemplo, ela é muito mais baixa nos cabos subterrâneos. Nas linhas reais, em que o
fluxo interno dos conditores também não é desprezível, ela é um pouco menor. Essas linhas também possuem perdas, representáveis por uma
resistência em série com a indutância e em paralelo com a capacitância, também reduzindo a velocidade de propagação.
• Considerando as equações da impedância e as combinando e em seguida combinando com a da indutância e capacitância, temos:
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skm
LC
v /
1
 skm
r
D
r
D
v /
ln1018
ln102
1
6
4
















skmv /103 5
vC
Z


1
0
LvZ 0
C
L
Z 0












 
r
D
r
D
Z ln1018ln102 640







r
D
Z ln600
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
10
• Temos então que:
• Logo, a corrente de carga de uma linha, excitada por uma fonte de tensão constante, também independe de seu comprimento, o que é uma
peculiaridade. Mas faz sentido: a corrente de carga Io, quando começa a fluir, desconhece o comprimento da linha e a forma pela qual a
mesma é terminada.
• Em cada intervalorde tempo ∆t necessário para energizar um trecho de comprimento ∆x de linha, a fonte fornece à mesma uma quantidade de
energia igual a tensão multiplicada pela corrente de carga e pelo tempo. Essa energia, em uma linha ideal, não é dissipada na linha, cabendo
uma indagação sobre o seu destino.
• Os campos elétricos e os campos magnéticos têm a capacidade de armazenar energia. No trecho de linha de comprimento ∆x poderá ser
armazenada energia.
• No campo magnético:
• No campo elétrico:
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0
0
Z
U
I 
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Ws
xLI
Em
2
2
0 
Ws
xCU
Ee
2
2 









 WssVA
A
sV
A2








 WssVA
V
sA
V 2
11
• Logo, o armazenamento total:
• A quantidade de energia armazenada pelo campo elétrico é exatamente igual à quantidade de energia armazenada pelo campo magnético.
Cada um dos campos armazena exatamente a metade da quantidade de energia que é fornecida pela fonte, vejam:
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22
22
0
0
xCUxLI
tIU




Ws
xCU
Ee
2
2 

C
L
Z 0 00 ZIU 
C
L
IU  0
Ws
xC
C
L
I
Ee
2
2
0 








 Ws
xLI
Ee
2
2
0 
12
• Esse processo durará indefinidamente se a linha tiver um comprimento infinito. As linhas de transmissão possuem, porém, comprimentos
finitos. Neste caso ocorrerão fenômenos que procuraremos analisar. Esses fenômenos dependem exclusivamente da forma com que a linha é
terminada, ou seja, das condições em sua extremidade receptora. Vamos imaginar que a linha tenha um comprimento L e que na extremidade
receptora coloquemos um R2, con a condição de que:
• Temos então que:
• Uma vez que na terminação da linha não há campos magnéticos ou elétricos a armazenar energia, toda a energia fornecida pela fonte será
dissipada na resistência R2, logo:
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02 ZR 
2000 RIZIU 
tRItIU  2
2
00
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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• Percebam que a corrente Io continuará com a mesma intensidade inicial como se a linha fosse de comprimento infinito, assim como mostrado
na figura do slide anterior, uma vez que as impedâncias são iguais, independente do valor de L. Quando o valor de R2 for diferente do valor de
Zo, o equilíbrio estabelecido pelas equações que usamos ao substituir Zo por R2 será alterado. Acontecerá que a tensão será diferente e,
dependendo da capacidade de dissipação de R2 poderá ser maior ou menor. Vamos analisar os dois casos.
Linha com resistência terminal maior que Zo
• Neste caso, a corrente I´2 por meio da resistência R´2 será menor que a corrente Io e a potência dissipável será igualmente menor que a
potência que tínhamos quando os valores de Zo e R2 eram iguais. Junto ao terminal da linha haverá um excesso de energia.
• Uma redução da corente na linha leva também à uma redução da energia armazenada no campo magnético. Este, além de não poder
armazenar o excesso de energia devido à redução de I2, deve ainda ceder parte da energia que possui armazenada. E essas duas partes só
podem ter um destino: o campo elétrico. Portanto, a partir do momento em que I´2 começa a fluir através de R´2, o campo elétrico recebe a
energia excedente que se manifesta na forma de uma elevação de tensão U2 e que se irá propagar ao longo da linha, acompanhada pela
redução de Io com a mesma velocidade v, conforme figura no próximo slide.
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22 ´´ RIP 
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• Vale a pena examinarmos um caso extremo, ou seja, quando R2 é infinita, isto é, na linha de comprimento finito, aberta junto ao receptor.
Neste caso observamos:
• A corrente se reduz a zero, progressivamente do receptor ao transmissor
• O campo elétrico tem que armazenar toda a energia, isto é, aquela que chega pela linha e aquela que é cedida pelo campo magnético.
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• Sendo U2 o valor da tensão que a linha atingirá junto ao receptor, a energia armazenada em cada ∆x de linha, será:
• Porém a linha possuía de energia e a fonte, em um ∆t, enviou mais . Logo, o campo elétrico deverá
armazenar a energia equivalente a:
• Igualando os termos, temos:
• Portanto, em uma linha ideal aberta, a tensão no receptor cresce ao dobro do valor da tensão aplicada, conforme figura do próximo slide.
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Ws
xCU
Ee
2
2
2 
xCU 2 xCU 2
xCUEe 
22
2
2
2
22 xCUxCU

 2
2 2UU 
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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Linha com resistência terminal menor que Zo
• Neste caso, a corrente I´´2, através da resistência, será maior que Io e, consequentemente, a potência dissipável em R´´2, será maior do que a
potência de I2 e R2. Junto ao terminal da linha, ocorrerá um déficit de energia que não poderá ser suprimido de imediato pela fonte que
alimenta o sistema. O novo estado de equilíbrio somente poderá ser atingido se essa deficiência for suprida pela própria linha, às expensas da
energia armazenada por ela durante o processo de energização.
• Uma vez que há um aumento no valor da corrente que passa de I2=Io para I´´2, o campo magnético não somente não pode ceder energia,
como também deve armazenar a maior quantidade da mesma, o que faz às custas do campo elétrico, que a cede. Haverá, portanto, uma
redução na tensão U2 junto ao receptor, que caminha progressivamente em direção à fonte, como mostra a figura abaixo:
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
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Linha com resistência terminal menor que Zo
• Um outro caso extremo de operação da linha, bastante interessante, é o caso de uma linha terminada em curto-circuito, sou seja, com R2=0.
Observamos, nesse caso:
• A tensão junto ao receptor somente pode ser nula, propagando-se esse valor do receptor ao transmissor.
• Há um aumento no valor da corrente junto ao receptor que se propaga para o transmissor. O valor da corrente poderá ser determinado
com base nas considerações que se seguem.
• Uma vez que toda a energia que estava armazenada no campo elétrico não pode ser retida pelo mesmo, ela é cedida ao campo magnético,
que também deverá receber toda a energia que a fonte continuará fornecendo. A energia no campo magnético será agora em um ∆x de linha:
• Nos dois campos da linha havia armazenados e a fonte em ∆t fornecerá mais , logo, o campo magnético
terá que armazenar:
• Este valor deverá ser igual àquela do campo magnético, logo:
• Ou seja, em uma linha em curto-circuito, a corrente crescerá, no receptor, ao dobro do seu valor.
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2
2
2
" xLI
Em


xLI 
2
0
2
2
2
2
"
2
0
xCI
xLI


2
02
" 2II 
xLI 
2
0
xLI 
2
02
20
Ondas Viajantes• Dentro do conceito que acabamos de estudar, consideramos que, ao energizarmos uma linha, partem do transmissor, simultaneamente, duas
ondas, uma de tensão e outra de corrente, de amplitude U e Io, respectivamente. Ambas se deslocam com velocidade constante, que
chamamos de v, em direção ao receptor., onde chegam as ondas chamdas de incidentes ou diretas.
• Vimos também que, dependendo da forma de terminação da linha, podem dar origem a ondas refletidas, que viajam de volta, do receptor para
o transmissor, com a mesma velocidade das ondas incidentes. Tanto as ondas diretas como as refletidas são polarizadas, isto é, atribuímos a
elas um sinal. Em cada ponto da linha, em qualquer instante, o valor da tensão ou o valor da corrente será sempre igual ao valor da soma
algébrica das duas ondas.
• Vejamos as próximas imagens para entender um pouco melhor os casos de R2 que estudamos e a forma de incidência e reflexão das ondas.
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rd UUU  rd III 
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Ondas Viajantes
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Ondas Viajantes
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Ondas Viajantes
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Ondas Viajantes
• Se aplicarmos esse conceito aos casos previamente examinados, veremos que:
• Linha com R2 > Zo
a) A onda de tensão refletida possui o mesmo sinal que a onda de tensão incidente. A tensão resultante será, então, maior do
que a da onda incidente.
b) A onda da corrente refletida possui sinal contrário do da onda incidente, resultando em corrente menor do que a incidente.
• Linha com R2 = Zo
a) Tanto a onda refletida da tensão e da corrente são nulas, não havendo, portantto, alterações em sesus valores.
• Linha com R2 < Zo
a) A onda da tensão se reflete com sinal oposto ao da incidente, resultando em diminuiçã da tensão.
b) A onda da corrente se reflete com o mesmo sinal, o que leva ao seu aumento.
• Notamos que em qualquer caso, as ondas refletidas da corrente e da tensão têm sempre sinais contrários, o que faz todo o sentido.
• Um ponto interessante é que as ondas refletidas têm as mesmas propriedades da incidentes, logo:
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0Z
C
L
I
U
I
U
r
r
d
d 
25
Ondas Viajantes
• Portanto, em qualquer ponto de uma linha terminada em R2 diferente de Z0, teremos:
• Logo, se conhecemos a impedância natural de uma linha e o valor da resistência terminal, é possível determinar os valores das amplitudes das
ondas refletidas em função das ondas incidentes. Seja Z2 a impedância terminal da linha, teremos em sua terminação:
• Porém, sabemos que: e
• Substituindo na equação acima, teremos:
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0Z
II
UU
I
U
rd
rd 



rd
rd
II
UU
Z
I
U


 2
2
2
0Z
U
I rr 
0Z
U
I dd 
dr U
ZZ
ZZ
U 








02
02
dr I
ZZ
ZZ
I 








02
20
26
Ondas Viajantes
• Assim, podemos observar que há a formação de um termo que relaciona as ondas diretas com as refletidas, sendo chamado de coeficiente de
reflexão.
a) Das tensões
b) Das correntes
• Então podemos escrever que: e
• Os coeficientes variam de +1 a -1, conforme se verifica facilmente nos três casos: linha em aberto, em curto e para Z2=Z0, quando o
coeficiente é nulo.
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








02
02
ZZ
ZZ
kru









02
20
ZZ
ZZ
kri
drur UkU  drir IkI 
27
Ondas Viajantes
• Até agora examinamos somente o comportamento das ondas de tensão e corrente durante o tempo em que viajam pela primeira vez, ou seja,
para a energização. Vimos que as ondas refletidas deslocam-se do receptor para o transmissor com a mesma velocidade que as ondas
incidentes, só que me sentido contrário.
• Agora, pensemos: em um instante de tempo após a energização, do ponto de vista do transmissor, as ondas refletidas pelo terminal receptor
chegam ao transmissor na qualidade de ondas incidentes. As condições que admitimos, de fonte ideal, fazem com que elas vejam uma
impedância diferente de Zo, dando então origem a um novo par de ondas refletidas, que se sobrepõem às incidentes no transmissor. Seus
sinais e valores dependem do valor relativo da impedância da fonte. No caso da fonte ideal, em que a resistência interna é nula, temos os
seguintes coeficientes de reflexão:
a) Das tensões: . A onda refletida da tensão anula inteiramente a onda incidente do mesmo valor e
sinal oposto, e a tensão no transmissor continuará sendo U. A linha todam progressivamente, ficará com esse valor até ocorrer nova
reflexão no receptor, onde chega uma onda, agora de sinal negativo e mesm amplitude da onda que foi refletida a 2t antes. A nova
onda refletida terá o mesmo sinal que a onda que acaba de chegar (negativo), deslocando-se em direção ao transmissor, onde
sefrerá nova reflexão, como podemos ver na figura a seguir.
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
1
0
0
0
0 








Z
Z
kru
022 3ZRouZ 
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Ondas Viajantes
b) Das correntes . A onda refletida da corrente tem o mesmo valor e amplitude que a onda que incidiu na
fonte. Essa onda refletida se desloca para o receptor, onde chegará sofrendo nova reflexão, como mostra a figura abaixo.
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
1
0
0
0
0 








Z
Z
kri
022 3ZRouZ 
29
• Vamos fazer um exemplo: uma linha de transmissão bifilar aérea é suprida por uma fonte de tensão constante de 800 V. A indutância dos
condutores é de 0,001358 H/km e sua capacitância é igual a 0,008488 x 10^-6 F/km. Tratando-se de linha sem perdas, deseja-se saber,
sendo seu comprimento igual a 100 km:
a) A impedância natural Zo
b) A energia armazenada por quilômetro de linha nos campos elétrico e magnético
c) A velocidade de propagação
d) O valor da tensão no receptor no decorrido tempo de t = 3L/v do instante em que a linha foi energizada para as seguintes condições:
i. Z2 = 100 ohm
ii. Z2 = 400 ohm
iii. Z2 = 1.600 ohm
a) A impedância natural Zo
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
C
L
Z 0 60 10008488,0
001358,0

Z  4000Z
30
b) A energia armazenada por quilômetro de linha nos campos elétrico e magnético
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
2
2
0 LIEm  AZ
U
I 2
400
800
0
0  WsEm 002716,0
2
001358,022



2
2 CU
Ee

 WsEe 002716,0
2
10008488,0800 62




WsEEE tmtot 005432,0
31
c) A velocidade de propagação
Um comentário: esse valor é um pouco inferior àquele que calculamos (luz) para a linha ideal. Isto acontecedevido à consideração do
fluxo magnético interno dos condutores, que no caso da linha ideal, é desprezado.
d) Cálculo das perdas: o intervalo de tempo t = 3l/v será suficiente para que junto ao receptor ocorra a segunda reflexão da onda de
tensão. Teremos:
- O valor da onda de tensão incidente no receptor em t1 = l/v e Ud´ = U = 800 V
- Os coeficientes de reflexão no receptor serão:
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Curso de Engenharia Elétrica
Transmissão de Energia Elétrica II
1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
LC
v
1

610008488,0001358,0
1

v skmv /294542
5
3
400100
400100
100 







ruk
0
400400
400400
400 







ruk
5
3
4001600
4001600
1600 







ruk
32
d) Cálculo das perdas: o intervalo de tempo t = 3l/v será suficiente para que junto ao receptor ocorra a segunda reflexão da onda de
tensão. Teremos:
- Os coeficientes de reflexão no transmissor serão, considerando a fonte ideal:
Em t = 0, parte do transmissor uma onda de tensão de valor U que chega ao receptor em t1 = l/v na forma de onda direta ou incidente U =
U´d. Nesses instante ocorre a primeira reflexao e a tensão no receptor passa a ser:
A onda reletida U´r, partindo do receptor, chega ao transmissor em t2 = 2l/v, como onda incidente, e aí sofre reflexão. A tensão no
transmissor era U, será agora:
A onda refletida no transmissor é U kru2 kru1 e chega ao receptor em t3 = 3l/v, onde sofre nova relfexão. A tensão no recptor passa agora
a ser:
Como kru1 = -1, temos:
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
1
0
0
0
0
1 








Z
Z
kru
 222 1´´´´´ ruruddrd kUkUUUUU 
1221́ rururu kkUkUUU 
  2121222 1" rurururururu kkkUkkUkUU 
33
d) Cálculo das perdas: o intervalo de tempo t = 3l/v será suficiente para que junto ao receptor ocorra a segunda reflexão da onda de
tensão. Teremos:
Substituindo para os valores dos coeficientes para cada impedância do receptor, temos:
- Para Z2 = 100 ohm
- Para Z2 = 400 ohm
- Para Z2 = 1600
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
 222 1" ruru kkUU 
VUU 512
5
3
1"
2
2 














   VUU 80001" 22 
VUU 512
5
3
1"
2
2 














34
d) Cálculo das perdas: o intervalo de tempo t = 3l/v será suficiente para que junto ao receptor ocorra a segunda reflexão da onda de
tensão. Teremos:
Observamos igualmente nas tensões no receptor para os dois casos em que houve reflexões, apesar da disparidade dos valores de Z2.
Na primeira reflexão, no entendo, as diferenças são grandes:
- Para Z2 = 100 ohm
- Para Z2 = 1600
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1.1 O fenômeno da energização da linha (análise qualitativa)
VUU 320
5
3
1´2 






VUU 1280
5
3
1´2 





