Lista de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I

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1a Lista de Exerćıcios de
Cálculo Diferencial e Integral I
2014-1
1. Resolva as seguintes inequações
(a) 4− 3x ≤ −(1 + 8x) (b) 5 ≤ 3x− 4 ≤ 14 (c) − 3 ≤ 3x + 7 ≤ 1
2
(d) (x + 2)(x− 3) < 0 (e)x2 + 5x + 6 > 0 (f) 3x2 − 3x < 2x2 + 4
(g) (x + 2)(x− 1)(x− 3) ≤ 0 (h) x− 3
x + 1
≥ 0 (i) 4x
2x + 3
> 2
(j)
4
x
< x (k)
3
x− 1
− 4
x
≥ 1 (l) x
2
≥ 5
x + 1
+ 4
(m)x4 > x2 (n)
x + 2
x + 3
<
x− 1
x− 2
(o)
1
x + 1
+
1
x + 2
≤ 0
(p) (x− 3
√
2)(x−
√
2) > 0 (q)
x
x2 − 5x + 6
+
1
2x
≥ 2x
3− 4x + x2
(r)
(x− 1)2 − (x + 2)2
(x− 2)2 − (x + 1)2
≥ 0
2. Determine para que valores de x a expressão é definida como um número real
(a)
√
16− 9x2 (b)
√
3x2 − 5x + 2
(c)
(
1
x2 − 5x− 14
)1/2
(d) 4
√
1− x
2 + x
3. Suponha que a, b e c são constantes positivas. Resolva as inequações
(a) a(bx− c) ≥ bc (b) a ≤ bx + c < 2a
4. Resolva as equações
(a) |x− 1| = 3 (b) |3x− 5|+ 3 = 0 (c) |x + 2| = |x− 4| (d)
∣∣∣∣ x2 − 5x + 6x2 − 11x + 30
∣∣∣∣ = 2
5. Resolva as seguintes inequações
(a) |2x + 3| ≥ 1 (b) |5x− 1| < |x + 6| (c) |x + 1| − |2− x| > 3
(d) |x− 4| ≥ |2x− 1| (e) |x− 1| ≤ |x| (f)
∣∣∣∣x + 1x
∣∣∣∣ ≥ 4
(g)
∣∣∣∣x2 − 4x + 3x2 − 2x + 1
∣∣∣∣ ≤ 1 (h) ∣∣∣∣x2 − 2x− 3x2 − 4x + 3
∣∣∣∣ ≤ 5 (i) ∣∣∣∣ x2 − 5x + 6x2 − 11x + 30
∣∣∣∣ > 2
6. Escreva a expressão sem que apareça o śımbolo do valor absoluto
(a) |x + 1|+ |x| (b) |x|+ |x− 1|+ |x− 2| (c) |x + 1|+ |x− 1| − 2|x|
7. Verifique que se a < x < b e a < y < b então |x− y| < b− a
8. Se x = 8a + 4b − 3, y = 5a + 13b + 4, 20, 84 < a < 20, 85 e −5, 64 < b < −5, 63.
Encontre números K e M tais que |x + y| < K e |x− y| < M .
9. Encontre o maior valor de L tal que |x− 1|+ |x− 2|+ |x− 3| ≥ L. Em que caso(s)
temos a igualdade?
10. Ache o valor da expressão
|4x + 7| − |x− 7|
x
se x ∈ (2, 5).
11. Determine para que valores de x a expressão dada é um número real
1.
√
16− 9x2
2.
√
3x2 − 5x + 2
3.
(
1
x2 − 5x− 14
)1/2
4. 4
√
1− x
2 + x
12. Esboce o retângulo de vértices A(1, 3), B(5, 3), C(1,−3) e D(5,−3) no plano coor-
denado. Determine a área do retângulo.
13. Esboce o paralelogramo de vértices A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) e D(7, 6) e determine
sua área.
14. Considere os pontos P (5, 1), Q(0, 6) e R(−5, 1). Determine o ponto S de forma que
2
o quadrilátero PQRS seja um quadrado. determine sua área.
15. Esboce as regiões
1. {(x, y) / x ≥ 3}
2. {(x, y) / y < 3}
3. {(x, y) / y = 2}
4. {(x, y) / 1 < x < 2}
5. {(x, y) / |x| > 4}
6. {(x, y) / |x| ≤ 2 e |y| ≤ 3}
16. Qual dos pontos A(6, 7) ou B(−5, 8) está mais próximo da origem?
17. Qual dos pontos P (3, 1) ou Q(−1, 3) está mais próximo do ponto R(−1,−1)?
18. Verifique que os pontos (7,3) e (3,7) estão a uma mesma distância da origem.
19. Verifique que o triângulo de vértices A(0, 2), B(−3,−1) e C(−4,−3) é isósceles.
20. Determine um ponto no eixo Oy que seja equidistante dos pontos (5,-5) e (1,1).
21. Determine o comprimento das medianas do triângulo de vértices A(1, 0), B(3, 6) e
C(8, 2).
22. Se M(6, 8) é o ponto médio do segmento AB, e se A tem coordenadas (2, 3), encon-
tre as coordenadas de B
23. Determine que pontos satisfazem a equação dada
1. x− 2y − 1 = 0; (0, 0), (1, 0), (−1,−1)
2. y(x2 + 1) = 1; (1, 1), (1, 1
2
), (−1, 1
2
)
3. x2 + xy + y2 = 4; (0,−2), (1,−2), (2,−2)
4. x2 + y2 = 1; (0, 1), ( 1√
2
, 1√
2
), (
√
3
2
, 1
2
)
24. Esboce o gráfico das seguintes equações. Determine as interseções com os eixos
coordenados e faça os testes de simetria.
3
1. y = −x + 4
2. y = 3x + 3
3. 2x− y = 6
4. x + y = 3
5. 4y = x2
6. 8y = x3
7. xy = 2
8. y =
√
x + 4
9. y =
√
4− x2
10. y = −
√
4− x2
11. y = 16− x4
12. y = 4− |x|
13. y = |4− x|
4