LIMITES - Lista de exercícios completa

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1 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Esta lista de exercício tem como finalidade apenas o aprofundamento do conteúdo. NÃO VALE NOTA OU PONTO. 
 
 
Relembrando Matemática básica: 
 
Divisão de um polinômio por um monômio 
 
 
 
Suponha o 
82
124542
lim
2
23
4 

 xx
xxx
x
 
 
Ao substituirmos 4 no lugar do x teremos uma indeterminação 
0
0 . Isto se dá por que 4 é raiz de ambos os 
polinômios. A solução é dividir cada um dos polinômios por x=4 x−4=0 
Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, o 
82
124542
lim
2
23
4 

 xx
xxx
x
 pode ser escrito como 
)4()2(
)4()3122(
lim
2
4 

 xx
xxx
x
sendo agora possível 
resolver o limite. 
 
Alguns produtos Notáveis: 
 
(a+b)²=(a²+2ab+b²) a²-b² = (a-b)∙(a+b) 
(a-b)² = (a²−2ab+b²) a³-b³ = (a-b)∙(a²+ab+b²) 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
Cálculo I 
Prof. Ma. Angélica Alves 
 
 2 
Multiplicação pelo conjugado: 
 
Multiplica-se um fator pelo seu conjugado que é o segundo fator com o sinal inverso. Exemplo: 
 
 
 
 
x
x
x
22
lim
0


. O conjugado de 22 x é 22 x 
 
 
 
 
   
 22
2222
lim
0 



 x
x
x
x
x
= 
 
  22
1
lim
)22(
lim
)22(
22
lim
22
)²2()²2(
lim
0000 








 xxx
x
xx
x
xx
x
xxxx
 
_________________________________________________________________________________________________ 
 
- FUNÇÕES - 
Aprofundamento I 
 
1) Marque os pontos P=(1, 2) e Q=(−3, 5) no plano cartesiano, faça um esboço do gráfico e calcule seu 
coeficiente angular. 
 
2) Marque no plano cartesiano os pontos (1,2), (-3,5) e (2,6), utilize o coeficiente angular para determinar se 
os três pontos são colineares e faça o esboço do gráfico. 
 
3) Marque os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) no plano cartesiano e utilize os coeficientes angulares para 
determinar se os pontos formam um triângulo retângulo. Faça o esboço do gráfico. 
 
4) Escreva a equação da reta do Problema 1 na forma y = mx+h utilizando a forma ponto coeficiente angular 
para determinar o seu coeficiente linear. 
 
5) Ache a equação da reta que passa por (5,-2) e é paralela a x + 2y = 3. 
 
6) Ache a equação da reta que passa (5,1) e é perpendicular a y + 3 = 4x 
 
7) A equação de uma reta que corta o eixo x no ponto (a,0) e que corta o eixo y no ponto (0,b) pode ser 
escrita da seguinte maneira 1.
b
y
a
x 
 
Esta é chamada forma segmentária da equação da reta. Coloque a equação 6x + 9y = 5 na forma segmentária. 
 
8) Determinar a equação da mediatriz do segmento AB, onde A = (7, 4) e B = (−1, −2). 
 
9) Achar a equação da reta s cujos pontos são equidistantes das retas r1 : 12x− 5y+3 = 0 e r2 : 12x − 5y−6=0. 
 
 
 
Inverte o sinal 
Produto Notável do tipo (a-b)∙(a+b) = a²-b², onde a= 2x e b= 2 
 3 
 
RESPOSTAS - Aprofundamento I 
 
1) .
4
3
m 
 
2) .
4
3
1 m
 coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5) 
.
5
1
2 m
 coeficiente angular da reta que passa por (-3,5) e (2,6). 
Os pontos não são colineares. 
 
3) .
4
3
1 m
 passa por (1,2) e (-3,5) 
 .
5
1
2 m
 passa por (-3,5) e (7,10) 
 
.
3
4
3 m
; passa por (1,2) e (7,10) que é perpendicular a reta que passa por (1,2) e (-3,5), ié, 
1
323
1
.
m
mmm  . Os pontos formam um triângulo retângulo. 
 
4) .
4
11
4
3
 xy 
 
6) .
4
9
4

x
y 
 
8) .5
3
4
 xy 
 
5) .
2
1
2

x
y 
 
7) .1
5
9
5
6
 yx 
 
9) 
10
3
5
12
 xy 
 
 
 
 
- LIMITES - 
Aprofundamento II 
 
 
1) Considere a função RRf : , definida por .3)( xxf  Investigue o limite de f(x) quando x tende a 10. 
2) Considere a função RRf : , definida por .
1²
1
)(



x
x
xf Investigue o limite de f(x) quando x tende a 1. 
3) Determine o valor do limite especificando as propriedades utilizadas: 
 
a) )12(lim 2
2


xx
x
 c) 
62
5
lim
3
2
2 

 t
t
t
 
b) )432(lim 23
1


yyy
y
 d) 
62
2
lim
3
2
2 

 x
x
x
 
 
4) Determine o valor do limite
 
a) )12(lim 2
3


xx
x
 
b) )5²(lim 3
4


xx
x
 
c) )2(lim 2
2
1


xx
x
 
d) 
43
12
lim
21 

 xx
x
x
 
 4 
e) 
2
8
lim
3
2 

 y
y
y
 
f) 
1
1
lim
3
1 

 s
s
s
 
g) 
12
65
lim
2
2
3 

 xx
xx
x
 
h) 
3
18
lim
1 

 r
r
r
 
i) 
1
43
lim
3
2
2 

 x
xx
x
 
j) 
372
9
lim
2
2
3 

 yy
y
y
 
k) 
94
278
lim
2
3
2
3 

 t
t
t
 
 
l) 
x
x
x
22
lim
0


 
m) 
t
t
t


42
lim
0
 
n) 
23
10
lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
 
o) 
34134
3252
lim
23
23
3 

 xxx
xxx
x
 
 
5) Calcule os seguintes limites indeterminados: 
a) 
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
 e) 
xx
x
x  2
3
0 2
lim i) 
4
127
lim
2
4 

 x
xx
x
 
b) 
x
x
x 

 7
49
lim
2
7
 f) 
x
xx
x 

 7
1449
lim
2
7
 j) 
23
1
lim
21 

 xx
x
x
 
c) 
25 25
5
lim
x
x
x 


 g) 
3
96
lim
2
3 

 x
xx
x
 l) 
1
12
lim
2
1 

 x
xx
x
 
d) 
xx
xx
x 3
lim
2
2
0 


 h) 
1
34
lim
2
1 

 x
xx
x
 m)
4
2
lim
22 

 x
x
x
 
 
 
6) Calcule os seguintes limites indeterminados: 
a) 
4
16
lim
2
4 

 x
x
x
 h) 
5
209
lim
2
5 

 x
xx
x
 o) 
2
412²
lim
2 

 x
x
x
 
b) 
x
x
x 

 8
64
lim
2
8
 i) 
6
4213
lim
2
6 

 x
xx
x
 p) 
35²
2
lim
2 

 x
x
x
 
c) 
29 81
9
lim
x
x
x 


 j) 
127
4
lim
24 

 xx
x
x
 q) 
23
1
lim
2 

 x
x
x
 
d) 
xx
xx
x 7
3
lim
2
2
0 


 k) 
1
78
lim
2
1 

 x
xx
x
 r) 
x
x
x
33
lim
0


 
e) 
xx
x
x 35
lim
2
5
0 
 l)
121
11
lim
211 

 x
x
x
 s) 
x
x
x
22
lim
0


 
f) 
x
xx
x 

 4
816
lim
2
4
 m) 
9
3
lim
9 

 x
x
x
 
g) 
10
10020
lim
2
10 

 x
xx
x
 n) 
1
38²
lim
1 

 x
x
x
 
 
7) Se 1
2
5)(
lim
4



 x
xf
x
, determine )(lim
4
xf
x
. 
 
 
 
 
RESPOSTAS - Aprofundamento II 
 
1) 30)(lim
10


xf
x
. Quando x se aproxima de 10, f(x) se aproxima de 30. 
2) 
2
1)(lim
1


xf
x
. Quando x se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 
2
1 . 
 
3) a. -1 - Propriedades da soma, potência, homogeneidade e constante. 
 b. -10 - Propriedades da soma, potência e homogeneidade. 
 c. 
22
1
 - Propriedades do quociente, soma, potência e homogeneidade. 
 d. 
2
2 - Propriedades da raíz, quociente, soma, potência, constante e homogeneidade. 
 
 
4) a. 20 f. 3 k. 
2
23 o. 
17
11 
 b. 43 g. 
7
1 l. 2
4
1 
 c. 
4
9
 h. 
2
3 m. 
4
1 
 d. 
8
1
 i. 
3
14 n. -15 
 e. 12 j. 
5
6 
 
 
5) a) 6 d) 
3
1 g) 0 j) -1 
 b) 14 e) 0 h) -2 l) 0 
 c) 
10
1 f) 0 i) 1 m) 
4
1 
 
 
6) a) -8 e) 0 i) 1 m) 
6
1 q) 3 
 b) 16 f) 0 j) 1 n) 
3
1 r) 
3
33 
 
 c) 
18
1 g) 0 k) -6 o) 
4
1 s) 
4
2 
 d) 
7
1 h) 1 l) 
22
1 p)−3 
 
7) 7 
 
 
- LIMITES - 
Aprofundamento III 
 
Nos exercícios de 1 a 7 faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, caso exista. Se não existir, indique 
a razão disto. 
 
1) f(x)= 





02
02
xse
xse
 a) )(lim
0
xf
x 
 b) )(lim
0
xf
x 
 c) )(lim
0
xf
x
 
 
2) f(t)= 





44
44
tset
tset
 a) )(lim
4
tf
t 
 b) )(lim
4
tf
t 
 c) )(lim
4
tf
t 
 
 
 
3) h(x)= 





310
312
xsex
xsex
 a) )(lim
3
xh
x 
 b) )(lim
3
xh
x 
 c) )(lim
3
xh
x
 
 
4) g(x)= 





23
23
xsex
xsex
 a) )(lim
2
xg
x
 b) )(lim
2
xg
x 
 c) )(lim
2
xg
x 
 
 
5) f(x)= 





xsex
xsex
228
22
 a) )(lim
2
xf
x 
 b) )(lim
2
xf
x 
 c) )(lim
2
xf
x
 
 
6) p(x)= 








xsex
xse
xsex
127
15
132
 a) )(lim
1
xp
x 
 b) )(lim
1
xp
x 
 c) )(lim
1
xp
x
 
 
7) f(r)= 








rser
rse
rser
12²
14
132
 a) )(lim
1
rf
r 
 b) )(lim
1
rf
r 
 c) )(lim
1
rf
r
 
 
8) Seja f uma função definida para todo x∈ R. Calcule os limites abaixo, caso existam e justifique sua 
resposta. 
 
a) 
2
19
)(23


x
xfx )(lim
1
xf
x
 
 
b) 
4
7²
)(5²


x
xfx )(lim
3
xf
x
 
 
c) 
1
1²
)(3²



x
x
xfxx , x≠1. )(lim
1
xf
x
 
 
d) 3)(
2
8 4
3



xxg
x
x
, x≠2 )(lim
2
xg
x
 
 
9) Sabendo que 1
)(
lim
0

 x
xsen
x
, calcule:. 
 
a) 
x
xsen
x
³)(
lim
0
 b) 
x
xsen
x
)(²
lim
0
 c) 
3
6
0
)(
lim
x
xsen
x
 
 
d) 
x
x
x
)(cos1
lim
0


 e) 
)3(
)6(
lim
0 xsen
xtg
x
 f) 
)(
lim
0 xsen
x
x
 
 
 
RESPOSTAS - Aprofundamento III 
 
 
1) a) 2)(lim
0


xf
x
. 
 
 b) 2)(lim
0


xf
x
 
 c) ∄ )(lim
0
xf
x
 
 
 
 
2) a) 0)(lim
4


tf
t
. 
 b) 8)(lim
4


tf
t
 
 c) ∄ )(lim
4
tf
t 
 
 
 
3) a) 7)(lim
3


xh
x
 
 b) 7)(lim
3


xh
x
 
 c) 7)(lim
3


xh
x
 
 
 
 
4) a) 1)(lim
2


xg
x
 
 b) 5)(lim
2


xg
x
 
 c) ∄ )(lim
2
xg
x 
 
 
 
 
 
5) a) 4)(lim
2


xf
x
 
 b) 4)(lim
2


xf
x
 
 c) 4)(lim
2


xf
x
 
 
 
 
6) a) 5)(lim
1


xp
x
. 
 b) 5)(lim
1


xp
x
 
 c) 5)(lim
1


xp
x
 
 
 
 
 
7) a) 5)(lim
1


xf
x
 
 b) 3)(lim
1


xf
x
 
 c) ∄ )(lim
1
xf
x
 
 
 
 
 
8) a) 5)(lim
1


xf
x
 b) 4)(lim
3


xf
x
 c) 2)(lim
1


xf
x
 d) ∄ 

)(lim
2
xg
x
 
 
9) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 2 f) 1 
 
 
 
- LIMITES e ASSÍNTOTAS- 
Aprofundamento IV 
 
1) Verifique se nas funções a seguir há assíntota vertical ou horizontal e esboce o gráfico.
 
a) f (x)= 
2²  xx
x
 b) g (x)= 
2²  xx
x
 c) h (x)= 
1
3
x
x
 
 
 
d) f (x)= 
4²
2
x
x
 e) g (x)= 
xx
x
3²2
1²2


 f) h (x)= 
4²
1³


x
x
 
 
g) f (x)= 
4² x
x
 h) g (x)= 
)4)(3(
1


xx
 
 
 
2) Calcule os seguintes limites e verifique se há assíntota horizontal. 
 
a) 
12²8
2²3
lim


 xx
xx
x
 b) )4²(lim xx
x


 
 
c) 
12
115
lim
4 

 x
x
x
 d) 
327
2³8
lim
46
4


 xx
xx
x
 
 
3) Determine cada um dos limites a seguir e verifique se há assíntota vertical: 
 
a) 
5
6
lim
5  xx
 b) 
5
6
lim
5  xx
 c) 
 23 3
1
lim
 xx
 
 
d) 
)2²(
1
lim
0 

 xx
x
x
 e) 
)2²(
1
lim
2 

 xx
x
x
 f) xtg
x
2
3
lim


 
4) Explicite, os pontos de descontinuidade das seguintes funções: 
a) 
x
xf
1
)(  b) 
1
1
)(


x
xf c) 
4
2
)(
2 


x
x
xf 
d) 
5
5
)(



x
x
xf e) 
xxf  3)( f) 1)(  xxf 
 g) 
)7)(3(
)(


xx
x
xf 
 
5) A função 






3,43
3,12
)(
xsex
xsex
xf é contínua no ponto x = 3? Justifique. Faça o gráfico. 
 
6) A função 






210
2,3
)(
2
xse
xsex
xf é contínua no ponto x = 2? Justifique. Faça o gráfico. 
 
7) Verifique se a função 
1
1
)(
2



x
x
xf é contínua para x = 1. 
8) Dada a função 
1
1
)(



x
x
xf . Determine: 
a) A assíntota vertical no ponto de descontinuidade. 
b) As assíntotas horizontais. 
c) Faça o gráfico. 
9) Dada a função 
1
)(
2


x
x
xf . Determine: 
a) A assíntota vertical no ponto de descontinuidade. 
b) As assíntotas horizontais. c) faça o gráfico. 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO – UFERSA 
CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
CÁLCULO I – ANGELIA ALVES 
LISTA DE EXERCÍCIO 
 
 
 
A. 
 
 
 
B. 
 
 
 
C. 
 
 
 
D. 
 
 
 
E. 
 
 
 
F. 
 
 
 
G. 
 
 
 
H. 
 
 
 
I. 
 
 
 
J. 
√ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K. 
 
 
 
L. 
 
 
 
M. 
 
 
 
N. 
 
 
 
O. ⁄
 
 
 
P. 
 
 
 
Q. ⁄
 
 
 
R. ⁄
 
 
 
 
 
Angel
Rectangle
Angel
Text Box
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Angel
Text Box
x
Angel
Text Box
sec 
Angel
Text Box
10.
 
11) Utilize a definição formal de limite (página 40 do caderno didático) para mostrar que: 
 
a) 9)15(lim
2


x
x
 
 
b) 44lim
1


x
x
 
 
c) 4²lim
2


x
x
 
 
RESPOSTAS - Aprofundamento IV 
 
1) Para as respostas a seguir considere Assíntota Vertical = AV e Assíntota Horizontal = AH 
 
a) AV em x=-1 e x=2 
 
 
b) não possui assíntotas 
 
 
c) AV em x=1; AH em y=3 
 
 
 
 
d) AH em y=-2 e y=2 
 
 
 
 
 
e) AV x= 0 e x= 
2
3 ; AH em y=1 
 
 
 
f) não possui assíntotas 
 
 
 
g) AV em x=-2 e x=2; AH e, y=-1 e y=1 
 
 
 
 
h) AV em x=3 e x=-4; AH em y=0 
 
 
 
 
2) a) 
8
3 ; AH em y=
8
3 b) 0; AH y=0 c) 0; AH y=0 d) 0; AH y=0 
 
 
 
3) 
a) +∞ AV em x=5 
b) −∞ AV em x=5 
c) +∞ AV em x=3 
d) −∞ AV em x=0 
e) −∞ AV em x=-2 
f) +∞; AV em x=
2
3 
4) a) x = 0 b) x = -1 c) x = - 2 ou x = +2 d) x = 5 e) não há descontinuidade f) x < -1 g) x = 3 ou x = -7 
 
5) f é contínua em x=3 
 
6) f não é contínua em x=2 
 
 
 7) Sim, pois )1(
1
12



x
x
x
 
8a) x=-1 8b) y = 1 
 
 
 
9a) x = 1 9b) Não há AH 
 
 
 
 
 
 
10 - Respostas de Limites trigonométricos 
 
a) 4 h) −1/3 o) −1 
b) 5/2 i) 1/2 p) 3/2 
c) m/n j) 1/4 q) −sen x ∙ (1+2 cos x) 
d) 3/2 k) cos a r) −cos x 
e) m/n l) cos x 
f) 1 m) − sen x 
g) 1 n) tg a ∙ sec a 
 
 
11a) 9)15(lim
2


x
x
 
 
Prova: 
 
Devemos mostrar que se  |2|0 x então  |9)15(| x que pode ser escrito também como 
 |2|0 x então  |105| x . 
Precisamos encontrar 0 que satisfaça  |2|0 x então  |105| x . 
Fazendo |2|5|105|  xx vem que se 
 
 |2|0 x então  |105| x 
  |2|5 x 
 
5
|2|  x 
 
Assim, escolhido 
5
  teremos o seguinte argumento: 
 se 
5
|2|0   x 
 → 
5
|2| x 
 → 
5
5|2|5 x 
→  |2|5 x 
→  |105| x 
 
Portanto, mostramos que se escolhido qualquer número positivo menor do que 
5
 teremos a 
afirmativa  |2|0 x então  |105| x verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11b) 44lim
1


x
x
 
 
Prova: 
 
Devemos mostrar que se  |1|0 x então  |44| x . 
Precisamos encontrar 0 que satisfaça  |1|0 x então  |44| x . 
Fazendo |1|4|44|  xx vem que se 
 
 |4|0 x então  |44| x 
  |1|4 x 
 
4
|1|  x 
 
Assim, escolhido 
4
  teremos o seguinte argumento: 
 se 
4
|1|0   x 
 → 
4
|1| x 
 → 
4
4|1|4 x 
→  |1|4 x 
→  |44| x 
 
Portanto, mostramos que se escolhido qualquer número positivo menor do que 
4
 teremos a 
afirmativa  |1|0 x então  |44| x verdadeira. 
 
 
11c na próxima página 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11c) 4²lim
2


x
x
 
 
Prova: 
 
Devemos mostrar que se  |2|0 x então  |4²| x . Temos dos produtos notáveis que 
|2||2||4²|  xxx 
Precisamos encontrar uma relação que envolva |2| x . Assim, adotando um intervalo que 
contenha 2, como (1,3), podemos considerar 1 . Então, 
 
 
 |2|0 x 
1|2|0  x → Aplicando o conceito de módulo teremos 
121 x → Somando 4 para que apareça x+2 
414214  x 
523  x 
5|2| x 
 
Agora, temos que  |2| x e 5|2| x . Logo, 
 
 |2| x 
5|2| x 
  5|2||2| xx 
 
Observe que se 1|2|  x , então é verdadeiro afirmar que 5|2| x também. Como 
|2| x tem duas desigualdades, devemos considerar um valor mínimo para  garantindo, assim, 
que as duas desigualdades de |2| x sejam satisfeitas. Então, se 
5
5   . 
 
Considerando }
5
,1min{   e usando este  teremos o seguinte argumento: 
 |2|0 x Multiplicando por |2| x 
|2||2||2|  xxx  
|2||4²|  xx  
Como 5|2| x , vem que 
|2||4²|  xx  e  5|2||  x 
5|4²| x Fazendo 
5
  
5
5|4²| x 
 |4²| x 
 
Com isto, demonstramos que escolhido }
5
,1min{   , para todo 0 , a afirmativa que se 
 |2|0 x então  |4²| x é verdadeira, como queríamos demonstrar.